幾何明珠 第十七章 斯坦納-雷米歐司定理 練習與思考 詳解

1. 證明兩條中線相等的三角形是等腰三角形。
解法
設 $\Delta ABC$ 中，$BD$ 與 $CE$ 分別為中線且相等。利用中線定理（本書稱阿波羅尼奧斯定理）可知
$\displaystyle\frac{2AC^2+2BC^2-AB^2}{4}=CE^2=BD^2=\frac{2AB^2+2BC^2-AC^2}{4}$.
因此有 $3AB^2=3AC^2$，由於 $AB+AC>0$，從而有 $AB=AC$，即 $\Delta ABC$ 為等腰三角形，證明完畢。


2. 證明兩條高線相等的三角形是等腰三角形。
解法
設 $\Delta ABC$ 中，$BD$ 與 $CE$ 分別為自 $B$ 與 $C$ 所引的高且相等，那麼藉由計算面積可知
$\displaystyle\frac{AC\cdot BD}{2}=\Delta ABC=\frac{AB\cdot CE}2$.
由於 $BD=CE$，因此 $AB=AC$，即 $\Delta ABC$ 為等腰三角形，證明完畢。


3. 證明兩條對角線相等的梯形是等腰梯形。
解法一
設梯形 $ABCD$，其中 $AB\parallel CD$ 且 $AC=BD$，並且設 $AC$ 與 $BD$ 交於 $O$。由於內錯角相等可知 $\Delta AOB\sim\Delta COD$，從而有
$\displaystyle\frac{AO}{BO}=\frac{CO}{DO}$.
記此比例為 $k$，則有 $AO=k\cdot BO$、$CO=k\cdot DO$。再者又有
$k(BO+DO)=AO+OC=AC=BD=BO+OD$.
故 $k=1$。此表明 $AO=BO$ 且 $CO=DO$。那麼由 SAS 全等可以知道 $\Delta AOD\simeq\Delta BOC$，從而 $AD=BC$，證明完畢。
解法二
設梯形 $ABCD$，其中 $AB\parallel CD$ 且 $AC=BD$。接著在直線 $CD$ 取點 $E$ 使 $CE=AB$ 且 $E$ 與 $D$ 對 $C$ 異側，那麼 $ABEC$ 為平行四邊形，故 $BE=CA=BD$，故 $\Delta BDE$ 為等腰三角形，從而 $\angle BDE=\angle BED$。那麼利用 SAS 全等性質可知 $\Delta ACD\simeq\Delta BDC$，即有 $AD=BC$，證明完畢。