幾何明珠 第十六章 維維安尼定理 練習與思考 詳解

1. $\angle ABC=\angle CBD=60^\circ$，從 $\angle ABC$ 內任一點 $P$ 分別向 $AB$、$BC$、$BD$ 作垂線 $PX$、$PY$、$PZ$，$X$、$Y$、$Z$ 為垂足，求證：$PZ=PX+PY$。
解法
作過 $P$ 且平行 $BD$ 的直線交直線 $AB$ 與直線 $BC$ 於 $E$ 和 $F$，那麼 $\angle BEF$ 為正三角形，從而自動為等腰三角形，故 $PX+PY$ 為 $B$ 到直線 $EF$ 的距離（即以 $EF$ 為底邊的高），此即 $PZ$，證明完畢。


2. 不等邊三角形內一點至三邊距離之和大於大邊上的高，而小於小邊上的高。
解法
設三角形三邊長分別為 $a,b,c$ 且滿足 $a\geq b\geq c$ 且等號不會同時成立。在三角形內取一點 $P$，記到 $a,b,c$ 各邊長為 $x,y,z$，那麼根據三角形面積的計算可得
$ax+by+cz=ah_a=ch_c$,
其中 $h_a$ 與 $h_c$ 分別為以 $a$ 與 $c$ 為底邊的高，那麼可知
$\displaystyle h_a=x+\frac bay+\frac caz<x+y+z<\frac acx+\frac bcy+z=h_c$.
證明完畢。


3. 試用解析法證明維維安尼定里。
解法
設正三角形 $ABC$ 之邊長為 $2a$，而 $BC$ 中點為原點 $(0,0)$，並設 $B$ 為 $(a,0)$、$C$ 為 $(-a,0)$，而 $A$ 為 $(0,\sqrt3a)$。取三角形內一點 $P$ 為 $(x,y)$，那麼 $x,y$ 滿足 $y>0$且 $\displaystyle-a+\frac{y}{\sqrt3}<x<a-\frac{y}{\sqrt3}$。易知 $P$ 到 $AB$、$BC$、$CA$ 的三邊長分別為
$\displaystyle\frac{\sqrt{3}x-y+\sqrt3a}{2},~~y,~~\frac{-\sqrt{3}x-y+\sqrt3a}2$.
因此三者總和為 $\sqrt3a$，證明完畢。