幾何明珠 第十五章 九點圓 練習與思考 詳解

1. 如圖 15-1，證明點 $G$、$T$、$M$ 分別平分弧 $\overset{\frown}{EF}$、$\overset{\frown}{FD}$、$\overset{\frown}{DS}$。

   

   圖 15-1

解法
按第十章第一題所證明的性質(5)：三角形的垂心 $H$ 為其垂足三角形 $\Delta DEF$ 的內心，故 $\angle DG$ 角平分 $\angle EDF$、$ET$ 角平分 $\angle DEF$、$FM$ 角平分 $\angle EFD$，因此 $G$、$T$、$M$ 平分弧 $\overset{\frown}{EF}$、$\overset{\frown}{FD}$、$\overset{\frown}{DS}$，證明完畢。


2. 試證九點圓圓心在三角形的歐拉線上，並且它到垂心和外心距離等長，九點圓的半徑等於原三角形外接圓半徑的一半。
解法

延續使用圖 15-1，由歐拉線可知外心 $O$、重心 $G$ 與垂心 $H$ 三點點共線，並且可以知道 $AH:OD=2:1$，再者 $G$ 為 $AH$ 之中點，因此 $GH=OD$，又由 $GH\bot BC$ 以及 $ON\bot BC$，從而 $GH\parallel OB$，因此 $GHNO$ 為平行四邊形，從而 $GN$ 與 $OH$ 互相平分。又由九點圓的證法 1 中可知 $GN$ 為九點圓直徑，因此九點圓圓心 $K$ 落在歐拉線上且與垂心和外心等距。最後考慮 $\Delta AHO$，其中 $G$ 與 $K$ 分別為 $HA$ 和 $HO$ 之中點，故可知九點圓半徑 $\displaystyle KG=\frac{1}{2}OA=\frac{R}{2}$，證明完畢。

註：事實上九點圓為以垂心為中心將原外接圓縮小一半而得。



3. 設 $G$ 是 $\Delta ABC$ 的重心，$P$ 是 $\Delta ABC$ 外接圓上任一點，連接 $PG$ 並延長至 $Q$ 使 $\displaystyle GQ=\frac{1}{2}PG$。求證：$Q$ 點在 $\Delta ABC$ 的九點圓上。
解法
設垂心為 $H$，外心為 $O$，而九點圓圓心為 $K$，由前一題的結果可知 $KH=KO$，而由歐拉線的性質可知 $HG=2GO$，因此 $OG=2GK$。那麼由 $OG:GK=2:1=PG:GQ$ 以及對頂角相等，有 SAS 相似得 $\Delta GOP\sim\Delta GKQ$，故 $R=OP=2GK$，即 $\displaystyle GK=\frac{R}{2}$。再由前一題的結論可知 $K$ 落於九點圓上。


4. $\Delta ABC$ 為不等邊三角形，$\angle A$ 對邊的中垂線與 $\angle A$ 的內、外角平分線分別相交於 $A_1$、$A_2$，$\angle B$ 對邊的中垂線與 $\angle B$ 的內、外角平分線相交於 $B_1$、$B_2$，$\angle C$ 對邊的中垂線與 $\angle C$ 的內、外角平分線相交於 $C_1$、$C_2$，求證：$A_1$、$A_2$、$B_1$、$B_2$、$C_1$、$C_2$、$A$、$B$、$C$ 九點共圓，且有 $A_1A_2=B_1B_2=C_1C_2=2R$（$R$ 為外接圓半徑）
解法
作 $ABC$ 的外接圓，設 $A_1$ 與 $A_1'$ 分別為 $\angle A$ 的內角平分線與 $BC$ 中垂線以及外接圓的交點，可以注意到 $A_1'$ 等分弧 $\overset{\frown}{BC}$，因此 $A_1'$ 也落於 $BC$ 的中垂線上，從而 $A_1=A_1'$。另一方面，設 $A_2$ 與 $A_2'$ 分別為 $\angle A$ 的外角平分線與 $BC$ 中垂線以及外接圓的的交點，可以注意到 $A_2'$ 等分弧 $\overset{\frown}{BAC}$，因此 $A_2'$ 也落於 $BC$ 的中垂線上，從而 $A_2=A_2'$，至此說明了 $A_1,A_2$ 皆落於外接圓上。再者，可以注意到 $\angle A_1AA_2=90^\circ$，從而 $A_1A_2$ 為外接圓直徑，故 $A_1A_2=2R$。同理可以證明 $B_1,B_2$ 與 $C_1,C_2$ 皆落在外接圓上且 $B_1B_2$ 以及 $C_1C_2$ 亦皆為直徑，本命題證明完畢。