幾何明珠 第十三章 圓冪定理 練習與思考 詳解

1. $\Delta ABC$ 的三條高 $AD$、$BE$、$CF$ 相交於 $H$，求證：

   $AH\cdot HD=BH\cdot HE=CH\cdot HF$.

解法
由於 $\angle ADB=\angle AEB=90^\circ$，因此 $A,B,D,E$ 四點共圓，從而由圓內點 $H$ 應用圓冪定理有
$AH\cdot HD=BH\cdot HE$.
另一方面，由 $\angle BEC=\angle BFC=90^\circ$，因此 $B,C,E,F$ 四點共圓，從而由圓內點 $H$ 應用圓冪定理有
$BH\cdot HE=CH\cdot HF$.
結合兩個等式便完成證明。


2. Rt $\Delta ABC$ 中，直角頂點 $C$ 到斜邊 $AB$ 的垂足為 $D$，$G$ 為 $CD$ 上一點，$AG$ 的延長線交 $\Delta ABC$ 的外接圓於 $H$，求證：

   $AG\cdot AH=AD\cdot AB$.

   
解法
由於 $A,B,H,C$ 四點共 $AB$ 直徑圓，從而 $\angle AHB=90^\circ=\angle BDG$，因此 $B,D,G,H$ 四點共圓，那麼以 $A$ 對該圓應用圓冪定理即得證。


3. 條件同 1.，求證：$BA\cdot BF+CA\cdot CE=BC^2$。
解法

由於 $\angle ADB=\angle AEB=90^\circ$，因此 $A,B,C,D$ 四點共圓，從而由圓外點 $C$ 應用圓冪定理有

$CA\cdot CE=CD\cdot BC$.

另一方面，由 $\angle ADC=\angle AFC=90^\circ$，因此 $A,C,D,F$ 四點共圓，從而由圓外點 $B$ 應用圓冪定理有

$BA\cdot BF=BD\cdot BC$.

將兩式相加即有

$BA\cdot BF+CA\cdot CE=BD\cdot BC+CD\cdot BC=\left(BD+DC\right)\cdot BC=BC^2$.



4. 從圓外一點 $M$，引圓的切線 $MT$（$T$ 為切點），過 $MT$ 的中點 $A$ 引割線 $ABC$ 交圓於 $B$、$C$ 兩點，求證：$\angle AMB=\angle MCA$。
   
解法
自 $A$ 對圓應用圓冪定理有
$AB\cdot AC=AT^2=AM^2$,
即有
$\displaystyle\frac{AB}{AM}=\frac{AM}{AC}$.
因此由 SAS 相似可知 $\Delta ABM\sim\Delta AMC$，故 $\angle AMB=\angle MCA$，證明完畢。