幾何明珠 第十二章 歐拉定理 練習與思考 詳解

1. $\Delta ABC$ 的內切圓分別切各邊於 $A'$、$B'$、$C'$，求證：$\Delta A'B'C'$ 的面積 $\displaystyle\leq\frac{1}{4}\Delta ABC$ 的面積。
解法
藉由計算面積並配合正弦定理可以知道
$\displaystyle\Delta A'B'C'=\Delta IA'B'+\Delta IB'C'+\Delta IC'A'=\frac{1}{2}r^2\left(\sin A+\sin B+\sin C\right)=\frac{r^2\left(a+b+c\right)}{4R}$.
另一方面內心切割三角形而由面積關係可知 $r\left(a+b+c\right)=2\Delta ABC$，從而有
$\displaystyle\Delta A'B'C'=\frac{r}{2R}\Delta ABC$.
又因歐拉定理可知 $2r\leq R$，因此所欲證之命題成立。


2. 設 $\Delta ABC$ 的內切圓半徑為 $r$，頂點到內心 $I$ 的距離分別為 $m$、$n$、$p$，求證：$mnp\geq8r^3$。
解法
設 $IA=m$、$IB=n$、$IC=p$，則有下列等式
$\displaystyle m\sin\frac{A}{2}=n\sin\frac{B}{2}=p\sin\frac{C}{2}=r$.
三式相乘有
$\displaystyle mnp\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac C2=r^3$.
再者由書中例題 $12.1$ 可知 $\displaystyle\sin\frac{A}{2}\sin\frac B2\sin\frac{C}{2}\leq\frac{1}{8}$，利用此不等式即可獲得 $mnp\leq8r^3$，證明完畢。


3. 已知 $\Delta ABC$，其三邊長為 $a$、$b$、$c$，內切圓為 $O$，切點為三角形 $DEF$ 的三條邊長分別為 $a_1$、$b_1$、$c_1$，求證：$abc\geq8a_1b_1c_1$。
解法
由於 $\displaystyle\Delta ABC=\frac{abc}{4R}$、$\displaystyle\Delta DEF=\frac{a_1b_1c_1}{4r}$，由第一題之結果可知
$\displaystyle\frac{a_1b_1c_1}{4r}\leq\frac{1}{4}\cdot\frac{abc}{4R}$.
再者 $2r\leq R$，如此可知
$abc\geq8a_1b_1c_1$.
證明完畢。


4. 求證：正 $n$ 邊形內切圓與外切圓半徑之比等於 $\displaystyle\cos\frac{\pi}{n}$。
解法
設正 $n$ 邊形之邊長為 $a$，那麼在外接圓上會形成 $n$ 的等腰三角形，其頂角為 $\displaystyle\frac{2\pi}{n}$，那麼作高後可注意到高的長度即為內切圓半徑，按餘弦的定義可得 $\displaystyle r=R\cos\frac{\pi}n$，因此 $\displaystyle\frac{r}{R}=\cos\frac{\pi}n$，證明完畢。