幾何明珠 第十一章 歐拉線 練習與思考 詳解

1. 已知：$\Delta ABC$ 內接於圓$O$，$H$ 為垂心，$\angle BAC=60^\circ$，求證：$\angle BAC$ 的平分線垂直於歐拉線。
   
解法一［由林浩誼提供］
由於 $\angle OAB=90^\circ-C=\angle DAC$，因此 $\angle BAC$ 的平分線亦為 $\angle OAH$ 的平分線。又 $AO=AH$，故此平分線垂直於 $OH$，即垂直歐拉線。
解法二
作 $\angle BAC$ 的角平分線交圓 $O$ 於 $F$，那麼 $OF$ 垂直平分 $BC$，又 $AH$ 也垂直 $BC$，因此 $OF\parallel AH$。另一方面，由第十章第三題可知 $AH=AO=OF$，因此四邊形 $A,O,F,H$ 為平行四邊形，進而可以知道此為菱形，故對角線彼此垂直，即 $AF$ 垂直 $OH$。證明完畢。


2. 如果 $\Delta ABC$ 的歐拉線平行於 $BC$ 邊，則 $\tan B\tan C=3$。
解法一
設 $D$ 為 $A$ 到 $BC$ 邊的垂足，$M$ 為 $BC$ 之中點，$O$ 為外心，$H$ 為垂心。根據假設可知 $O-G-H$ 平行 $BC$，設 $BC$ 長為 $2x$，$OM=y$，由相似可推知 $AD=3y$，如此知 $\displaystyle\tan B\tan C=\frac{9y^2}{x^2-DM^2}$。另一方面由 $O$ 為外心，可以注意到 $OA=OB$，即
$(2y)^2+DM^2=OA^2=OB^2=x^2+y^2$.
從而有 $x^2-DM^2=3y^2$，如此有 $\tan B\tan C=3$。
解法二〔由林浩誼提供〕
設 $D$ 為 $A$ 對 $BC$ 邊的垂足，$M$ 為 $BC$ 中點，$O$ 為外心，$H$ 為垂心。利用正切的定義有
$\displaystyle\tan B\tan C=\frac{AD}{BD}\cdot\frac{AD}{CD}$.
又 $AH=2OM=2HD$，故 $AD=3HD$，從而有
$\displaystyle\tan B\tan C=\frac{3AD\cdot HD}{BD\cdot CD}=3$,
其中最後一個等號是由於 AA 相似而有 $\Delta BDH\sim\Delta ADC$。