幾何明珠 第十章 三角形的五心 練習與思考 詳解

1. 證明本章引伸與推廣部份命題 (1)-(8)。
解法
1. 三角形的重心與三頂點的連線所構成的三個三角形面積相等。
   證明：設 $G$ 為 $\Delta ABC$ 的重心，延長 $AG$ 交 $BC$ 於 $D$，那麼 $AG:GD=2:1$，從而 $\Delta ABG:\Delta BGD=\Delta ACG:\Delta CGD=2:1$。再者 $D$ 為 $BC$ 中點，因此 $\Delta BGD=\Delta CGD$。從而 $\Delta ABG=\Delta ACG=\Delta BCG$，證明完畢。
2. 三角形的外心到三頂點的距離相等。
   證明：設 $O$ 為 $\Delta ABC$ 的外心，那麼按外心的定義為三中垂線之交點，即 $AB$、$BC$、$CA$ 的中垂線共點於 $O$。由於 $O$ 落於 $AB$ 的中垂線上，因此 $OA=OB$；又因 $O$ 也落於 $BC$ 的中垂線上，因此 $OB=OC$，如此 $O$ 至三頂點之距離相等。
3. 三角形的垂心與三頂點這四點中，任一點是其餘三點所構成的三角形的垂心。
   證明：設 $H$ 為 $\Delta ABC$ 的垂心。那麼若取 $A,B,C$，則 $H$ 為垂心為顯然；若取 $A,B,H$，則僅需證明 $C$ 為 $\Delta ABH$ 的垂心。作 $A$ 對 $BH$ 的高，則此高過 $C$ 點；又作 $B$ 對 $AH$ 的高，則此高亦過 $C$ 點，從而 $C$ 為 $\Delta ABH$ 的垂心。運用相同的規則可以證明 $B$ 為 $\Delta ACH$ 的垂心、$A$ 為 $\Delta BCH$ 的垂心，如此命題證明完畢。
4. 三角形的內心、旁心到三邊距離相等。
   證明：設 $I$ 為 $\Delta ABC$ 的內心，那麼按內心的定義為三內角平分線之交點，即 $\angle A$、$\angle B$、$\angle C$ 的內角平分線共點於 $I$。由於 $I$ 落於 $\angle A$ 的角平分線上，因此 $I$ 到 $AB$ 與 $AC$ 邊的距離相等；又因 $I$ 也落於 $\angle B$ 的角平分線上，因此 $I$ 到 $BC$ 與到 $BA$ 邊的距離相等，如此 $I$ 到三邊的距離相等。
   
   而旁心 $K$ 為兩外角平分線與一內角平分線之交點。不妨設 $K$ 為 $\angle A$ 的內角平分線與 $\angle B$ 與 $\angle C$ 的外角平分線之交點，那麼 $K$ 到 $AB$ 與 $AC$ 的距離相等，又 $K$ 到 $BA$ 與 $BC$ 的距離也相等，從而旁心到三邊的距離也相等。
5. 三角形的垂心是它的垂足三角形的內心；或者說，三角形的內心是它旁心三角形的垂心。
   證明：設 $D$、$E$、$F$ 分別為 $BC$、$CA$、$AB$ 的中點，因此有 $DE\parallel AB$、$EF\parallel BC$、$FD\parallel CA$。因此作 $BC$ 的中垂線即等同於作過 $D$ 且垂直 $EF$ 的直線，如此 $\Delta ABC$ 三中垂線等同於 $\Delta DEF$ 的三高，因此 $\Delta ABC$ 的外心等同於 $\Delta DEF$ 的垂心。
6. 三角形的外心是它的中點三角形的垂心。
   證明：設 $D$、$E$、$F$ 分別為 $\Delta ABC$ 中三頂點 $A$、$B$、$C$ 向對邊的垂足，且記垂心為 $H$，那麼利用 $B,D,H,F$ 四點共圓、$C,D,H,E$ 四點共圓，搭配圓周角相等有

   $\angle HDF=\angle FBH=\angle ECH=\angle HDE$.

   從而 $AH$ 平分 $\angle EDF$。同理 $BH$ 平分 $\angle DEF$、$CH$ 平分 $\angle EFD$，從而 $H$ 為 $\Delta DEF$ 的內心。證明完畢。
7. 三角形的重心也是它的中點三角形的重心。
   證明：設 $D$、$E$、$F$ 分別為 $BC$、$CA$、$AB$ 中點，且設 $G$ 為 $\Delta ABC$ 的重心，那麼 $AD$ 亦為 $EF$ 之中線，同理有 $BE$ 為 $FD$ 的中線、$CF$ 為 $DE$ 的中線，從而三線之交點 $G$ 為 $\Delta DEF$ 的重心，證明完畢。
8. 三角形的中點三角形的外心也是其垂足三角形的外心。
   證明：設 $D$ 為 $A$ 對 $BC$ 邊的垂足，而 $L$、$M$、$N$ 分別為 $BC$、$CA$、$AB$ 邊的中點，那麼連 $MN$ 交 $AD$ 於 $E$、交 $AL$ 於 $F$，那麼可以注意到 $EF$ 為 $\Delta ADL$ 的中線，從而 $DL=2EF$。又 $MN$ 的中垂線，那麼便過中點三角形 $\Delta LMN$ 的外心 $O$ 且設交 $BC$ 於 $J$，那麼注意到 $EF=DJ$，從而 $DJ=JL$，亦即 $MN$ 的中垂線平分線段 $DL$，故 $OD=OL$。同理可以推論出中線三角形的外心 $O$ 形成的外接圓通過各邊之垂足，從而中線三角形與垂足三角形共圓心。
   
   註：此圓被稱為九點圓。


2. $G$ 為 $\Delta ABC$ 的重心，$\angle A=90^\circ$，求證：

   $GB^2+GC^2=5GA^2$.

解法
設 $GA$、$GB$、$GC$ 分別交 $BC$、$CA$、$AB$ 於 $D$、$E$、$F$，那麼有
$\displaystyle GB^2=\frac{4BE^2}{9},~~GC^2=\frac{4CF^2}{9}$.
又因 $\angle A=90^\circ$，故有
$BE^2=AB^2+AE^2,~~CF^2=AC^2+AF^2,~~BC^2=AB^2+AC^2$.
故
$\displaystyle GB^2+GC^2=\frac{4\left(AB^2+AC^2+AE^2+AF^2\right)}{9}=\frac{5BC^2}{9}$.
另一方面，可以注意到
$\displaystyle GA^2=\frac{4AD^2}{9}=\frac{BC^2}{9}$.
將前兩式結合起來即可。


3. $\Delta ABC$ 的外心和垂心分別為 $O$、$H$，$\angle A=60^\circ$，求證：$AO=AH$。
解法
作 $B$ 在 $AC$ 上的垂足，因此按垂心的定義可知 $B$、$H$、$D$ 共線。因此 $AD=AB\cos A$，由於直角三角形的三邊比搭配正弦定理可得
$\displaystyle AH=\frac{AD}{\sin C}=\frac{AB\cos A}{\sin C}=R=AO$.
證明完畢。


4. $\Delta ABC$ 中，$BC=14$ cm，$BC$ 邊上的高 $AD=12$ cm，內接圓半徑 $r=4$ cm，求 $AB$、$AC$ 之長。
解法
藉由計算面積可知
$\displaystyle\frac{14\times12}{2}=\Delta ABC=\frac{4\times\left(14+AB+AC\right)}{2}$,
故
$AB+AC=28$.
設 $AB=x$，則 $AC=28-x$，那麼由畢氏定理可知
$\sqrt{x^2-144}+\sqrt{\left(28-x\right)^2-144}=14$.
移項後取平方可得
$784-56x+x^2-144=196-28\sqrt{x^2-144}+x^2-144$.
整理有 $28\sqrt{x^2-144}=56x-588$。約去 $28$ 有 $\sqrt{x^2-144}=2x-21$，如此取平方可得
$x^2-144=4x^2-84x+441$,
即 $3x^2-84x+585=0$，約去 $3$ 得 $x^2-28x+195=0$，如此解得 $x=13$ 或 $x=15$。因此當 $AB=13$ 時有 $AC=15$，而當 $AB=15$ 時有 $AC=13$。