幾何明珠 第九章 阿波羅尼奧斯定理 練習與思考 詳解

1. $m_1$、$m_2$、$m_3$ 分別表示 $\Delta ABC$ 的三條中線長，$a$、$b$、$c$ 為其三邊的長，求證：

   $\displaystyle m_1^2+m_2^2+m_3^2=\frac{3}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)$.

解法
由阿波羅尼奧斯定理注意到
$\begin{aligned} &m_1^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4},\\&m_2^2=\frac{2c^2+2a^2-b^2}{4},\\&m_3^2=\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}.\end{aligned}$
三式相加即得證。


2. 已知任意四邊形 $ABCD$ 兩對角線 $AC$、$BD$ 的中點分別是 $E$、$F$，求證：

   $AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2+4EF^2$.

解法
若 $E$ 與 $F$ 重合可知 $ABCD$ 為平行四邊形，那麼按平行四邊形定理即可；因此僅需考慮 $E$ 與 $F$ 不重合的情形。連 $ED$ 與 $BE$，注意到 $EF$ 為 $\Delta BED$ 的中線，從而由阿波羅尼奧斯定理有
$\displaystyle EF^2=\frac{2BE^2+2DE^2-BD^2}{4}$.
再者 $BE$ 與 $DE$ 分別為 $\Delta ABC$ 與 $\Delta ADC$ 的中線，再次使用阿波羅尼奧斯定理有
$\begin{aligned} &BE^2=\frac{2AB^2+2BC^2-AC^2}{4},\\&DE^2=\frac{2CD^2+2DA^2-AC^2}{4}.\end{aligned}$
將前述三式組織計算可知
$\displaystyle4EF^2=2BE^2+2DE^2-BD^2=\left(AB^2+BC^2-\frac{AC^2}{2}\right)+\left(CD^2+DA^2-\frac{AC^2}{2}\right)-BD^2$.
移項即得證。