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2018年8月21日 星期二

幾何明珠 第二十五章 帕普斯定理與帕斯卡定理 練習與思考 詳解

  1. ACE 是一條直線上的三個點,BDF 是另一條直線上的三個點,如果直線 ABCD 分別平行於 DEFA,求證:EF 平行於 BC
  2. 解法一由於 ABDF 平行、CDFA 平行,可視為這兩組直線相交於無窮遠點,那麼由帕普斯定理可知 EFBC 的交點為無窮遠點,即此兩直線平行,證明完畢。
    解法二假若直線 ACE 與直線 BDF 交於一點 K,由平行線段成比例可設

    AEKA=BDKB=m,

    以及

    ACKA=FDKF=n.

    那麼有

    AE=mKA, BD=mKB, AC=nKA, FD=nKF.

    如此可得

    CE=AEAC=(mn)KA=mnn+1KC,

    以及

    BF=BDFD=mKBnKF=mKBn(KB+BF),

    BF=mnn+1KB.

    因此有

    KCCE=n+1mn=KBBF.

    此即 EFBC 平行。

  3. ABDEMN 六點使直線 AEDMNB 共點,並且使直線 AMDBNE 共點,則關於 ABDEMN 有什麼結論?
  4. 解法ABDEMN 也會共點。設 AEDMNB 的交點為 CAMDBNE 的交點為 F,而 ABDE 的交點為 L。此時可以注意到 ACE 共線且 BDF 共線,並且 ABDE 於 LCDFAMEFBCN,根據帕普斯定理可知 LMN 三點共線。

  5. 圓內接四邊形 ABCD 的對邊都不平行,求證:在 AC 兩點的切線的交點落在 ABCDBCDA 交點的連線上。
  6. 解法將圓內接四邊形 ABCD 視為圓內接六邊形 AABCCD,且設直線 AACC 的交點為 LABCD 的交點為 MBCDA 的交點為 N,那麼根據帕斯卡定理可知 LMN 三點共線。再者直線 AA 與直線 CC 即為圓在 AC 處的切線,故 LMN 三點共線等價於所證的命題,證明完畢。

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