幾何明珠 第二十五章 帕普斯定理與帕斯卡定理 練習與思考 詳解

1. 設 $A$、$C$、$E$ 是一條直線上的三個點，$B$、$D$、$F$ 是另一條直線上的三個點，如果直線 $AB$ 和 $CD$ 分別平行於 $DE$ 和 $FA$，求證：$EF$ 平行於 $BC$。
解法一
由於 $AB$ 與 $DF$ 平行、$CD$ 與 $FA$ 平行，可視為這兩組直線相交於無窮遠點，那麼由帕普斯定理可知 $EF$ 與 $BC$ 的交點為無窮遠點，即此兩直線平行，證明完畢。
解法二
假若直線 $ACE$ 與直線 $BDF$ 交於一點 $K$，由平行線段成比例可設
$\displaystyle\frac{AE}{KA}=\frac{BD}{KB}=m$,
以及
$\displaystyle\frac{AC}{KA}=\frac{FD}{KF}=n$.
那麼有
$AE=m\cdot KA,~BD=m\cdot KB,~AC=n\cdot KA,~FD=n\cdot KF$.
如此可得
$\displaystyle CE=AE-AC=(m-n)KA=\frac{m-n}{n+1}KC$,
以及
$BF=BD-FD=m\cdot KB-n\cdot KF=m\cdot KB-n(KB+BF)$,
即
$\displaystyle BF=\frac{m-n}{n+1}KB$.
因此有
$\displaystyle\frac{KC}{CE}=\frac{n+1}{m-n}=\frac{KB}{BF}$.
此即 $EF$ 與 $BC$ 平行。


2. 若 $A$、$B$、$D$、$E$、$M$、$N$ 六點使直線 $AE$、$DM$、$NB$ 共點，並且使直線 $AM$、$DB$、$NE$ 共點，則關於 $AB$、$DE$、$MN$ 有什麼結論？
解法
$AB$、$DE$、$MN$ 也會共點。設 $AE$、$DM$、$NB$ 的交點為 $C$，$AM$、$DB$、$NE$ 的交點為 $F$，而 $AB$、$DE$ 的交點為 $L$。此時可以注意到 $ACE$ 共線且 $BDF$ 共線，並且 $AB$ 交 $DE$ 於 L$、$CD$ 交 $FA$ 於 $M$、$EF$ 交 $BC$ 於 N$，根據帕普斯定理可知 $L$、$M$、$N$ 三點共線。


3. 圓內接四邊形 $ABCD$ 的對邊都不平行，求證：在 $A$、$C$ 兩點的切線的交點落在 $AB$ 和 $CD$ 和 $BC$ 與 $DA$ 交點的連線上。
解法
將圓內接四邊形 $ABCD$ 視為圓內接六邊形 $AABCCD$，且設直線 $AA$ 與 $CC$ 的交點為 $L$、$AB$ 與 $CD$ 的交點為 $M$、$BC$ 與 $DA$ 的交點為 $N$，那麼根據帕斯卡定理可知 $L$、$M$、$N$ 三點共線。再者直線 $AA$ 與直線 $CC$ 即為圓在 $A$ 與 $C$ 處的切線，故 $L$、$M$、$N$ 三點共線等價於所證的命題，證明完畢。