- 設 A、C、E 是一條直線上的三個點,B、D、F 是另一條直線上的三個點,如果直線 AB 和 CD 分別平行於 DE 和 FA,求證:EF 平行於 BC。
- 若 A、B、D、E、M、N 六點使直線 AE、DM、NB 共點,並且使直線 AM、DB、NE 共點,則關於 AB、DE、MN 有什麼結論?
- 圓內接四邊形 ABCD 的對邊都不平行,求證:在 A、C 兩點的切線的交點落在 AB 和 CD 和 BC 與 DA 交點的連線上。
解法一
由於 AB 與 DF 平行、CD 與 FA 平行,可視為這兩組直線相交於無窮遠點,那麼由帕普斯定理可知 EF 與 BC 的交點為無窮遠點,即此兩直線平行,證明完畢。解法二
假若直線 ACE 與直線 BDF 交於一點 K,由平行線段成比例可設AEKA=BDKB=m,
以及ACKA=FDKF=n.
那麼有AE=m⋅KA, BD=m⋅KB, AC=n⋅KA, FD=n⋅KF.
如此可得CE=AE−AC=(m−n)KA=m−nn+1KC,
以及BF=BD−FD=m⋅KB−n⋅KF=m⋅KB−n(KB+BF),
即BF=m−nn+1KB.
因此有KCCE=n+1m−n=KBBF.
此即 EF 與 BC 平行。
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