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2019年5月31日 星期五

國立清華大學九十二學年度轉學生入學考試(化學工程學系)試題詳解

九十二學年度 化學工程學系 系轉學生招生考試

科目  微積分  科號 0063  2 頁第 1  *在試卷【答案卷】內作答

  1. 填充題(共六題,每題 8 分,請將答案依甲、乙、丙……次序作答,不需演算過程)
    1. The Fibonacci sequence {an}n=1 is defined as a1=1, a2=2, an+1=an+an1 for n2.
      Then limnan+1an=  甲  .
    2. 訣竅可以先解出 Fibonacci 數列的一般項後直接計算其極限;亦可將 an+1an 視為新數列,證明該數列遞增有上界,從而利用單調有界定理確定極限存在,進而運用原關係式求出該極限值。
      解法一

      遞迴式所對應的特徵方程為 k2=k+1,如此可解得 k=1±52,因此 an 的通解如下

      an=A(1+52)n+B(152)n,

      其中 AB 為與 n 無關的常數。由於 a1=1a2=2,因此有

      {A+B+5(AB)=2,3(A+B)+5(AB)=4.

      相減有 A+B=1,而第一式乘以 3 減去第二式可得 5(AB)=1,故可解得

      A=5+510,B=5510.

      故可知

      an=5+510(1+52)n+5510(152)n.

      容易由數學歸納法確定此為該遞迴數列的解並滿足前兩項初始條件。

      方便起見,我們記 k1=1+52k2=152,如此解可表達為 an=Akn1+Bkn2,那麼所求的極限可計算如下

      limnan+1an=limnAkn+11+Bkn+22Akn1+Bkn2=limnk1+Bkn+22Akn+111+Bkn2Akn1=k1=1+52.

      【註】 不過即便不計算出 AB 也可以直接計算該極限式,也可以容易注意到只要 A0,該極限必然為 k1;若 A=0B0,則極限則為 k2

      解法二

      設數列 bn=an+1an,那麼有關係式

      bn=1+1bn1for n2.

      首先我們證明奇數項遞減,偶數項遞增,也就是證明對於所有正整數 n 恆有 b2n+1<b2n1 以及 b2n+2>b2n。容易檢查到 n=1 時有

      b3=a4a3=53<21=a2a1=b1,b4=a5a4=85>32=a3a2=b2.

      因此命題對於 n=1 成立。現設 n=k 時有不等式 b2k+1<b2k1 以及 b2k+2>b2k,亦即有

      a2k+2a2k1<a2k+1a2k,a2k+3a2k>a2k+2a2k+1.

      對於第一個不等式,兩邊同時加上 a2k+2a2k,那麼有

      a2k+2a2k+1=a2k+2a2k1+a2k+2a2k<a2k+1a2k+a2k+2a2k=a2k+3a2k,

      接著再加上 a2k+3a2k+1 則有

      a2k+4a2k+1=a2k+2a2k+1+a2k+3a2k+1<a2k+3a2k+a2k+3a2k+1=a2k+3a2k+2.

      移項可得 b2k+3<b2k+1。類似地,對於第二個不等式依序加上 a2k+3a2k+1 以及 a2k+4a2k+2 可得 b2k+4>b2k+2,如此由數學歸納法可知要證明的兩個不等式對所有正整數 n 恆成立。進一步,由於奇數項與偶數項數列交錯,故互為上下界,因此由單調有界定理可知奇偶項所對應的數列分別都收斂。再者,由關係式可以知道奇偶項所收斂到的極限是同一個。

      由於 limnan+1an 存在,記此極限值為 r,那麼 limnan1an=1r,故將遞迴式同除以 an 後取極限可得

      r=1+1r,

      此即 r2r1=0,故得 r=1±52。又可以知道 an+1an,故極限值 r1,因此 r=1+52


    3. Evaluate 0ex2dx=  乙  .
    4. 訣竅此為經典的瑕積分,可以直接記得此瑕積分之結果。
      解法

      首先我們先證明此瑕積分存在,容易注意到當 x1 時有 x2x,因此非負函數的瑕積分有如下的估計

      1ex2dx1exdx=ex|1=1.

      另一方面 10ex2dx 為連續函數的定積分,故此值存在,因此瑕積分 0ex2dx 存在。

      由於該瑕積分存在,記此值為 I,那麼有

      I2=(0ex2dx)(0ey2dy)=00ex2y2dxdy.

      運用極座標變換 x=rcosθy=rsinθ,參數的範圍為 0r0θπ/2,因此

      I2=π/200er2rdrdθ=π2er22|0=π4.

      因此所求為 I=π2


    5. Consider the arc y=4x2, 1x1. Let S be the area of the surface obtained by rotatin this arc about the x-axis. Then S=  丙  .
    6. 訣竅運用旋轉體表面積的公式求解即可。
      解法運用旋轉體表面積可知

      S=x=1x=12πyds=112π4x21+(ddx4x2)2dx=2π114x21+x24x2dx=2π112dx=8π.


    7. Let I be the interval of convergence of the series

      n=1(1+12+13++1n)(1x)n.

      Then I=  丁  . (Note. Check the end points for convergence.)
    8. 訣竅運用比值審歛法確定收斂半徑,再確定端點。
      解法運用比值審歛法可知

      R=limnanan+1=limn1+12++1n1+12++1n+1n+1=limn(11n+11+12++1n+1n+1)=1.

      因此可以確定級數在 (0,2) 上絕對收斂。現在檢查端點如下
      • x=0 時,級數寫為 n=1(1+12+13++1n),其一般項發散,因此級數不收斂。
      • x=2 時,級數寫為 n=1(1)n(1+12+13++1n),同樣由一般項發散可知此級數不收斂。
      因此綜合可知收斂區間為 I=(0,2)

    9. Let m be the absolute minimum value of

      f(x,y)=2+2x+2yx2y2

      on the closed triangular region in the first quadrant bounded by the lines x=0, y=0, y=9x. Then m=  戊  .
    10. 訣竅利用配方法後觀察其幾何意義即可求解;亦可在內部使用偏微求極值,而在邊界則進行參數化改為單變數極值問題。
      解法一f 配方可得

      f(x,y)=(x1)2(y1)2+4=4[(x1)2+(y1)]2,

      其中第二項代表的意義為座標 (x,y)(1,1) 的距離的平方。要使整個函數值盡可能的小就是要取出盡可能距離點 (1,1) 最遠的座標,容易從幾何圖形中觀察出取 (x,y)=(9,0)(0,9) 能滿足所求,此時有絕對最小值 f(9,0)=f(0,9)=61
      解法二

      在內部區域時,解下列聯立方程組

      {fx(x,y)=22x=0,fy(x,y)=22y=0.

      可解得 (x,y)=(1,1)。再者計算其二階偏導函數值可得 fxx=2=fyyfxy=fyx=0,因此該點為極大點。

      在邊界上,我們分為三個部分,分別為 Γ1:{x=0,y=t.Γ2:{x=t,y=9t.Γ3:{x=9t,y=0.,其中 0t9。可以發現 f 分別在 Γ1Γ2Γ3 的函數值如下

      f(0,t)=3(t1)2,f(t,9t)=61+18t2t2=2(t92)2412,f(9t,0)=3(t8)2.

      各段上的最小值皆為 61,其中等號成立條件分別為 t=9t=0t=9t=0,故能發生最小值的座標為 (9,0)(0,9)


    11. Let L be the length of the arc

      x=cos3t,y=sin3tfor 0tπ2.

      Then L=  己  .
    12. 訣竅利用曲線弧長的公式求解即可。
      解法運用曲線弧長的公式求解如下

      L=π/20(dxdt)2+(dydt)2dt=π/20(3cos2tsint)2+(3sin2tcost)2dt=3π/20cos4tsin2t+sin4tcos2tdt=3π/20costsintdt=3sin2t2|π/20=32.

  2. 計算與證明題(必須寫出演算證明過程)
    1. (11\%) Prove that the function f(x)=(1+x)1/x is strictly decreasing on the interval (0,).
    2. 訣竅微分後確認導函數值為負即可,在進行微分的計算前可使用換底公式 ab=eblna 再使用連鎖律處理。
      解法首先將函數 f 改寫如下

      f(x)=exp(ln(1+x)x)

      那麼運用連鎖律等微分公式計算其導函數可得

      f(x)=exp(ln(1+x)x)(1x(x+1)ln(1+x)x2)=(1+x)1/xx2(xx+1ln(1+x))

      g(x)=xx+1ln(1+x),可知 limx0+g(x)=0。再者計算 g 的導函數可知當 x>0 時有

      g(x)=1x+1x(x+1)21x+1=x(x+1)2<0.

      這表明函數 g 嚴格遞減,亦即對 x(0,)g(x)<g(0)=0。進而可知 f(x)<0,最終我們說明了函數 f 也遞減,證明完畢。

    3. (11\%) Use the Maclaurin series for ex to estimate

      π/20ex2dx

      with an error less than 102.
    4. 訣竅運用交錯級數的誤差估計來求解即可。
      解法自然指數的 Maclaurin 級數如下

      et=1+t+t22+t36+=k=0tkk!

      t=x2,那麼有

      ex2=1x2+x42x66+=k=0(1)kx2kk!

      兩邊在 [0,π2] 上同取定積分可得

      π20ex2dx=π20k=0(1)kx2kk!=k=0(1)kk!π20x2kdx=k=0(1)kπ2k+122k+1k!(2k+1)=π2π324+π6320+.

      由於該交錯級數在 k 夠大時明顯會遞減,因此可由交錯級數的誤差估計來估計其值。為了確定誤差不超過 102,我們考慮不等式

      π2k+122k+1k!(2k+1)<0.01

      但由於 π 的精確值不易使用,故由 π<4 來加強不等式

      22k+1k!(2k+1)<0.01

      此等價於

      4kk!(2k+1)<1200

      容易檢查左式的值如下

      k012345678910114kk!(2k+1)14385322132271281652565851024472551253552048538654096297675163843586275

      由於當 k=11 時已小於 1200,故 10k=0(1)kπ2k+122k+1k!(2k+1) 之值可用以估計 π20ex2dx,其誤差不超過 102

      註:

      • 我很懷疑這個題目是希望測驗這樣的估算技巧,我推測命題當初應該是希望估算定積分 10ex2dx 的近似值。那麼這樣的估算過程將會變得相當容易,讀者可以直接透過類似的過程建表求解。
      • 事實上由計算機可知其近似值為 π20ex2dx0.86290048015025,而計算到第七項時便有

        7k=0(1)kπ2k+122k+1k!(2k+1)0.86038172

        這是因為我們在前述估算時使用 π<4 導致估算太強,而使得項數必須增加。如果使用 π 來進行估算可以發現當 k=7 時有

        π152157!150.011568>0.01

        k=8 時便有

        π172178!170.0031482<0.01

        故取前七項便能有滿足題意的近似值。


    5. (5\%) (a) Sketch the graph of the solid D bounded by the surfaces

      z=x2+3y2 and z=8x2y2.

      (10\%) (b) Find the volume of the solid D.
    6. 訣竅藉由簡單觀察兩種曲面的趨勢繪圖即可(凹口向上/向下);藉由找出共同的交會區域作為底面,藉由上曲面扣去下曲面代表高,如此使用底面積乘以高作為體積的思維列式計算即可。
      解法
      1. 根據兩曲面的特色可以繪圖如下
      2. 兩曲面的相交處投影在 xy 平面上為

        x2+3y2=8x2y2.

        整理可得 x24+y22=1 為橢圓。設 K={(x,y)R2:x2+2y24},那麼所求的體積可表達如下

        V=K[(8x2y2)(x2+3y2)]dA=2K(4x22y2)dA.

        運用極座標變換 x=2rcosθy=2rsinθ,其中 0r10θ2π,如此所求可以計算如下

        V=82π010(1r2)22rdrdθ=1622π(r22r44)|10=82π.


    7. (15\%) Apply the method of Lagrange multipliers to find the point p which minimizes

      x2+y2+z2

      subject to the constraints x+2y+3z=6 and x+3y+9z=9. (Note. You sould use the method of Lagrange multipliers only to get scores.)
    8. 訣竅運用 Lagrange 乘子法來求條件極值即可;亦可充分運用題目所給定的條件所代表的幾何意義來求解。
      解法一設 Lagrange 乘子函數如下

      F(x,y,z,λ1,λ2)=x2+y2+z2+λ1(x+2y+3z6)+λ2(x+3y+9z9).

      據此解下列聯立方程組

      {Fx(x,y,z,λ1,λ2)=2x+λ1+λ2=0,Fy(x,y,z,λ1,λ2)=2y+2λ1+3λ2=0,Fz(x,y,z,λ1,λ2)=2z+3λ1+9λ2=0,Fλ1(x,y,z,λ1,λ2)=x+2y+3z6=0,Fλ2(x,y,z,λ1,λ2)=x+3y+9z9=0.

      為了使用第四條方程,我們將第一式加上第二式的兩倍再加上第三式的三倍可得

      2x+4y+6z+14λ1+34λ2=0.

      運用第四式可得 7λ1+17λ2=6。類似地,為了使用第五式,我們將第一式加上第二式的三倍再加上第三式的九倍得到

      2x+6y+18z+34λ1+91λ2=0.

      運用第五式可得 34λ1+91λ2=18。如此解下列聯立

      {7λ1+17λ2=6,34λ1+91λ2=18.

      可得 λ1=24059λ2=7859。因此 x=8159y=12359z=959,故 x2+y2+z2 的極小值發生在 (8159,12359,959),其值為 36959
      解法二【本次測驗無法使用這個方法】由於兩限制條件為空間中的兩平面,因此限制條件表示出空間中的一直線,聯立解得該直線的參數式如下

      {x=9t,y=36t,z=t.tR,

      x2+y2+z2 可寫為 t 的函數如下

      x2+y2+z2=(9t)2+(36t)2+t2=118t236t+9=118(t959)2+36959

      故當 t=959 時有最小值 36959,此時的座標為 (8159,12359,959)

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