2019年6月27日 星期四

國立清華大學九十年學年度轉學生入學考試(化學工程學系)試題詳解

九十學年度 化學工程學系 系轉學生招生考試

科目 微積分  科號 063  1 頁第 1 頁 *請在試卷【答案卷】內作答
  1. 填充題(共五題,每題八分,請將答案依甲、乙、丙…次序作答,不需演算過程)
    1. Let f(x)=x1t13dt, x[1,5]. Which of the following is true? Ans.  甲 .

      a. f(1)>0 b. f(5)<0 c. f(2)>f(4) d. f(2)<f(4)

    2. 訣竅計算出 f 後直接核驗選項即可。
      解法直接計算可知

      f(x)=34(x431).

      那麼可知 f(1)=0f(5)=34(5431)>0 以及

      f(4)=34(4431)>34(2431)=f(2).

      故選 d.。事實上可以看出 f 是遞增函數,並且 f(1)=0。由此也不難選出 d.。

    3. Determine the convergence or divergence of the series k=14k13k. Ans.  乙 .
    4. 訣竅藉由發散審歛法檢驗即可。
      解法直接計算一般項的極限可以知道 limk4k13k=,故該級數發散。

    5. Evaluate the integral π30dx1sinx. Ans.  丙 .
    6. 訣竅運用正切半角代換處理之;亦可藉由適當的改寫被積分函數來處理之。
      解法一t=tan(x/2),那麼有
      • x=0 時有 t=0
      • x=π/3 時有 t=3/3
      • 整理可知 x=2tan1t,因此 sinx=2sinx2cosx2=2t1+t2,求導則有 dx=21+t2dt
      如此所求的定積分可改寫並計算如下

      π/30dx1sinx=3/30112t1+t221+t2dt=3/302t22t+1dt=3/302(t1)2dt=2t1|3/30=21332=1+3.

      解法二直接改寫被積分函數並計算如下

      π/30dx1sinx=π/301+sinxcos2xdx=π/30(sec2x+sinxcos2x)dx=(tanx+1cosx)|π/30=1+3.


    7. Evaluate the integral 101xxe2y3dydx. Ans.  丁 .
    8. 訣竅由於直接積分不可行,所以交換積分次序處理之。
      解法原積分區域為 0x1xy1 可改寫為 0xy0y1,那麼所求的重積分可改寫並計算如下

      101xxe2y3dydx=10y0xe2y3dxdy=10x22e2y3|y0dy=1210y2e2y3dy=11210e2y3d(2y3)=e2y312|10=e2112.


    9. Find the area of the top half of the region inside the cardioid r=1+cosθ and outside the circle r=cosθ. Ans.  戊 .
    10. 訣竅繪出示意圖後注意到應計算心臟線上半的面積扣去上半圓的面積,其中前可運用極座標求面積公式來計算之。
      解法繪圖如下
      先運用極座標面積公式計算上半心臟線的面積如下

      A=12π0(1+cosθ)2dθ=12π0(1+2cosθ+cos2θ)dθ=14π0(3+4cosθ+cos2θ)dθ=14(3θ+4sinθ+sin2θ2)|π0=3π4.

      因此所求面積為 3π4π8=5π8
  2. 計算與證明題(每題十二分,必須寫出演算證明過程)
    1. Let f be a C1 function on R. Verify that z=f(x3y2) satisfies the equation 2yzx+3x2zy=0.
    2. 訣竅運用多變函數的連鎖律計算之。
      解法直接運用連鎖律計算 zx 以及對 y 的偏微分可知

      zx=f(x3y2)3x2,zy=f(x3y2)(2y).

      如此可知

      2yzx+3x2zy=2y3x2f(x3y2)+3x2[2yf(x3y2)]=0.


    3. Let f be a continuous real-valued function defined on R. Using integration by parts, prove

      x0(t0f(z)dz)dt=x0f(t)(xt)dt.

    4. 訣竅根據提示運用分部積分法,為了清楚使用此法,可運用記號定義新函數來表示。
      解法F(t)=t0f(z)dz,那麼由微積分基本定理可知 F(t)=f(t)。據此由分部積分法可知

      x0(t0f(z)dz)dt=x0F(t)dt=tF(t)|t=xt=0x0tF(t)dt=xx0f(z)dzx0tf(t)dt=xx0f(t)dtx0tf(t)dt=x0f(t)(xt)dt,

      其中 x0f(z)dz=x0f(t)dt 係根據啞變數變換。

    5. Let {an}n=1 be a sequence with nonnegative terms. Suppose that n=1a2n converges. Does n=1ann converge? Prove or disprove it.
    6. 訣竅運用算術幾何不等式以及比較審歛法和已知的收斂級數求證之。
      解法答案是肯定的,級數 n=1ann 收斂。證明如下:首先注意到不等式

      anna2n2+12n2.

      那麼取和可知

      n=1ann12n=1a2n+12n=11n2<,

      其中利用到了題目已知的條件和 p 級數在 p=2 時收斂。

    7. Find Dy2dA, where D is the region bounded by the lines x2y=2, x2y=5, 2x+3y=1 and 2x+3y=3.
    8. 訣竅注意到給定的邊界適合使用變數代換法求解,其中應留意 Jacobian 行列式的計算。
      解法由邊界條件可以注意到使用這樣的變數代換,設 u=x2yv=2x+3y,那麼變數範圍為 2u51v3。再者,容易逆解得 x=3u+2v7y=2uv7,如此 Jacobian 行列式值為

      (x,y)(u,v)=|37272717|=17.

      因此所求的重積分可以改寫並計算如下

      Dy2dA=3152(2uv7)217dudv=13433152(4u24uv+v2)dudv=134331(43u32u2v+uv2)|u=5u=2dv=134331(15642v+3v2)dv=1343(156v21v2+v3)|31=170343.


    9. Evaluate the line integral

      C(y+ex)dx+(x3+siny)dy,

      where the curve C={(x,y)|x2+y2=1} is traversed counterclockwise.
    10. 訣竅運用 Green 定理求解即可;亦可參數化計算之。
      解法一C 所包圍的區域為 D={(x,y)R2:x2+y21},那麼由 Green 定理計算該線積分如下

      C(y+ex)dx+(x3+siny)dy=D[x(x3+siny)y(y+ex)]dA=D(3x2+1)dA.

      運用極座標變換,令 x=rcosθy=rsinθ,其中變數範圍為 0r10θ2π。如此該線積分能夠化為如下並計算

      C(y+ex)dx+(x3+siny)dy=2π010(3r2cos2θ+1)rdrdθ=2π0(3r441+cos2θ2+r22)|10dθ=182π0(7+3cos2θ)dθ=18(7θ+32sin2θ)|2π0=7π4.

      解法二將曲線 C 參數化為 x=cosθy=sinθ,其中 0θ2π,那麼線積分可表達並計算如下

      C(y+ex)dx+(x3+siny)dy=2π0[(sinθ+ecosθ)sinθ+(cos3θ+sin(sinθ))cosθ]dθ=2π0(sin2θ+cos4θ)dθ+ecosθcos(sinθ)|2π0=2π0[1cos2θ2+(1+cos2θ2)2]dθ=142π0(3+cos22θ)dθ=182π0(7+cos4θ)dθ=18(7θ+sin4θ4)|2π0=7π4.

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