九十學年度 化學工程學系 系轉學生招生考試
科目 微積分 科號 063 共 1 頁第 1 頁 *請在試卷【答案卷】內作答- 填充題(共五題,每題八分,請將答案依甲、乙、丙…次序作答,不需演算過程)
- Let f(x)=∫x1t13dt, x∈[1,5]. Which of the following is true? Ans. 甲 .
a. f(1)>0 b. f(5)<0 c. f(2)>f(4) d. f(2)<f(4)
- Determine the convergence or divergence of the series ∞∑k=14k1−3k. Ans. 乙 .
- Evaluate the integral ∫π30dx1−sinx. Ans. 丙 .
- 當 x=0 時有 t=0;
- 當 x=π/3 時有 t=√3/3;
- 整理可知 x=2tan−1t,因此 sinx=2sinx2cosx2=2t1+t2,求導則有 dx=21+t2dt。
- Evaluate the integral ∫10∫1xxe2y3dydx. Ans. 丁 .
- Find the area of the top half of the region inside the cardioid r=1+cosθ and outside the circle r=cosθ. Ans. 戊 .
- 計算與證明題(每題十二分,必須寫出演算證明過程)
- Let f be a C1 function on R. Verify that z=f(x3−y2) satisfies the equation 2y∂z∂x+3x2∂z∂y=0.
- Let f be a continuous real-valued function defined on R. Using integration by parts, prove
∫x0(∫t0f(z)dz)dt=∫x0f(t)(x−t)dt.
- Let {an}∞n=1 be a sequence with nonnegative terms. Suppose that ∞∑n=1a2n converges. Does ∞∑n=1ann converge? Prove or disprove it.
- Find ∫Dy2dA, where D is the region bounded by the lines x−2y=2, x−2y=5, 2x+3y=1 and 2x+3y=3.
- Evaluate the line integral
∫C(−y+ex)dx+(x3+siny)dy,
where the curve C={(x,y)|x2+y2=1} is traversed counterclockwise.
訣竅
計算出 f 後直接核驗選項即可。解法
直接計算可知f(x)=34(x43−1).
那麼可知 f(1)=0、f(5)=34(543−1)>0 以及f(4)=34(443−1)>34(243−1)=f(2).
故選 d.。事實上可以看出 f 是遞增函數,並且 f(1)=0。由此也不難選出 d.。訣竅
藉由發散審歛法檢驗即可。解法
直接計算一般項的極限可以知道 limk→∞4k1−3k=−∞,故該級數發散。訣竅
運用正切半角代換處理之;亦可藉由適當的改寫被積分函數來處理之。解法一
設 t=tan(x/2),那麼有∫π/30dx1−sinx=∫√3/3011−2t1+t2⋅21+t2dt=∫√3/302t2−2t+1dt=∫√3/302(t−1)2dt=−2t−1|√3/30=21−√33−2=1+√3.
解法二
直接改寫被積分函數並計算如下∫π/30dx1−sinx=∫π/301+sinxcos2xdx=∫π/30(sec2x+sinxcos2x)dx=(tanx+1cosx)|π/30=1+√3.
訣竅
由於直接積分不可行,所以交換積分次序處理之。解法
原積分區域為 0≤x≤1、x≤y≤1 可改寫為 0≤x≤y、0≤y≤1,那麼所求的重積分可改寫並計算如下∫10∫1xxe2y3dydx=∫10∫y0xe2y3dxdy=∫10x22e2y3|y0dy=12∫10y2e2y3dy=112∫10e2y3d(2y3)=e2y312|10=e2−112.
訣竅
繪出示意圖後注意到應計算心臟線上半的面積扣去上半圓的面積,其中前可運用極座標求面積公式來計算之。訣竅
運用多變函數的連鎖律計算之。解法
直接運用連鎖律計算 z 對 x 以及對 y 的偏微分可知∂z∂x=f′(x3−y2)⋅3x2,∂z∂y=f′(x3−y2)⋅(−2y).
如此可知2y∂z∂x+3x2∂z∂y=2y⋅3x2f′(x3−y2)+3x2⋅[−2yf′(x3−y2)]=0.
訣竅
根據提示運用分部積分法,為了清楚使用此法,可運用記號定義新函數來表示。解法
設 F(t)=∫t0f(z)dz,那麼由微積分基本定理可知 F′(t)=f(t)。據此由分部積分法可知∫x0(∫t0f(z)dz)dt=∫x0F(t)dt=tF(t)|t=xt=0−∫x0tF′(t)dt=x∫x0f(z)dz−∫x0tf(t)dt=x∫x0f(t)dt−∫x0tf(t)dt=∫x0f(t)(x−t)dt,
其中 ∫x0f(z)dz=∫x0f(t)dt 係根據啞變數變換。訣竅
運用算術幾何不等式以及比較審歛法和已知的收斂級數求證之。解法
答案是肯定的,級數 ∞∑n=1ann 收斂。證明如下:首先注意到不等式ann≤a2n2+12n2.
那麼取和可知∞∑n=1ann≤12∞∑n=1a2n+12∞∑n=11n2<∞,
其中利用到了題目已知的條件和 p 級數在 p=2 時收斂。訣竅
注意到給定的邊界適合使用變數代換法求解,其中應留意 Jacobian 行列式的計算。解法
由邊界條件可以注意到使用這樣的變數代換,設 u=x−2y、v=2x+3y,那麼變數範圍為 2≤u≤5、1≤v≤3。再者,容易逆解得 x=3u+2v7、y=−2u−v7,如此 Jacobian 行列式值為∂(x,y)∂(u,v)=|3727−2717|=17.
因此所求的重積分可以改寫並計算如下∫Dy2dA=∫31∫52(−2u−v7)2⋅17dudv=1343∫31∫52(4u2−4uv+v2)dudv=1343∫31(43u3−2u2v+uv2)|u=5u=2dv=1343∫31(156−42v+3v2)dv=1343(156v−21v2+v3)|31=170343.
訣竅
運用 Green 定理求解即可;亦可參數化計算之。解法一
設 C 所包圍的區域為 D={(x,y)∈R2:x2+y2≤1},那麼由 Green 定理計算該線積分如下∫C(−y+ex)dx+(x3+siny)dy=∬D[∂∂x(x3+siny)−∂∂y(−y+ex)]dA=∬D(3x2+1)dA.
運用極座標變換,令 x=rcosθ、y=rsinθ,其中變數範圍為 0≤r≤1、0≤θ≤2π。如此該線積分能夠化為如下並計算∫C(−y+ex)dx+(x3+siny)dy=∫2π0∫10(3r2cos2θ+1)rdrdθ=∫2π0(3r441+cos2θ2+r22)|10dθ=18∫2π0(7+3cos2θ)dθ=18(7θ+32sin2θ)|2π0=7π4.
解法二
將曲線 C 參數化為 x=cosθ、y=sinθ,其中 0≤θ≤2π,那麼線積分可表達並計算如下∫C(−y+ex)dx+(x3+siny)dy=∫2π0[(−sinθ+ecosθ)⋅−sinθ+(cos3θ+sin(sinθ))cosθ]dθ=∫2π0(sin2θ+cos4θ)dθ+ecosθ−cos(sinθ)|2π0=∫2π0[1−cos2θ2+(1+cos2θ2)2]dθ=14∫2π0(3+cos22θ)dθ=18∫2π0(7+cos4θ)dθ=18(7θ+sin4θ4)|2π0=7π4.
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