國立清華大學九十年學年度轉學生入學考試(八系聯招)試題詳解

九十學年度　八系聯招　系轉學生招生考試

科目　微積分　　科號　003　共　1　頁第　1　頁　＊請在試卷【答案卷】內作答

1. 填充題（共五題，每題八分，請將答案依甲、乙、丙…次序作答，不需演算過程）
1. Let $\displaystyle f\left(x\right)=\int_1^xt^{\frac13}dt$, $x\in\left[1,5\right]$. Which of the following is true? Ans. 　甲　.

   a. $f\left(1\right)>0$　b. $f\left(5\right)<0$　c. $f\left(2\right)>f\left(4\right)$　d. $f\left(2\right)<f\left(4\right)$

訣竅
計算出 $f$ 後直接核驗選項即可。
解法
直接計算可知
$\displaystyle f\left(x\right)=\frac34\left(x^{\frac43}-1\right).$
那麼可知 $f\left(1\right)=0$、$\displaystyle f\left(5\right)=\frac34\left(5^{\frac43}-1\right)>0$ 以及
$\displaystyle f\left(4\right)=\frac34\left(4^{\frac43}-1\right)>\frac34\left(2^{\frac43}-1\right)=f\left(2\right)$
故選d.。事實上可以看出 $f$ 是遞增函數，並且 $f\left(1\right)=0$。由此也不難選出d.。


2. Let $a_1\geq a_2\geq\cdots\geq a_{10}>0$ . Find $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(a_1^n+\cdots+a_{10}^n\right)^{1/n}$. Ans. 　乙　.
訣竅
分子分母同除以最大的量，如此其餘項小於 $1$，那麼當 $n$ 趨於無窮時其餘項會趨於零。
解法

將極限式改寫如下

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(a_1^n+a_2^n+\cdots+a_{10}^n\right)^{1/n}=a_1\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{a_2}{a_1}+\cdots+\frac{a_{10}}{a_1}\right)^{1/n}=a_1\left(1+0+\cdots+0\right)^0=a_1.$



3. Evaluate the integral $\displaystyle\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi3}\frac{\ln\left(\tan x\right)}{\sin x\cos x}dx$. Ans. 　丙　.
訣竅
藉由適當的改寫被積分函數來處理之。
解法

首先分子分母同乘以 $\cos x$ 並利用下列兩個三角函數恆等式：

$\displaystyle\frac{\cos x}{\sin x}=\frac1{\tan x},\quad\frac1{\cos^2x}=\sec^2x.$

可將所求的定積分改寫並計算如下

$\begin{aligned}\int_{\pi/4}^{\pi/3}\frac{\ln\left(\tan x\right)}{\sin x\cos x}dx&=\int_{\pi/4}^{\pi/3}\frac{\ln\left(\tan x\right)}{\tan x}\sec^2xdx\\&=\int_{\pi/4}^{\pi/3}\frac{\ln\left(\tan x\right)}{\tan x}d\tan x\\&=\int_{\pi/4}^{\pi/3}\ln\left(\tan x\right)d\ln\left(\tan x\right)\\&=\left.\frac{\ln^2\left(\tan x\right)}2\right|_{\pi/4}^{\pi/3}\\&=\frac{\ln^23}8.\end{aligned}$



4. Evaluate the integral $\displaystyle\int_0^1\int_x^1xe^{2y^3}dydx$. Ans. 　丁　.
訣竅
由於直接積分不可行，所以交換積分次序處理之。
解法

原積分區域為 $0\leq x\leq1$、$x\leq y\leq1$ 可改寫為 $0\leq x\leq y$、$0\leq y\leq1$，那麼所求的重積分可改寫並計算如下

$\begin{aligned}\int_0^1\int_x^1xe^{2y^3}dydx&=\int_0^1\int_0^yxe^{2y^3}dxdy\\&=\int_0^1\left.\frac{x^2}2e^{2y^3}\right|_0^ydy\\&=\frac12\int_0^1y^2e^{2y^3}dy\\&=\frac1{12}\int_0^1e^{2y^3}d(2y^3)\\&=\left.\frac{e^{2y^3}}{12}\right|_0^1\\&=\frac{e^2-1}{12}.\end{aligned}$



5. Find the area of the top half of the region inside the cardioid $r=1+\cos\theta$ and outside the circle $r=\cos\theta$. Ans. 　戊　.
訣竅
繪出示意圖後注意到應計算心臟線上半的面積扣去上半圓的面積，其中前可運用極座標求面積公式來計算之。
解法
繪圖如下

先運用極座標面積公式計算上半心臟線的面積如下
$\displaystyle\begin{aligned}A&=\frac12\int_0^{\pi}\left(1+\cos\theta\right)^2d\theta=\frac12\int_0^\pi\left(1+2\cos\theta+\cos^2\theta\right)d\theta\\&=\frac14\int_0^\pi\left(3+4\cos\theta+\cos2\theta\right)d\theta=\left.\frac14\left(3\theta+4\sin\theta+\frac{\sin2\theta}2\right)\right|_0^\pi=\frac{3\pi}4.\end{aligned}$
因此所求面積為 $\displaystyle\frac{3\pi}4-\frac\pi8=\frac{5\pi}8$。
2. 計算與證明題（每題十二分，必須寫出演算證明過程）
1. Let $f$ be a $C^1$ function on $\mathbb{R}^3$. Show that if $w=f\left(r-s,s-t,t-r\right)$, then $\displaystyle\frac{\partial w}{\partial r}+\frac{\partial w}{\partial s}+\frac{\partial w}{\partial t}=0$.
訣竅
運用多變函數的連鎖律計算之。
解法
直接運用連鎖律計算 $w$ 對 $r$、對 $s$ 以及對 $t$ 的偏微分可知
$\displaystyle\begin{aligned}&\frac{\partial w}{\partial r}=\frac{\partial f}{\partial x}\left(r-s,s-t,t-r\right)\cdot1+\frac{\partial f}{\partial z}\left(r-s,s-t,t-r\right)\cdot\left(-1\right),\\&\frac{\partial w}{\partial s}=\frac{\partial f}{\partial x}\left(r-s,s-t,t-r\right)\cdot\left(-1\right)+\frac{\partial f}{\partial y}\left(r-s,s-t,t-r\right)\cdot1,\\&\frac{\partial w}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial y}\left(r-s,s-t,t-r\right)\cdot\left(-1\right)+\frac{\partial f}{\partial z}\left(r-s,s-t,t-r\right)\cdot1.\end{aligned}$
如此三者相加可直接消去而恆為零，證明完畢。


2. Let $f$ be a continuous real-valued function defined on $\mathbb R$. Using integration by parts, prove

   $\displaystyle\int_0^x\left(\int_0^tf\left(z\right)dz\right)dt=\int_0^xf\left(t\right)\left(x-t\right)dt$.

訣竅
根據提示運用分部積分法，為了清楚使用此法，可運用記號定義新函數來表示。
解法
設 $\displaystyle F\left(t\right)=\int_0^tf\left(z\right)dz$，那麼由微積分基本定理可知 $F'\left(t\right)=f\left(t\right)$。據此由分部積分法可知
$\displaystyle\begin{aligned}\int_0^x\left(\int_0^tf\left(z\right)dz\right)dt&=\int_0^xF\left(t\right)dt\\&=tF\left(t\right)\Big|_{t=0}^{t=x}-\int_0^xtF'\left(t\right)dt\\&=x\int_0^xf\left(z\right)dz-\int_0^xtf\left(t\right)dt\\&=x\int_0^xf\left(t\right)dt-\int_0^xtf\left(t\right)dt\\&=\int_0^xf\left(t\right)\left(x-t\right)dt\end{aligned}$
其中 $\displaystyle\int_0^xf\left(z\right)dz=\int_0^xf\left(t\right)dt$ 係根據啞變數變換。


3. Let $\left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty}$ be a sequence with nonnegative terms. Suppose that $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n^2$ converges. Does $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}n$ converge? Prove or disprove it.
訣竅
運用算術幾何不等式以及比較審歛法和已知的收斂級數求證之。
解法
答案是肯定的，級數 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}n$ 收斂。證明如下：首先注意到不等式
$\displaystyle\frac{a_n}n\leq\frac{a_n^2}2+\frac1{2n^2}.$
那麼取和可知
$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}n\leq\frac12\sum_{n=1}^{\infty}a_n^2+\frac12\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}<\infty,$
其中利用到了題目已知的條件和 $p$ 級數在 $p=2$ 時收斂。


4. Find $\displaystyle\int_Dy^2dA$, where $D$ is the region bounded by the lines $x-2y=2$, $x-2y=5$, $2x+3y=1$ and $2x+3y=3$.
訣竅
注意到給定的邊界適合使用變數代換法求解，其中應留意 Jacobian 行列式的計算。
解法

由邊界條件可以注意到使用這樣的變數代換，設 $u=x-2y$、$v=2x+3y$，那麼變數範圍為 $2\leq u\leq5$、$1\leq v\leq3$。再者，容易逆解得 $\displaystyle x=\frac{3u+2v}7$、$\displaystyle y=-\frac{2u-v}7$，如此 Jacobian 行列式值為

$\displaystyle\frac{\partial\left(x,y\right)}{\partial\left(u,v\right)}=\left|\begin{matrix}\displaystyle\frac37&\displaystyle\frac27\\\displaystyle-\frac27&\displaystyle\frac17\end{matrix}\right|=\frac17.$

因此所求的重積分可以改寫並計算如下

$\displaystyle\begin{aligned}\int_Dy^2dA&=\int_1^3\int_2^5\left(-\frac{2u-v}7\right)^2\cdot\frac17dudv=\frac1{343}\int_1^3\int_2^5\left(4u^2-4uv+v^2\right)dudv\\&=\frac1{343}\int_1^3\left.\left(\frac43u^3-2u^2v+uv^2\right)\right|_{u=2}^{u=5}dv=\frac1{343}\int_1^3\left(156-42v+3v^2\right)dv\\&=\left.\frac1{343}\left(156v-21v^2+v^3\right)\right|_1^3=\frac{170}{343}.\end{aligned}$



5. Evaluate the line integral

   $\displaystyle\int_C\left(-y+e^x\right)dx+\left(x^3+\sin y\right)dy$,

   where the curve $C=\left\{\left(x,y\right)|x^2+y^2=1\right\}$ is traversed counterclockwise.
訣竅
運用 Green 定理求解即可；亦可參數化計算之。
解法一

設 $C$ 所包圍的區域為 $D=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb R^2\,:\,x^2+y^2\leq1\right\}$，那麼由 Green 定理計算該線積分如下

$\displaystyle\begin{aligned}\int_C\left(-y+e^x\right)dx+\left(x^3+\sin y\right)dy&=\iint_D\left[\frac{\partial}{\partial x}\left(x^3+\sin y\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(-y+e^x\right)\right]dA\\&=\iint_D\left(3x^2+1\right)dA.\end{aligned}$

運用極座標變換，令 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$，其中變數範圍為 $0\leq r\leq1$、$0\leq\theta\leq2$。如此該線積分能夠化為如下並計算

$\displaystyle\begin{aligned}\int_C\left(-y+e^x\right)dx+\left(x^3+\sin y\right)dy&=\int_0^{2\pi}\int_0^1\left(3r^2\cos^2\theta+1\right)r\,dr\,d\theta\\&=\int_0^{2\pi}\left.\left(\frac{3r^4}4\frac{1+\cos2\theta}2+\frac{r^2}2\right)\right|_0^1d\theta\\&=\frac18\int_0^{2\pi}\left(7+3\cos2\theta\right)d\theta\\&=\left.\frac18\left(7\theta+\frac32\sin2\theta\right)\right|_0^{2\pi}\\&=\frac{7\pi}4.\end{aligned}$

解法二

將曲線 $C$ 參數化為 $x=\cos\theta$、$y=\sin\theta$，其中 $0\leq\theta\leq2\pi$，那麼線積分可表達如下

$\displaystyle\begin{aligned}\int_C\left(-y+e^x\right)dx+\left(x^3+\sin y\right)dy&=\int_0^{2\pi}\left[\left(-\sin\theta+e^{\cos\theta}\right)\cdot-\sin\theta+\left(\cos^3\theta+\sin\left(\sin\theta\right)\right)\cos\theta\right]d\theta\\&=\int_0^{2\pi}\left(\sin^2\theta+\cos^4\theta\right)d\theta+e^{\cos\theta}-\cos\left(\sin\theta\right)\Big|_0^{2\pi}\\&=\int_0^{2\pi}\left[\frac{1-\cos2\theta}2+\left(\frac{1+\cos2\theta}2\right)^2\right]d\theta\\&=\frac14\int_0^{2\pi}\left(3+\cos^22\theta\right)d\theta\\&=\frac18\int_0^{2\pi}\left(7+\cos4\theta\right)d\theta\\&=\left.\frac18\left(7\theta+\frac{\sin4\theta}4\right)\right|_0^{2\pi}=\frac{7\pi}4.\end{aligned}$