國立清華大學八十五年學年度轉學生入學考試(經濟)試題詳解

八十五學年度轉學生入學考試

科目　微積分(經濟)　　共　1　頁第　1　頁　＊請在試卷【答案卷】內作答

1. 填充題（共七題，每題 $10$ 分，請依序作答）
1. The equation of the tangent line to the curve $2x^3+2y^3-9xy=0$ at the point $\left(1,2\right)$ is 　甲　.
訣竅
運用隱函數微分計算出切線斜率，隨後運用點斜式計算即可。
解法
運用隱函數微分可得
$6x^2+6y^2y'-9y-9xy'=0$.
取 $x=1$ 與 $y=2$ 代入可得
$\displaystyle6+24\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(x,y)=(1,2)}-18-9\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(x,y)=(1,2)}=0$.
如此有 $\displaystyle\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(x,y)=(1,2)}=\frac45$，如此運用點斜式可知
$\displaystyle y-2=\frac45\left(x-1\right)$,
或寫為 $4x-5y+6=0$。


2. Let $\displaystyle f\left(t\right)=\int_2^t\sqrt{\frac47+u^3}\,du$, $\displaystyle F\left(x\right)=\int_1^{\sin x}f\left(t\right)dt$. Then $F''\left(\pi\right)=$　乙　.
訣竅
運用微積分基本定理與連鎖律計算兩次導函數後代入 $x=\pi$ 即可。
解法
先用一次微積分基本定理與連鎖律可得
$\displaystyle F'\left(x\right)=f\left(\sin x\right)\cos x$.
再次使用微積分基本定理與連鎖律可得
$\displaystyle F''\left(x\right)=-f\left(\sin x\right)\sin x+f'\left(\sin x\right)\cos^2x=-f\left(\sin x\right)\sin x+\sqrt{\frac47+\sin^3x}\cos^2x$.
代入 $x=\pi$ 可知 $\displaystyle F''\left(\pi\right)=\sqrt{\frac47}=\frac2{\sqrt7}$。


3. Let $u\left(x_1,\cdots,x_n\right)=\left(x_1^2+\cdots+x_n^2\right)^k$ where $n>2$. If $\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2u}{\partial x_i^2}=0$ for some $\left(x_1,\cdots,x_n\right)\neq\left(0,\cdots,0\right)$ then $k=$　丙　.
訣竅
計算偏微分後代入後檢查何時可滿足二階偏導函數的總和為零函數，按此條件可求得 $k$。
解法
對 $x_i$ 作偏微分可得
$\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x_i}=k\left(x_1^2+\cdots+x_n^2\right)^{k-1}\cdot2x_i$.
再作一次偏微分可得
$\displaystyle\frac{\partial^2u}{\partial x_i^2}=k\left(k-1\right)\left(x_1^2+\cdots+x_n^2\right)^{k-2}\cdot4x_i^2+2k\left(x_1^2+\cdots+x_n^2\right)^{k-1}$.
對 $i$ 作加總可得
$\displaystyle0=\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2u}{\partial x_i^2}=4k\left(k-1\right)\left(x_1^2+\cdots+x_n^2\right)^{k-1}+2nk\left(x_1^2+\cdots+x_n^2\right)^{k-1}$.
由於整個過程中都在非原點的位置上進行討論，故不必擔心其偏微分無意義。從而得到條件 $4k^2-4k+2nk=0$，如此求得 $\displaystyle k=\frac{2-n}2$ 或 $k=0$。


4. If $y=y\left(x\right)$ satisfies the initial value problem

   $y''-3y'+2y=1+e^{3x}$, $y(0)=0$, $y'(0)=0$.

   Then $y\left(x\right)=$　丁　.
訣竅
運用積分因子法逐步求解；亦可按照常微分方程的理論先求出齊次通解後再找出特解後獲得完整的一般解。
解法一

同乘以 $e^{-x}$ 後可得

$\left[e^{-x}\left(y'-2y\right)\right]'=e^{-x}\left(y''-2y'\right)-e^{-x}\left(y'-2y\right)=e^{-x}+e^{2x}$.

在 $\left[0,x\right]$ 上同取定積分可得

$\displaystyle e^{-x}\left(y'-2y\right)=-e^{-x}+\frac12e^{2x}+\frac12$.

接著再同乘以 $e^{-x}$ 後有

$\displaystyle\left[e^{-2x}y\right]'=e^{-2x}\left(y'-2y\right)=-e^{-2x}+\frac12e^{-x}+\frac12e^x$.

再次於 $\left[0,x\right]$ 上同取定積分可得

$\displaystyle e^{-2x}y=\frac12e^{-2x}-\frac12e^{-x}+\frac12e^x-\frac12$.

因此所求的函數為

$\displaystyle y\left(x\right)=\frac12-\frac12e^x+\frac12e^{3x}-\frac12e^{2x}=\frac12\left(e^x-1\right)^2\left(e^x+1\right)$.

解法二

先考慮本題所對應的齊次微分方程 $y_c''-3y_c'+2y_c=0$，此對應的特徵方程為 $\lambda^2-3\lambda+2=0$，可解得 $\lambda=1$ 或 $\lambda=2$，此表明齊次方程的通解為

$y_c=c_1e^x+c_2e^{2x}$.

另一方面，由於非齊次項為 $1+e^x$，故猜測特解 $y_p=A+Be^{3x}$，其中 $A$ 與 $B$ 為待定常數。據此代入原微分方程可得

$y_p''-3y_p'+2y_p=9Be^{3x}-9Be^{3x}+2\left(A+Be^{3x}\right)=2A+2Be^{3x}=1+e^{3x}$.

因此 $\displaystyle A=B=\frac12$，因此特解為 $y_p=1+e^{3x}$，因此本題方程的通解為

$\displaystyle y=y_c+y_p=c_1e^x+c_2e^{2x}+\frac12+\frac12e^{3x}$.

最後根據初始條件可得聯立方程組

$\left\{\begin{aligned}&c_1+c_2+1=0,\\&c_1+2c_2+\frac32=0.\end{aligned}\right.$

聯立可得 $\displaystyle c_1=c_2=-\frac12$。如此可知

$\displaystyle y\left(x\right)=\frac12-\frac12e^x-\frac12e^{2x}+\frac12e^{3x}=\frac12\left(e^x-1\right)^2\left(e^x+1\right)$.



5. A hotel with $25$ rooms normally charges $40$ dollars for each room. However, special group rates are advertised: If a group requires more than $6$ rooms, the price for each room is decreased by $1$ dollar times the number of rooms exceeding $6$. The maximal revenue that the hotel can receive from a group is 　戊　.
訣竅
依題目的情境設定變量並討論。
解法
設 $x$ 是所需房間的數量，若 $x\in\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$，那麼旅店的收入可為 $\left\{40,80,120,160,200,240\right\}$。若 $x>6$，那麼收入的關係為
$f\left(x\right)=\left(40-(x-6)\right)x=46x-x^2,\quad7\leq x\leq25,\quad x\in\mathbb{N}.$
容易看出
$f\left(x\right)=-\left(x-23\right)^2+529$.
因此當團體使用 $23$ 間房時，飯店可有最大收入。


6. Find $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left[\left(n^{100}+n^{99}\right)^{\frac1{100}}-n\right]=$　己　.
訣竅
化為可以使用 L'Hôpital 法則的形式後計算之。
解法

進行整理後使用 L'Hôpital 法則計算如下

$\begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\left[\left(n^{100}+n^{99}\right)^{\frac1{100}}-n\right]&=\lim_{n\to\infty}\left[n\left(1+\frac1n\right)^{\frac1{100}}-n\right]\\&=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(1+\frac1n\right)^{\frac1{100}}-1}{1/n}\\&=\lim_{n\to\infty}\frac{\exp\left(\frac{1}{100}\ln\left(1+\frac1n\right)\right)-1}{1/n}\\&=\lim_{n\to\infty}\frac{\exp\left(\frac1{100}\ln\left(1+\frac1n\right)\right)\cdot\frac1{100}\frac n{n+1}\cdot-\frac1{n^2}}{-1/n^2}=\frac1{100}.\end{aligned}$



7. Let $R$ be the region defined by the intersection of the interiors enclosed by $r=1$ and $r=1+\cos\theta$, $0\leq\theta\leq2\pi$. The area of $R$ is 　庚　.
訣竅
為了確定曲線的內外區域，因此先確定兩曲線的交點後使用極座標面積公式求解即可。
解法

先求兩曲線之交點如下

$\left\{\begin{aligned}&r=1,\\&r=1+\cos\theta.\end{aligned}\right.$

即有 $\displaystyle\theta=\frac\pi2$ 或 $\displaystyle\frac{3\pi}2$，可參見下圖



因此純粹使用極座標面積公式可知所求為

$\displaystyle A=\frac12\int_0^{\frac\pi2}1^2\,d\theta+\frac12\int_{\frac\pi2}^{\frac{3\pi}2}\left(1+\cos\theta\right)^2d\theta+\frac12\int_{\frac{3\pi}2}^{2\pi}1^2\,d\theta$.

亦可運用對稱性以及兩曲線相交區域在第一象限為四分之一圓來簡化計算如下

$\begin{aligned}A&=\frac\pi2+\int_{\frac\pi2}^\pi\left(1+\cos\theta\right)^2d\theta\\&=\frac\pi2+\int_{\frac\pi2}^\pi\left(1+2\cos\theta+\cos^2\theta\right)d\theta\\&=\frac\pi2+\frac12\int_{\frac\pi2}^\pi\left(3+4\cos\theta+\cos2\theta\right)d\theta\\&=\frac\pi2+\left.\left(\frac{6\theta+8\sin\theta+\sin2\theta}4\right)\right|_{\frac\pi2}^\pi=\frac{5\pi-8}4.\end{aligned}$

2. 計算與證明（必須寫出演算證明過程）(每題 $10$ 分)
1. Find $\displaystyle\int_0^{\pi}\sqrt{1-\sin x}\,dx$.
訣竅
運用倍角公式簡化被積分函數後求解，其中應特別留意到簡化過程中有絕對值應特別處理，亦或者最初處理定積分時旋即使用對稱性簡化之。
解法

注意到當 $x\in\left[0,\pi\right]$ 時有下列的三角恆等式

$\displaystyle\sqrt{1-\sin x}=\sqrt{1-\cos\left(\frac{\pi}2-x\right)}=\sqrt2\left|\sin\left(\frac\pi4-\frac{x}2\right)\right|$.

如此所求的定積分可以改寫並計算如下

$\begin{aligned}\int_0^{\pi}\sqrt{1-\sin x}\,dx&=\sqrt2\int_0^{\pi}\left|\sin\left(\frac\pi4-\frac x2\right)\right|dx\\&=\sqrt2\int_0^{\pi/2}\sin\left(\frac\pi4-\frac{x}2\right)dx+\sqrt2\int_{\pi/2}^\pi\sin\left(\frac x2-\frac\pi4\right)dx\\&=\left.2\sqrt2\cos\left(\frac\pi4-\frac x2\right)\right|_0^{\pi/2}-\left.2\sqrt2\cos\left(\frac x2-\frac\pi4\right)\right|_{\pi/2}^\pi\\&=2\sqrt2\left(1-\frac1{\sqrt2}\right)-2\sqrt2\left(\frac1{\sqrt2}-1\right)=4\sqrt2-4.\end{aligned}$



2. Find the points of the ellipse $x^2+xy+y^2=3$ that are closest to and farthest from the origin.
訣竅
考慮與原點的距離平方函數作為求極值的函數，如此利用基本的不等式或 Lagrange 乘子法來求解條件極值。
解法一
設座標 $\left(x,y\right)$ 到原點 $\left(0,0\right)$ 的距離平方函數為
$f(x,y)=x^2+y^2$.
而限制條件為 $x^2+xy+y^2=3$。利用配方法可注意到
$\displaystyle-\frac{x^2+y^2}2\leq xy\leq\frac{x^2+y^2}2$.
如此搭配限制條件可知 $2\leq x^2+y^2\leq6$，故最近的距離為 $\sqrt2$，最遠的距離為 $\sqrt6$，其中等號成立的條件分別 $x=y$ 與 $x+y=0$。前者可給出座標 $\pm\left(1,1\right)$，後者給出座標為 $\pm\left(\sqrt3,-\sqrt3\right)$。
解法二

沿解法一，設 Lagrange 乘子函數如下

$F\left(x,y,\lambda\right)=x^2+y^2+\lambda\left(x^2+xy+y^2-3\right)$.

據此解聯立方程組

$\left\{\begin{aligned}&F_x(x,y,\lambda)=2x+\lambda(2x+y)=0,\\&F_y(x,y,\lambda)=2y+\lambda(x+2y)=0,\\&F_\lambda(x,y,\lambda)=x^2+xy+y^2-3=0.\end{aligned}\right.$

第一式與第二式相減可得 $2(x-y)+\lambda(x-y)=0$，即 $\left(x-y\right)\left(2+\lambda\right)=0$。

• 若 $x=y$，則由第三式可解得 $(x,y)=\pm\left(1,1\right)$。
• 若 $\lambda=-2$，則由第一式或第二式可得 $x+y=0$，那麼由第三式可有 $\left(x,y\right)=\pm\left(\sqrt3,-\sqrt3\right)$。

直接檢驗可知

$f\left(1,1\right)=f\left(-1,-1\right)=2,\quad f\left(\sqrt3,-\sqrt3\right)=f\left(-\sqrt3,\sqrt3\right)=6$.



3. If $a_0,a_1,\cdots,a_n$ are real numbers satisfying

   $\displaystyle\frac{a_0}1+\frac{a_1}2+\cdots+\frac{a_n}{n+1}=0$,

   show that the equation $a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n=0$ has at least one real root.
訣竅
仔細去思考，為何會有該條件式，可以發現分母似乎都是編號的 $+1$，故推想到要積分之。隨後應用 Rolle 定理找出斜率為 $0$ 的點，此即為所求方程的根。本題出自 Principles of Mathematical Analysis，Rudin 著，第五章第四題。
解法
考慮函數 $F$ 如下
$\displaystyle F\left(x\right)=\frac{a_0x}1+\frac{a_1x^2}2+\frac{a_2x^3}3+\cdots+\frac{a_nx^{n+1}}{n+1}$.
由於按條件可知 $F\left(0\right)=F\left(1\right)=0$，故由 Rolle 定理可知存在一實數 $c\in\left(0,1\right)$ 使得 $F'\left(c\right)=0$，亦即 $c$ 為 $a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n=0$ 的實根，證明完畢。