國立清華大學八十六年學年度轉學生入學考試(經濟)試題詳解

八十六學年度轉學生入學考試

科目　微積分(經濟)　　共　1　頁第　1　頁　＊請在試卷【答案卷】內作答

1. 填充題（共九題，每題 $9$ 分，請將答案依甲、乙、丙…次序作答，不需演算過程））
1. If $\displaystyle a_n=\left(1+\frac2n+\frac3{n^2}\right)^n$, then $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=$　甲　.
訣竅
整理形式後使用 L'Hôpital 法則求解；亦可由經驗知道此形式幾乎與自然指數的定義相仿，略去相對小的 $3/n^2$ 可立即看出答案。
解法一

運用自然指數的連續性改寫後使用 L'Hôpital 法則如下

$\begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\exp\left(n\ln\left(1+\frac2n+\frac3{n^2}\right)\right)&=\exp\left[\lim_{n\to\infty}n\ln\left(1+\frac2n+\frac3{n^2}\right)\right]\\&=\exp\left[\lim_{n\to\infty}\frac{\ln\left(1+\frac2n+\frac3{n^2}\right)}{1/n}\right]\\&=\exp\left[\lim_{n\to\infty}\frac{\frac1{1+\frac2n+\frac3{n^2}}\cdot\left(-\frac2{n^2}-\frac6{n^3}\right)}{-1/n^2}\right]\\&=\exp\left[\lim_{n\to\infty}\frac1{1+\frac2n+\frac3{n^2}}\cdot\left(2+\frac6n\right)\right]=e^2.\end{aligned}$

解法二

【警告：不推薦使用這種方法】藉由略去 $3/n^2$ 後可知

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac2n\right)^n=\lim_{n\to\infty}\left[\left(1+\frac2n\right)^{n/2}\right]^2=e^2$.



2. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\ln\sqrt[n]{1+\frac kn}=$　乙　.
訣竅
將所求辨識為 Riemann sum 後改寫成定積分計算之。
解法

按訣竅改寫如下

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\ln\sqrt[n]{1+\frac kn}=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\ln\left(1+\frac kn\right)$.

如此可以發現此為 $f\left(x\right)=\ln\left(1+x\right)$ 在 $\left[0,1\right]$ 上取 $n$ 等分的 Riemann sum，因此該極限可以計算如下

$\begin{aligned}\int_0^1\ln\left(1+x\right)\,dx&=x\ln\left(1+x\right)\Big|_0^1-\int_0^1\frac x{1+x}dx\\&=\ln2-\int_0^1\left(1-\frac1{1+x}\right)dx=\left(\ln2-1\right)+\ln\left(1+x\right)\Big|_{x=0}^{x=1}=2\ln2-1.\end{aligned}$



3. If $a,b$ will maximalize the value of the integral $\displaystyle\int_a^b\left(4-x^2\right)dx$, then $b-a=$　丙　.
訣竅
為了使定積分有最小值，故我們應使區間 $\left[a,b\right]$ 盡可能涵蓋被積分為負的區域而盡可能不涵蓋函數值為正的區域。
解法
為了實現訣竅中所描述的目標，我們考慮不等式 $4-x^2\geq0$，此等價於 $-2\leq x\leq2$，因此取 $a=-2$、$b=2$ 即能恰好符合訣竅中所述的目標，因此 $b-a=4$。


4. Let $f$ be a twice differentiale function and let $u\left(x\right)=f\left(x^2-1\right)$. If $f'\left(0\right)=1$, $f''\left(0\right)=2$, then $u''\left(1\right)=$　丁　.
訣竅
運用連鎖律計算即可。
解法

先運用連鎖律求一階導函數如下

$u'\left(x\right)=2xf'\left(x^2-1\right)$.

接著再求二階導函數為

$u''\left(x\right)=2f'\left(x^2-1\right)+4x^2f''\left(x^2-1\right)$.

如此取 $x=1$ 代入可得

$u''\left(1\right)=2f'\left(0\right)+4f''\left(0\right)=2\cdot1+4\cdot2=10$.



5. If $\displaystyle\frac{dx}{dt}=1-x$, then $\displaystyle\lim_{t\to\infty}x\left(t\right)=$　戊　.
訣竅
藉由分離變量法或積分因子法求解此微分方程。
解法一

移項整理有

$\displaystyle\frac{dx}{x-1}=-dt$.

同取不定積分後有

$\ln\left|x-1\right|=-t+\ln C$.

整理可求得 $x\left(t\right)$ 如下

$x\left(t\right)=1+Ce^{-t}$.

如此極限可知

$\displaystyle\lim_{t\to\infty}x\left(t\right)=1$.

解法二
兩邊同乘以 $e^t$ 可得
$\displaystyle\frac d{dt}\left(e^tx(t)\right)=e^t\frac{dx}{dt}+e^tx\left(t\right)=e^t$.
同取不定積分可得
$e^tx\left(t\right)=e^t+C$.
因此有 $x\left(t\right)=1+Ce^{-t}$，計算其極限可得 $\displaystyle\lim_{t\to\infty}x\left(t\right)=1$。


6. The tangent plane to $x^2+2y^2+z^2=7$ at $\left(1,1,2\right)$ is 　己　.
訣竅
運用梯度計算求初其法向量，隨後運用點法式寫出切平面方程式。
解法
設 $F\left(x,y,z\right)=x^2+2y^2+z^2-7$，那麼其梯度向量為
$\nabla F\left(x,y,z\right)=\left(2x,4y,2z\right)$.
那麼在 $\left(1,1,2\right)$ 處的切平面法向量為 $\nabla F\left(1,1,2\right)=\left(2,4,4\right)$。據此使用點法式可知
$2\left(x-1\right)+4\left(y-1\right)+4\left(z-2\right)=0$,
或整理寫為 $x+2y+2z=7$。


7. The disk $x^2+y^2\leq1$ is revolved about the line $x+y=2$ to generate a solid. Then the volume of the solid is 　庚　.
訣竅
運用 Pappus 幾何中心定理求解即可。
解法

圓盤的幾何中心為原點 $\left(0,0\right)$，易知原點到 $x+y=2$ 之距離為 $\sqrt2$，因此該旋轉體體積由 Pappus 幾何中心定理計算可知為

$V=2\pi R\cdot A=2\pi\cdot\sqrt2\cdot\pi=2\sqrt2\pi^2$.



8. $\displaystyle\int_0^2\frac{x+7}{x^2-x-6}dx=$　辛　.
訣竅
運用有理函式的積分方法計算即可。
解法

首先由部分分式的概念來改寫被積分函數如下

$\displaystyle\frac{x+7}{x^2-x-6}=\frac{x+7}{(x-3)(x+2)}=\frac A{x-3}+\frac B{x+2}$,

其中 $A$ 與 $B$ 為待定係數。兩邊同乘以 $x^2-x-6$ 可得

$x+7=A(x+2)+B(x-3)=(A+B)x+(2A-3B)$.

因此有聯立方程組

$\left\{\begin{aligned}&A+B=1,\\&2A-3B=7,\end{aligned}\right.$

可解得 $A=2$、$B=-1$。因此所求的定積分可改寫並計算如下

$\begin{aligned}\int_0^2\frac{x+7}{x^2-x-6}&=\int_0^2\left(\frac2{x-3}-\frac1{x+2}\right)dx\\&=-2\ln\left(3-x\right)-\ln\left(x+2\right)\Big|_0^2\\&=2\ln3-\ln2.\end{aligned}$



9. $\displaystyle\int_{-1}^1\int_0^{\sqrt{1-x^2}}\sqrt{1-x^2-y^2}\,dy\,dx=$　壬　.
訣竅
運用極座標變換計算求解即可。
解法

由極座標變換，令 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$，其中變數範圍為 $0\leq r\leq1$、$0\leq\theta\leq\pi$，如此所求的重積分可改寫並計算如下

$\begin{aligned}\int_{-1}^1\int_0^{\sqrt{1-x^2}}\sqrt{1-x^2-y^2}\,dy\,dx&=\int_0^\pi\int_0^1r\sqrt{1-r^2}\,dr\,d\theta\\&=\pi\int_0^1r\sqrt{1-r^2}\,dr\\&=-\frac\pi2\int_0^1(1-r^2)^{1/2}\,d(1-r^2)\\&=\left.-\frac\pi3\left(1-r^2\right)^{3/2}\right|_0^1=\frac\pi3.\end{aligned}$

2. 計算與證明（必須寫出演算證明過程）
1. ($10\%$) A rectangular wooden box with an open top is to contain $500$ cm$^3$. Ignoring the thickness of the wood, how is the box to be constructed so as to use the smallest amount of wood?
訣竅
依題意設定變數來代表長寬高，如此由體積的設定得到限制條件，再者由目標而設定出極值函數，如此可用基本的不等式方法或 Lagrange 乘子法來求解。
解法一
設該長方體之長、寬、高分別為 $x$、$y$、$z$ 公分，那麼按題意有 $xyz=500$，而希望下列表面積函數有極小值：
$f\left(x,y,z\right)=xy+2yz+2zx$.
那麼使用算術幾何不等式可知
$f\left(x,y,z\right)\geq3\sqrt[3]{4x^2y^2z^2}=300$.
故最小值為 $300$ 平方公分。此時等號成立條件為 $xy=2yz=2zx$，即 $x=y=2z$，進一步由限制條件得 $\left(x,y,z\right)=\left(10,10,5\right)$。
解法二
承解法一，設 Lagrange 乘子函數如下
$F\left(x,y,z,\lambda\right)=xy+2yz+2zx+\lambda\left(xyz-500\right)$.
據此解下列聯立方程組
$\left\{\begin{aligned}&F_x\left(x,y,z,\lambda\right)=y+2z+\lambda yz=0,\\&F_y\left(x,y,z,\lambda\right)=x+2z+\lambda xz=0,\\&F_z\left(x,y,z,\lambda\right)=2y+2x+\lambda xy=0,\\&F_\lambda\left(x,y,z,\lambda\right)=xyz-500=0.\end{aligned}\right.$
前三式分別乘上 $x,y,z$ 後相減可得 $xy=2yz=2zx$，即有 $x=y=2z$，由第四式可知 $\left(x,y,z\right)=\left(10,10,5\right)$，此時最小值為 $300$ 平方公分。


2. ($9\%$) Draw the graph of $f\left(x\right)=x^ne^{-x}$, $x\geq0$, where $n$ is a fixed positive integer.
訣竅
藉由一次微分與二次微分來研究其單調性與凹向性。
解法
先計算其導函數如下
$f'\left(x\right)=nx^{n-1}e^{-x}-x^ne^{-x}=e^{-x}x^{n-1}\left(n-x\right)$.
容易注意到當 $x\geq n$ 時 $f'\left(x\right)\leq0$，即 $f$ 遞減；反之當 $0\leq x\leq n$ 時有 $f'\left(x\right)\geq0$，即 $f$ 遞增。
現在計算二階導函數如下
$\begin{aligned}f''\left(x\right)&=n\left(n-1\right)x^{n-2}e^{-x}-2nx^{n-1}e^{-x}+x^ne^{-x}\\&=e^{-x}x^{n-2}\left(n^2-n-2nx+x^2\right)\\&=e^{-x}x^{n-2}\left[\left(x-n\right)^2-n\right].\end{aligned}$
那麼當 $x\geq n+\sqrt n$ 或 $x\leq n-\sqrt n$ 時有 $f$ 凹口向上，而當 $n-\sqrt n\leq x\leq n+\sqrt n$ 時有 $f$ 凹口向下。此時也可以看出當 $x=n$ 時，$f$ 達到絕對極大值，此值為 $f\left(n\right)=n^ne^{-n}$。
我們針對 $n=1,2,3,4$ 的情形繪圖如下，其中標粗色的區域為凹口向下的區間：