國立清華大學八十七年學年度轉學生入學考試(經濟)試題詳解

八十七學年度轉學生入學考試

科目　微積分(經濟)　　共　2　頁第　1　頁　＊請在試卷【答案卷】內作答

1. 填充題（共八題，每題 $9$ 分，請將答案依甲、乙、丙、…次序作答，不需演算過程）
1. If $\displaystyle a_n=\frac{\displaystyle\left(\frac{10}{11}\right)^n}{\displaystyle\left(\frac{9}{10}\right)^n+\left(\frac{11}{12}\right)^n}$, then $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=$　甲　.
訣竅
改寫 $a_n$ 後便於使用極限的四則運算定理即可。
解法

對 $a_n$ 的分子分母同乘以 $\displaystyle\left(\frac{12}{11}\right)^n$後可直接計算如下

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle\left(\frac{120}{121}\right)^n}{\displaystyle1+\left(\frac{108}{110}\right)^n}=\frac0{1+0}=0$.



2. Recall that $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac1{k!}=e$. Then $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k^2+3k}{\left(k+2\right)!}=$　乙　.
訣竅
根據提示來改寫所求的算式，重點是湊出給定的形式。
解法

將所求改寫如下

$\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\frac{k^2+3k}{(k+2)!}=\sum_{k=0}^\infty\frac{(k+1)(k+2)}{(k+2)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2}{(k+2)!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac1{k!}-2\sum_{k=0}^\infty\frac1{(k+2)!}=e-2\sum_{k=0}^\infty\frac1{(k+2)!}$.

另一方面，對於第二項，我們仔細展開並改寫如下

$\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac1{(k+2)!}=\frac12+\frac16+\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}-2=e-2$.

因此所求為

$\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k^2+3k}{(k+2)!}=e-2\left(e-2\right)=4-e$.



3. Let $\vec A$, $\vec B$, $\vec C$ be vectors in $\mathbb R^3$ such that $\vec A\cdot\vec A=4$, $\vec A\cdot\vec B=0$, $\left(\vec A\times\vec B\right)\times\vec C=\vec0$, $\left(\vec A\times\vec B\right)\cdot\vec C=10$. Then $\left|\vec B\times\vec C\right|=$　丙　.
訣竅
由內積與外積的基本性質求解即可。
解法
由內積與外積的性質與定義可逐步分析條件如下
• 由 $\vec A\cdot\vec A=4$ 可知 $\left|\vec A\right|=2$；
• 由 $\vec A\cdot\vec B=0$ 可知 $\vec A$ 與 $\vec B$ 互相垂直；
• 由 $\left(\vec A\times\vec B\right)\times\vec C=\vec0$ 可知 $\vec A\times\vec B$ 與 $\vec C$ 互相平行或者其中之一為零向量。
至此，我們可以知道三個向量 $\vec A,\vec B,\vec C$ 兩兩互相垂直。故 $\left(\vec A\times\vec B\right)\cdot\vec C=10$ 代表由 $\vec A,\vec B,\vec C$ 所形成的平行四面體（實際上恰為長方體）的體積為 $10$。又 $\vec A$ 的長度為 $2$，因此由 $\vec B,\vec C$ 所形成的平行四邊形（實際上為長方形）的面積為 $5$，故知 $\left|\vec B\times\vec C\right|=5$。


4. The tangent line to the graph of $x^3+y^3=2xy$ at $\left(1,1\right)$ is 　丁　.
訣竅
運用隱函數微分法求出切線斜率，隨後使用點斜式寫出切線方程式。
解法
將給定的方程對 $x$ 作隱函數微分可得
$\displaystyle3x^2+3y^2\frac{dy}{dx}=2y+2x\frac{dy}{dx}$.
代入 $x=y=1$，如此可得
$\displaystyle3+3\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(x,y)=(1,1)}=2+2\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(x,y)=(1,1)}$.
因此有 $\displaystyle\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(x,y)=(1,1)}=-1$，因此用點斜式有切線方程式為 $y-1=-(x-1)$，或寫為 $x+y=2$。


5. Let $a$ be a constant such that $\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin3x}{x^2}+\frac ax\right)=0$. Then $a=$　戊　.
訣竅
利用極限的四則運算定理求解即可。
解法

運用極限的四則運算定理可知

$\begin{aligned}a+\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}x&=\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin3x}x+a\right)\\&=\lim_{x\to0}\left[\left(\frac{\sin3x}{x^2}+\frac ax\right)\cdot x\right]\\&=\left[\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin3x}{x^2}+\frac ax\right)\right]\left(\lim_{x\to0}x\right)\\&=0\cdot0=0.\end{aligned}$

因此由經典的極限結果可知

$\displaystyle a=-\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}x=-3\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{3x}=-3$.



6. $\displaystyle\int_0^1\frac1{1+\sqrt x}dx=$　己　.
訣竅
由於分母的根號使得計算反導函數不太容易，故運用變數代換處理之。
解法

令 $u=\sqrt x$，那麼有

• 當 $x=0$ 時，有 $u=0$；
• 當 $x=1$ 時，有 $u=1$；
• 並且平方後有 $x=u^2$，因而有 $dx=2u\,du$。

據此可知所求的定積分能改寫並計算如下

$\begin{aligned}\int_0^1\frac1{1+\sqrt x}\,dx&=\int_0^1\frac1{1+u}\cdot2u\,du\\&=2\int_0^1\left(1-\frac1{1+u}\right)du\\&=2u-2\ln\left(1+u\right)\Big|_0^1\\&=2-2\ln2.\end{aligned}$



7. Let $\displaystyle G\left(t\right)=\int_0^t\int_0^x\sin\left(xy\right)dy\,dx$. Then $\displaystyle G'\left(\sqrt{\frac\pi2}\right)=$　庚　.
訣竅
運用微積分基本定理並計算一次定積分即可。
解法

運用微積分基本定理可知

$\displaystyle G'\left(t\right)=\int_0^t\sin\left(ty\right)dy=\left.-\frac{\cos\left(ty\right)}t\right|_{y=0}^{y=t}=\frac{1-\cos\left(t^2\right)}t$.

取 $t=\sqrt{\pi/2}$，如此可得

$\displaystyle G'\left(\sqrt{\frac\pi2}\right)=\sqrt{\frac2\pi}$.



8. A housewife has a sum of money to deposit in a bank which gives her an interest compounded continuously at the rate of $6\%$ annually. If she will get $1000$ forty months later, the sum that she is holding now is 　辛　.
訣竅
按照連續複利的計算公式即可。
解法
設存入 $s$ 元，那麼運用公式可知
$\displaystyle1000=s\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{0.06}n\right)^{n\cdot0.25}=se^{0.25\cdot0.06}=se^{0.15}$.
因此 $s=1000e^{-0.15}\approx860.7$ 元。
2. 計算與證明（必須寫出演算證明過程）
1. ($10\%$) Evaluate $\displaystyle\iint_{\Omega}\left|\sqrt3x-y\right|dx\,dy$ where $\Omega$ is the region in the first quadrant that lies inside the circle $x^2+y^2=4$ and outside the circle $x^2+y^2=1$.
訣竅
運用極座標計算，並且根據角度分類處理被積分函數的絕對值。
解法

考慮極座標變換，令 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$，其變數的範圍為 $1\leq r\leq2$、$0\leq\theta\leq\pi/2$。又注意到當 $\pi/3\leq\theta\leq\pi/2$ 時有 $\left|\sqrt3x-y\right|=y-\sqrt3x$，從而所求可以計算如下

$\begin{aligned}\iint_{\Omega}\left|\sqrt3x-y\right|dx\,dy&=\int_0^{\pi/3}\int_1^2\left(\sqrt3r\cos\theta-r\sin\theta\right)r\,dr\,d\theta+\int_{\pi/3}^{\pi/2}\int_1^2\left(r\sin\theta-\sqrt3r\cos\theta\right)r\,dr\,d\theta\\&=\left(\sqrt3\sin\theta+\cos\theta\right)\Big|_0^{\pi/3}\cdot\left.\frac{r^3}3\right|_1^2+\left(\sqrt3\sin\theta+\cos\theta\right)\Big|_{\pi/3}^{\pi/2}\cdot\left.\frac{r^3}3\right|_1^2\\&=1\cdot\frac73+\left(\sqrt3-2\right)\cdot\frac73\\&=\frac{7\left(\sqrt3-1\right)}3.\end{aligned}$

註：事實上，讀者可由 $\theta=\pi/3$ 為對稱，將 $\pi/6\leq\theta\leq\pi/3$ 與 $\pi/3\leq\theta\leq\pi/2$ 之重積分對消，亦即所求實際上為

$\begin{aligned}\iint_{\Omega}\left|\sqrt3x-y\right|dx\,dy&=\int_0^{\pi/6}\int_1^2\left(\sqrt3r\cos\theta-r\sin\theta\right)r\,dr\,d\theta\\&=\left(\sqrt3\sin\theta+\cos\theta\right)\Big|_0^{\pi/6}\cdot\left.\frac{r^3}3\right|_1^2\\&=\left(\sqrt3-1\right)\cdot\frac73=\frac{7\left(\sqrt3-1\right)}3.\end{aligned}$



2. ($10\%$) A rectangular box without a top is to have a volume of $12$ cubic feet. Suppose that the material to be used to construct the box costs $\$4.5$ per square foot for the sides and $\$4$ per square foot for the bottom. Find the dimensions for the box that will yield the minimum cost.
訣竅
依題意設定變量，並由體積條件得到限制條件，再由設定成本函數為極值函數，那麼可由基本的不等式或由 Lagrange 乘子法求解。
解法一
設 $x,y,z$ 分別代表這個長方體盒的長寬高，其單位英尺。那麼由限制條件有 $xyz=12$，而成本函數為
$f\left(x,y,z\right)=4xy+4.5\left(2yz+2zx\right)=4xy+9yz+9zx$.
那麼由基本的不等式可知
$f\left(x,y,z\right)\geq3\sqrt[3]{4xy\cdot9yz\cdot9zx}=9\sqrt[3]{12x^2y^2z^2}=108$.
因此最小的成本為 $\$108$元，其等號成立條件為 $4xy=9yz=9zx$，此即 $\displaystyle x=y=\frac94z$，那麼由 $xyz=12$ 可知 $x=y=3$、$\displaystyle z=\frac43$。
解法二
承解法一來設定 Lagrange 乘子函數如下
$F\left(x,y,z,\lambda\right)=4xy+9yz+9zx+\lambda\left(xyz-12\right)$.
據此解下列聯立方程組
$\left\{\begin{aligned}&F_x\left(x,y,z,\lambda\right)=4y+9z+\lambda yz=0,\\&F_y\left(x,y,z,\lambda\right)=4x+9z+\lambda zx=0,\\&F_z\left(x,y,z,\lambda\right)=9y+9z+\lambda xy=0,\\&F_\lambda\left(x,y,z,\lambda\right)=xyz-12=0.\end{aligned}\right.$
分別將第一式、第二式與第三式乘以 $x,y,z$ 後兩兩相減有 $4xy=9yz=9zx$，此即 $\displaystyle x=y=\frac94z$，那麼由 $xyz=12$ 可知 $x=y=3$、$\displaystyle z=\frac43$，此時成本有最小值為 $\displaystyle f\left(3,3,\frac43\right)=108$。


3. ($8\%$) If $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ is a convergent series with $a_n\geq0$ for all $n$, prove that $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n^2$ is also convergent.
訣竅
注意到當 $n$ 很大時 $a_n$ 會趨於零，而當數字小於 $1$ 時，其平方會更小。
解法
由於級數 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 收斂，因此存在正整數 $N$ 使得當 $n\geq N$ 時有 $0\leq a_n\leq1$。那麼可以注意到當 $n\geq N$ 時自動有 $a_n^2\leq a_n$，故
$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n^2=\sum_{n=1}^{N-1}a_n^2+\sum_{n=N}^{\infty}a_n^2\leq\sum_{n=1}^{N-1}a_n^2+\sum_{n=N}^{\infty}a_n<\infty$.
此即 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n^2$ 也收斂，證明完畢。