2019年7月22日 星期一

一百零七學年度數學學科能力測驗

大學入學考試中心
$107$學年度學科能力測驗試題

數學考科



－作答注意事項－

  1. 考試時間：$100$分鐘
  2. 題型題數：單選題$7$題，多選題$5$題，選填題第$A$至$H$題共$8$題
  3. 作答方式：用2B鉛筆在「答案卡」上作答；更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液（帶）。未依規定畫記答案卡，致機器掃描無法辨識答案者，其後果由考生自行承擔。
  4. 選填題作答說明：選填題的題號是A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子畫記。請仔細閱讀下面的例子。

    例：若第B題的答案格式是$\displaystyle\underline{　\frac{⑱}{⑲}　}$，而依題意計算出來的答案是$\displaystyle\frac{3}{8}$，則考生必須分別在答案卡上的第$18$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$與第$19$列的$\underset{\boxed{~~}}{8}$劃記，如：

    $\begin{array}{|c|}18~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\19~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\color{black}{▆▆}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

    例：若第C題的答案格式是$\displaystyle\underline{　\frac{⑳㉑}{50}　}$，而答案是$\displaystyle\frac{-7}{50}$時，則考生必須分別在答案卡的第$20$列的$\underset{\boxed{~~}}{-}$與第$21$列的$\underset{\boxed{~~}}{7}$畫記，如：

    $\begin{array}{|c|}20~~\underset{\color{black}{▆▆}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline21~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\color{black}{▆▆}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

  5. ※試題後附有參考公式及可能用到的數值

第壹部分：選擇題（占$60$分）
  1. 單選題（占$35$分）
    2. 說明：第$1$題至第$7$題，每題有$5$個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得$5$分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。
    1. 給定相異兩點$A$、$B$，試問空間中能使$\Delta PAB$成一正三角形的所有點$P$所成集合為下列哪一選項？
      1. 兩個點
      2. 一線段
      3. 一直線
      4. 一圓
      5. 一平面
      2. 訣竅運用空間中的概念來思考並推理。
      解法若要使$A,B,P$三點成為三角形，$P$要落在$A$與$B$形成的中垂面上，在這個平面上到$A$與到$B$的距離相同。但要在此平面上距離恰為$\overline{AB}$者會形成圓。事實上藉由解空間的兩個聯立方程會是兩個球面相交所形成的圓，故選(4)。

    2. 一份試卷共有$10$題單選題，每題有$5$個選項，其中只有一個選項是正確答案。假設小明以隨機猜答的方式回答此試卷，且各題猜答方式互不影響。試估計小明全部答對的機率最接近下列哪一選項？
      1. $10^{-5}$
      2. $10^{-6}$
      3. $10^{-7}$
      4. $10^{-8}$
      5. $10^{-9}$
      3. 訣竅由於互不影響指的是事件獨立，故計算每題的答對率並直接連乘即可。
      解法每題答對率為$\displaystyle\frac15=0.2$，故全部答對的機率為

      $\displaystyle\left(\frac15\right)^{10}=0.2^{10}=\frac1{9765625}=1.024\cdot10^{-7}$

      故選(3)。

    3. 某公司規定員工可在一星期（七天）當中選擇兩天休假。若甲、乙兩人隨機選擇休假日且兩人的選擇互不相關，試問一星期當中發生兩人在同一天休假的機率為何？
      1. $\displaystyle\frac13$
      2. $\displaystyle\frac8{21}$
      3. $\displaystyle\frac37$
      4. $\displaystyle\frac{10}{21}$
      5. $\displaystyle\frac{11}{21}$
      4. 訣竅考慮兩人所有可能的選擇以及恰好同一天休假的選擇的方法數，隨後按機率的意義相除即可獲得所求。
      解法甲與乙所有可能休假的安排有$C^7_6\times C^7_6=21^2=441$種可能，而兩人完全在不同天休假的方法數為$C_4^7C_2^4C_2^2=35\cdot6\cdot1=210$，故至少有同一天休假的方法數為$231$種，因此機率為$\displaystyle\frac{231}{441}=\frac{11}{21}$。故選(5)。

    4. 試問有多少個整數$x$滿足$10^9<2^x<9^{10}$？
      1. $1$個
      2. $2$個
      3. $3$個
      4. $4$個
      5. $0$個
      5. 訣竅藉由基礎的比大小進行估算。
      解法一首先注意到$2^{10}=1024>10^3$，因此$2^{30}>10^9$，另一方面容易確認到$2^{30}=8^{10}<9^{10}$，故可確定$x=30$可滿足該不等式。容易試探確認$x=29,32$不合，而$x=31$仍合，故選(2)。
      解法二對該不等式同取以$10$為底的對數可得

      $9<x\log2<10\log9=20\log3$

      移項得$x$的範圍為

      $\displaystyle29.9003\approx\frac9{0.301}\approx\frac9{\log2}<x<\frac{20\log3}{\log2}\approx\frac{20\cdot0.4771}{0.301}\approx31.7010$

      故$x=30$或$x=31$，計有兩解，故選(2)。

    5. 試問共有幾個角度$\theta$滿足$0^\circ<\theta<180^\circ$，且$\cos\left(3\theta-60^\circ\right)$, $\cos3\theta$, $\cos\left(3\theta+60^\circ\right)$依序成一等差數列？
      1. $1$個
      2. $2$個
      3. $3$個
      4. $4$個
      5. $5$個
      6. 訣竅由等差數列的特性與和角公式來求解。
      解法由於三者成等差數列，故有如下的關係式

      $2\cos3\theta=\cos\left(3\theta-60^\circ\right)+\cos\left(3\theta+60^\circ\right)=2\cos3\theta\cos60^\circ=\cos3\theta$

      故有$\cos3\theta=0$，這表明$3\theta=90^\circ+k\cdot180^\circ$，其中$k$為整數。因此解得$\theta=30^\circ+k\cdot60^\circ$。由題目給定的範圍有下列條件

      $0^\circ<30^\circ+k\cdot60^\circ<180^\circ$

      因此有

      $\displaystyle-\frac12<k<\frac52$

      因此$k=0,1,2$，即$\theta=30^\circ,90^\circ,150^\circ$能滿足題意，故選(3)。

    6. 某貨品為避免因成本變動而造成售價波動太過劇烈，當週售價相對於前一週售價的漲跌幅定為當週成本相對於前一週成本的漲跌幅的一半。例如下表中第二週成本上漲$100\%$，所以第二週售價上漲$50\%$。依此定價方式以及下表的資訊，試選出正確的選項。【註：成本漲跌幅$\displaystyle=\frac{\mbox{當週成本}-\mbox{前週成本}}{\mbox{前週成本}}$，售價漲跌幅$\displaystyle=\frac{\mbox{當週售價}-\mbox{前週售價}}{\mbox{前週售價}}$。】

      $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline&\mbox{第一週}&\mbox{第二週}&\mbox{第三週}&\mbox{第四週}\\\hline\mbox{成本}&50&100&50&90\\\hline\mbox{售價}&120&180&x&y\\\hline\end{array}$

      1. $120=x<y<180$
      2. $120<x<y<180$
      3. $x<120<y<180$
      4. $120=x<180<y$
      5. $120<x<180<y$
      7. 訣竅按照文意以及給定的公式操作計算即可。
      解法

      第三週的成本漲跌幅為$\displaystyle\frac{50-100}{100}=-50\%$，故第三週售價之跌幅應為$25\%$，故第三週售價$x$滿足

      $\displaystyle\frac{x-180}{180}=-\frac14$

      如此有$x=135$。

      第四週的成本漲跌幅為$\displaystyle\frac{90-50}{50}=80\%$，故第四週售價之漲幅應為$40\%$，故第四週售價$y$滿足

      $\displaystyle\frac{y-135}{135}=\frac25$

      如此有$y=189$。

      由以上的資訊可自然而知$120<135=x<180<189=y$，故選(5)。

    7. $\Delta ABC$內接於圓心為$O$之單位圓。若$\overset{\rightharpoonup}{OA}+\overset{\rightharpoonup}{OB}+\sqrt3\overset{\rightharpoonup}{OC}=\overset{\rightharpoonup}{0}$，則$\angle BAC$之度數為何？
      1. $30^\circ$
      2. $45^\circ$
      3. $60^\circ$
      4. $75^\circ$
      5. $90^\circ$
      8. 訣竅首先要注意到$\angle BAC$為圓周角是其所對應的圓心角$\angle BOC$的一半。再者題幹給定的三個向量的條件容易藉由移項取長度而獲得關於內積的資訊，從而計算出角度。
      解法按照訣竅，我們移項取長度平方有

      $\overline{OA}^2=\left|-\overset{\rightharpoonup}{OA}\right|^2=\left|\overset{\rightharpoonup}{OB}+\sqrt3\overset{\rightharpoonup}{OC}\right|^2=\overline{OB}^2+2\sqrt3\overset{\rightharpoonup}{OB}\cdot\overset{\rightharpoonup}{OC}+3\overline{OC}^2$

      又容易注意到$\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}$以及$\overset{\rightharpoonup}{OB}\cdot\overset{\rightharpoonup}{OC}=\overline{OB}\cdot\overline{OC}\cos\angle BOC$，故整理有

      $1=1+2\sqrt3\cos\angle BOC+3$

      因此有$\displaystyle\cos\angle BOC=-\frac{\sqrt3}2$，這表明$\angle BOC=150^\circ$，因此$\angle BAC=75^\circ$。應選(4)。
  2. 多選題（占$25$分）
    3. 說明：第$8$題至第$12$題，每題有$5$個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得$5$分；答錯$1$個選項者，得$3$分；答錯$2$個選項者，得$1$分；答錯多於$2$個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。
    1. 某年學科能力測驗小華的成績為：國文$11$級分、英文$12$級分、數學$9$級分、自然$9$級分、社會$12$級分。他考慮申請一些校系，表$1$為大考中心公布的學測各科成績標準； 表$2$是他最有興趣的五個校系規定的申請檢定標準，依規定申請者需通過該校系所有檢定標準才會被列入篩選。例如甲校系規定國文成績須達均標、英文須達前標、且社會須達均標；丙校系則規定英文成績須達均標、且數學或自然至少有一科達前標。表$2$空白者表示該校系對該科成績未規定檢定標準。
      根據以上資訊，試問小華可以考慮申請哪些校系（會被列入篩選）？
      1. 甲校系
      2. 乙校系
      3. 丙校系
      4. 丁校系
      5. 戊校系
      2. 訣竅按照題意逐一檢驗即可。
      解法
      1. 甲校系要求國文均標以上，即國文至少10級分，符合；要求英文前標以上，即英文至少9級分，符合；要求社會均標以上，即社會至少10級分，符合。故此校系可以考慮。
      2. 乙校系要求國文前標以上，即國文至少12級分，不符合，故不考慮此校系。
      3. 丙校系要求英文均標以上，即至少9級分，符合；要求數學或自然至少一科達前標，即數學至少10級分或者自然至少11級分，但小華兩者皆不符合，故不考慮此校系。
      4. 丁校系要求國文或英文至少一科達到前標，即要求國文或英文其中一科至少12級分，符合；自然至少均標，即自然至少9級分，符合；社會至少均標，即社會至少10級分，符合。故可考慮此科系。
      5. 戊校系要求自然至少要前標，即要求自然至少要11級分，不符合，故不考慮此校系。
      由以上可知可考慮甲校系與丁校系，故選(1)(4)。

    2. 已知多項式$f\left(x\right)$除以$x^2-1$之餘式為$2x+1$。試選出正確的選項。
      1. $f\left(0\right)=1$
      2. $f\left(1\right)=3$
      3. $f\left(x\right)$可能為一次式
      4. $f\left(x\right)$可能為$4x^4+2x^2-3$
      5. $f\left(x\right)$可能為$4x^4+2x^3-3$
      3. 訣竅按題幹資訊使用除法原理列式後試探各選項之可能性。
      解法由除法原理可知$f\left(x\right)=\left(x^2-1\right)q\left(x\right)+2x+1$，其中$q$為商式。
      1. 容易知道$f\left(0\right)=-q\left(0\right)+1$需要依賴$q$來決定，故選項(1)錯誤
      2. 取$x=1$代入即有$f\left(1\right)=3$，因此選項(2)正確。
      3. 取$f\left(x\right)=2x+1$是可能的，此時商式$q$為零多項式。選項(3)正確
      4. 承(2)的想法，可以知道$f\left(-1\right)=-1$，但此選項不符合此項結果，故不可能為$4x^4+2x^2-3$。
      5. 相較於(4)的結果，可以直接藉由除法檢驗確認此式可能的，即有

        $4x^4+2x^3-3=\left(x^2-1\right)\left(4x^2+2x+4\right)+2x+1$

      由以上分析可知應選(2)(3)(5)。

    3. 已知坐標平面上$\Delta ABC$，其$\overset{\rightharpoonup}{AB}=\left(-4,3\right)$，且$\displaystyle\overset{\rightharpoonup}{AC}=\left(\frac25,\frac45\right)$。試選出正確的選項。
      1. $\overline{BC}=5$
      2. $\Delta ABC$是直角三角形
      3. $\Delta ABC$的面積為$\displaystyle\frac{11}5$
      4. $\sin B>\sin C$
      5. $\cos A>\cos B$
      4. 訣竅運用向量與三角函數公式逐一求解即可。
      解法
      1. 相兩個給定的向量相減有

        $\displaystyle\overset{\rightharpoonup}{BC}=-\overset{\rightharpoonup}{AB}+\overset{\rightharpoonup}{AC}=\left(4,-3\right)+\left(\frac25,\frac45\right)=\left(\frac{22}5,-\frac{11}5\right)$

        因此$\overline{BC}=\frac{11}{\sqrt5}$，本選項錯誤。

      2. 由於$\overline{AB}=5$、$\overline{AC}=\frac2{\sqrt5}$，搭配選項(1)可以檢查出

        $\displaystyle\overline{AC}^2+\overline{BC}^2=\frac4{5}+\frac{121}5=25=\overline{AB}^2$

        故$\Delta ABC$為直角三角形。

        又或者可以直接檢查有$\overset{\rightharpoonup}{AC}\cdot\overset{\rightharpoonup}{BC}=0$，因此$\angle ACB$為直角。

        無論用上述何種方法皆可確定本選項正確。
      3. 承(2)的觀點，運用底乘高除以$2$計算面積可得：$\displaystyle\frac{2}{\sqrt5}\cdot\frac{11}{\sqrt5}\cdot\frac12=\frac{11}5$，本選項正確。
      4. 由於$C=90^\circ$，故$\sin C=1>\sin B$，本選項錯誤。事實上可以精確求得$\sin B=\frac{2\sqrt5}{25}$、$\sin A=\frac{11\sqrt5}{25}$。
      5. 直接計算可知$\displaystyle \cos A=\sin B$、$\cos B=\sin A$，利用(4)的結果可以知道$\cos B>\cos A$，本選項錯誤。
      綜上可知應選(2)(3)。

    4. 坐標空間中，設直線$\displaystyle L:\frac{x-1}2=\frac{y-2}{-3}=\frac{z}{-1}$，平面$E_1:2x-3y-z=0$，平面$E_2:x+y-z=0$。試選出正確的選項。
      1. 點$\left(3,0,-1\right)$在直線$L$上
      2. 點$\left(1,2,3\right)$在平面$E_1$上
      3. 直線$L$與平面$E_1$垂直
      4. 直線$L$在平面$E_2$上
      5. 平面$E_1$與$E_2$交於一直線
      5. 訣竅瞭解對稱比例式與平面方程式其中所代表的幾何意涵即可求解。
      解法
      1. 代入檢驗可知$\displaystyle\frac{3-1}2\neq\frac{0-2}{-3}$，因此點$\left(3,0,-1\right)$不落在直線$L$上。
      2. 代入檢驗可知$2\cdot1-3\cdot2-3=-7\neq0$，故點$\left(1,2,3\right)$不在平面$E_1$上。
      3. 由於$L$的方向向量與$E_1$的法向量相同，故本選項正確。
      4. 直線$L$上一點$\left(1,2,0\right)$可代入檢驗得知不落在$E_2$上，故直線$L$並不落在平面$E_2$中，本選項錯誤。
      5. 由於兩平面$E_1$與$E_2$不平面也不重合，故確實相交於一直線。本選項正確。
      由以上討論可知應選(3)(5)。

    5. 試問下列哪些選項中的二次曲線，其焦點（之一）是拋物線$y^2=2x$的焦點？
      1. $\displaystyle y=\left(x-\frac12\right)^2-\frac14$
      2. $\displaystyle\frac{x^2}4+\frac{y^2}3=1$
      3. $\displaystyle x^2+\frac{4y^2}3=1$
      4. $8x^2-8y^2=1$
      5. $4x^2-4y^2=1$
      6. 訣竅按照二次曲線係數所代表的意義求出對應的焦距$c$或$a,b$之值。
      解法題幹給定的拋物線開口向右且頂點為$\left(0,0\right)$，焦距為$\displaystyle\frac12$，故焦點為$\displaystyle\left(\frac12,0\right)$。
      1. 此為開口向上的拋物線，其頂點位置為$\displaystyle\left(\frac12,-\frac14\right)$，焦距為$\displaystyle\frac14$，因此焦點為$\displaystyle\left(\frac12,0\right)$，此選項正確。
      2. 此為橢圓方程式，其長軸落在$x$軸上，$c^2=a^2-b^2=4-3=1$，故焦點為$\left(\pm1,0\right)$，與題幹所指示的焦點不同。
      3. 此為橢圓方程式，由於$1>\frac34$，故長軸落在$x$軸上，且有$\displaystyle c^2=a^2-b^2=1-\frac34=\frac14$，因此焦距$\displaystyle c=\frac12$，故焦點為$\displaystyle\left(\pm\frac12,0\right)$，此選項正確。
      4. 此為左右開口的雙曲線，故貫軸落在$x$軸上，並且有$\displaystyle c^2=a^2+b^2=\frac18+\frac18=\frac14$，因此焦距$\displaystyle c=\frac12$，故焦點為$\displaystyle\left(\pm\frac12,0\right)$，此選項正確。
      5. 仿(4)的計算有$\displaystyle c^2=\frac12$，因此焦距$\displaystyle c=\frac{\sqrt2}2$，故焦點為$\displaystyle\left(\pm\frac{\sqrt2}2,0\right)$，此選項錯誤。
      由以上可知應選(1)(3)(4)。
第貳部分：選填題（占$40$分）
說明：
  1. 第A至H題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（13-33）
  2. 每題完全答對給$5$分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
  1. 已知坐標平面上三點$\left(3,\log3\right)$、$\left(6,\log6\right)$與$\left(12,y\right)$在同一直線上，則$y=\log$ ⑬⑭ 。
    2. 訣竅因為在同一直線上，故斜率相同，據此列式並求得$y$值，其中的計算過程應使用到對數律簡化算式。
    解法按斜率相同來列式有

    $\displaystyle\frac{\log6-\log3}{6-3}=\frac{y-\log6}{12-6}$

    因此有$y=\log6+2\left(\log6-\log3\right)=\log24$，故填入$⑬=2$、$⑭=4$。

  2. 如右圖所示（只是示意圖），將梯子$\overline{AB}$靠在與地面垂直的牆$AC$上，測得與水平地面的夾角$\angle ABC$為$60^\circ$。將在地面上的底$B$沿著地面向外拉$51$公分到點$F$（即$\overline{FB}=51$公分），此時梯子$\overline{EF}$與地面的夾角$\angle EFC$之正弦值為$\sin\angle EFC=0.6$，則梯子長$\overline{AB}=$ ⑮⑯⑰ 公分。
    3. 訣竅運用三角函數表達線段長度後即可求解。
    解法設梯子長$\overline{AB}=x$公分，那麼按餘弦的定義可知$\overline{BC}=x\cos60^\circ=0.5x$。再者由於梯子滑動之梯長不會改變，因此$\overline{EF}=x$，同樣由餘弦的意義可知$\overline{FC}=0.8x$，故有

    $\displaystyle0.8x-0.5x=51$

    如此解得$\displaystyle x=170$，填入$⑮=1$、$⑯=7$、$⑰=0$。

  3. 平面上兩點$A$、$B$之距離為$5$，以$A$為圓心作一半徑為$r$（$0<r<5$）的圓$\Gamma$，過$B$作圓$\Gamma$的切線，切點（之一）為$P$。當$r$變動時，$\Delta PAB$的面積最大可能值為$\displaystyle\underline{\frac{⑱⑲}{⑳}}$。（化成最簡分數）
    4. 訣竅按照題意分析$\Delta PAB$與$r$的關係列式求解即可。
    解法按題設可知$\overline{PA}=r$，並且由$\Delta PAB$在$P$處為直角以及$\overline{AB}=5$可推知$\overline{PB}=\sqrt{25-r^2}$，因此$\Delta PAB$的面積為$\displaystyle\frac{r\sqrt{25-r^2}}2$。運用算術幾何不等式可以注意到

    $25=r^2+\sqrt{25-r^2}^2\geq2\cdot r\cdot\sqrt{25-r^2}$

    這表明$\Delta PAB$的面積不超過$\displaystyle\frac{25}4$，並且等號成立條件為$r=\sqrt{25-r^2}$，即$\displaystyle r=\frac5{\sqrt2}$。故填入$⑱=2$、$⑲=5$、$⑳=4$。

  4. 坐標平面上，圓$\Gamma$完全落在四個不等式：$x-y\leq4$、$x+y\geq18$、$x-y\geq-2$、$x+y\geq-24$所圍成的區域內。則$\Gamma$最大可能面積為$\displaystyle\underline{\frac{㉑}{㉒}}\pi$。（化成最簡分數）
    5. 訣竅注意條件圍成的區域是長方形後即可考慮落在其中的最大圓之半徑。
    解法由於四條邊界兩兩平行，並且斜率分別為$-1$與$1$，故這不等式組所圍成的區域為長方形，因此圓$\Gamma$的最大直徑是長方形的寬。容易計算出兩平行線之間的距離分別為$\displaystyle\frac{6}{\sqrt2}=3\sqrt2$、$\displaystyle\frac{42}{\sqrt2}=21\sqrt2$，故寬為$3\sqrt2$，因此最大圓面積為$\displaystyle\pi\left(\frac{3\sqrt2}2\right)^2=\frac92\pi$。填入$㉑=9$、$㉒=2$。

  5. 坐標平面上，若拋物線$y=x^2+2x-3$的頂點為$C$，與$x$軸的交點為$A$、$B$，則$\displaystyle\cos\angle ACB=\underline{\frac{㉓}{㉔}}$。（化成最簡分數）
    6. 訣竅將拋物線配方整理後求出頂點$C$，隨後與$x$軸解聯立求出點$A$與$B$的座標，運用向量內積即可求出角度的餘弦值。
    解法配方可得$y=\left(x+1\right)^2-4$，因此頂點為$C\left(-1,-4\right)$，而與$x$軸的交點為$A\left(1,0\right)$與$B\left(-3,0\right)$，故得向量$\overset{\rightharpoonup}{CA}=\left(2,4\right)$與$\overset{\rightharpoonup}{CB}=\left(-2,4\right)$，進行內積計算可得

    $12=\overset{\rightharpoonup}{CA}\cdot\overset{\rightharpoonup}{CB}=\overline{CA}\cdot\overline{CB}\cos\angle ACB=20\cos\angle ACB$

    因此所求為$\displaystyle\cos\angle ACB=\frac{12}{20}=\frac35$，故填入$㉓=3$、$㉔=5$。

  6. 設$a,b,c,d,e,x,y,z$皆為實數，考慮矩陣相乘：$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-3&5&7\\-4&6&e\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&x&7\\0&y&7\\-11&z&23\end{bmatrix}$，則$\displaystyle y=\underline{\frac{㉕}{㉖}}$。（化成最簡分數）
    7. 訣竅逐步利用矩陣乘法的概念確定需要求得的係數依序處理即可。
    解法首先注意到$y=5c+6d$，故需要求出$c$與$d$；為此我們發現有$-3c-4d=0$與$7c+de=7$，此時又需要知道$e$之值。最後注意到$1\cdot7+2e=23$，因此$e=8$，故回頭解聯立二元一次式得$c=7$、$\displaystyle d=-\frac{21}4$，至終獲得$\displaystyle y=5\cdot7+6\cdot-\frac{21}4=\frac72$。因此填入$㉕=7$、$㉖=2$。

  7. 設$D$為$\Delta ABC$中$\overline{BC}$邊上的一點，已知$\angle ABC=75^\circ$、$\angle ACB=45^\circ$、$\angle ADB=60^\circ$。若$\overset{\rightharpoonup}{AD}=s\overset{\rightharpoonup}{AB}+t\overset{\rightharpoonup}{AC}$，則$\displaystyle s=\underline{\frac{㉗}{㉘}}$，$\displaystyle t=\underline{\frac{㉙}{㉚}}$。（化成最簡分數）
    8. 訣竅由於$D$落在$\overline{BC}$上，因此只要求出$\overline{BD}:\overline{DC}$就可以運用分點公式求出係數，其中為了求出三角形中的線段比例，我們可以使用正弦定理處理之。
    解法為了求出$\overline{BD}:\overline{DC}$，我們透過$\overline{AD}$搭橋使用兩次正弦定理如下

    $\displaystyle\frac{\overline{BD}}{\sin45^\circ}=\frac{\overline{AD}}{\sin75^\circ},\quad\frac{\overline{DC}}{\sin15^\circ}=\frac{\overline{AD}}{\sin45^\circ}$

    因此

    $\displaystyle\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}=\frac{\sin45^\circ\sin45^\circ}{\sin75^\circ\sin15^\circ}=\frac{1}{2\sin75^\circ\cos75^\circ}=\frac1{\sin150^\circ}=2$

    故運用分點公式可得$\displaystyle\overset{\rightharpoonup}{AD}=\frac13\overset{\rightharpoonup}{AB}+\frac23\overset{\rightharpoonup}{AC}$，因此填入$㉗=1$、$㉘=3$、$㉙=2$、$㉚=3$。

  8. 將一塊邊長$\overline{AB}=15$公分、$\overline{BC}=20$公分的長方形鐵片$ABCD$沿對角線$\overline{BD}$對摺後豎立，使得平面$ABD$與平面$CBD$垂直，則$A$、$C$兩點（在空間）的距離$\overline{AC}=\underline{\sqrt{㉛㉜㉝}}$公分。（化成最簡根式）
    9. 訣竅不斷使用畢氏定理進行求解即可。
    解法

    首先分別對$A$與$C$向$\overline{BD}$作垂線交於$E$與$F$，藉由畢氏定理可以知道$\overline{BD}=25$。藉由相似形可以知道$\overline{AE}=\overline{CF}=12$、$\overline{DE}=\overline{BF}=9$，而$\overline{EF}=25-9\cdot2=7$。

    接著沿$\overline{BD}$對摺時，使$A$移動至$E$的正上方，那麼運用空間中的畢氏定理可以知道兩點距離為

    $\sqrt{12^2+7^2+12^2}=\sqrt{144+49+144}=\sqrt{337}$

    故填入$㉛=3$、$㉜=3$、$㉝=7$。

參考公式及可能用到的數值

  1. 首項為$a$，公差為$d$的等差數列前$n$項之和為$\displaystyle S=\frac{n\left(2a+\left(n-1\right)d\right)}2$
    首項為$a$，公比為$r$（$r\neq1$）的等比數列前$n$項之和為$\displaystyle S=\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}$
  2. 三角函數的和角公式：$\sin\left(A+B\right)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$
    　　　　　　　　　　$\cos\left(A+B\right)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$
    　　　　　　　　　　$\displaystyle\tan\left(A+B\right)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$
  3. $\Delta ABC$的正弦定理：$\displaystyle\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$　（$R$為$\Delta ABC$外接圓半徑）
    $\Delta ABC$的餘弦定理：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$
  4. 一維數據$X:x_1,x_2,\cdots,x_n$，算術平均數$\displaystyle\mu_X=\frac1n\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)=\frac1n\sum_{i=1}^nx_i$
    標準差$\displaystyle\sigma_X=\sqrt{\frac1n\sum_{i=1}^n\left(x_i-\mu_X\right)^2}=\sqrt{\frac1n\left(\left(\sum_{i=1}^nx_i^2\right)-n\mu_X^2\right)}$
  5. 二維數據$\left(X,Y\right):\left(x_1,y_1\right),\left(x_2,y_2\right),\cdots,\left(x_n,y_n\right)$，相關係數$\displaystyle r_{X,Y}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i-\mu_X\right)\left(y_i-\mu_Y\right)}{n\sigma_X\sigma_Y}$
    迴歸直線（最適合直線）方程式$\displaystyle y-\mu_Y=r_{X,Y}\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\left(x-\mu_X\right)$
  6. 參考數值：$\sqrt2\approx1.414$,$ \sqrt3\approx1.732$, $\sqrt5\approx2.236$, $\sqrt6\approx2.449$, $\pi\approx3.142$
  7. 對數值：$\log_{10}2\approx0.3010$，$\log_{10}3\approx0.4771$，$\log_{10}5\approx0.6990$，$\log_{10}7\approx0.8451$
  8. 角錐體積$\displaystyle=\frac13$底面積$\times$高

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