國立清華大學九十一年學年度轉學生入學考試(八系聯招)試題詳解

九十一學年度　八系聯招　系轉學生招生考試

科目　微積分　　科號　003　共　1　頁第　1　頁　＊請在試卷【答案卷】內作答

1. 填充題（共三題，每題八分，請將答案依甲、乙、丙次序作答，不需演算過程）
1. Find $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left\{\left(x^3-2x^2+1\right)^{1/3}-x\right\}$. Ans. 　甲　.
訣竅
運用有理化改寫極限式後即可計算；亦可改寫後使用 L'Hôpital 法則計算。
解法一

分子分母同乘以 $\left(x^3-2x^2+1\right)^{2/3}+x\left(x^3-2x^2+1\right)^{1/3}+x^2$ 可知

$\begin{aligned}\lim_{x\to+\infty}\left\{\left(x^3-2x^2+1\right)^{1/3}-x\right\}&=\lim_{x\to\infty}\frac{-2x^2+1}{\left(x^3-2x^2+1\right)^{2/3}+x\left(x^3-2x^2+1\right)^{1/3}+x^2}\\&=\lim_{x\to\infty}\frac{\displaystyle-2+\frac1{x^2}}{\displaystyle\left(1-\frac2x+\frac1{x^3}\right)^{2/3}+\left(1-\frac2x+\frac1{x^3}\right)^{1/3}+1}\\&=-\frac23.\end{aligned}$

解法二

將原式改寫後使用 L'Hôpital 法則如下

$\begin{aligned}\lim_{x\to+\infty}\left\{\left(x^3-2x^2+1\right)^{1/3}-x\right\}&=\lim_{x\to\infty}\frac{\displaystyle\left(1-\frac2x+\frac1{x^3}\right)^{1/3}-1}{\displaystyle\frac1x}\\&=\lim_{x\to\infty}\frac{\displaystyle\frac13\left(1-\frac2x+\frac1{x^3}\right)^{-2/3}\cdot\left(\frac2{x^2}-\frac3{x^4}\right)}{\displaystyle-\frac1{x^2}}\\&=-\frac23\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac2x+\frac1{x^3}\right)^{-2/3}\left(1-\frac3{2x^2}\right)\\&=-\frac23.\end{aligned}$



2. Find the domain of convergence of $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{3^n+\left(-2\right)^n}n\left(x+1\right)^n$. (including the end points) Ans. 　乙　.
訣竅
兩冪級數之和的收斂區間為兩收斂區間的交集，據此分開處理即可。
解法

將給定的級數拆為兩塊，即

$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{3^n+\left(-2\right)^n}n\left(x+1\right)^n=\sum_{n=1}^\infty\frac{3^n}n\left(x+1\right)^n+\sum_{n=1}^\infty\frac{\left(-2\right)^n}n\left(x+1\right)^n.$

分別記 $\displaystyle a_n=\frac{3^n}n$、$\displaystyle b_n=\frac{\left(-2\right)^n}n$，那麼兩級數的收斂半徑分別可計算如下

$\begin{aligned}&R_1=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{3n}=\frac13,\\&R_2=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{b_n}{b_{n+1}}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n}=\frac12.\end{aligned}$

暫且不論端點可以注意到前者之收斂半徑較小，故讓兩級數必皆收斂的區間為 $\left(-4/3,-2/3\right)$。

現對第一個級數檢查端點是否收斂（不必將此端點代入檢查第二個級數，因為這兩個端點對於第二個級數都在內部，因此是絕對收斂）：

• 當 $x=-4/3$ 時，第一個級數寫為 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\left(-1\right)^n}n$ 為交錯級數，可應用交錯級數審歛法知其收斂；
• 當 $x=-2/3$ 時，那麼第一個級數可寫為 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n$ 為調和級數，由 $p$ 級數在 $p=1$ 時能知其發散。

結合以上的討論能知題目給定的級數的收斂區域為 $\left[-4/3,-2/3\right)$。



3. Evaluate the surface integral $\displaystyle\iint_S(\nabla\times\vec F)\cdot\vec n\,d\sigma$, where $S$ is the hemisphere $\left\{\left(x,y,z\right)|x^2+y^2+z^2=1,z\geq0\right\}$, oriented upward, and $\vec F\left(x,y,z\right)=\left(x^2\sin z,x,\left(1+z\right)e^{xy}\right)$. Ans. 　丙　.
訣竅
為了應用 Gauss 散度定理，考慮一適當的區域，此區域中的邊界應為題目給定的曲面。
解法

考慮立體區域 $D=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb R^3\,:\,x^2+y^2+z^2\leq1,z\geq0\right\}$ 以及平面區域 $C=\left\{\left(x,y,0\right)\in\mathbb R^3\,:\,x^2+y^2\leq1\right\}$，如此可以注意到立體區域 $D$ 的邊界 $\partial D=S\cup C$。運用 Gauss 散度定理可知

$\displaystyle\iint_S(\nabla\times\vec F)\cdot\vec n\,d\sigma+\iint_C(\nabla\times\vec F)\cdot\vec n\,d\sigma=\iint_{\partial D}(\nabla\times\vec F)\cdot\vec n\,d\sigma=\iiint_D\nabla\cdot(\nabla\times\vec F)\,dV.$

又根據算子的性質或直接驗算可以知道 $\nabla\cdot(\nabla\times\vec F)\equiv0$：

$\begin{aligned}\nabla\cdot(\nabla\times\vec F)&=\nabla\cdot\left(x\left(1+z\right)e^{xy},x^2\cos z-y\left(1+z\right)e^{xy},1\right)\\&=\left[\left(1+z\right)e^{xy}+xy\left(1+z\right)e^{xy}\right]-\left[\left(1+z\right)e^{xy}+xy\left(1+z\right)e^{xy}\right]+0=0.\end{aligned}$

至此我們知道

$\displaystyle\iint_S(\nabla\times\vec F)\cdot\vec n\,d\sigma=-\iint_C(\nabla\times\vec F)\cdot\vec n\,d\sigma.$

又在 $C$ 上的曲面積分可視為通常的雙重積分，其中 $\vec n=\left(0,0,-1\right)$，並且方便起見採用相同的記號 $C$ 來代表二維的單位圓盤，那麼有

$\displaystyle\iint_S(\nabla\times\vec F)\cdot\vec n\,d\sigma=-\iint_C\left(x\left(1+z\right)e^{xy},x^2\cos z-y\left(1+z\right)e^{xy},1\right)\cdot\left(0,0,-1\right)dA=\iint_CdA=\pi.$

2. 計算與證明題（共七題，必須寫出演算證明過程）
1. ($12$ points) Let $\displaystyle f\left(x,y\right)=\frac{x^2y+y^4}{x^2+y^2}$ if $\left(x,y\right)\neq\left(0,0\right)$ and $f\left(0,0\right)=0$. Let $\vec u=\left(a,b\right)$ be an unit vector. Find the directional derivative $D_{\vec u}f\left(0,0\right)$. Is $f$ differentiable at $\left(0,0\right)$? Give your reasons.
訣竅
按方向導數的定義計算，為了確認 $f$ 是否可導，可運用方向導數常使用的計算公式驗證。
解法
運用方向導數的定義計算如下
$\displaystyle D_{\vec u}f\left(0,0\right)=\lim_{h\to0^+}\frac{f\left(ah,bh\right)-f\left(0,0\right)}h=\lim_{h\to0^+}\frac{a^2bh^2+b^4h^3}{a^2h^2+b^2h^2}=\lim_{h\to0^+}\frac{a^2b+b^4h}{a^2+b^2}=\frac{a^2b}{a^2+b^2}=a^2b.$
但 $f$ 在原點不可導。原因如下：假若 $f$ 在原點可導，那麼它的方向導數可表達為梯度與單位方向向量的內積，亦即我們應當會有這樣的公式：
$D_{\vec u}f\left(0,0\right)=\nabla f\left(0,0\right)\cdot\vec u.$
然而左式計算已知為 $a^2b$，但右式則為 $\left(f_x\left(0,0\right),f_y\left(0,0\right)\right)\cdot\left(a,b\right)=0$，那麼當 $ab\neq0$ 時等號並不成立，這就說明了 $f$ 在原點不可導。


2. ($12$ points) Find the critical points of $f\left(x,y\right)=x^3+y^2-27x+4y+1$ and determine whether it is a maximum, minimum or saddle point.
訣竅
先解一階偏導為零的點，再利用二階行列式判別其性質。
解法

先求出臨界點，亦即解下列的聯立方程組

$\left\{\begin{aligned}&f_x\left(x,y\right)=3x^2-27=0,\\&f_y\left(x,y\right)=2y+4=0.\end{aligned}\right.$

容易解得 $x=\pm3$、$y=-2$，即兩座標 $\left(3,-2\right)$ 以及 $\left(-3,-2\right)$。

現在考慮二階判別式 $D$ 如下

$D\left(x,y\right)=\begin{vmatrix}f_{xx}\left(x,y\right)&f_{xy}\left(x,y\right)\\f_{yx}\left(x,y\right)&f_{yy}\left(x,y\right)\end{vmatrix}=f_{xx}\left(x,y\right)f_{yy}\left(x,y\right)-f_{xy}\left(x,y\right)f_{yx}\left(x,y\right)=6x\cdot2-0\cdot0=12x.$

• $D\left(3,-2\right)=36>0$，$f_{xx}\left(3,-2\right)=18>0$，故 $f$ 在 $\left(3,-2\right)$ 達到局部極小點；
• $D\left(-3,-2\right)=-36<0$，故 $f$ 在 $\left(-3,-2\right)$ 處為鞍點。



3. ($12$ points) Evaluate the integral $\displaystyle\iint_De^{\frac x{x-2y}}\,\,dx\,dy$, where $D$ is the trapezoidal region with vertices $\left(1,0\right)$, $\left(2,0\right)$, $\left(-1,-1\right)$ and $\left(-2,-2\right)$.
訣竅
由積分區域以及被積分函數的特性使用適當的變數代換即可處理。
解法

首先積分區域 $D$ 的四個邊界分別為 $y=0$、$x-y=0$、$x-2y=1$、$x-2y=2$，如此令 $u=x-2y$、$v=y$，那麼四個邊界條件可以分別對應如下

$\left\{\begin{aligned}&y=0,\\&x-y=0,\\&x-2y=1,\\&x-2y=2.\end{aligned}\right.\quad\Rightarrow\quad\left\{\begin{aligned}&v=0,\\&u+v=0,\\&u=1,\\&u=2.\end{aligned}\right.$

因此圍成區域的不等式能表達為 $1\leq u\leq2$、$-u\leq v\leq0$。再者，計算其對應的 Jacobian 行列式如下

$\displaystyle\left|\frac{\partial\left(x,y\right)}{\partial\left(u,v\right)}\right|=\begin{vmatrix}\displaystyle\frac{\partial x}{\partial u}&\displaystyle\frac{\partial x}{\partial v}\\\displaystyle\frac{\partial y}{\partial u}&\displaystyle\frac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&2\\0&1\end{vmatrix}=1.$

綜上，所求的重積分可改寫並計算如下

$\begin{aligned}\iint_De^{\frac x{x-2y}}\,\,dx\,dy&=\int_1^2\int_{-u}^0e^{\frac{u+2v}u}dv\,du\\&=e\int_1^2\int_{-u}^0e^{\frac{2v}u}dv\,du\\&=e\int_1^2\left.\frac u2e^{\frac{2v}u}\right|_{v=-u}^{v=0}du\\&=\frac{e-e^{-1}}2\int_1^2udu\\&=\left.\frac{e-e^{-1}}2\cdot\frac{u^2}2\right|_1^2\\&=\frac{3\left(e-e^{-1}\right)}4=\frac32\sinh1.\end{aligned}$



4. ($10$ points) Let $f:\left(-1,1\right)\to\mathbb R$ be a bounded function, i.e., there is a $M>0$ such that $\left|f\left(x\right)\right|\leq M$ for all $x\in\left(-1,1\right)$. Define $g\left(x\right)=xf\left(x\right)$. Is $g$ differentiable at $0$? Give your reasons.
訣竅
運用導數的定義計算驗證即可。
解法
按導數的定義可以列式如下
$\displaystyle g'\left(0\right)=\lim_{h\to0}\frac{g\left(h\right)-g\left(0\right)}h=\lim_{h\to0}\frac{hf\left(h\right)}h=\lim_{h\to0}f\left(h\right).$
因此問題在 $f$ 在原點是否有極限值，但由給定的條件未必能推論出來。不妨考慮反例：$\displaystyle f\left(x\right)=\sin\frac1x$，此為有界函數（取 $M=1$ 可驗證），但在原點不連續，故本問題不成立。


5. ($10$ points) Evaluate $\displaystyle\int_2^{10}\frac{x+1}{x\sqrt{x-1}}dx$.
訣竅
由於分母的根號項使得計算產生困難，故運用變數代換處理之。
解法

令 $u=\sqrt{x-1}$，那麼

• 當 $x=2$ 時有 $u=1$；
• 當 $x=10$ 時有 $u=3$；
• 容易整理得 $x=1+u^2$，求導則為 $dx=2u\,du$。

據此可以將所求的定積分改寫並計算如下

$\begin{aligned}\int_2^{10}\frac{x+1}{x\sqrt{x-1}}dx&=\int_1^3\frac{1+u^2+1}{(1+u^2)u}\cdot2u\,du\\&=2\int_1^3\left(1+\frac1{1+u^2}\right)du\\&=2u+2\tan^{-1}u\Big|_1^3\\&=4+2\tan^{-1}3-\frac\pi2.\end{aligned}$



6. ($10$ points) Find the extreme values of $f\left(x,y,z\right)=xy+z^2$ subject to the constraints: $x^2+y^2+z^2=4$ and $x-y=0$.
訣竅
運用限制條件並使用基本的不等式處理即可求出極大極小值。
解法
先使用第二個限制條件，如此給定的函數可寫為
$g\left(x,z\right)=f\left(x,x,z\right)=x^2+z^2$.
而第一個限制條件則寫為 $2x^2+z^2=4$，這告訴我們 $0\leq x^2\leq2$。容易利用限制條件改寫 $g$，並使用基本的不等式知道
$2\leq g\left(x,z\right)=4-x^2\leq4,$
其中第一個等號成立的條件為 $x^2=2$ 而第二個等號成立的條件為 $x^2=0$。如此可知最大值為 $4$，等號成立條件為 $\left(0,0,\pm2\right)$，而最小值為 $2$，等號成立條件為 $\pm\left(\sqrt2,\sqrt2,0\right)$。


7. ($10$ points) Apply Green's theorem to find the area of the region enclosed by the curve $x^{\frac23}+y^{\frac23}=1$.
訣竅
按題意使用 Green 定理改寫所求的重積分為線積分，隨後運用參數式求解。
解法

設曲線 $C=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb R^2\,:\,x^{2/3}+y^{2/3}=1\right\}$ 所包圍的區域為 $D=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb R^2\,:\,x^{2/3}+y^{2/3}\leq1\right\}$，並記 $D$ 的面積為 $\left|D\right|$，那麼所求的面積可表達並使用 Green 定理改寫如下

$\displaystyle\left|D\right|=\iint_D1\,dA=\frac12\oint_C-y\,dx+x\,dy.$

利用對稱性，記 $C'=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb R^2\,:\,x^{2/3}+y^{2/3}=1,x\geq0,y\geq0\right\}$，因此

$\displaystyle\left|D\right|=2\oint_{C'}-y\,dx+x\,dy.$

據此參數化 $C'$ 為 $x=\cos^3t$、$y=\sin^3t$，其中 $0\leq t\leq\pi/2$，故所求能改寫並計算如下

$\begin{aligned}\left|D\right|&=2\int_0^{\pi/2}\left(-\sin^3t\cdot3\cos^2t\cdot-\sin t+\cos^3t\cdot3\sin^2t\cdot\cos t\right)dt\\&=6\int_0^{\pi/2}\left(\sin^4t\cos^2t+\cos^4t\sin^2t\right)dt\\&=6\int_0^{\pi/2}\sin^2t\cos^2tdt\\&=\frac32\int_0^{\pi/2}\left(1-\cos^22t\right)dt\\&=\frac34\int_0^{\pi/2}\left(1-\cos4t\right)dt\\&=\left.\frac34\left(t-\frac{\sin4t}4\right)\right|_0^{\pi/2}\\&=\frac{3\pi}8.\end{aligned}$