一百零八學年度數學學科能力測驗

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$108$學年度學科能力測驗試題

數學考科

－作答注意事項－

1. 考試時間：$100$分鐘
2. 題型題數：單選題$6$題，多選題$7$題，選填題第A至G題共$7$題
3. 作答方式：用2B鉛筆在「答案卡」上作答；更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液（帶）。未依規定畫記答案卡，致機器掃描無法辨識答案者，其後果由考生自行承擔。
4. 選填題作答說明：選填題的題號是A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子畫記。請仔細閱讀下面的例子。

   例：若第B題的答案格式是$\displaystyle\underline{　\frac{⑱}{⑲}　}$，而依題意計算出來的答案是$\displaystyle\frac{3}{8}$，則考生必須分別在答案卡上的第$18$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$與第$19$列的$\underset{\boxed{~~}}{8}$劃記，如：

   $\begin{array}{|c|}18~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\19~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\color{black}{▆▆}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

   例：若第C題的答案格式是$\displaystyle\underline{　\frac{⑳㉑}{50}　}$，而答案是$\displaystyle\frac{-7}{50}$時，則考生必須分別在答案卡的第$20$列的$\underset{\boxed{~~}}{-}$與第$21$列的$\underset{\boxed{~~}}{7}$畫記，如：

   $\begin{array}{|c|}20~~\underset{\color{black}{▆▆}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline21~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\color{black}{▆▆}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

5. ※試題後附有參考公式及可能用到的數值

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第壹部分：選擇題（占$65$分）

1. 單選題（占$30$分）
說明：第$1$題至第$6$題，每題有$5$個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得$5$分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。
1. 點$A\left(1,0\right)$在單位圓$\Gamma:x^2+y^2=1$上。試問：$\Gamma$上除了$A$點以外，還有幾個點到直線$L:y=2x$的距離等於$A$點到$L$的距離？
   1. $1$個
   2. $2$個
   3. $3$個
   4. $4$個
   5. $0$個
訣竅
計算點到直接的距離後解聯立方程。
解法
由點到直線的距離公式可知$A$到$L$的距離為
$\displaystyle d\left(A,L\right)=\frac{\left|2\cdot1-0\right|}{\sqrt5}=\frac2{\sqrt5}$
若單位圓$\Gamma$上也有點$K\left(a,b\right)$到$L$的距離與$A$到$L$的距離相同，那麼便有
$\displaystyle d\left(K,L\right)=\frac{\left|2a-b\right|}{\sqrt5}=\frac2{\sqrt5}$
此即$\left(a,b\right)$滿足$a^2+b^2=1$且$\left|2a-b\right|=2$。將第二式進行討論：
• 若$2a-b=2$，那麼$b=2a-2$代入第一式有$a^2+\left(2a-2\right)^2=1$，即有$5a^2-8a+3=0$，因式分解得$\left(a-1\right)\left(5a-3\right)=0$，由於$K$要異於$A$，因此$a\neq1$，故得$\displaystyle a=\frac35$，此時$K$為$\displaystyle\left(\frac35,-\frac45\right)$。
• 若$2a-b=-2$，那麼$b=2a+2$代入第一式有$a^2+\left(2a+2\right)^2=1$，即有$5a^2+8a+3=0$，因式分解則為$\left(a+1\right)\left(5a+3\right)=0$。可得$K$為$\left(-1,0\right)$或$\left(-\frac35,\frac45\right)$。
綜上討論有三個異於$A$的點滿足條件，應選(3)。


2. 下列哪一個選項是方程式$x^3-x^2+4x-4=0$的解？（註：$i=\sqrt{-1}$）
   1. $-2i$
   2. $-i$
   3. $i$
   4. $2$
   5. $4$
訣竅
除了直接代入檢驗外，我們可以藉由因式分解將三次多項式方程式的三個根解出來。
解法
藉由兩兩提公因式可以知道$x^3-x^2+4x-4=x^2\left(x-1\right)+4\left(x-1\right)=\left(x^2+4\right)\left(x-1\right)$，因此方程式的根為$x=1$或$x=\pm2i$，據此應選(1)。


3. 試問共有多少組正整數$\left(k,m,n\right)=2^k4^m8^n=512$？
   1. $1$組
   2. $2$組
   3. $3$組
   4. $4$組
   5. $0$組
訣竅
根據指數律簡化方程式得到$k,m,n$的關係式並討論。
解法
將$2^k4^m8^n=512$展開有$2^{k+2m+3n}=2^9$，因此得$k+2m+3n=9$。依次討論如下
• 若$n=1$，則$k+2m=6$，那麼有$\left(k,m\right)=\left(4,1\right)$或$\left(2,2\right)$。
• 若$n=2$，則$k+2m=3$，則有$\left(k,m\right)=\left(1,1\right)$。
• 而$n\geq3$不可能，此時將有$k+2m\leq0$，那麼無正整數$k,m$能滿足之。
故總計有三組解，故選(3)。


4. 廚師買了豬、雞、牛三種肉類食材以及白菜、豆腐、香菇三種素類食材。若廚師想用完這六種食材作三道菜，每道菜可以只用一種食材或用多種食材，但每種食材只能使用一次，且每道菜一定要有肉，試問食材的分配共有幾種方法？
   1. $3$
   2. $6$
   3. $9$
   4. $18$
   5. $27$
訣竅
由於三道菜都要使用肉，因此容易知道討論重點應放在素類食材的分配。
解法
設廚師作三道菜$A,B,C$：$A$使用豬肉、$B$使用雞肉而$C$使用牛肉。白菜、豆腐和香菇皆分別有三種選擇決定要加入$A,B,C$三種中的一種，故有$3\times3\times3=3^3=27$種方法，應選(5)。


5. 設正實數$b$滿足$\left(\log100\right)\left(\log b\right)+\log100+\log b=7$。試選出正確的選項。
   1. $1\leq b\leq\sqrt{10}$
   2. $\sqrt{10}\leq b\leq10$
   3. $10\leq b\leq10\sqrt{10}$
   4. $10\sqrt{10}\leq b\leq100$
   5. $100\leq b\leq100\sqrt{10}$
訣竅
按照對數律的性質簡化方程式即可求出$b$。
解法
首先注意到$\log100=2$，因此方程可寫為$2\log b+2+\log b=7$，即有$3\log b=5$，因此$\displaystyle\log b=\frac53$，從而$b=10^{\frac53}$。由於$\displaystyle\frac32\leq\frac53\leq2$，因此$10\sqrt{10}=10^{\frac32}\leq b\leq10^2=100$，故選(4)。


6. 某超商依據過去的銷售紀錄，冬天平均氣溫在$6^\circ\mbox{C}$到$24^\circ\mbox{C}$時，每日平均售出的咖啡數量與當天的平均氣溫之相關係數為$-0.99$，部分紀錄如下表。

   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \mbox{平均氣溫（$^\circ$C）}&11&13&15&17&19&21\\\hline\mbox{平均售出量（杯）}&512&437&361&279&203&135\\\hline\end{array}$

   某日平均氣溫為$8^\circ\mbox{C}$，依據上述資訊推測，試問該日賣出的咖啡數量應接近下列哪一個選項？
   1. $570$杯
   2. $625$杯
   3. $700$杯
   4. $755$杯
   5. $800$杯
訣竅
由於相關係數極其靠近$-1$，因此觀察資料幾乎落在一直線上。
解法
觀察可以發現平均氣溫上升兩度時，平均售出量約莫下降七十餘杯，因此每一度的改變量為約為$35$杯，故自$11^\circ\mbox{C}$下降$3^\circ\mbox{C}$時，平均售出量應該會上升$105$杯左右，即$512+105=617$杯。其最接近的選項為$625$杯，故選(2)。
2. 多選題（占$35$分）
說明：第$7$題至第$13$題，每題有$5$個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得$5$分；答錯$1$個選項者，得$3$分；答錯$2$個選項者，得$1$分；答錯多於$2$個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。
7. 設各項都是實數的等差數列$a_1,a_2,a_3,\cdots$之公差為正實數$\alpha$。試選出正確的選項。
   1. 若$b_n=-a_n$，則$b_1>b_2>b_3>\cdots$
   2. 若$c_n=a_n^2$，則$c_1<c_2<c_3<\cdots$
   3. 若$d_n=a_n+a_{n+1}$，則$d_1,d_2,d_3,\cdots$是公差為$\alpha$的等差數列
   4. 若$e_n=a_n+n$，則$e_1,e_2,e_3,\cdots$是公差為$\alpha+1$的等差數列
   5. 若$f_n$為$a_1,a_2,\cdots,a_n$的算術平均數，則$f_1,f_2,f_3,\cdots$是公差為$\alpha$的等差數列
訣竅
按等差的意義由各選項的設定去討論即可。
解法
1. 由於$a_1,a_2,a_3,\cdots$的公差為正實數，因此$a_1<a_2<a_3<\cdots$，因此同取負號則有$-a_1>-a_2>-a_3>\cdots$。那麼根據$b_n$的設定可知$b_1>b_2>b_3>\cdots$，故本命題正確。
2. 取$a_n=-2+n$，那麼可以知道$a_1=-1,a_2=0,a_3=1,\cdots$，從而$c_1=1,c_2=0,c_3=1,\cdots$，故沒有$c_1<c_2$，此選項不必然成立。
3. 直接檢驗可知$d_{n+1}-d_n=\left(a_{n+1}+a_{n+2}\right)-\left(a_n+a_{n+1}\right)=a_{n+2}-a_n=2\alpha$，故$d_1,d_2,d_3,\cdots$是公差為$2\alpha$的等差數列，本選項錯誤。
4. 直接檢驗可知$e_{n+1}-e_n=\left(a_{n+1}+n+1\right)-\left(a_n+n\right)=\alpha+1$，故$e_1,e_2,e_3,\cdots$是公差為$\alpha+1$的等差數列，本選項正確。
5. 直接檢驗可知

   $\displaystyle f_{n+1}-f_n=\frac{a_1+\cdots+a_n+a_{n+1}}{n+1}-\frac{a_1+\cdots+a_n}n=\frac{a_1+a_{n+1}}2-\frac{a_1+a_n}2=\frac\alpha2$

   故$f_1,f_2,f_3,\cdots$是公差為$\displaystyle\frac\alpha2$的等差數列，本選項錯誤。
由以上討論可知應選(1)(4)。


8. 在數線上，甲從點$-8$開始做等速運動，同時乙也從點$10$開始做等速運動，乙移動的速率是甲的$a$倍，且$a>1$。試選出正確的選項。
   1. 若甲朝負向移動而乙朝正向移動，則他們會相遇
   2. 若甲朝負向移動且乙朝負向移動，則他們不會相遇
   3. 若甲朝正向移動而乙朝負向移動，則乙先到達原點$0$
   4. 若甲朝正向移動且乙朝正向移動，則他們之間的距離會越來越大
   5. 若甲朝正向移動而乙朝負向移動，且他們在點$-2$相遇，則$a=2$
訣竅
按生活經驗的移動現象揣想即可，亦可使用具體之數據說明不可行或論證可能發生。
解法
1. 由於甲朝負向移動，這表示甲之座標將小於$-8$，而乙朝正向移動則作標將大於$10$，故兩者座標不可能相同，因此不可能會相遇，此選項錯誤。
2. 由於乙移動的速率比甲大，因此最終會追上甲。更具體的說，設甲之移動速率為$v$，則乙的移動速率為$av$，那麼在時刻$t$時，甲的座標為$-8-vt$，而乙的座標為$10-avt$。藉由解方程式$-8-vt=10-avt$，可以知道當$\displaystyle t=\frac{18}{\left(a-1\right)v}>0$時兩者相遇，因此本選項錯誤。
3. 不一定，設甲每秒移動一格，而乙每秒移動$1.1$格，那麼經過八秒後甲已抵達原點但乙才到$10-8.8=1.2$。
4. 承選項(2)之設定，惟甲與乙之座標將隨時刻$t$而分別為$-8+vt$和$10+avt$，其距離為$\left|18+\left(a-1\right)vt\right|=18+\left(a-1\right)vt$將隨$t$而增加，本選項正確。
5. 承(2)之設定，惟甲與乙之座標將隨時刻$t$而分別為$-8+vt$和$10-avt$，由於相遇在$-2$，故在$t=t_0$時$-8+vt_0=-2$，即$vt_0=6$，那麼$10-6a=-2$，故$a=2$，本選項正確。
根據以上討論可知應選(4)(5)。


9. 從$1,2,3,4,5,6,7$這七個數字中隨機任取兩數。試選出正確的選項。
   1. 其和大於$10$的機率為$\displaystyle\frac17$
   2. 其和小於$5$的機率為$\displaystyle\frac17$
   3. 其和為奇數的機率為$\displaystyle\frac47$
   4. 其差為偶數的機率為$\displaystyle\frac57$
   5. 其積為奇數的機率為$\displaystyle\frac27$
訣竅
將各種情形的數量清點出來後除以總數即得機率值。
解法
自七個數字中任取兩數的方法數為$\displaystyle C_2^7=\frac{7\cdot6}2=21$種。
1. 其和大於$10$的情形有$7+6$、$7+5$、$7+4$、$6+5$等共四種，因此機率為$\displaystyle\frac4{21}$，本選項錯誤。
2. 其和小於$5$的情形有$3+1$、$2+1$等兩種，因此機率為$\displaystyle\frac2{21}$，本選項錯誤。
3. 其和為奇數的情形為挑出的兩數恰好一奇一偶，則有$4\cdot3=12$種情形（$1+2$、$1+4$、$1+6$、$3+2$、$3+4$、$3+6$、$5+2$、$5+4$、$5+6$、$7+2$、$7+4$、$7+6$），因此機率為$\displaystyle\frac{12}{21}=\frac47$，本選項正確。
4. 其差為偶數等價於其和為偶數，那麼承(3)的狀況可知有$9$種（或直接列表有$1-3$、$1-5$、$1-7$、$3-5$、$3-7$、$5-7$、$2-4$、$2-6$、$4-6$），故機率為$\displaystyle\frac9{21}=\frac37$，本選項錯誤。
5. 其積為奇的情形為兩數皆為奇數，即$\displaystyle C_2^4=\frac{4\cdot3}2=6$種（即$1\cdot3$、$1\cdot5$、$1\cdot7$、$3\cdot5$、$3\cdot7$、$5\cdot7$），因此機率為$\displaystyle\frac6{21}=\frac27$，本選項正確。
根據以上分析可知應選(3)(5)。


10. 在$\Delta ABC$中，已知$50^\circ\leq\angle A<\angle B\leq60^\circ$。試選出正確的選項。
    1. $\sin A<\sin B$
    2. $\sin B<\sin C$
    3. $\cos A<\cos B$
    4. $\sin C<\cos C$
    5. $\overline{AB}<\overline{BC}$
訣竅
由正餘弦函數及其定理與性質進行判斷即可。
解法
1. 由於正弦函數在$\left(0^\circ,90^\circ\right)$上有單調遞增性，因此$\angle A<\angle B$蘊含$\sin A<\sin B$，此選項正確。
2. 容易由$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B$以及$\angle A$與$\angle B$的範圍推知$60^\circ<\angle C<80^\circ$。同樣由正弦函數的單調遞增性可知$\sin B<\sin C$，此選項正確。
3. 由餘弦函數在$\left(0^\circ,90^\circ\right)$上的單調遞減性可知$\cos A>\cos B$，本選項錯誤。
4. 由於正弦函數單調遞增、餘弦函數單調遞減，並且$\sin45^\circ=\cos45^\circ$以及$\angle C>60^\circ$，故$\sin C>\cos C$，因此本選項錯誤。
5. 由正弦定理可知

   $\displaystyle\frac{\overline{AB}}{\sin C}=\frac{\overline{BC}}{\sin A}$

   以及前述的大小關係可知$\sin A<\sin C$，進而得知$\overline{AC}>\overline{BC}$，本選項錯誤。
綜上可知應選(1)(2)。


11. 某地區衛生機構成功訪問了$500$人，其中年齡為$50-59$歲及$60$歲（含）以上者分別有$220$名及$280$名。這$500$名受訪者中，$120$名曾做過大腸癌篩檢，其中有$75$名是在一年之前做的，有$45$名是在一年之內做的。已知受訪者中，$60$歲（含）以上者曾做過大腸癌篩檢比率是$50-59$歲者曾做過大腸癌篩檢比率的$3.5$倍。試選出正確的選項。
    1. 受訪者中年齡為$60$歲（含）以上者超過$60\%$
    2. 由受訪者中隨機抽取兩人，此兩人的年齡皆落在$50--59$歲間的機率大於$0.25$
    3. 由曾做過大腸癌篩檢的受訪者中隨機抽取兩人，其中一人在一年之內受檢而另一人在一年之前受檢的機率$\displaystyle2\cdot\left(\frac{45}{120}\right)\left(\frac{75}{119}\right)$
    4. 這$500$名受訪者中，未曾做過大腸癌篩檢的比率低於$75\%$
    5. 受訪者中$60$歲（含）以上者，曾做過大腸癌篩檢的人數超過$90$名
訣竅
按照文中的資訊進行計算檢驗各選項即可。
解法
1. 受訪者中年齡為$60$歲（含）以上的比率為$\displaystyle\frac{280}{500}=56\%$，故未超過$60\%$，本選項錯誤。
2. 由於抽取一人落在$50-59$歲間的機率為$64\%$，那麼抽取兩人約為$\left(64\%\right)^2=40.96\%>25\%$，故本選項錯誤。其中抽取兩人皆為$50-59$歲之間的機率準確為$\displaystyle\frac{220}{500}\cdot\frac{219}{499}$。
3. 由大腸癌篩檢中的受訪者中隨機抽取兩人，有可能第一人在一年內受檢而第二人在一年前受檢，反之也可能第一人在一年前受檢而第二人在一年內受檢，故機率為

   $\displaystyle\frac{45}{120}\cdot\frac{75}{119}+\frac{75}{120}\cdot\frac{45}{119}=2\cdot\left(\frac{45}{120}\right)\left(\frac{75}{119}\right)$

   本選項正確。
4. 這$500$名受訪者中未曾做過大腸癌篩檢有$380$名，其比率為$\displaystyle\frac{380}{500}=76\%$，超過$75\%$，故本選項錯誤。
5. 設$60$歲（含）以上的人有做過大腸癌篩檢的人數為$x$人，那麼$60$歲以上有做過大腸癌篩檢的比率為$\displaystyle\frac{x}{280}$。按題意可知$50-59$歲有做過大腸癌篩檢的比率為$\displaystyle\frac{x}{280}\cdot\frac27=\frac{x}{960}$，從而$50-59$歲有做過大腸癌篩檢的人數為$\displaystyle\frac{x}{960}\cdot220=\frac{11x}{48}$。因此有$\displaystyle x+\frac{11x}{48}=120$可知$\displaystyle x=\frac{120\cdot48}{59}\approx97.62$，因此超過$90$人。
綜合以上可知應選(3)(5)。


12. 設$f_1\left(x\right),f_2\left(x\right)$為實係數三次多項式，$g\left(x\right)$為實係數二次多項式。已知$f_1\left(x\right),f_2\left(x\right)$除以$g\left(x\right)$的餘式分別為$r_1\left(x\right),r_2\left(x\right)$。試選出正確的選項。
    1. $-f_1\left(x\right)$除以$g\left(x\right)$的餘式為$-r_1\left(x\right)$
    2. $f_1\left(x\right)+f_2\left(x\right)$除以$g\left(x\right)$的餘式為$r_1\left(x\right)+r_2\left(x\right)$
    3. $f_1\left(x\right)f_2\left(x\right)$除以$g\left(x\right)$的餘式為$r_1\left(x\right)r_2\left(x\right)$
    4. $f_1\left(x\right)$除以$-3g\left(x\right)$的餘式為$\displaystyle\frac{-1}3r_1\left(x\right)$
    5. $f_1\left(x\right)r_2\left(x\right)-f_2\left(x\right)r_1\left(x\right)$可被$g\left(x\right)$整除
訣竅
由除法原理列式後按各選項的需求進行處理即可。
解法
由題意可知有關係式
$f_1\left(x\right)=g\left(x\right)q_1\left(x\right)+r_1\left(x\right),\quad f_2\left(x\right)=g\left(x\right)q_2\left(x\right)+r_2\left(x\right)$
其中$q_1,q_2$皆為商式並且都是一次式，而$r_1,r_2$皆不超過二次。
1. 第一式兩邊同乘以$\left(-1\right)$可得：

   $-f_1\left(x\right)=g\left(x\right)\cdot\left(-q_1\left(x\right)\right)+\left(-r_1\left(x\right)\right)$

   因此$-f_1\left(x\right)$除以$g\left(x\right)$的商式為$-q_1\left(x\right)$而餘式為$-r_1\left(x\right)$，故本選項正確。
2. 兩式相加可知

   $f_1\left(x\right)+f_2\left(x\right)=g\left(x\right)\left(q_1\left(x\right)+q_2\left(x\right)\right)+\left(r_1\left(x\right)+r_2\left(x\right)\right)$

   於是$f_1\left(x\right)+f_2\left(x\right)$除以$g\left(x\right)$的商式為$q_1\left(x\right)+q_2\left(x\right)$而餘式為$r_1\left(x\right)+r_2\left(x\right)$，本選項正確。
3. 不一定，假若$r_1$與$r_2$皆為一次式，那麼$r_1\left(x\right)r_2\left(x\right)$為二次多項式便不能作為除以$g\left(x\right)$的餘式了，故不應選此選項。
4. 本選項錯誤。因為我們可以將第一式改寫如下

   $\displaystyle f_1\left(x\right)=\left(-3g\left(x\right)\right)\left(-\frac{q_1\left(x\right)}3\right)+r_1\left(x\right)$

   故$f_1\left(x\right)$除以$-g\left(x\right)$的商式為$\displaystyle-\frac{q_1\left(x\right)}3$而餘式為$r_1\left(x\right)$。
5. 本選項正確。因為將第一式與第二式分別乘以$r_2\left(x\right)$與$r_1\left(x\right)$後相減可得

   $\begin{aligned}f_1\left(x\right)r_2\left(x\right)-f_2\left(x\right)r_1\left(x\right)=&\left[g\left(x\right)q_1\left(x\right)+r_1\left(x\right)\right]r_2\left(x\right)-\left[g\left(x\right)q_2\left(x\right)+r_2\left(x\right)\right]r_1\left(x\right)\\=&g\left(x\right)\left(q_1\left(x\right)r_2\left(x\right)-q_2\left(x\right)r_1\left(x\right)\right)\end{aligned}$
由以上可知應選(1)(2)(5)。


13. 坐標空間中有一平面 $P$ 過 $(0,0,0),(1,2,3)$ 及 $(-1,2,3)$ 三點。試選出正確的選項。
    1. 向量 $(0,3,2)$與平面$P$垂直
    2. 平面 $P$ 與 $xy$ 平面垂直
    3. 點 $(0,4,6)$ 在平面 $P$ 上
    4. 平面 $P$ 包含 $x$ 軸
    5. 點 $(1,1,1)$ 到平面 $P$ 的距離是 $1$
訣竅
由空間向量的概念求解，如利用外積求法向量等即可。
解法
設 $A$ 為 $(0,0,0)$、$B$ 為 $(1,2,3)$ 而 $C$ 為 $(-1,2,3)$。
1. 由於垂直平面 $P$ 的向量即為平面 $P$ 的法向量，可以利用外積求得：

   $\overset{\rightharpoonup}n=\overset{\rightharpoonup}{AB}\times\overset{\rightharpoonup}{AC}=(1,2,3)\times(-1,2,3)=(0, -6, 4)\parallel(0,3,-2)$

   因此向量 $(0,3,2)$ 不與平面 $P$ 垂直，本選項錯誤。
2. 承(1)，平面 $P$ 的一個法向量為 $(0,3,-2)$，而 $xy$ 平面的法向量為 $(0,0,1)$，兩者內積明顯不為零，故不垂直。本選項錯誤。
3. 承(1)，平面 $P$ 的法向量為 $(0,3,-2)$，故可設平面 $P$ 的方程式為 $3y-2z=c$，其中 $c$ 為待定之常數，由於 $P$ 通過 $A$、$B$、$C$ 三點，故可知 $c=0$，因此平面 $P$ 之方程式為 $3y-2z=0$。那麼可知點 $(0,4,6)$滿足該方程式，因此點$\left(0,4,6\right)$在平面$P$上，本選項正確。
4. 任取 $x$ 軸上的座標 $(a,0,0)$ 可以確認它滿足方程式 $3y-2z=0$，故 $x$ 軸上被平面 $P$ 所包含（也就是 $x$ 軸直線落在平面 $P$ 上），本選項正確。
5. 承(3)，設$E$為$\left(1,1,1\right)$，使用點到平面的距離公式可知

   $\displaystyle d\left(E,P\right)=\frac{\left|3\cdot1-2\cdot1\right|}{\sqrt{3^2+\left(-2\right)^2}}=\frac1{\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{13}}{13}<1$

   本選項錯誤。
綜上可知應選(3)(4)。

第貳部分：選填題（占$35$分）

說明：

1. 第A至G題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（$14$-$30$）
2. 每題完全答對給$5$分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

1. 設$x,y$為實數，且滿足$\begin{bmatrix}3&-1&3\\2&4&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6\\-6\end{bmatrix}$，則$x+3y=\underline{⑭⑮}$。
訣竅
直接展開解聯立得到$x,y$後計算$x+3y$即可。
解法
直接展開有$3x-y+3=6$以及$2x+4y-1=-6$，即有$\left\{\begin{aligned}&3x-y=3\\&2x+4y=-5\end{aligned}\right.$。第一式乘以$4$加至第二式可得$14x=7$，故$\displaystyle x=\frac12$，從而第二式寫為$1+4y=-5$，故有$\displaystyle y=-\frac32$。因此所求為$\displaystyle x+3y=\frac12-\frac92=-\frac82=-4$，故填入$⑭=-$、$⑮=4$。


2. 如圖（此為示意圖），$A,B,C,D$是橢圓$\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{16}=1$的頂點。若四邊形$ABCD$的面積為$58$，則$\displaystyle a=\underline{\frac{⑯⑰}{⑱}}$。（化為最簡分數）
   
訣竅
由圖可以知道四個頂點的座標，隨後計算四邊形面積即可得到關於$a$的方程並求解。
解法
按一般二次曲線討論的習慣，設$a>0$。那麼四個頂點之座標容易知道為$A\left(a,0\right)$、$B\left(0,4\right)$、$C\left(-a,0\right)$以及$D\left(0,-4\right)$，從而計算四邊形面積可藉由兩垂直的對角線長之積除以二來計算，亦即有
$\displaystyle\frac{2a\cdot8}{2}=\frac{\overline{AC}\cdot\overline{BD}}{2}=58$
因此求得$\displaystyle a=\frac{58}8=\frac{29}4$，故填入$⑯=2$、$⑰=9$、$⑱=4$。


3. 某高中已有一個長$90$公尺、寬$60$公尺的足球練習場。若想要在足球練習場的外圍鋪設內圈總長度為$400$公尺的跑道，跑道規格為左右兩側各是直徑相同的半圓，而中間是上下各一條的直線跑道，直線跑道與足球練習場的長邊平行（如示意圖）。則圖中一條直線跑道$\overline{AB}$長度的最大可能整數值為$\underline{⑲⑳㉑}$公尺。
   
訣竅
設定相關的變量並考慮限制（跑道內部要有足球練習場）來求極大值。
解法
設直線跑道長$x$公尺，而左右半圓之半徑為$y$公尺，那麼按情境有限制條件$x\geq90$以及$2y\geq60$，並且由總長度之條件要有$2x+2\pi y=400$。由第二項條件可知
$2x=400-\left(2y\right)\pi\leq400-60\pi$
即有$x\leq200-30\pi\approx200-30\cdot3.141=105.77$，故$x$的最大整數值為$105$，填入$⑲=1$、$⑳=0$、$㉑=5$。


4. 某次選舉中進行甲、乙、丙三項公投案，每項公投案一張選票，投票人可選擇領或不領。投票結束後清點某投票所的選票，發現甲案有$765$人領票、乙案有$537$人領票、丙案有$648$人領票，同時領甲、乙、丙三案公投票的有$224$人，並且每個人都至少領了兩張公投票。根據以上資訊，可知同時領甲、乙兩案但沒有領丙案公投票者共有$\underline{㉒㉓㉔}$人。
訣竅
按題意將領公投票的人分類後化為聯立方程組並求解即可。
解法
由於每個人都至少領了兩張公投票，那麼有四種情形如下：
• 恰領甲、乙兩案者，設有$x$人；
• 恰領乙、丙兩案者，設有$y$人；
• 恰領丙、甲兩案者，設有$z$人
• 恰領三案者有$224$人。
那麼根據題意計算各案票數可知有下列關係式
$\left\{\begin{aligned}&x+z+224=765\\&x+y+224=537\\&y+z+224=648\end{aligned}\right.$
即有
$\left\{\begin{aligned}&x+z=541\\&x+y=313\\&y+z=424\end{aligned}\right.$
那麼三式相加除以二有$x+y+z=639$，那麼與第三式相減可知所求為$x=215$，故填$㉒=2$、$㉓=1$、$㉔=5$。


5. 如圖（此為示意圖），在$\Delta ABC$中，$\overline{AD}$交$\overline{BC}$於$D$點，$\overline{BE}$交$\overline{AD}$於$E$點，且$\angle ACB=30^\circ$，$\angle EDB=60^\circ$，$\angle AEB=120^\circ$。若$\overline{CD}=15$，$\overline{ED}=7$，則$\overline{AB}=\underline{㉕㉖}$。
   
訣竅
利用等腰三角形的關係以及餘弦定理計算即可。
解法
先計算角度可知$\angle DAB=30^\circ$、$\angle BED=\angle DBE=60\circ$，因此$\overline{AD}=15$、$\overline{BE}=\overline{BD}=7$，故有兩種方式使用餘弦定理：
在$\Delta ABD$中使用餘弦定理可知
$\displaystyle\overline{AB}=\sqrt{\overline{AD}^2+\overline{DB}^2-2\cdot\overline{AD}\cdot\overline{DB}\cos60^\circ}=\sqrt{15^2+7^2-2\cdot15\cdot7\cdot\frac12}=13$
在$\Delta ABE$中使用餘弦定理可知
$\displaystyle\overline{AB}=\sqrt{\overline{AE}^2+\overline{EB}^2-2\cdot\overline{AE}\cdot\overline{EB}\cos120^\circ}=\sqrt{8^2+7^2-2\cdot8\cdot7\cdot\left(-\frac12\right)}=13$
因此填入$㉕=1$、$㉖=3$。


6. 坐標空間中，考慮有一個頂點在平面$z=0$上、且有另一個頂點在平面$z=6$上的正立方體。則滿足前述條件的正立方體之邊長最小可能值$\underline{㉗\sqrt{㉘}}$。（化成最簡根式）
訣竅
本題需要發揮較強的空間直覺，大體而言要注意到兩個頂點落在兩平面間，要使正立方體之邊長盡可能小等同於讓體積盡可能小，也等同於讓對角線的距離盡可能小。
解法
兩平面的距離明顯為$6$，而當對角線之距離必然大於或等於此距離，而等於時則使正方體邊長達到最小值，其值為$\displaystyle\frac6{\sqrt3}=2\sqrt3$，故填入$㉗=2$、$㉘=3$。


7. 如圖（此為示意圖），$A,B,C,D$為平面上的四個點。已知$\overset{\rightharpoonup}{BC}=\overset{\rightharpoonup}{AB}+\overset{\rightharpoonup}{AD}$，$\overset{\rightharpoonup}{AC}$、$\overset{\rightharpoonup}{BD}$兩向量等長且互相垂直，則$\tan\angle BAD=\underline{㉙㉚}$。
   
訣竅
注意到題目給出兩個關於向量的條件，並據此求角度的正切值。主要透過第二項條件的等長與垂直獲得兩個算式，其中凡是用到$\overset{\rightharpoonup}{BC}$者皆化為$\overset{\rightharpoonup}{AB}$與$\overset{\rightharpoonup}{AD}$。
解法
首先由垂直可知
$\begin{aligned}0=&\overset{\rightharpoonup}{AC}\cdot\overset{\rightharpoonup}{BD}=\left(\overset{\rightharpoonup}{AB}+\overset{\rightharpoonup}{BC}\right)\cdot\left(\overset{\rightharpoonup}{BA}+\overset{\rightharpoonup}{AD}\right)\\=&\left(2\overset{\rightharpoonup}{AB}+\overset{\rightharpoonup}{AD}\right)\cdot\left(-\overset{\rightharpoonup}{AB}+\overset{\rightharpoonup}{AD}\right)\\=&-2\overline{AB}^2+\overline{AB}\cdot\overline{AD}\cos\angle BAD+\overline{AD}^2\end{aligned}$
接著由等長有
$4\overline{AB}^2+4\overline{AB}\cdot\overline{AD}\cos\angle BAD+\overline{AD}^2=\left|2\overset{\rightharpoonup}{AB}+\overset{\rightharpoonup}{AD}\right|^2=\left|-\overset{\rightharpoonup}{AB}+\overset{\rightharpoonup}{AD}\right|^2=\overline{AB}^2-2\overline{AB}\cdot\overline{AD}\cos\angle BAD+\overline{AD}^2$
此即$\displaystyle\overline{AB}\cdot\overline{AD}\cos\angle BAD=-\frac12\overline{AB}^2$，故有$\displaystyle\overline{AD}^2=\frac52\overline{AB}^2$，因此$\displaystyle\overline{AD}=\frac{\sqrt5}{\sqrt2}\overline{AB}$，於是有
$\displaystyle\cos\angle BAD=-\frac15\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=-\frac12\sqrt{\frac25}=-\frac1{\sqrt{10}}$
因此$\displaystyle\sin\angle BAD=\frac3{\sqrt{10}}$，故所求為$\displaystyle\tan\angle BAD=\frac{\sin\angle BAD}{\cos\angle BAD}=-3$。因此填入$㉙=-$、$㉚=3$。

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參考公式及可能用到的數值

1. 首項為$a$，公差為$d$的等差數列前$n$項之和為$\displaystyle S=\frac{n\left(2a+\left(n-1\right)d\right)}2$
   首項為$a$，公比為$r$（$r\neq1$）的等比數列前$n$項之和為$\displaystyle S=\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}$
2. 三角函數的和角公式：$\sin\left(A+B\right)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$
   　　　　　　　　　　$\cos\left(A+B\right)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$
   　　　　　　　　　　$\displaystyle\tan\left(A+B\right)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$
3. $\Delta ABC$的正弦定理：$\displaystyle\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$　（$R$為$\Delta ABC$外接圓半徑）
   $\Delta ABC$的餘弦定理：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$
4. 一維數據$X:x_1,x_2,\cdots,x_n$，算術平均數$\displaystyle\mu_X=\frac1n\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)=\frac1n\sum_{i=1}^nx_i$
   標準差$\displaystyle\sigma_X=\sqrt{\frac1n\sum_{i=1}^n\left(x_i-\mu_X\right)^2}=\sqrt{\frac1n\left(\left(\sum_{i=1}^nx_i^2\right)-n\mu_X^2\right)}$
5. 二維數據$\left(X,Y\right):\left(x_1,y_1\right),\left(x_2,y_2\right),\cdots,\left(x_n,y_n\right)$，相關係數$\displaystyle r_{X,Y}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i-\mu_X\right)\left(y_i-\mu_Y\right)}{n\sigma_X\sigma_Y}$
   迴歸直線（最適合直線）方程式$\displaystyle y-\mu_Y=r_{X,Y}\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\left(x-\mu_X\right)$
6. 參考數值：$\sqrt2\approx1.414$,$\sqrt3\approx1.732$, $\sqrt5\approx2.236$, $\sqrt6\approx2.449$, $\pi\approx3.142$
7. 對數值：$\log_{10}2\approx0.3010$，$\log_{10}3\approx0.4771$，$\log_{10}5\approx0.6990$，$\log_{10}7\approx0.8451$
8. 角錐體積$\displaystyle=\frac13$底面積$\times$高