國立臺灣大學八十七學年度研究所碩士班入學考試試題：微積分

I. $1$-$9$ 題為填充題，從Ⓐ到Ⓙ共有 $10$ 個空格，每格 $7$ 分。請在答案卷上依空格號碼填寫答案，不要寫計算過程。

1. 設函數 $f(x)$ 在 $c$ 點可微分，並令 $g\left(x\right)=\begin{cases}f(x),&\mbox{當 }x\leq c,\\f(c)+f'(c)(x-c),&\mbox{當 }x>c,\end{cases}$ 則 $g'\left(c\right)=$　Ⓐ　。
訣竅
使用導數的定義回答即可。
解法
按照導數的定義，我們即要求極限 $\displaystyle\lim_{x\to c}\frac{g\left(x\right)-g\left(c\right)}{x-c}$ 的值。由於 $g$ 分段定義，故我們分別計算其對應的左右極限：
$\displaystyle\lim_{x\to c^+}\frac{g\left(x\right)-g\left(c\right)}{x-c}=\lim_{x\to c^+}\frac{f\left(c\right)+f'\left(c\right)\left(x-c\right)-f\left(c\right)}{x-c}=\lim_{x\to c^+}f'\left(c\right)=f'\left(c\right),$
以及
$\displaystyle\lim_{x\to c^-}\frac{g\left(x\right)-g\left(c\right)}{x-c}=\lim_{x\to c^-}\frac{f\left(x\right)-f\left(c\right)}{x-c}=f'\left(c\right)$
因此左右極限相等，故 $g'\left(c\right)$ 存在且等於 $f'\left(c\right)$。


2. 設 $f\left(x\right)=x+\sqrt{\left|x\right|}$，則 $f$ 圖形的遞增區間為　Ⓑ　及下凹(concave downward)區間為　Ⓒ　。
訣竅
為了找出遞增區間與下凹區間，我們應解不等式 $f'\left(x\right)>0$ 與 $f''\left(x\right)<0$。
解法

首先計算一階與二階導函數如下

$\displaystyle f'\left(x\right)=1+\frac{x}{2\left|x\right|\sqrt{\left|x\right|}}=\begin{cases}(2+x^{-1/2})/2,&x>0\\(2-(-x)^{-1/2})/2,&x<0\end{cases}$,　$\displaystyle f''\left(x\right)=-\frac1{4\left|x\right|\sqrt{\left|x\right|}}$

先求遞增區間，即解不等式 $f'\left(x\right)>0$。容易注意到當 $x>0$ 時必有 $f'\left(x\right)>0$，故僅需在 $x>0$ 的情況下解不等式 $f'\left(x\right)>0$，此時即

$\displaystyle-\frac1{2\sqrt{-x}}>-1$

或寫為 $2\sqrt{-x}>1$。平方可得 $-4x>1$，故 $\displaystyle x<-\frac14$。因此遞增區間為 $\displaystyle\left(-\infty,-\frac14\right)\cup\left(0,\infty\right)$。

接著求下凹區間，即解不等式 $f''\left(x\right)<0$，容易注意到除了 $x=0$ 無定意外，$f''$ 總是為負，故 $f$ 在 $\left(-\infty,\infty\right)$ 恆下凹。



3. 在曲線 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=2$ 上 $\left(1,1\right)$ 點作切線，此切線在 $x$ 軸及 $y$ 軸上的截距分別為 $x_1$ 及 $y_1$，則 $x_1+y_1=$　Ⓓ　。
訣竅
先求出切線斜率，隨後使用點斜式寫出切線方程式，進而求出截距並求和。
解法一
運用隱函數微分可得
$\displaystyle\frac1{2\sqrt{x}}+\frac1{2\sqrt{y}}\frac{dy}{dx}=0$
故在 $\left(x,y\right)=\left(1,1\right)$ 處的切線斜率為 $\displaystyle\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(x,y)=(1,1)}=-1$，因此切線方程式為 $x+y=2$。立即可知 $x_1=y_1=2$，故所求為 $x_1+y_1=4$。
解法二
將方程式寫為 $y=\left(2-\sqrt{x}\right)^2=4-4\sqrt{x}+x$，兩邊同取導數有
$\displaystyle\frac{dy}{dx}=-\frac2{\sqrt{x}}+1$
故在 $x=1$ 處的切線斜率為 $-1$，從而得到切線方程式為 $y=-x+2$，因此 $x$ 截距與 $y$ 截距皆為 $2$，故所求 $x_1+y_1=4$。


4. 設函數 $\displaystyle F\left(x\right)=\frac1x\int_3^x\left[2t-3F'\left(t\right)\right]dt$，則 $F'\left(3\right)=$　Ⓔ　。
訣竅
使用微分公式與微積分基本定理即可；亦可直接求出 $F$ 後計算導數即可。
解法一
使用微分公式與微積分基本定理可知
$\displaystyle F'\left(x\right)=\frac{\left(2x-3F'\left(x\right)\right)\cdot x-\int_3^x\left[2t-3F'\left(t\right)\right]dt}{x^2}$
取 $x=3$ 代入有
$\displaystyle F'\left(3\right)=\frac{18-9F'\left(3\right)}9$
因此 $F'\left(3\right)=1$。
解法二
取 $x=3$ 代入可注意到 $F\left(3\right)=0$，那麼直接計算可知
$\displaystyle F\left(x\right)=\frac1x\left(x^2-9-3F\left(x\right)\right)$
整理可解得 $F\left(x\right)=x-3$，故 $F'\left(x\right)=1$，自動有 $F'\left(3\right)=1$。


5. 設 $f\left(x\right)=3+x+e^x$，及 $f$ 的反函數為 $g\left(x\right)$，則 $g''\left(4\right)=$　Ⓕ　。
訣竅
使用反函數的定義與連鎖律計算即可。
解法
根據反函數的定義有 $g\left(f\left(x\right)\right)=x$，那麼依序求導兩次有
$g'\left(f\left(x\right)\right)f'\left(x\right)=1$,　$g''\left(f\left(x\right)\right)\left(f'\left(x\right)\right)^2+g'\left(f\left(x\right)\right)f''\left(x\right)=0$.
由於 $f'\left(x\right)=1+e^x$、$f''\left(x\right)=e^x$，那麼取 $x=0$ 有 $f\left(0\right)=4$、$f'\left(0\right)=2$ 且 $f''\left(0\right)=1$，如此可知 $\displaystyle g'\left(4\right)=\frac12$。進一步的使用求導兩次的結果可知
$\displaystyle g''\left(4\right)\cdot2^2+\frac12\cdot1=0$
因此所求為 $\displaystyle g''\left(4\right)=-\frac18$。


6. 假設極限 $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\left(x^p\ln x\right)=0$，則實數 $p$ 的範圍為　Ⓖ　。
訣竅
對於基本的極限有初步的觀察就可知道如何分類討論。
解法

首先當 $p=0$ 時，極限 $\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^0\ln x=-\infty$ 明顯發散。而當 $p<0$ 時，$\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^p=\infty$，進而 $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\left(x^p\ln x\right)=-\infty$，故要使極限趨於 $0$ 的必要條件為 $p>0$。

事實上，當 $p>0$ 時，我們說明該極限必趨於 $0$，原因是當我們使用羅必達法則時便有：

$\displaystyle\lim_{x\to0^+}\left(x^p\ln x\right)=\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{x^{-p}}=\lim_{x\to0^+}\frac{1/x}{-px^{-p-1}}=-\frac1p\lim_{x\to0^+}x^p=0$

故實數 $p$ 的範圍為 $\left(0,\infty\right)$。



7. 試計算積分 $\displaystyle\int_0^4\sin\sqrt{x}dx$ 的值為　Ⓗ　。
訣竅
運用變換將被積分函數改寫成較容易處理的形式後使用分部積分法求解。
解法

令 $u=\sqrt{x}$，那麼

• 當 $x=0$ 時，$u=0$；
• 當 $x=4$ 時，$u=2$；
• 平方整理有 $x=u^2$，求導可得 $dx=2udu$。

據此所求的定積分可改寫並使用分部積分法計算如下

$\displaystyle\begin{aligned}\int_0^4\sin\sqrt{x}dx&=\int_0^2\sin u\cdot 2udu=-2\int_0^2ud\cos u\\&=-2u\cos u\Big|_0^2+2\int_0^2\cos udu=-4\cos2+2\sin u\Big|_0^2=2\sin2-4\cos2\end{aligned}$



8. 試計算瑕積分 $\displaystyle\int_1^0x\ln xdx$ 的值為　Ⓘ　。
訣竅
使用分部積分法求解即可。
解法

由分部積分法以及第六題的結論可知

$\displaystyle\int_1^0x\ln xdx=\frac12\int_1^0\ln xdx^2=\left.\frac{x^2\ln x}2\right|_1^0-\frac12\int_1^0x^2\cdot\frac1xdx=\frac12\int_0^1xdx=\frac14$



9. 設 $D=\left\{\left(x,y\right):x^2+y^2\leq 4\mbox{ 及 }y\geq0\right\}$，則二重積分 $\displaystyle\iint_Dx^2ydA=$　Ⓙ　。
訣竅
根據積分區域，容易猜測使用極座標變換來計算；亦可直接化為迭代積分求解。
解法一

設 $\left\{\begin{aligned}&x=r\cos\theta\\&y=r\sin\theta\end{aligned}\right.$，那麼當且僅當 $\left(x,y\right)\in D$ 時有 $\left\{\begin{aligned}&0\leq r\leq2\\&0\leq\theta\leq\pi\end{aligned}\right.$。據此可將所求的二重積分改寫並計算如下

$\displaystyle\begin{aligned}\iint_Dx^2ydA&=\int_0^\pi\int_0^2\left(r\cos\theta\right)^2\left(r\sin\theta\right)rdrd\theta=\left(\int_0^2r^4dr\right)\left(\int_0^\pi\cos^2\theta\sin\theta d\theta\right)\\&=\left.\frac{r^5}5\right|_0^2\cdot\left.-\frac{\cos^3\theta}3\right|_0^\pi=\frac{32}5\cdot\frac23=\frac{64}{15}\end{aligned}$

解法二

可以將積分區域寫為 $\left\{\begin{aligned}&-\sqrt{4-y^2}\leq x\leq\sqrt{4-y^2}\\&0\leq y\leq2\end{aligned}\right.$，如此所求的二重積分可寫為如下的迭代積分並計算如下

$\displaystyle\begin{aligned}\iint_Dx^2ydA&=\int_0^2\int_{-\sqrt{4-y^2}}^{\sqrt{4-y^2}}x^2ydxdy=\frac23\int_0^2\left(4-y^2\right)y\sqrt{4-y^2}dy\\&=-\frac13\int_0^2\left(4-y^2\right)^{3/2}d(4-y^2)=-\frac13\cdot\left.\frac25\left(4-y^2\right)^{5/2}\right|_0^2=\frac{64}{15}\end{aligned}$

解法三

可以將區域寫為 $\left\{\begin{aligned}&-2\leq x\leq2\\&0\leq y\leq\sqrt{4-x^2}\end{aligned}\right.$，那麼所求的二重積分可以寫如下的迭代積分並計算之

$\displaystyle\iint_Dx^2ydA=\int_{-2}^2\int_0^{\sqrt{4-x^2}}x^2ydydx=\frac12\int_{-2}^2x^2\left(4-x^2\right)dx=\left.\frac23x^3-\frac1{10}x^5\right|_{-2}^2=\frac{64}{15}$

Ⅱ. $10$ 及 $11$ 題為計算題，每題 $15$ 分，請詳細寫下計算過程。（沒有計算過成不予計分）

10. 設三角形的三邊長分別為 $a,b,c$ 及 $\displaystyle s=\frac12\left(a+b+c\right)$，則面積 $A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$。若 $a+b+c=p$（定數），試證當等邊三角形時，三角形的面積最大。
訣竅
運用算術幾何不等式證明之。
解法
容易注意到
$\displaystyle\frac{p}6=\frac{(s-a)+(s-b)+(s-c)}3\geq\sqrt[3]{(s-a)(s-b)(s-c)}$
同取三次方可得
$\displaystyle(s-a)(s-b)(s-c)\leq\frac{p^3}{216}$
同乘以 $s$ 後再開根號有
$\displaystyle A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\leq\sqrt{s\cdot\frac{p^3}{216}}=\sqrt{\frac{p^4}{432}}=\frac{p^2}{12\sqrt3}$
容易注意到等號成立（即面積最大）的條件為 $s-a=s-b=s-c$，此時 $a=b=c$。


11. 試估算積分 $\displaystyle\int_0^{\frac12}\frac1{1+x^4}dx$ 的近似值，至其誤差小於 $10^{-4}$。（方法不拘）
訣竅
運用無窮等比級數來估算此定積分，並由交錯級數的誤差估計來確認其誤差確實小於 $10^{-4}$。
解法

由經典的無窮等比級數公式可留意到

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^nx^{4n}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(-x^4\right)^n=\frac1{1+x^4}$

其收斂範圍為$\left(-1,1\right)$。現於 $\displaystyle\left[0,\frac12\right]$ 上取定積分可得

$\displaystyle\int_0^{\frac12}\frac1{1+x^4}dx=\int_0^{\frac12}\sum_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^nx^{4n}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^n\int_0^{\frac12}x^{4n}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^n}{\left(4n+1\right)2^{4n+1}}$

記 $\displaystyle a_n=\frac1{\left(4n+1\right)2^{4n+1}}$，可以注意到 $a_3<10^{-4}$，故可使用前四項之和作為近似值，即

$\displaystyle\frac12-\frac1{5\cdot32}+\frac1{9\cdot512}-\frac1{13\cdot8192}\approx0.49395762386485$

【註】使用線上計算工具可得知

$\displaystyle\int_0^{1/2}\frac1{1+x^4}dx\approx0.493958051077438$