國立臺灣大學八十八學年度研究所碩士班入學考試試題：微積分

1. Find the limit: (10%)
   1. $\displaystyle\lim_{x\to0}x^{x^2}$.
   2. $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\left(\cot x-\frac1x\right)$.
訣竅
第一小題可以換底後使用羅必達法則處理；第二小題整理後同樣可使用羅必達法則。
解法

1. 將所求的極限使用換底公式後使用羅畢達法則計算如下

   $\displaystyle\lim_{x\to0}x^{x^2}=\lim_{x\to0}\exp\left(x^2\ln x\right)=\exp\left(\lim_{x\to0}\frac{\ln x}{x^{-2}}\right)=\exp\left(\lim_{x\to0}\frac{1/x}{-2x^{-3}}\right)=\exp(0)=1$

2. 將所求的極限改寫後並使用羅必達法則如下

   $\displaystyle\begin{aligned}\lim_{x\to0^+}\left(\cot x-\frac1x\right)&=\lim_{x\to0^+}\left(\frac{\cos x}{\sin x}-\frac1x\right)=\lim_{x\to0^+}\frac{x\cos x-\sin x}{x\sin x}\\&=\lim_{x\to0^+}\frac{-x\sin x}{\sin x+x\cos x}=\lim_{x\to0^+}\frac{-\sin x-x\cos x}{2\cos x-x\sin x}=0\end{aligned}$



2. Find the derivatives: (18%)
   1. $\displaystyle\frac{d}{dx}10^x$.
   2. $\displaystyle\frac{d}{dx}\ln\left|\frac{\left(x^2+1\right)^{3/2}\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)^{1/3}}\right|$ at $x=0$.
   3. If $f\left(x,y\right)=5x^2y+y^3-3x^2-3y^2$, find $f_x(1,1)$ and $f_{yx}(1,1)$.
訣竅
第一小題可換底後使用連鎖律即可；第二小題使用對數律簡化後再進行求導；第三小題直接偏導計算即可。
解法

1. 直接換底後使用連鎖律計算：

   $\displaystyle\frac{d}{dx}10^x=\frac{d}{dx}e^{x\ln10}=e^{x\ln10}\cdot\ln10=10^x\ln10$

2. 運用對數律改寫後再逐項微分可得

   $\displaystyle\begin{aligned}\frac{d}{dx}\ln\left|\frac{(x^2+1)^{3/2}(x+1)}{(x-1)^{1/3}}\right|&=\frac{d}{dx}\left[\frac32\ln\left(x^2+1\right)+\ln\left|x+1\right|-\frac13\ln\left|x-1\right|\right]\\&=\frac32\frac{2x}{x^2+1}+\frac1{x+1}-\frac13\frac1{x-1}\end{aligned}$

   取 $x=0$ 可得所求為 $\displaystyle\frac43$。
3. 直接計算一階與二階偏導函數可得

   $f_x(x,y)=10xy-6x$,　$f_{yx}(x,y)=10x$.

   代入 $(x,y)=(1,1)$ 可知

   $f_x(x,y)=4$,　$f_{yx}(1,1)=10$.



3. Evaluate the integrals: (24%)
   1. $\displaystyle\int_{0^+}^2x\ln2xdx$.
   2. $\displaystyle\int\frac{x+2}{\sqrt{3+2x+x^2}}dx$.
   3. $\displaystyle\int\tan^3x\sec^3xdx$.
訣竅
第一小題運用分部積分法即可；第二小題使用三角代換來處理之；第三小題則活用基本三角函數的積分與分部積分即可。
解法
1. 使用分部積分法可知

   $\displaystyle\int_{0^+}^2x\ln2xdx=\frac12\int_{0^+}^2\ln2xdx^2=\left.\frac{x^2\ln2x}2\right|_{0^+}^2-\frac12\int_{0^+}^2x^2\cdot\frac1xdx=2\ln4-1$

2. 由於分母中可以寫為 $\sqrt{3+2x+x^2}=\sqrt{(x+1)^2+2}$，因此令 $x=-1+\sqrt2\tan\theta$，那麼便有 $dx=\sqrt2\sec^2\theta d\theta$，如此所求的不定積分可以改寫並計算如下

   $\displaystyle\begin{aligned}\int\frac{x+2}{\sqrt{3+2x+x^2}}dx&=\int\frac{1+\sqrt2\tan\theta}{\sqrt2\sec\theta}\cdot\sqrt2\sec^2\theta d\theta\\&=\int\left(\sec\theta+\sqrt2\sec\theta\tan\theta\right)d\theta=\ln\left|\sec\theta+\tan\theta\right|+\sqrt2\sec\theta+C\end{aligned}$

   此處 $C$ 為積分常數。
3. 直接計算如下

   $\displaystyle\int\tan^3\theta\sec^3\theta d\theta=\int\tan^2\theta\sec^2\theta d\sec\theta=\int\left(\sec^4\theta-\sec^2\theta\right)d\sec\theta=\frac{\sec^5\theta}5-\frac{\sec^3\theta}3+C$

   其中 $C$ 為積分常數，並且使用了 $\tan^2\theta-1=\sec^2\theta$ 以及 $d\sec\theta=\tan\theta\sec\theta d\theta$。


4. Given $\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}2$, find the value of $\displaystyle\int_0^{\infty}x^2e^{-x^2}dx$. (8%)
訣竅
運用分部積分法計算求解。
解法
使用分部積分法可知
$\displaystyle\int_0^{\infty}x^2e^{-x^2}dx=\frac12\int_0^{\infty}xe^{-x^2}dx^2=-\frac12\int_0^{\infty}xde^{-x^2}=-\left.\frac{xe^{-x^2}}2\right|_0^{\infty}+\frac12\int_0^{\infty}e^{-x^2}dx=\frac12\cdot\frac{\sqrt\pi}2=\frac{\sqrt\pi}4$
此處，我們使用了極限 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}xe^{-x^2}=0$。


5. Let $f\left(x,y\right)=x^5+y^4-5x-32y-3$. Find the critical points of $f\left(x,y\right)$ and classify them (i.e. determine whether the critical points are points of maximum, minimum values or saddle points). (10%)
訣竅
為了找出極值候選點，我們應找出使一階偏導為零的點，隨後使用二階行列式分類這些點。
解法

根據訣竅，我們解下列的聯立方程組

$\left\{\begin{aligned}&f_x(x,y)=5x^4-5=0\\&f_y(x,y)=4y^3-32=0\end{aligned}\right.$

可以解得（僅考慮實數解）$x=\pm1$、$y=2$。

現在我們計算二階行列式

$D(x,y)=\left|\begin{matrix}f_{xx}(x,y)&f_{yx}(x,y)\\f_{xy}(x,y)&f_{yy}(x,y)\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}20x^3&0\\0&12y^2\end{matrix}\right|=240x^3y^2$

如此將極值候選點代入可知

• $D(1,2)=960>0$，$f_{xx}(1,2)=20$，故 $\left(1,2\right)$ 為極小點；
• $D\left(-1,2\right)=-960<0$，故 $\left(-1,2\right)$ 為鞍點。



6. Use the method of Lagrange's multiplier to find the extreme values of $f\left(x,y,z\right)=x^2+2y^2+3z^2$ subject to the condition $x-y-z=1$. (10%)
訣竅
根據題意使用拉格朗日乘子法求極值。
解法
設拉格朗日乘子函數如下
$F\left(x,y,z,\lambda\right)=x^2+2y^2+3z^2+\lambda\left(x-y-z-1\right)$
據此解下列聯立方程組
$\left\{\begin{aligned}&F_x(x,y,z,\lambda)=2x+\lambda=0\\&F_y(x,y,z,\lambda)=4y-\lambda=0\\&F_z(x,y,z,\lambda)=6z-\lambda=0\\&F_\lambda(x,y,z,\lambda)=x-y-z-1=0\end{aligned}\right.$
如此由前三式可知 $\displaystyle x=-\frac{\lambda}2$、$\displaystyle y=\frac{\lambda}4$、$\displaystyle z=\frac{\lambda}6$，代入第四式有
$\displaystyle-\frac{11}{12}\lambda=1$
因此得 $\displaystyle\lambda=-\frac{12}{11}$，故解得座標 $\displaystyle\left(x,y,z\right)=\left(\frac6{11},-\frac3{11},-\frac2{11}\right)$。代回檢驗可知 $f$ 在該處得到極小值為 $\displaystyle\frac6{11}$。


7. A bacteria culture starts with $1000$ bacteria and after $2$ hours there are $2500$ bacteria. If the bacteria grow at a rate proportion to its size, find the population of the culture after $8$ hours. (10%)
訣竅
由基本的人口模型所對應的微分方程求解。
解法

設 $y=y(t)$ 表自起始時刻後 $t$ 小時的細菌數量，那麼按照題意可知 $y\left(0\right)=1000$ 且 $y\left(2\right)=2500$。再者由成長率正比於細菌數量，我們有常微分方程式

$\displaystyle\frac{dy}{dt}=ky$

其中 $k$ 與 $t$ 無關的常數。將 $ky$ 移項後同乘以 $e^{-kt}$ 可得

$\displaystyle\frac{d}{dt}\left(e^{-kt}y\left(t\right)\right)=e^{-kt}\frac{dy}{dt}-ke^{-kt}y\left(t\right)=0$

因此有 $e^{-kt}y\left(t\right)=C$，其中 $C$ 為常數。由 $y\left(0\right)=1000$ 可知 $y\left(t\right)=1000e^{kt}$。再由 $y\left(2\right)=2500$，可知 $2500=1000e^{2k}$，即 $e^{2k}=2.5$。因此所求為

$y\left(8\right)=1000e^{8k}=1000\cdot2.5^4=39062.5\approx39063$ (隻)



8. Let $D=\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2|(x-a)^2+y^2\leq a^2\mbox{ and }y\geq0\}$. Evaluate the double integral

   $\displaystyle\iint_D\left(x^2+y^2\right)dxdy$

   by changing the variables to polar coordinate. (10%)
訣竅
由於被積分函數與積分區域的形式，我們考慮極座標變換計算求解。
解法

令 $\left\{\begin{aligned}&x=r\cos\theta\\&y=r\sin\theta\end{aligned}\right.$，那麼變數範圍為 $\left\{\begin{aligned}&0\leq r\leq2a\cos\theta\\&-\frac\pi2\leq\theta\leq\frac\pi2\end{aligned}\right.$，如此所求的重積分為

$\displaystyle\begin{aligned}\iint_D\left(x^2+y^2\right)dxdy&=\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\int_0^{2a\cos\theta}r^2\cdot rdrd\theta=\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}4a^4\cos^4\theta d\theta=a^4\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\left(1+\cos2\theta\right)^2d\theta\\&=a^4\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\left(1+2\cos2\theta+\cos^22\theta\right)d\theta=\frac{a^4}2\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\left(3+4\cos2\theta+\cos4\theta\right)d\theta\\&=\left.\frac{a^4}2\left(3\theta+2\sin2\theta+\frac{\sin4\theta}4\right)\right|_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}=\frac{3a^4\pi}2\end{aligned}$