國立臺灣大學八十九學年度研究所碩士班入學考試試題：微積分與矩陣運算

2000 Master Degree Exam

1. Please find all the eigen-values and related eigen-vectors for each of the following $3$ matrices:

   1.I $\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$,　1.II $\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$,　1.III $\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}$.

   Then, please explain the existence of inverse matrix. Finally, give your inverse if existing.
訣竅
按照特徵值與特徵向量的定義求解，並回憶反方陣存在的充分必要條件，最終使用二階反方陣的公式直接求解。
解法
1. 設 $A=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$，考慮其特徵多項式為

   $p\left(x\right)=\det\left(xI-A\right)=\begin{vmatrix}x-1&-1\\-1&x-1\end{vmatrix}=\left(x-1\right)^2-1=x^2-2x=x\left(x-2\right)$.

   故其特徵根有 $0$ 與 $2$。
   • 當 $x=0$ 時所對應的特徵向量為 $\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$；
   • 當 $x=2$ 時所對應的特徵向量為 $\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$。
   由於特徵值有 $0$ 表明其行列式值也為 $0$，故其反方陣不存在。
2. 設 $B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$，考慮其特徵多項式為

   $p\left(x\right)=\det\left(xI-B\right)=\begin{vmatrix}x-1&0\\-1&x-1\end{vmatrix}=\left(x-1\right)^2$.

   故其特徵根為 $1$（二重根），而其對應的特徵向量為 $\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$。再者，因為它的特徵根皆非零，故其反方陣存在，容易確認出 $B^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}$。
3. 設 $C=\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}$，考慮其特徵多項式為

   $p\left(x\right)=\det\left(xI-C\right)=\begin{vmatrix}x-1&1\\-1&x-1\end{vmatrix}=\left(x-1\right)^2+1$.

   故其特徵根為 $1\pm i$。
   • 當 $x=1+i$ 時所對應的特徵向量為 $\begin{pmatrix}i\\1\end{pmatrix}$；
   • 當 $x=1-i$ 時所對應的特徵向量為 $\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}$。
   由於它的特徵根皆非零，故其反方陣存在，容易確認出 $\displaystyle C^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}$。


2. Please give conditions for an $m\times m$ matrix $A$ so that the following conclusion is true: There exists an orthogonal matrix $P$ such that $P'AP=\Lambda$ or $A=P\Lambda P'$ where $\Lambda$ is a diagonal matrix. Please explain which matrix of 1.I, 1.II and 1.III could satisfy your conditions; then give the $P$ matrix and the $\Lambda$ matrix for the matrix.
訣竅
熟悉可對角化的條件。
解法

一個矩陣可對角化的充分必要條件是它的極小多項式不具重根。容易可以確認前一題中的 $\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$ 的極小多項式為 $\left(x-1\right)^2$，故其不可對角化。

對於矩陣 $A=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$，取 $\displaystyle P=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}$，可以確認有

$P'AP=\begin{pmatrix}0&0\\0&2\end{pmatrix}$.

對於矩陣 $C=\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}$，取 $\displaystyle P=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}i&1\\1&i\end{pmatrix}$，可以確認有

$P'AP=\begin{pmatrix}1+i&0\\0&1-i\end{pmatrix}$.



3. Please find the maximum/minimum values and points of inflection for the function $G\left(x\right)=K\exp\left\{-\left(x-\mu\right)^2/2\sigma^2\right\}$. Then find the constant $K$ so that the integral of $G$ from the negative infinity to the positive infinity to be $1$.
訣竅
求一階與二階導函數為零的位置即可求出極值候選點與反曲點候選點；再者可利用二重積分的技巧求出該不定積分之值，從而確定出常數 $K$。
解法

求一階導函數與二階導函數如下

$\displaystyle G'\left(x\right)=-\frac{K\left(x-\mu\right)}{\sigma^2}\exp\left[-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right],\quad G''\left(x\right)=\frac{K}{\sigma^2}\left(\frac{\left(x-\mu\right)^2}{\sigma^2}-1\right)\exp\left[-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right]$.

解方程式 $G'\left(x\right)=0$ 與 $G''\left(x\right)=0$ 分別可得極值候選點 $x=\mu$ 與反曲點候選點 $x=\mu\pm\sigma$。可按 $K$ 的符號討論如下：

• 當 $K=0$ 時 $G$ 為常數函數，故處處為極大與極小點，且無處為反曲點。
• 當 $K>0$ 時 $x=\mu$ 為極大值，其值為 $K$，而 $x=\mu\pm\sigma$ 皆為反曲點的位置，反曲點座標為 $\left(\mu\pm\sigma,Ke^{-1/2}\right)$。
• 當 $K<0$ 時 $x=\mu$ 為極小值，其值為 $K$，而 $x=\mu\pm\sigma$ 皆為反曲點的位置，反曲點座標為 $\left(\mu\pm\sigma,Ke^{-1/2}\right)$。

欲求 $K$ 使瑕積分滿足 $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty K\exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right)\,dx=1$。為此考慮變數變換，令 $\displaystyle u=\frac{x-\mu}{\sqrt{2\sigma^2}}$，如此有 $\displaystyle du=\frac{dx}{\sqrt{2\sigma^2}}$，從而該瑕積分可改寫如下

$\displaystyle1=K\int_{-\infty}^\infty e^{-u^2}\cdot\sqrt{2\sigma^2}\,du=K\sqrt{2\sigma^2\pi}$.

至此獲得 $\displaystyle K=\frac1{\sqrt{2\sigma^2\pi}}$。



4. Assume the inverse of

   $\begin{bmatrix}n&\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i&\displaystyle\sum_{i=1}^nz_i\\\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i&\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i^2&\displaystyle\sum_{i=1}^nx_iz_i\\\displaystyle\sum_{i=1}^nz_i&\displaystyle\sum_{i=1}^nx_iz_i&\displaystyle\sum_{i=1}^nz_i^2\end{bmatrix}$

   exists and equal to $\begin{bmatrix}a&b&c\\b&d&e\\d&e&f\end{bmatrix}$. Find $f$.
訣竅
利用古典伴隨矩陣的概念求反方陣中的一格。
解法

設題目給定的矩陣為 $A$，那麼計算對應的餘因子矩陣中第三行與第三列的位置如下

$\displaystyle\left|\begin{matrix}n&\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i\\\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i&\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i^2\end{matrix}\right|=n\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i^2-\left(\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i\right)^2$.

由於伴隨矩陣為餘因子矩陣的轉置，故第三行第三列不改變，從而有

$\displaystyle f=\frac1{\det\left(A\right)}\left(n\sum_{i=1}^nx_i^2-\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2\right)$.

再者，矩陣 $A$ 的行列式可計算如下

$\displaystyle\begin{aligned}\det\left(A\right)=&\,n\left(\sum_{i=1}^nx_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^nz_i^2\right)+2\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)\left(\sum_{i=1}^nz_i\right)\left(\sum_{i=1}^nx_iz_i\right)\\&-\left(\sum_{i=1}^nx_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^nz_i\right)^2-n\left(\sum_{i=1}^nx_iz_i\right)^2-\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2\left(\sum_{i=1}^nz_i^2\right).\end{aligned}$



5. Find the extreme values of $2x^2+2\sqrt2xy+y^2$ under the constraint $x^2+y^2=1$.
訣竅
應用初等不等式求解即可；亦可運用 Lagrange 乘子法求解。
解法一

運用 Cauchy 不等式可注意到

$3=\left(x^2+y^2\right)\left(\sqrt2^2+1^2\right)\geq\left(\sqrt2x+y\right)^2=2x^2+2\sqrt2xy+y^2\geq0$.

故最大值為 $3$ 而最小值為 $0$，其中等號成立條件分別為

$\displaystyle\pm\left(\frac{\sqrt6}3,\frac{\sqrt3}3\right),\qquad\pm\left(\frac{\sqrt3}3,-\frac{\sqrt6}3\right)$.

解法二
設 $f\left(x,y\right)=2x^2+2\sqrt2xy+y^2$ 以及 Lagrange 乘子函數如下
$F\left(x,y,\lambda\right)=2x^2+2\sqrt2xy+y^2+\lambda\left(x^2+y^2-1\right)$.
據此解下列的聯立方程組
$\left\{\begin{aligned}&F_x\left(x,y,\lambda\right)=4x+2\sqrt2y+2x\lambda=0,\\&F_y\left(x,y,\lambda\right)=2\sqrt2x+2y+2y\lambda=0,\\&F_\lambda\left(x,y,\lambda\right)=x^2+y^2-1=0.\end{aligned}\right.$
觀察到 $\left(0,0\right)$ 雖然滿足前兩式卻不滿足第三式，故前兩式有非零解，從而方程組
$\left\{\begin{aligned}&\left(4+2\lambda\right)x+2\sqrt2y=0\\&2\sqrt2x+\left(2+2\lambda\right)y=0\end{aligned}\right.$
有無窮多解，其行列式值為零。此即
$0=\begin{vmatrix}4+2\lambda&2\sqrt2\\2\sqrt2&2+2\lambda\end{vmatrix}=\left(4+2\lambda\right)\left(2+2\lambda\right)-8$.
從而有 $\lambda^2+3\lambda=0$，故得 $\lambda=0$ 或 $\lambda=-3$。
• 若 $\lambda=0$，則 $\sqrt2x+y=0$，那麼由第三式可知 $3x^2=1$，即得 $\displaystyle x=\pm\frac{\sqrt3}3$，而 $\displaystyle y=\mp\frac{\sqrt6}3$。
• 若 $\lambda=-3$，則 $x=\sqrt2y$，那麼由第三式有 $3y^2=1$，即得 $\displaystyle y=\frac{\sqrt3}3$，而 $\displaystyle x=\pm\frac{\sqrt6}3$。
由以上解得四個極值候選點座標為
$\displaystyle\left(\frac{\sqrt3}3,-\frac{\sqrt6}3\right),\quad\left(-\frac{\sqrt3}3,\frac{\sqrt6}3\right),\quad\left(\frac{\sqrt6}3,\frac{\sqrt3}3\right),\quad\left(-\frac{\sqrt6}3,-\frac{\sqrt3}3\right)$.
如此檢驗可知
$\displaystyle f\left(\frac{\sqrt3}3,-\frac{\sqrt6}3\right)=f\left(-\frac{\sqrt3}3,\frac{\sqrt6}3\right)=0,\qquad f\left(\frac{\sqrt6}3,\frac{\sqrt3}3\right)=f\left(-\frac{\sqrt6}3,-\frac{\sqrt3}3\right)=3$.
因此最大值為 $3$ 而最小值為 $0$。