國立臺灣大學九十七學年度研究所碩士班入學考試試題：微積分(不含線性代數)

1. Determine whether the following series converge
   1. $\displaystyle\sum_{\kappa=1}^{\infty}\kappa^2e^{-\kappa^3}$. ($10$ points)
   2. $\displaystyle\sum_{\kappa=1}^{\infty}\frac{\kappa+5}{5^{\kappa}}$. ($10$ points)
訣竅
對於第一小題可應用積分審歛法；第二小題則使用比值審歛法。
解法
1. 設 $f\left(x\right)=x^2e^{-x^3}$。由於當 $x\geq1$ 時有 $f'\left(x\right)=2xe^{-x^3}-3x^4e^{-x^3}=x\left(2-3x^3\right)e^{-x^3}<0$，故 $f$ 非負遞減。如此應用積分審歛法可知 $\displaystyle\sum_{\kappa=1}^{\infty}f\left(\kappa\right)$ 的歛散性與 $\displaystyle\int_1^{\infty}f\left(x\right)dx$ 的歛散性相同。而後者可計算如下

   $\displaystyle\int_1^{\infty}f\left(x\right)dx=\lim_{t\to\infty}\int_1^tx^2e^{-x^2}dx=\lim_{t\to\infty}\frac{e^{-1}-e^{-t^3}}3=\frac1{3e}$

   這表明此瑕積分收斂，從而題目給定的無窮級數也收斂。
2. 設 $\displaystyle a_{\kappa}=\frac{\kappa+5}{5^{\kappa}}$，那麼有

   $\displaystyle\lim_{\kappa\to\infty}\frac{a_{\kappa+1}}{a_{\kappa}}=\lim_{\kappa\to\infty}\frac{\kappa+6}{5\left(\kappa+5\right)}=\frac15<1$

   因此由交錯級數審歛法可知給定的級數收斂。


2. Solve the following problems
   1. Suppose that $f\left(1\right)=2$, $f\left(4\right)=7$, $f'\left(1\right)=5$, $f'\left(4\right)=3$, and $f''$ is continuous. Find the value of $\displaystyle\int_1^4xf''\left(x\right)dx$. ($10$ points)
   2. Differentiate $f\left(x\right)=x^{6x}e^{x^2-1}$. ($10$ points)
   3. Find the length of the curve $\displaystyle y=\frac23\left(x^2+1\right)^{3/2}$ between $x=1$ and $x=2$. ($10$ points)
訣竅
第一小題使用連續的分部積分法計算即可；第二小題使用對數微分法或換底後使用微分公式計算即可；第三小題則使用曲線弧長公式計算之。
解法

1. 使用分部積分法計算如下

   $\displaystyle\begin{aligned}\int_1^4xf''\left(x\right)dx&=\int_1^4xdf'\left(x\right)=xf'\left(x\right)\Big|_1^4-\int_1^4f'\left(x\right)dx\\&=4f'\left(4\right)-f'\left(1\right)-\left(f\left(4\right)-f\left(1\right)\right)=4\cdot3-5-\left(7-2\right)=2\end{aligned}$

2. 【方法一】 運用對數微分法，先將給定的函數取自然對數便有

   $\ln\left(f\left(x\right)\right)=6x\ln\left(x\right)+x^2-1$

   如此運用連鎖律求導可得

   $\displaystyle\frac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}=6\ln\left(x\right)+6+2x$

   故所求的導函數為

   $f'\left(x\right)=\left(6\ln\left(x\right)+2x+6\right)f\left(x\right)=\left(6\ln\left(x\right)+2x+6\right)x^{6x}e^{x^2-1}$

   【方法二】　運用換底後運用連鎖律與微分的乘法公式求導如下

   $\displaystyle\begin{aligned}f'\left(x\right)&=\frac{d}{dx}\left(x^{6x}e^{x^2-1}\right)=\frac{d}{dx}\left(e^{6x\ln\left(x\right)+x^2-1}\right)\\&=e^{6x\ln\left(x\right)+x^2-1}\cdot\frac{d}{dx}\left(6x\ln\left(x\right)+x^2-1\right)=x^{6x}e^{x^2-1}\left(6\ln\left(x\right)+6+2x\right)\end{aligned}$

3. 運用曲線弧長公式列式後並簡化計算如下

   $\displaystyle\begin{aligned}s&=\int_1^2\sqrt{1+y'^2}dx=\int_1^2\sqrt{1+\left[2x\left(x^2+1\right)^{1/2}\right]^2}dx=\int_1^2\sqrt{1+4x^2\left(x^2+1\right)}dx\\&=\int_1^2\sqrt{1+4x^2+4x^4}dx=\int_1^2\left(1+2x^2\right)dx=\left.\left(x+\frac{2x^3}3\right)\right|_1^2=\frac{17}3\end{aligned}$



3. Solve the following problems
   1. Solve the initial value problem $\displaystyle\frac{dy}{dt}+2ty=y$, $y\left(0\right)=5$. ($15$ points)
   2. Write the Taylor polynomial of degree $n$ of $f\left(x\right)=e^x$ centered at $-1$. What is the equation of the tangent to the graph of $f$ at the point $\left(-1,e^{-1}\right)$? ($15$ points)
訣竅
第一小題可運用分離變量法或積分因子法求解；第二小題按照泰勒多項式的定義表達即可，而切線方程式即為一次泰勒多項式。
解法
1. 【方法一】　分離變量法：移項整理有

   $\displaystyle\frac{dy}{dt}=y-2ty=y\left(1-2t\right)$

   於是可寫為

   $\displaystyle\frac{dy}y=\left(1-2t\right)dt$

   兩邊同取不定積分可得

   $\ln\left|y\left(t\right)\right|=t-t^2+C$

   其中 $C$ 為待定的常數。由 $y\left(0\right)=5$ 可得 $C=\ln5$。同取自然指數可得所求函數 $y\left(t\right)=5e^{t-t^2}$。

   【方法二】　積分因子法：將右式的 $y$ 移至左邊後觀察積分因子為 $e^{\int\left(2t-1\right)dt}=e^{t^2-t}$ ，同乘以積分因子後可得

   $\displaystyle\frac{d}{dt}\left(e^{t^2-t}y\left(t\right)\right)=e^{t^2-t}\frac{dy}{dt}+\left(2t-1\right)y\left(t\right)=0$

   故表明 $e^{t^2-t}y\left(t\right)$ 為常數函數，因此 $e^{t^2-t}y\left(t\right)=y\left(0\right)=5$。如此我們得到所求函數 $y\left(t\right)=5e^{t-t^2}$。

2. 容易知道 $f^{\left(n\right)}\left(x\right)=e^x$，故 $f^{\left(n\right)}\left(-1\right)=e^{-1}$，如此 $f$ 在 $x=-1$ 處所對應的 $n$ 次泰勒多項式為

   $\displaystyle T_{f,n,-1}\left(x\right)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{\left(k\right)}\left(-1\right)}{k!}\left(x+1\right)^k=\frac1e\sum_{k=0}^n\frac{\left(x+1\right)^k}{k!}$

   而 $f$ 在 $\left(-1,e^{-1}\right)$ 處的切線方程式即為 $y=T_{f,1,-1}\left(x\right)$，即 $y\left(x\right)=e^{-1}\left(x+2\right)$。


4. 1. Find an antiderivative $G\left(x\right)$ of the function $\ln\left(x\right)$. (Hints: use an integration by parts) ($10$ points)
   2. Find all functions $y\left(x\right)$ satisfying the differential equation $y'+2xy=\ln\left(x\right)e^{-x^2}$. (If you haven't answered the first equation, write $G\left(x\right)$ for an antiderivative of $\ln\left(x\right)$) ($10$ points)
訣竅
對於第一小題如提示所述使用分部積分法；而對於第二小題則需使用積分因子法處理。
解法
1. 使用分部積分法可知

   $\displaystyle\int\ln\left(x\right)dx=x\ln x-\int x\cdot\frac1xdx=x\ln x-x+C$

2. 此微分方程的積分因子為 $e^{\int2xdx}=e^{x^2}$，故兩邊同乘以 $e^{x^2}$ 有

   $\displaystyle\frac{d}{dx}\left(e^{x^2}y\left(x\right)\right)=e^{x^2}y'\left(x\right)+2xe^{x^2}y\left(x\right)=\ln\left(x\right)$

   兩邊同取不定積分可得

   $e^{x^2}y\left(x\right)=x\ln\left(x\right)-x+C$

   因此所求的函數為 $y\left(x\right)=e^{-x^2}\left(x\ln\left(x\right)-x+C\right)$。