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2020年7月5日 星期日

國立臺灣大學一百零三學年度研究所碩士班入學考試試題:微積分(A)

  1. (10 pts) Let w=f(x,y) be a function of two variables, and let x=u+v and y=uv. Determine a and b, a,bR, such that

    2wuv=a2wx2+b2wy2.

  2. 訣竅運用多變量函數的連鎖律計算即可。
    解法計算一階偏導函數可知

    wv=wxxv+wyyv=wxwy

    接著計算二階偏導函數則有

    2wuv=uwxuwy=2wx2+2wyx2wxy2wy2=2wx22wy2

    因此 a=1b=1

  3. (15 pts) Let A be the closed and bounded region defined by 1x,y1, and let f:AR be given by

    f(x,y)=x2y2xy.

    Find the points in A where f attains a global maximum and a global minimum.
  4. 訣竅在內部找出偏導為零的位置,而在邊界則化為單變函數求極值的位置處理。
    解法為了求出內部的極值,我們解下列的聯立方程組

    {fx(x,y)=2xy2y=0fy(x,y)=x22x=0

    由第二式可知 x=0x=2,從而由第一式可知 y=0,但由於 (2,0)A,故僅得極值候選點 (0,0)。現分別針對矩形區域的四條邊界考察如下
    • x=1 時,函數為 f(1,y)=3y,故在 y=1 時有極小值為 f(1,1)=3,而在 y=1 處有極大值 f(1,1)=3
    • x=1 時有 f(1,y)=y,那麼當 y=1 時有極小值為 f(1,1)=1,而當 y=1 時有極大值 f(1,1)=1
    • y=1 時有 f(x,1)=x2+2x=1(x1)2,故當 x=1 時有極大值為 f(1,1)=1,而當 x=1 時有極小值為 3
    • y=1 時有 f(x,1)=x22x=(x1)21,故當 x=1 時有極小值為 f(1,1)=1,而當 x=1 時有極大值為 f(1,1)=3
    綜上可知全域極大值為 3,發生在 (1,1),而全域極小值為 3,發生在 (1,1)

  5. (10 pts) Find the critical points for the function

    f(x,y)=3x2+2xy+2x+y2+y+4

    and determine whether they are local maxima, local minima, or saddle points.
  6. 訣竅首先透過解偏導為零的位置以獲得極值候選點,隨後計算二階判別式以確定極值候選點的特性。
    解法為了求出極值候選點,我們解下列的聯立方程組

    {fx(x,y)=6x+2y+2=0fy(x,y)=2x+2y+1=0

    如此可解得 (x,y)=(14,14)。進一步地,我們計算二階判別式如下

    D(x,y)=|fxx(x,y)fxy(x,y)fyx(x,y)fyy(x,y)|=|6222|=8>0

    且因 fxx(x,y)=6>0,故 (14,14) 為局部極小值(事實上也是全域極小值)。

  7. (10 pts) Compute the length of the polar curve whose polar model is

    r(θ)=2cos(θ), 0θπ.

  8. 訣竅運用極座標下的曲線弧長公式計算即可。
    解法運用曲線弧長公式可知

    s=π0r2(θ)+r2(θ)dθ=π04cos2θ+4sin2θdθ=π02dθ=2π


  9. (15 pts) Calculate the integral R2exp(3x2+4xy3y2)dxdy.
  10. 訣竅運用配方法與極座標變換處理之。
    解法首先可以注意到指數之次方可配方如下

    3x2+4xy3y2=3(x2y3)28y23

    據此,令 u=3x2y3v=22y3,又其 Jacobian 行列式能計算如下

    (x,y)(u,v)=|(u,v)(x,y)|1=||uxuyvxvy||1=||3230223||1=122=24

    因此所求的二重積分可改寫如下

    R2exp(3x2+4xy3y2)dxdy=24R2exp(u2v2)dudv=242π00er2rdrdθ=242π12=π24


  11. (10 pts) Assume that f is differentiable at a. Evaluate

    lim where n is a natural number.

  12. 訣竅改寫極限式並化為對函數求導的定義即可。
    解法容易注意到極限式可改寫為

    \displaystyle\lim_{x\to a}\frac{a^nf\left(x\right)-x^nf\left(a\right)}{x-a}=a^n\lim_{x\to a}\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}+f\left(a\right)\lim_{x\to a}\frac{a^n-x^n}{x-a}=a^nf'\left(a\right)-na^{n-1}f\left(a\right)

    註:本題不可使用羅畢達法則,因為題目敘述僅提及函數 fa 處可求導,但未能清楚知道 f 在他處是否也能求導,或者求導後是否能取極限。


  13. (10 pts) Determine whether or not the following limit exists, and find its value if it exists:

    \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left[n-\frac{n}e\left(1-\frac1n\right)^n\right].

  14. 訣竅運用自然指數的定義觀察即可知其極限發散。
    解法首先注意到

    \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac1n\right)^n=\left[\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{-n}\right)^{-n}\right]^{-1}=e^{-1}

    假若給定的極限收斂至 L\in\mathbb{R},那麼由極限的四則運算定理可知

    \displaystyle\frac{L}{1-e^{-2}}=\frac{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left[n-\frac{n}e\left(1-\frac1n\right)^n\right]}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac1e\left(1-\frac1n\right)^n\right)}=\lim_{n\to\infty}n=\infty

    矛盾,故給定之極限不存在。

  15. (20 pts) Let C be the curve x^2+y^2=1 lying in the plane z=1. Let {\bf F}=\left(z-y\right){\bf i}+y{\bf k}.
    1. (5 pts) Calculate \nabla\times{\bf F}.
    2. (5 pts) Calculate \displaystyle\int_C{\bf F}\cdot d{\bf s} using a parametrization of C and a chosen orientation for C.
    3. (5 pts) Write C=\partial S for a suitably chosen surface S and, applying Stokes' theorem, verify your answer in (b).
    4. (5 pts) Consider the sphere with radius \sqrt2 and center the origin. Let S' be the part of the sphere that is above the curve (i.e., lies in the region z\geq1), and has C as boundary. Evaluate the surface integral of \nabla\times{\bf F} over S'. Specify the orientation you are using for S'.
  16. 訣竅按照旋度、線積分與 Stokes 定理與曲面積分的概念計算即可。
    解法
    1. 計算旋度可知

      \nabla\times{\bf F}=\begin{vmatrix}{\bf i}&{\bf j}&{\bf k}\\\partial_x&\partial_y&\partial_z\\z-y&0&y\end{vmatrix}={\bf i}+{\bf j}+{\bf k}

    2. 將曲線參數化為 \left\{\begin{aligned}&x=\cos\theta\\&y=\sin\theta\\&z=1\end{aligned}\right.,如此所求的線積分可表達並計算如下

      \displaystyle\int_C{\bf F}\cdot d{\bf s}=\int_0^{2\pi}\left(1-\sin\theta,0,\sin\theta\right)\cdot\left(-\sin\theta,\cos\theta,0\right)d\theta=\int_0^{2\pi}\left(\sin^2\theta-\sin\theta\right)d\theta=\left.\left(\frac{2\theta-\sin2\theta}4+\cos\theta\right)\right|_0^{2\pi}=\pi

    3. S=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3:\,x^2+y^2\leq1,\,z=1\right\},那麼由 Stokes 定理可知

      \displaystyle\int_C{\bf F}\cdot d{\bf s}=\iint_S\left(\nabla\times{\bf F}\right)d{\bf S}=\iint_S\left(1,1,1\right)\cdot\left(0,0,1\right)dA=\iint_SdA=\pi

    4. 同樣使用 Stokes 定理,其中在 S' 上的曲面積分之法向量指向上方,從而有

      \displaystyle\iint_{S'}\nabla\times{\bf F}\cdot d{\bf S}=\int_C{\bf F}\cdot d{\bf s}=\pi

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