- (10 pts) Let w=f(x,y) be a function of two variables, and let x=u+v and y=u−v. Determine a and b, a,b∈R, such that
∂2w∂u∂v=a∂2w∂x2+b∂2w∂y2.
- (15 pts) Let A be the closed and bounded region defined by −1≤x,y≤1, and let f:A→R be given by
f(x,y)=x2y−2xy.
Find the points in A where f attains a global maximum and a global minimum. - 當 x=−1 時,函數為 f(−1,y)=3y,故在 y=−1 時有極小值為 f(−1,−1)=−3,而在 y=1 處有極大值 f(−1,1)=3;
- 當 x=1 時有 f(1,y)=−y,那麼當 y=1 時有極小值為 f(1,1)=−1,而當 y=−1 時有極大值 f(1,−1)=1;
- 當 y=−1 時有 f(x,−1)=−x2+2x=1−(x−1)2,故當 x=1 時有極大值為 f(1,−1)=1,而當 x=−1 時有極小值為 −3;
- 當 y=1 時有 f(x,1)=x2−2x=(x−1)2−1,故當 x=1 時有極小值為 f(1,1)=−1,而當 x=−1 時有極大值為 f(−1,1)=3。
- (10 pts) Find the critical points for the function
f(x,y)=3x2+2xy+2x+y2+y+4
and determine whether they are local maxima, local minima, or saddle points. - (10 pts) Compute the length ℓ of the polar curve whose polar model is
r(θ)=2cos(θ), 0≤θ≤π.
- (15 pts) Calculate the integral ∫R2exp(−3x2+4xy−3y2)dxdy.
- (10 pts) Assume that f is differentiable at a. Evaluate
lim where n is a natural number.
- (10 pts) Determine whether or not the following limit exists, and find its value if it exists:
\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left[n-\frac{n}e\left(1-\frac1n\right)^n\right].
- (20 pts) Let C be the curve x^2+y^2=1 lying in the plane z=1. Let {\bf F}=\left(z-y\right){\bf i}+y{\bf k}.
- (5 pts) Calculate \nabla\times{\bf F}.
- (5 pts) Calculate \displaystyle\int_C{\bf F}\cdot d{\bf s} using a parametrization of C and a chosen orientation for C.
- (5 pts) Write C=\partial S for a suitably chosen surface S and, applying Stokes' theorem, verify your answer in (b).
- (5 pts) Consider the sphere with radius \sqrt2 and center the origin. Let S' be the part of the sphere that is above the curve (i.e., lies in the region z\geq1), and has C as boundary. Evaluate the surface integral of \nabla\times{\bf F} over S'. Specify the orientation you are using for S'.
- 計算旋度可知
\nabla\times{\bf F}=\begin{vmatrix}{\bf i}&{\bf j}&{\bf k}\\\partial_x&\partial_y&\partial_z\\z-y&0&y\end{vmatrix}={\bf i}+{\bf j}+{\bf k}
- 將曲線參數化為 \left\{\begin{aligned}&x=\cos\theta\\&y=\sin\theta\\&z=1\end{aligned}\right.,如此所求的線積分可表達並計算如下
\displaystyle\int_C{\bf F}\cdot d{\bf s}=\int_0^{2\pi}\left(1-\sin\theta,0,\sin\theta\right)\cdot\left(-\sin\theta,\cos\theta,0\right)d\theta=\int_0^{2\pi}\left(\sin^2\theta-\sin\theta\right)d\theta=\left.\left(\frac{2\theta-\sin2\theta}4+\cos\theta\right)\right|_0^{2\pi}=\pi
- 取 S=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3:\,x^2+y^2\leq1,\,z=1\right\},那麼由 Stokes 定理可知
\displaystyle\int_C{\bf F}\cdot d{\bf s}=\iint_S\left(\nabla\times{\bf F}\right)d{\bf S}=\iint_S\left(1,1,1\right)\cdot\left(0,0,1\right)dA=\iint_SdA=\pi
- 同樣使用 Stokes 定理,其中在 S' 上的曲面積分之法向量指向上方,從而有
\displaystyle\iint_{S'}\nabla\times{\bf F}\cdot d{\bf S}=\int_C{\bf F}\cdot d{\bf s}=\pi
訣竅
運用多變量函數的連鎖律計算即可。解法
計算一階偏導函數可知∂w∂v=∂w∂x∂x∂v+∂w∂y∂y∂v=∂w∂x−∂w∂y
接著計算二階偏導函數則有∂2w∂u∂v=∂∂u∂w∂x−∂∂u∂w∂y=∂2w∂x2+∂2w∂y∂x−∂2w∂x∂y−∂2w∂y2=∂2w∂x2−∂2w∂y2
因此 a=1 且 b=−1。訣竅
在內部找出偏導為零的位置,而在邊界則化為單變函數求極值的位置處理。解法
為了求出內部的極值,我們解下列的聯立方程組{fx(x,y)=2xy−2y=0fy(x,y)=x2−2x=0
由第二式可知 x=0 或 x=2,從而由第一式可知 y=0,但由於 (2,0)∉A,故僅得極值候選點 (0,0)。現分別針對矩形區域的四條邊界考察如下訣竅
首先透過解偏導為零的位置以獲得極值候選點,隨後計算二階判別式以確定極值候選點的特性。解法
為了求出極值候選點,我們解下列的聯立方程組{fx(x,y)=6x+2y+2=0fy(x,y)=2x+2y+1=0
如此可解得 (x,y)=(−14,−14)。進一步地,我們計算二階判別式如下D(x,y)=|fxx(x,y)fxy(x,y)fyx(x,y)fyy(x,y)|=|6222|=8>0
且因 fxx(x,y)=6>0,故 (−14,−14) 為局部極小值(事實上也是全域極小值)。訣竅
運用極座標下的曲線弧長公式計算即可。解法
運用曲線弧長公式可知s=∫π0√r2(θ)+r′2(θ)dθ=∫π0√4cos2θ+4sin2θdθ=∫π02dθ=2π
訣竅
運用配方法與極座標變換處理之。解法
首先可以注意到指數之次方可配方如下−3x2+4xy−3y2=−3(x−2y3)2−8y23
據此,令 u=√3x−2y√3、v=2√2y√3,又其 Jacobian 行列式能計算如下∂(x,y)∂(u,v)=|∂(u,v)∂(x,y)|−1=||∂u∂x∂u∂y∂v∂x∂v∂y||−1=||√3−2√302√2√3||−1=12√2=√24
因此所求的二重積分可改寫如下∫R2exp(−3x2+4xy−3y2)dxdy=√24∬R2exp(−u2−v2)dudv=√24∫2π0∫∞0e−r2rdrdθ=√24⋅2π⋅12=π√24
訣竅
改寫極限式並化為對函數求導的定義即可。解法
容易注意到極限式可改寫為\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{a^nf\left(x\right)-x^nf\left(a\right)}{x-a}=a^n\lim_{x\to a}\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}+f\left(a\right)\lim_{x\to a}\frac{a^n-x^n}{x-a}=a^nf'\left(a\right)-na^{n-1}f\left(a\right)
註:本題不可使用羅畢達法則,因為題目敘述僅提及函數 f 在 a 處可求導,但未能清楚知道 f 在他處是否也能求導,或者求導後是否能取極限。
訣竅
運用自然指數的定義觀察即可知其極限發散。解法
首先注意到\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac1n\right)^n=\left[\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{-n}\right)^{-n}\right]^{-1}=e^{-1}
假若給定的極限收斂至 L\in\mathbb{R},那麼由極限的四則運算定理可知\displaystyle\frac{L}{1-e^{-2}}=\frac{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left[n-\frac{n}e\left(1-\frac1n\right)^n\right]}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac1e\left(1-\frac1n\right)^n\right)}=\lim_{n\to\infty}n=\infty
矛盾,故給定之極限不存在。
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