Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

2020年7月5日 星期日

國立臺灣大學一百零三學年度研究所碩士班入學考試試題:微積分(A)

  1. (10 pts) Let w=f(x,y) be a function of two variables, and let x=u+v and y=uv. Determine a and b, a,bR, such that

    2wuv=a2wx2+b2wy2.

  2. 訣竅運用多變量函數的連鎖律計算即可。
    解法計算一階偏導函數可知

    wv=wxxv+wyyv=wxwy

    接著計算二階偏導函數則有

    2wuv=uwxuwy=2wx2+2wyx2wxy2wy2=2wx22wy2

    因此 a=1b=1

  3. (15 pts) Let A be the closed and bounded region defined by 1x,y1, and let f:AR be given by

    f(x,y)=x2y2xy.

    Find the points in A where f attains a global maximum and a global minimum.
  4. 訣竅在內部找出偏導為零的位置,而在邊界則化為單變函數求極值的位置處理。
    解法為了求出內部的極值,我們解下列的聯立方程組

    {fx(x,y)=2xy2y=0fy(x,y)=x22x=0

    由第二式可知 x=0x=2,從而由第一式可知 y=0,但由於 (2,0)A,故僅得極值候選點 (0,0)。現分別針對矩形區域的四條邊界考察如下
    • x=1 時,函數為 f(1,y)=3y,故在 y=1 時有極小值為 f(1,1)=3,而在 y=1 處有極大值 f(1,1)=3
    • x=1 時有 f(1,y)=y,那麼當 y=1 時有極小值為 f(1,1)=1,而當 y=1 時有極大值 f(1,1)=1
    • y=1 時有 f(x,1)=x2+2x=1(x1)2,故當 x=1 時有極大值為 f(1,1)=1,而當 x=1 時有極小值為 3
    • y=1 時有 f(x,1)=x22x=(x1)21,故當 x=1 時有極小值為 f(1,1)=1,而當 x=1 時有極大值為 f(1,1)=3
    綜上可知全域極大值為 3,發生在 (1,1),而全域極小值為 3,發生在 (1,1)

  5. (10 pts) Find the critical points for the function

    f(x,y)=3x2+2xy+2x+y2+y+4

    and determine whether they are local maxima, local minima, or saddle points.
  6. 訣竅首先透過解偏導為零的位置以獲得極值候選點,隨後計算二階判別式以確定極值候選點的特性。
    解法為了求出極值候選點,我們解下列的聯立方程組

    {fx(x,y)=6x+2y+2=0fy(x,y)=2x+2y+1=0

    如此可解得 (x,y)=(14,14)。進一步地,我們計算二階判別式如下

    D(x,y)=|fxx(x,y)fxy(x,y)fyx(x,y)fyy(x,y)|=|6222|=8>0

    且因 fxx(x,y)=6>0,故 (14,14) 為局部極小值(事實上也是全域極小值)。

  7. (10 pts) Compute the length of the polar curve whose polar model is

    r(θ)=2cos(θ), 0θπ.

  8. 訣竅運用極座標下的曲線弧長公式計算即可。
    解法運用曲線弧長公式可知

    s=π0r2(θ)+r2(θ)dθ=π04cos2θ+4sin2θdθ=π02dθ=2π


  9. (15 pts) Calculate the integral R2exp(3x2+4xy3y2)dxdy.
  10. 訣竅運用配方法與極座標變換處理之。
    解法首先可以注意到指數之次方可配方如下

    3x2+4xy3y2=3(x2y3)28y23

    據此,令 u=3x2y3v=22y3,又其 Jacobian 行列式能計算如下

    (x,y)(u,v)=|(u,v)(x,y)|1=||uxuyvxvy||1=||3230223||1=122=24

    因此所求的二重積分可改寫如下

    R2exp(3x2+4xy3y2)dxdy=24R2exp(u2v2)dudv=242π00er2rdrdθ=242π12=π24


  11. (10 pts) Assume that f is differentiable at a. Evaluate

    limxaanf(x)xnf(a)xa where n is a natural number.

  12. 訣竅改寫極限式並化為對函數求導的定義即可。
    解法容易注意到極限式可改寫為

    limxaanf(x)xnf(a)xa=anlimxaf(x)f(a)xa+f(a)limxaanxnxa=anf(a)nan1f(a)

    註:本題不可使用羅畢達法則,因為題目敘述僅提及函數 fa 處可求導,但未能清楚知道 f 在他處是否也能求導,或者求導後是否能取極限。


  13. (10 pts) Determine whether or not the following limit exists, and find its value if it exists:

    limn+[nne(11n)n].

  14. 訣竅運用自然指數的定義觀察即可知其極限發散。
    解法首先注意到

    limn(11n)n=[limn(1+1n)n]1=e1

    假若給定的極限收斂至 LR,那麼由極限的四則運算定理可知

    L1e2=limn[nne(11n)n]limn(11e(11n)n)=limnn=

    矛盾,故給定之極限不存在。

  15. (20 pts) Let C be the curve x2+y2=1 lying in the plane z=1. Let F=(zy)i+yk.
    1. (5 pts) Calculate ×F.
    2. (5 pts) Calculate CFds using a parametrization of C and a chosen orientation for C.
    3. (5 pts) Write C=S for a suitably chosen surface S and, applying Stokes' theorem, verify your answer in (b).
    4. (5 pts) Consider the sphere with radius 2 and center the origin. Let S be the part of the sphere that is above the curve (i.e., lies in the region z1), and has C as boundary. Evaluate the surface integral of ×F over S. Specify the orientation you are using for S.
  16. 訣竅按照旋度、線積分與 Stokes 定理與曲面積分的概念計算即可。
    解法
    1. 計算旋度可知

      ×F=|ijkxyzzy0y|=i+j+k

    2. 將曲線參數化為 {x=cosθy=sinθz=1,如此所求的線積分可表達並計算如下

      CFds=2π0(1sinθ,0,sinθ)(sinθ,cosθ,0)dθ=2π0(sin2θsinθ)dθ=(2θsin2θ4+cosθ)|2π0=π

    3. S={(x,y,z)R3:x2+y21,z=1},那麼由 Stokes 定理可知

      CFds=S(×F)dS=S(1,1,1)(0,0,1)dA=SdA=π

    4. 同樣使用 Stokes 定理,其中在 S 上的曲面積分之法向量指向上方,從而有

      S×FdS=CFds=π

沒有留言:

張貼留言