- Sketch a figure and display the general natrue of the function (x3−1)/x. (15%)
- Find dy/dx and d2y/dx2 for the curve C:x=t2, y=t5. (10%)
- Find the area enclosed by the curve x(t)=acost, y(t)=bsint, 0≤t≤2π, and the volume generated by revolving the curve about the x-axis. (15%)
- Calculate ∫x5+2x2−1dx. (10%)
- Find limx→∞1x∫x0sin(1t+1)dt if it exists. (10%)
- Find the Taylor series expansion of e−x√x+1 at x=0, and give the radius of converges. (10%)
- Set g(x,y)={x2y2x4+y4(x,y)≠(0,0)0(x,y)=(0,0). (a) Evaluate ∂g/∂x at (0,0). (b) Is g(x,y) continuous at (0,0)? (10%)
- 按照偏導數的定義計算可知
∂g∂x(0,0)=limh→0g(h,0)−g(0,0)h=limh→00−0h=0
- 由反證法,假設 g 在 (0,0) 處連續,即沿任何路徑趨於原點時 g 會趨於 g(0,0)=0。但容易發現沿著斜直線 y=x 時有 limx→0g(x,x)=12≠0,從而函數 g 在原點處不連續。
- Integrate →h over the indicated path: →h(x,y)=(x+2)y→i+(2x+y)→j; y=x2 from (0,0) to (2,4). (10%)
- Evaluate the double integral ∫21∫lny0e−xdxdy. (10%)
訣竅
透過計算極限、一階與二階導函數等尋求極值、反曲點、遞增遞減區間、凹凸區間以及漸近線等繪圖資訊。解法
設函數 f(x)=x2−x−1,容易注意到 limx→±∞f(x)=∞ 且 limx→∞(f(x)−x2)=0。再者,也有 limx→0±f(x)=∓∞,故 x=0 處有鉛直漸近線。
又求一階導函數有 f′(x)=2x+x−2,容易發現當 x∈(−2−1/3,0)∪(0,∞) 時有 f′(x)>0 而 x∈(−∞,−2−1/3) 有 f′(x)<0。因此在 x=−2−1/3 處有局部極小值。
又進一步計算二階導函數得 f″(x)=2−2x−3。那麼當 x(−∞,0)∪∈(1,∞) 時有 f″(x)>0,而在 x∈(0,1) 時有 f″(x)<0,故 (1,f(1))=(1,0) 處為反曲點。
據此將圖形繪製如下訣竅
運用連鎖律計算一階與二階導函數。解法
由連鎖律可知一階導函數為dydx=dy/dtdx/dt=5t42t=5t32
又二階導函數為d2ydx2=d(dy/dx)dx=d(5t3/2)/dtdx/dt=15t2/22t=15t4
訣竅
運用旋轉體體積公式計算即可。解法
使用旋轉體體積公式可知V=∫t=0t=ππy2(t)dx(t)=ab2π∫π0sin3tdt=ab2π(cos3t3−cost)|π0=4ab2π3
訣竅
運用部分分式法求解。解法
容易經由多項式除法改寫不定積分並計算如下∫x5+2x2−1dx=∫(x3+x+3/2x−1−1/2x+1)dx=x44+x22+32ln|x−1|−12ln|x+1|+C
訣竅
經由不等式將被積分函數替換為較容易處理之形式,並確認其極限可計算為零,從而可由夾擠定理獲得解答。解法
由於 sinu≤u,故容易發現∫x0sin(1t+1)dt≤∫x0dtt+1=ln(x+1)
又因 limx→∞ln(x+1)x=0,故由夾擠定理能知所求之極限為 limx→∞1x∫x0sin(1t+1)dt=0。訣竅
求導並觀察其規律。解法
由於 √1+x 可由廣義二項式定理的展開如下∞∑n=0(1/2n)xn=1+∞∑n=1(−1)n−1(2n−2)!22n−1(n−1)!n!xn (x∈(−1,1))
因此當 x∈(−1,1) 時有 e−x√x+1=e−x+e−x∞∑n=1(−1)n−1(2n−2)!22n−1(n−1)!n!xn。又因 e−x=∞∑n=0(−1)nn!xn,從而有e−x√x+1=∞∑n=0(−1)nn!xn+x(∞∑n=0(−1)nn!xn)(∞∑n=0(−1)n(2n)!22n+1n!(n+1)!xn)=1+∞∑n=1((−1)nn!+Cn−1)xn
此處 Cn 定義如下Cn=n∑k=0(−1)kk!⋅(−1)n−k(2n−2k)!22n−2k+1(n−k)!(n−k+1)!=n∑k=0(−1)n(2n−2k)!22n−2k+1k!(n−k)!(n−k+1)!
由於 e−x 的收斂半徑為 ∞ 而 √x+1 的收斂半徑為 1,故兩者相乘的收斂半徑也為 1。訣竅
按照偏導函數的定義求解,但由次數的觀察可沿著斜直線確認給定的函數不連續。解法
訣竅
利用參數化計算線積分即可。解法
利用參數化計算線積分可知∫L→h⋅d→s=∫20[(t+2)t2⋅1+(2t+t2)⋅2t]dt=∫20(3t3+6t2)dt=3t44+2t3|20=28
訣竅
直接計算重積分即可。解法
直接演算重積分可知∫21∫lny0e−xdxdy=∫21−e−x|lny0dy=∫21(1−1y)dy=y−lny|21=1−ln2
沒有留言:
張貼留言