2020年8月10日 星期一

國立臺灣大學一百零二學年度研究所碩士班入學考試試題:微積分(B)

  1. Sketch a figure and display the general natrue of the function (x31)/x. (15%)
  2. 訣竅透過計算極限、一階與二階導函數等尋求極值、反曲點、遞增遞減區間、凹凸區間以及漸近線等繪圖資訊。
    解法

    設函數 f(x)=x2x1,容易注意到 limx±f(x)=limx(f(x)x2)=0。再者,也有 limx0±f(x)=,故 x=0 處有鉛直漸近線。

    又求一階導函數有 f(x)=2x+x2,容易發現當 x(21/3,0)(0,) 時有 f(x)>0x(,21/3)f(x)<0。因此在 x=21/3 處有局部極小值。

    又進一步計算二階導函數得 f(x)=22x3。那麼當 x(,0)(1,) 時有 f(x)>0,而在 x(0,1) 時有 f(x)<0,故 (1,f(1))=(1,0) 處為反曲點。

    據此將圖形繪製如下

  3. Find dy/dx and d2y/dx2 for the curve C:x=t2, y=t5. (10%)
  4. 訣竅運用連鎖律計算一階與二階導函數。
    解法由連鎖律可知一階導函數為

    dydx=dy/dtdx/dt=5t42t=5t32

    又二階導函數為

    d2ydx2=d(dy/dx)dx=d(5t3/2)/dtdx/dt=15t2/22t=15t4


  5. Find the area enclosed by the curve x(t)=acost, y(t)=bsint, 0t2π, and the volume generated by revolving the curve about the x-axis. (15%)
  6. 訣竅運用旋轉體體積公式計算即可。
    解法使用旋轉體體積公式可知

    V=t=0t=ππy2(t)dx(t)=ab2ππ0sin3tdt=ab2π(cos3t3cost)|π0=4ab2π3


  7. Calculate x5+2x21dx. (10%)
  8. 訣竅運用部分分式法求解。
    解法容易經由多項式除法改寫不定積分並計算如下

    x5+2x21dx=(x3+x+3/2x11/2x+1)dx=x44+x22+32ln|x1|12ln|x+1|+C


  9. Find limx1xx0sin(1t+1)dt if it exists. (10%)
  10. 訣竅經由不等式將被積分函數替換為較容易處理之形式,並確認其極限可計算為零,從而可由夾擠定理獲得解答。
    解法由於 sinuu,故容易發現

    x0sin(1t+1)dtx0dtt+1=ln(x+1)

    又因 limxln(x+1)x=0,故由夾擠定理能知所求之極限為 limx1xx0sin(1t+1)dt=0

  11. Find the Taylor series expansion of exx+1 at x=0, and give the radius of converges. (10%)
  12. 訣竅求導並觀察其規律。
    解法由於 1+x 可由廣義二項式定理的展開如下

    n=0(1/2n)xn=1+n=1(1)n1(2n2)!22n1(n1)!n!xn  (x(1,1))

    因此當 x(1,1) 時有 exx+1=ex+exn=1(1)n1(2n2)!22n1(n1)!n!xn。又因 ex=n=0(1)nn!xn,從而有

    exx+1=n=0(1)nn!xn+x(n=0(1)nn!xn)(n=0(1)n(2n)!22n+1n!(n+1)!xn)=1+n=1((1)nn!+Cn1)xn

    此處 Cn 定義如下

    Cn=nk=0(1)kk!(1)nk(2n2k)!22n2k+1(nk)!(nk+1)!=nk=0(1)n(2n2k)!22n2k+1k!(nk)!(nk+1)!

    由於 ex 的收斂半徑為 x+1 的收斂半徑為 1,故兩者相乘的收斂半徑也為 1

  13. Set g(x,y)={x2y2x4+y4(x,y)(0,0)0(x,y)=(0,0). (a) Evaluate g/x at (0,0). (b) Is g(x,y) continuous at (0,0)? (10%)
  14. 訣竅按照偏導函數的定義求解,但由次數的觀察可沿著斜直線確認給定的函數不連續。
    解法
    1. 按照偏導數的定義計算可知

      gx(0,0)=limh0g(h,0)g(0,0)h=limh000h=0

    2. 由反證法,假設 g(0,0) 處連續,即沿任何路徑趨於原點時 g 會趨於 g(0,0)=0。但容易發現沿著斜直線 y=x 時有 limx0g(x,x)=120,從而函數 g 在原點處不連續。

  15. Integrate h over the indicated path: h(x,y)=(x+2)yi+(2x+y)j; y=x2 from (0,0) to (2,4). (10%)
  16. 訣竅利用參數化計算線積分即可。
    解法利用參數化計算線積分可知

    Lhds=20[(t+2)t21+(2t+t2)2t]dt=20(3t3+6t2)dt=3t44+2t3|20=28


  17. Evaluate the double integral 21lny0exdxdy. (10%)
  18. 訣竅直接計算重積分即可。
    解法直接演算重積分可知

    21lny0exdxdy=21ex|lny0dy=21(11y)dy=ylny|21=1ln2

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