- Sketch a figure and display the general natrue of the function (x3−1)/x
. (15%) - Find dy/dx
and d2y/dx2 for the curve C:x=t2 , y=t5 . (10%) - Find the area enclosed by the curve x(t)=acost
, y(t)=bsint , 0≤t≤2π , and the volume generated by revolving the curve about the x -axis. (15%) - Calculate ∫x5+2x2−1dx
. (10%) - Find limx→∞1x∫x0sin(1t+1)dt
if it exists. (10%) - Find the Taylor series expansion of e−x√x+1
at x=0 , and give the radius of converges. (10%) - Set g(x,y)={x2y2x4+y4(x,y)≠(0,0)0(x,y)=(0,0).
(a) Evaluate ∂g/∂x at (0,0) . (b) Is g(x,y) continuous at (0,0) ? (10%) - 按照偏導數的定義計算可知
∂g∂x(0,0)=limh→0g(h,0)−g(0,0)h=limh→00−0h=0
- 由反證法,假設 g
在 (0,0) 處連續,即沿任何路徑趨於原點時 g 會趨於 g(0,0)=0 。但容易發現沿著斜直線 y=x 時有 limx→0g(x,x)=12≠0 ,從而函數 g 在原點處不連續。 - Integrate →h
over the indicated path: →h(x,y)=(x+2)y→i+(2x+y)→j ; y=x2 from (0,0) to (2,4) . (10%) - Evaluate the double integral ∫21∫lny0e−xdxdy
. (10%)
訣竅
透過計算極限、一階與二階導函數等尋求極值、反曲點、遞增遞減區間、凹凸區間以及漸近線等繪圖資訊。解法
設函數 f(x)=x2−x−1
又求一階導函數有 f′(x)=2x+x−2
又進一步計算二階導函數得 f″(x)=2−2x−3
訣竅
運用連鎖律計算一階與二階導函數。解法
由連鎖律可知一階導函數為dydx=dy/dtdx/dt=5t42t=5t32
d2ydx2=d(dy/dx)dx=d(5t3/2)/dtdx/dt=15t2/22t=15t4
訣竅
運用旋轉體體積公式計算即可。解法
使用旋轉體體積公式可知V=∫t=0t=ππy2(t)dx(t)=ab2π∫π0sin3tdt=ab2π(cos3t3−cost)|π0=4ab2π3
訣竅
運用部分分式法求解。解法
容易經由多項式除法改寫不定積分並計算如下∫x5+2x2−1dx=∫(x3+x+3/2x−1−1/2x+1)dx=x44+x22+32ln|x−1|−12ln|x+1|+C
訣竅
經由不等式將被積分函數替換為較容易處理之形式,並確認其極限可計算為零,從而可由夾擠定理獲得解答。解法
由於 sinu≤u





∫x0sin(1t+1)dt≤∫x0dtt+1=ln(x+1)








































訣竅
求導並觀察其規律。解法
由於 √1+x








∞∑n=0(1/2n)xn=1+∞∑n=1(−1)n−1(2n−2)!22n−1(n−1)!n!xn
















































































e−x√x+1=∞∑n=0(−1)nn!xn+x(∞∑n=0(−1)nn!xn)(∞∑n=0(−1)n(2n)!22n+1n!(n+1)!xn)=1+∞∑n=1((−1)nn!+Cn−1)xn


Cn=n∑k=0(−1)kk!⋅(−1)n−k(2n−2k)!22n−2k+1(n−k)!(n−k+1)!=n∑k=0(−1)n(2n−2k)!22n−2k+1k!(n−k)!(n−k+1)!















訣竅
按照偏導函數的定義求解,但由次數的觀察可沿著斜直線確認給定的函數不連續。解法
訣竅
利用參數化計算線積分即可。解法
利用參數化計算線積分可知∫L→h⋅d→s=∫20[(t+2)t2⋅1+(2t+t2)⋅2t]dt=∫20(3t3+6t2)dt=3t44+2t3|20=28
訣竅
直接計算重積分即可。解法
直接演算重積分可知∫21∫lny0e−xdxdy=∫21−e−x|lny0dy=∫21(1−1y)dy=y−lny|21=1−ln2
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