國立臺灣大學一百零四學年度研究所碩士班入學考試試題：微積分(B)

1. Let $p$ and $q$ be positive integers, $q$ odd, and $f\left(x\right)=x^{p/q}$. Specify conditions on $p$ and $q$ so that (a) $f$ has a vertical tangent at $\left(0,0\right)$, (b) $f$ has a vertical cusp at $\left(0,0\right)$. ($10\%$)
訣竅
要有鉛直的切線的條件是導函數在該點的極限值趨於正或負無窮；而有鉛直尖點的條件則是導函數在該點的左右極限值為異號無窮。
解法
因 $q$ 為奇數，故函數 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上皆有定義。
1. 對 $f$ 在 $x\neq0$ 處求導可知

   $\displaystyle f'\left(x\right)=\frac{p}qx^{\frac{p}q-1}$

   若 $\displaystyle\frac{p}q-1<0$，即 $p<q$ 時 $f$ 在 $x=0$ 處便不可導，且容易看出有 $\displaystyle\lim_{x\to0}\left|f'\left(x\right)\right|=\infty$。故當 $p<q$ 時 $f$ 在 $x=0$ 處便有鉛直切線。
2. 進一步，當 $p$ 為偶數時可以注意到 $\displaystyle\lim_{x\to0^-}f'\left(x\right)=-\infty$，而 $\displaystyle\lim_{x\to0^+}f'\left(x\right)=\infty$。故當 $p<q$ 且 $p$ 為偶數時有鉛直尖點。


2. Sketch the graph of $\displaystyle f\left(x\right)=\frac{x^2-3}{x^3}$, and indicate the extreme values, inflection points, concavity, and asymptotes (if any). ($20\%$)
訣竅
透過計算極限、一階與二階導函數等尋求極值、反曲點、遞增遞減區間、凹凸區間以及漸近線等繪圖資訊。
解法
由於函數可寫為 $f\left(x\right)=x^{-1}-3x^{-3}$，容易知道 $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f\left(x\right)=0$，故 $y=0$ 為水平漸近線，而 $\displaystyle\lim_{x\to0^{\pm}}f\left(x\right)=\mp\infty$，故 $x=0$ 為鉛直漸近線。
求一階導函數有 $f'\left(x\right)=-x^{-2}+9x^{-4}=x^{-4}\left(9-x^2\right)$，其中 $x\neq0$。解方程式 $f'\left(x\right)=0$ 可得 $x=\pm3$，並且可以注意到當 $x\in\left(-3,3\right)$ 時有 $f'\left(x\right)>0$，但 $x\in\left(-\infty,-3\right)\cup\left(3,\infty\right)$ 時有 $f'\left(x\right)<0$。因此在 $x=-3$ 處有局部極小值而在 $x=3$ 處有局部極大值。
又進一步求導得 $f''\left(x\right)=2x^{-3}-36x^{-5}=2x^{-5}\left(x^2-18\right)$。解方程式 $f''\left(x\right)=0$ 可得 $x=\pm3\sqrt2$，並且可看出當 $x\in\left(-3\sqrt2,0\right)\cup\left(3\sqrt2,\infty\right)$ 時凹口向上，而 $x\in\left(-\infty,-3\sqrt2\right)\cup\left(0,3\sqrt2\right)$ 時凹口向下。故 $x=\pm3\sqrt2$ 皆為反曲點。
據此將圖形繪製如下



3. Calculate $\displaystyle\int\frac{e^t}{e^{2t}+5e^t+6}dt$. ($10\%$)
訣竅
運用變數變換與部分分式的概念求解即可。
解法

令 $u=e^t$，則 $du=e^tdt$，從而所求的不定積分可改寫並計算如下

$\displaystyle\int\frac{e^t}{e^{2t}+5e^t+6}dt=\int\frac{du}{u^2+5u+6}=\int\left(\frac1{u+2}-\frac1{u+3}\right)du=\ln\left|u+2\right|-\ln\left|u+3\right|+C=\ln\frac{e^t+2}{e^t+3}+C$



4. Determine the volume of the solid generated by revolving the cardioid $r=\left(1-\cos\theta\right)$ about the $x$-axis. ($10\%$)
訣竅
對心臟線的圖形有基礎的理解後使用旋轉體體積公式即可。
解法

由旋轉體體積公式可知

$\displaystyle\begin{aligned}V&=\int_{\theta=\pi}^{\theta=0}\pi\left[r\left(\theta\right)\sin\theta\right]^2\left[r\left(\theta\right)\cos\theta\right]'d\theta\\&=\pi\int_0^{\pi}\left(\sin\theta-\cos\theta\sin\theta\right)^2\left(\sin\theta-2\cos\theta\sin\theta\right)d\theta\\&=\pi\int_0^{\pi}\sin^3\theta\left(1-\cos\theta\right)^2\left(1-2\cos\theta\right)d\theta\end{aligned}$

令 $u=\cos\theta$，則 $du=-\sin\theta d\theta$，如此所求為

$\displaystyle\begin{aligned}V&=\pi\int_{-1}^1\left(1-u^2\right)\left(1-u\right)^2\left(1-2u\right)du=\pi\int_{-1}^1\left(2u^5-5u^4+2u^3+4u^2-4u+1\right)du\\&=2\pi\int_0^1\left(-5u^4+4u^2+1\right)du=\left.2\pi\left(-u^5+\frac{4u^3}3+u\right)\right|_0^1=\frac{8\pi}3\end{aligned}$



5. Let $a$ and $b$ be positive. Find $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left[\left(a^{1/x}+b^{1/x}\right)/2\right]^x$. ($10\%$)
訣竅
運用換底公式後使用羅必達法則求解即可。
解法

運用換底公式與羅必達法則可知

$\displaystyle\begin{aligned}\lim_{x\to\infty}\left[\frac{a^{1/x}+b^{1/x}}2\right]^x&=\lim_{x\to\infty}\exp\left[\frac{\ln\left(a^{1/x}+b^{1/x}\right)-\ln2}{x^{-1}}\right]=\exp\left[\lim_{x\to\infty}\frac{\left(a^{1/x}\ln a+b^{1/x}\ln b\right)\cdot\left(-x^{-2}\right)}{-x^{-2}}\right]\\&=\exp\left[\lim_{x\to\infty}\left(a^{1/x}\ln a+b^{1/x}\ln b\right)\right]=\exp\left(\ln ab\right)=ab\end{aligned}$



6. Determine whether the series $\displaystyle\sum_{k=2}^{\infty}a_k$ converges or diverges. If it converges, find the sum. $\displaystyle a_k=\sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac1k\right)^n$. ($10\%$)
訣竅
先釐清其一般項之形式，隨後計算其部分和並取極限即可。本題與101學年度碩士班微積分(B)第四題相同。
解法

注意到 $a_k$ 為無窮等比級數，故由無窮等比級數和公式可知

$\displaystyle a_k=\frac{\displaystyle\frac1{k^2}}{\displaystyle1-\frac1k}=\frac1{k^2-k}=\frac1{k-1}-\frac1k$

如此所求之級數為

$\displaystyle\sum_{k=2}^{\infty}a_k=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=2}^n\left(\frac1{k-1}-\frac1k\right)=\lim_{n\to\infty}\left(\frac11-\frac1n\right)=1$



7. Find the length of the curve $\vec{r}\left(t\right)=\cos t\vec{i}+\sin t\vec{j}+\cosh t\vec{k}$ from $t=0$ to $\ln2$. ($10\%$)
訣竅
利用參數曲線的弧長公式計算即可。
解法

利用參數曲線的弧長公式可知

$\displaystyle\begin{aligned}s&=\int_0^{\ln2}\left\|\vec{r}'\left(t\right)\right\|dt=\int_0^{\ln2}\sqrt{\left(-\sin t\right)^2+\left(\cos t\right)^2+\left(\sinh t\right)^2}dt=\int_0^{\ln2}\sqrt{1+\sinh^2t}dt\\&=\int_0^{\ln2}\cosh tdt=\sinh t\Big|_0^{\ln2}=\sinh\left(\ln2\right)=\frac{e^{\ln2}-e^{-\ln2}}2=\frac34\end{aligned}$



8. Maximize $2x+3y+5z$ on the sphere $x^2+y^2+z^2=19$. ($10\%$)
訣竅
運用初等不等式即可；亦可使用拉格朗日乘子法求解。
解法一
利用柯西不等式可知
$\left(2x+3y+5z\right)^2\leq\left(2^2+3^2+5^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)=38\cdot19$
因此 $-19\sqrt2\leq2x+3y+5z\leq19\sqrt2$，故最大值為 $19\sqrt2$，而等號成立條件為 $x=\sqrt2$、$\displaystyle y=\frac{3\sqrt2}2$、$\displaystyle z=\frac{5\sqrt2}2$。
解法二
設定拉格朗日乘子函數為
$F\left(x,y,z,\lambda\right)=2x+3y+5z+\lambda\left(x^2+y^2+z^2-19\right)$
據此解下列的聯立方程組
$\left\{\begin{aligned}&F_x\left(x,y,z,\lambda\right)=2+2x\lambda=0\\&F_y\left(x,y,z,\lambda\right)=3+2y\lambda=0\\&F_z\left(x,y,z,\lambda\right)=5+2z\lambda=0\\&F_{\lambda}\left(x,y,z,\lambda\right)=x^2+y^2+z^2-19=0\end{aligned}\right.$
明顯 $\lambda\neq0$，故得 $\displaystyle x=-\frac1{\lambda}$、$\displaystyle y=-\frac3{2\lambda}$、$\displaystyle z=-\frac5{2\lambda}$。代入第四式便有 $\displaystyle\frac{38}{4\lambda^2}=19$，因此 $\displaystyle\lambda=\pm\frac{\sqrt2}2$。從而獲得 $\displaystyle\left(x,y,z\right)=\pm\left(\sqrt2,\frac{3\sqrt2}2,\frac{5\sqrt2}2\right)$，故最大值為 $19\sqrt2$，而最小值為 $-19\sqrt2$。


9. Take $\Omega$ as the parallelogram bounded by $x-y=0$, $x-y=\pi$, $x+2y=0$, $x+2y=\pi$. Evaluate $\displaystyle\iint_{\Omega}\sin3xdxdy$. ($10\%$)
訣竅
運用變數變換並留意 Jacobian 行列式的計算。
解法

令 $\left\{\begin{aligned}&u=x-y\\&v=x+2y\end{aligned}\right.$，那麼由平行四邊形的邊界可知變數範圍為 $\left\{\begin{aligned}&0\leq u\leq\pi\\&0\leq v\leq\pi\end{aligned}\right.$。又這個變數變換所獲得的 Jacobian 行列式為

$\displaystyle\left|J\right|=\Big|\left|\frac{\partial\left(x,y\right)}{\partial(u,v)}\right|\Big|=\Big|\left|\frac{\partial\left(u,v\right)}{\partial\left(x,y\right)}\right|\Big|^{-1}=\Big|\begin{vmatrix}\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}&\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}\\\displaystyle\frac{\partial v}{\partial x}&\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}\end{vmatrix}\Big|^{-1}=\Big|\begin{vmatrix}1&-1\\1&2\end{vmatrix}\Big|^{-1}=\frac13$

如此所求的重積分可改寫並計算如下

$\displaystyle\iint_\Omega\!\sin3x\,\mathrm dx\,\mathrm dy=\int_0^\pi\!\int_0^\pi\!\sin(2u+v)\cdot\frac13\,\mathrm du\,\mathrm dv=-\frac16\int_0^\pi\!\cos(2u+v)\Big|_{u=0}^{u=\pi}dv=\frac23\int_0^\pi\!0\,\mathrm dv=0.$