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2020年9月28日 星期一

國立臺灣大學 109 學年度轉學生招生考試試題:微積分(A)詳解

※注意:請於試卷上「非選擇題作答區」標明題號並依序作答。
  1. (15%) Suppose that f is a continuous function on a closed interval [a,b]. Show that f is uniformly continuous on [a,b].
  2. 訣竅運用反證法並使用連續函數的數列刻劃來證明;亦可透過在實數線上的有界閉區間為緊緻,並透過緊緻集的特性證明均勻連續性。
    解法一假設不然,f[a,b] 上連續但不均勻連續。那麼就有一正數 ε0 以及區間中的兩點列 xn,yn[a,b] 滿足 |anbn|<n1|f(xn)f(yn)|ε0。那麼由 Bolzano-Weierstrass 定理以及區間的封閉性可知 xn 有收斂的子數列 xnk 且收斂的對象記為 xx[a,b]。同理,數列 ynk 也有收斂的子數列 ynkj 且記收斂的對象為 y[a,b]。據此,我們對 |f(xnkj)f(ynkj)|ε0j 趨於無窮有 |f(x)f(y)|ε0,此即 xy。但另一方面,我們有 |xnkjynkj|(nkj)1,取 j 趨於無窮有 |xy|0,即 x=y,矛盾。因此 f 必在 [a,b] 上也均勻連續。
    解法二由於 f[a,b] 上的各點上連續,故對任何給定的 ε>0 存在 δx,ε>0 使得「y(xδ,x+δ)[a,b]:=Bδx,ϵ(x) 蘊含 |f(x)f(y)|<ε/2」。由於 [a,b]R 上為緊緻集 (compact set),那麼 [a,b] 的開覆蓋 (open covering) x[a,b]Bδx,ε(x) 存在有限的開覆蓋,即存在 NN 以及 x1,,xN[a,b] 滿足

    [a,b]Nk=1Bδxk,ε(xk).

    那麼取 δε:=min{δx1,ε,,δxN,ε}/2,那麼當 |xy|<δx,y[a,b] 時便存在 xi[a,b] 使得 |xxi|<δxi,ε/2δ/2|yxi|<δxi,ε/2δ/2,這就給出了不等式

    |f(x)f(y)||f(x)f(xi)|+|f(xi)f(y)|<ε2+ε2=ε.

    而我們所選取的 δε 僅與 [a,b] 的結構、ε 以及 f 有關,而與變數位置無關,因此 f[a,b] 上均勻連續。

  3. (20%) Let N be the set of all natural numbers and nN.
    1. Consider a sequence {an}n=1 defined by {a1=2an+1=2+an for n1. Show that limnan exists and evaluate the limit.
    2. Prove the relation limn1nk+1ni=1ik=1k+1 for any nonnegative integer k.
  4. 訣竅運用單調有界定理確認極限存在,並對給定的遞迴式取極限以求得極限值;將所求的極限化為 Riemann sum 即可證明之。
    解法
    1. 首先我們證明數列 {an}n=1 遞增,即證明對任何正整數 n 恆有 an+1an。容易確認當 n=1 時有 a2=2+22=a1。現假定 n=k 時命題成立,即有 ak+1ak,那麼可以發現

      ak+2=2+ak+12+ak=ak+1.

      因此由數學歸納法可知該命題對任何正整數皆成立。

      接著我們說明此數列有上界。更明確地,我們證明對任何正整數 n 恆有 an<2。容易確認當 n=1 時有 a1=2<2。現假定 n=k 時命題成立,即有 ak<2,那麼可以發現

      ak+1=2+ak<2+2=2.

      因此由數學歸納法可知該命題對任何正整數皆成立。

      至此我們發現數列 {an}n=1 遞增有上界,故由單調有界定理能知該數列極限存在,記此值為 L。那麼對遞迴式取極限能知 L=2+L,即 L2=2+L,可解得 L=1L=2。但由數列的遞增性,我們知道 L=1 不合,故 L=2。(事實上 L=1 也不滿足方程 L=2+L。)
    2. 設函數 f(x)=xk,那麼在 [0,1] 上取 n 等分割 Pn={x0,,xn}={0,1n,2n,,nn},那麼取 Riemann sum 有

      U(f,Pn)=ni=1f(xi)Δxi=ni=1(in)k1n=1nk+1ni=1ik.

      f 為 Riemann 可積函數,因此上和之極限收斂至其定積分,並使用微積分基本定理即可求解:

      limn1nk+1ni=1ik=10xkdx=xk+1k+1|10=1k+1.


  5. (15%) (a) If y=ay, show that y=ceax for some c. (b) If f(x+y)=f(x)f(y) and f is differentiable, show that either f(x)0 or f(x)=eax for some a.
  6. 訣竅運用微分方程的技術求解。
    解法
    1. 兩邊同乘以 eax,如此便有

      (eaxy(x))=eaxy(x)aeaxy(x)=0,

      eaxy(x) 為常數函數,即存在某實數 c 滿足 eaxy(x)=c,從而有 y(x)=ceax
    2. 兩邊同時對 y 求導可知

      f(x+y)=f(x)f(y).

      y=0 便有 f(x)=f(x)f(0)。由 (a) 的結果可知

      f(x)=cef(0)x.

      f(0)=a,從而有 f(x)=ceax。此外容易發現對給定的方程取 x=y=0f(0)=0f(0)=1,因此 c=0c=1。前者的情形給出 f(x)0,而後者的情形給出 f(x)=eax,且能驗證 f(x)=aeax,故有 f(0)=a

  7. (15%) Show that ex2dx=π.
  8. 訣竅此為經典的瑕積分,將其轉換為重積分後計算處理之。
    解法

    首先我們確認該瑕積分之收斂性,根據對稱性,我們只需考慮 0ex2dx。當 x1 時有 ex2ex,故知

    1ex2dx1exdx=ex|1=e1<

    10ex2dx 為通常的定積分,因此瑕積分 0ex2dx 收斂。

    現記所求之值為 I:=ex2dx。那麼由啞變數變換可知

    I2=(ex2dx)(ex2dx)=(ex2dx)(ey2dy)=ex2y2dxdy.

    x=rcosθy=rsinθ,由積分範圍可知 0r<0θ2π,據此有

    I2=2π00er2rdrdθ=2πer22|0=π,

    ex2dx=I=π

    【註】 函數 f(x)=ex2 的圖形及其在 R 上的面積表示如下圖


  9. (15%) Calculate

    Szdxdyxdydz,

    where S is the spherical cap x2+y2+z2=1, x>1/2, oriented positively with respect to the normal pointing to infinity.
  10. 訣竅運用 Stokes 定理求解即可;亦可利用曲面積分的概念計算求解,其中將曲面參數化的過程中應考慮方向性問題;亦可適當的化為封閉曲面而運用 Gauss 散度定理計算。本題出自 Richard Courant, Fritz John 所著 Introduction to Calculus and Analysis Volume II/2,Exercise 5.10a
    解法一為了應用 Stokes 定理,我們欲找向量場 G=(P,Q,R) 使得 ×G=F,即考慮聯立偏微分方程

    RyQz=x,PzRx=0,QxPy=z.

    因為僅需找出一組符合題意的向量場 G,我們方便起見取 Q=0,那麼可取出 P=yzR=xy 滿足條件。現考慮 S 的邊界為 S={(x,y,z)R3:x=1/2, y2+z2=3/4},從而應用 Stokes 定理便有

    Szdxdyxdydz=S×GdS=SGdr.

    現將 S 參數化為 y=3cosθ/2z=3sinθ/2,其中變數範圍為 0θ<2π,那麼所求為

    Szdxdyxdydz=2π0[1232cosθ32cosθ]dθ=382π01+2cosθ2dθ=3π8.

    【註】 部分的球面 S 參見下圖

    解法二x 正向處的曲面參數化為r(y,z)=(1y2z2,y,z),其中因 x>1/2,故知 0y2+z23/4。於是令 D={(y,z)R2:0y2+z23/4} 以及 F(x,y,z)=(x,0,z)。由此所求為

    Szdxdyxdydz=D(1y2z2,0,z)(ry×rz)dA=Dy2+2z211y2z2dA,

    其中

    ry×rz=(y1y2z2,1,0)×(z1y2z2,0,1)=(1,y1y2z2,z1y2z2).

    如此令 y=rcosθz=rsinθ,而變數範圍為 0r3/20θ2π,如此所求為

    Szdxdyxdydz=2π03/20r2(1+sin2θ)11r2rdrdθ=3/202π0r3(3cos2θ)2r21r2dθdr=π3/203r32r1r2dr=π3/20(r1r23r1r2)dr=π[1r2+(1r2)3/2]|3/20=π[(12+18)(1+1)]=3π8.

    【註】 部分的球面 S 參見下圖

    解法三考慮空間中的圓盤 D={(x,y,z)R3:x=1/2,y2+z23/4}={1/2}×D,其中 D 為解法二中所定義的二維圓盤,而 ESD 所圍成之區域。運用 Gauss 散度定理可知

    SDzdxdyxdydz=E(x(z)+y(x)+z(0))dV=E0dV=0.

    由此得

    Szdxdyxdydz=Dzdxdyxdydz,

    因為在 Dx 之值恆為 1/2,故知

    Szdxdyxdydz=12Ddydz=123π4=3π8,

    其中 D 上的曲面積分上的法方向為 (1,0,0),因此該曲面積分之結果為負號的圓盤面積。

    【註】 部分的球面 S 參見下圖


  11. (20%) Prove that the function f(x,y)=ey2+2xy can be expanded in a series of the form

    n=0Hn(x)n!yn,

    that converges for all values of x and y and that the polynomials Hn(x) satisfy
    1. Hn(x) is a polynomial of degree n
    2. Hn(x)=2nHn1(x)
    3. Hn+1(x)2xHn(x)+2nHn1(x)=0
    4. Hn(x)2xHn(x)+2nHn(x)=0
  12. 訣竅運用 Taylor 展開式的技術表達之,隨後盡可能獲得 Hn 的資訊來答題。
    解法首先根據指數函數的解析性可知

    f(x,y)=ey2e2xy=k=01k!(y2)km=01m!(2xy)m=k=0(1)kk!y2km=0(2x)mm!ymfor x,yR.

    兩收斂的冪級數之乘積也會收斂,其收斂範圍恰為兩收斂級數之交集。由此可知乘開後的函數可表達為

    f(x,y)=n=0Hn(x)n!yn.

    此級數對任何 x,yR 也收斂。

    進一步我們可以對原先的函數運用單變數 Taylor 展開式得到

    n=0nfyn(x,0)n!yn,

    nfyn(x,0)=ex2nyne(yx)2|y=0=(1)nex2nxne(xy)2|y=0=(1)nex2dndxnex2.

    因此取 Hn(x)=(1)nex2dndxnex2n1)即可。

    n=0n=1 時分別有 H0(x)=1H1(x)=2x。現設 knHk(x)k 次多項式,那麼可以發現

    Hn+1(x)=(1)n+1ex2dn+1dxn+1ex2=(1)n+1ex2dndxn(2xex2)=(1)n+1ex2(2ndn1dxn1ex22xdndxnex2)=2nHn1(x)+2xHn(x).

    一個是 n1 次多項式而另一個則為 n+1 次多項式,兩者之和為 n+1 次多項式,這就說明了(a)的結論。並且在我們的計算過程中也一併證明了(c)。

    現觀察

    Hn(x)=ddx((1)nex2dndxnex2)=2(1)nxex2dndxnex2+(1)nex2dn+1dxn+1ex2=2xHn(x)Hn+1(x).

    由前述的結果可知 2xHn(x)Hn+1(x)=2nHn1(x),故得(b)的結論。

    最後利用(b)與(c)可以知道

    Hn(x)2xHn(x)+2nHn(x)=2nHn1(x)4nxHn1(x)+2nHn(x)=4n(n1)Hn2(x)4nxHn1(x)+2nHn(x)=2n[Hn(x)2xHn1(x)+2(n1)Hn2(x)]=0.

    遂知結論(d)成立。本題證明完畢。

    【註】 由(a)的過程可看出 Hn 為多項式,其稱為 Hermite 多項式。

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