- (15%) Suppose that f is a continuous function on a closed interval [a,b]. Show that f is uniformly continuous on [a,b].
- (20%) Let N be the set of all natural numbers and n∈N.
- Consider a sequence {an}∞n=1 defined by {a1=√2an+1=√2+an for n≥1. Show that limn→∞an exists and evaluate the limit.
- Prove the relation limn→∞1nk+1n∑i=1ik=1k+1 for any nonnegative integer k.
- 首先我們證明數列 {an}∞n=1 遞增,即證明對任何正整數 n 恆有 an+1≥an。容易確認當 n=1 時有 a2=√2+√2≥√2=a1。現假定 n=k 時命題成立,即有 ak+1≥ak,那麼可以發現
ak+2=√2+ak+1≥√2+ak=ak+1.
因此由數學歸納法可知該命題對任何正整數皆成立。
接著我們說明此數列有上界。更明確地,我們證明對任何正整數 n 恆有 an<2。容易確認當 n=1 時有 a1=√2<2。現假定 n=k 時命題成立,即有 ak<2,那麼可以發現ak+1=√2+ak<√2+2=2.
因此由數學歸納法可知該命題對任何正整數皆成立。
至此我們發現數列 {an}∞n=1 遞增有上界,故由單調有界定理能知該數列極限存在,記此值為 L。那麼對遞迴式取極限能知 L=√2+L,即 L2=2+L,可解得 L=−1 或 L=2。但由數列的遞增性,我們知道 L=−1 不合,故 L=2。(事實上 L=−1 也不滿足方程 L=√2+L。) - 設函數 f(x)=xk,那麼在 [0,1] 上取 n 等分割 Pn={x0,…,xn}={0,1n,2n,…,nn},那麼取 Riemann sum 有
U(f,Pn)=n∑i=1f(xi)Δxi=n∑i=1(in)k⋅1n=1nk+1n∑i=1ik.
又 f 為 Riemann 可積函數,因此上和之極限收斂至其定積分,並使用微積分基本定理即可求解:limn→∞1nk+1n∑i=1ik=∫10xkdx=xk+1k+1|10=1k+1.
- (15%) (a) If y′=ay, show that y=ceax for some c. (b) If f(x+y)=f(x)f(y) and f is differentiable, show that either f(x)≡0 or f(x)=eax for some a.
- 兩邊同乘以 e−ax,如此便有
(e−axy(x))′=e−axy′(x)−ae−axy(x)=0,
故 e−axy(x) 為常數函數,即存在某實數 c 滿足 e−axy(x)=c,從而有 y(x)=ceax。 - 兩邊同時對 y 求導可知
f′(x+y)=f(x)f′(y).
取 y=0 便有 f′(x)=f(x)f′(0)。由 (a) 的結果可知f(x)=cef′(0)x.
記 f′(0)=a,從而有 f(x)=ceax。此外容易發現對給定的方程取 x=y=0 有 f(0)=0 或 f(0)=1,因此 c=0 或 c=1。前者的情形給出 f(x)≡0,而後者的情形給出 f(x)=eax,且能驗證 f′(x)=aeax,故有 f′(0)=a。 - (15%) Show that ∫∞−∞e−x2dx=√π.
- (15%) Calculate
∬Szdx∧dy−xdy∧dz,
where S is the spherical cap x2+y2+z2=1, x>1/2, oriented positively with respect to the normal pointing to infinity. - (20%) Prove that the function f(x,y)=e−y2+2xy can be expanded in a series of the form
∞∑n=0Hn(x)n!yn,
that converges for all values of x and y and that the polynomials Hn(x) satisfy- Hn(x) is a polynomial of degree n
- H′n(x)=2nHn−1(x)
- Hn+1(x)−2xHn(x)+2nHn−1(x)=0
- H″n(x)−2xH′n(x)+2nHn(x)=0
訣竅
運用反證法並使用連續函數的數列刻劃來證明;亦可透過在實數線上的有界閉區間為緊緻,並透過緊緻集的特性證明均勻連續性。解法一
假設不然,f 在 [a,b] 上連續但不均勻連續。那麼就有一正數 ε0 以及區間中的兩點列 xn,yn∈[a,b] 滿足 |an−bn|<n−1 但 |f(xn)−f(yn)|≥ε0。那麼由 Bolzano-Weierstrass 定理以及區間的封閉性可知 xn 有收斂的子數列 xnk 且收斂的對象記為 x 且 x∈[a,b]。同理,數列 ynk 也有收斂的子數列 ynkj 且記收斂的對象為 y∈[a,b]。據此,我們對 |f(xnkj)−f(ynkj)|≥ε0 取 j 趨於無窮有 |f(x)−f(y)|≥ε0,此即 x≠y。但另一方面,我們有 |xnkj−ynkj|≤(nkj)−1,取 j 趨於無窮有 |x−y|≤0,即 x=y,矛盾。因此 f 必在 [a,b] 上也均勻連續。解法二
由於 f 在 [a,b] 上的各點上連續,故對任何給定的 ε>0 存在 δx,ε>0 使得「y∈(x−δ,x+δ)∩[a,b]:=Bδx,ϵ(x) 蘊含 |f(x)−f(y)|<ε/2」。由於 [a,b] 在 R 上為緊緻集 (compact set),那麼 [a,b] 的開覆蓋 (open covering) ⋃x∈[a,b]Bδx,ε(x) 存在有限的開覆蓋,即存在 N∈N 以及 x1,…,xN∈[a,b] 滿足[a,b]⊂N⋃k=1Bδxk,ε(xk).
那麼取 δε:=min{δx1,ε,…,δxN,ε}/2,那麼當 |x−y|<δ 且 x,y∈[a,b] 時便存在 xi∈[a,b] 使得 |x−xi|<δxi,ε/2≤δ/2 且 |y−xi|<δxi,ε/2≤δ/2,這就給出了不等式|f(x)−f(y)|≤|f(x)−f(xi)|+|f(xi)−f(y)|<ε2+ε2=ε.
而我們所選取的 δε 僅與 [a,b] 的結構、ε 以及 f 有關,而與變數位置無關,因此 f 在 [a,b] 上均勻連續。訣竅
運用單調有界定理確認極限存在,並對給定的遞迴式取極限以求得極限值;將所求的極限化為 Riemann sum 即可證明之。解法
訣竅
運用微分方程的技術求解。解法
訣竅
此為經典的瑕積分,將其轉換為重積分後計算處理之。解法
首先我們確認該瑕積分之收斂性,根據對稱性,我們只需考慮 ∫∞0e−x2dx。當 x≥1 時有 e−x2≤e−x,故知
∫∞1e−x2dx≤∫∞1e−xdx=−e−x|∞1=e−1<∞
又 ∫10e−x2dx 為通常的定積分,因此瑕積分 ∫∞0e−x2dx 收斂。現記所求之值為 I:=∫∞−∞e−x2dx。那麼由啞變數變換可知I2=(∫∞−∞e−x2dx)(∫∞−∞e−x2dx)=(∫∞−∞e−x2dx)(∫∞−∞e−y2dy)=∫∞−∞∫∞−∞e−x2−y2dxdy.
令 x=rcosθ、y=rsinθ,由積分範圍可知 0≤r<∞、0≤θ≤2π,據此有I2=∫2π0∫∞0e−r2rdrdθ=2π⋅−e−r22|∞0=π,
故 ∫∞−∞e−x2dx=I=√π。【註】 函數 f(x)=e−x2 的圖形及其在 R 上的面積表示如下圖
訣竅
運用 Stokes 定理求解即可;亦可利用曲面積分的概念計算求解,其中將曲面參數化的過程中應考慮方向性問題;亦可適當的化為封閉曲面而運用 Gauss 散度定理計算。本題出自 Richard Courant, Fritz John 所著 Introduction to Calculus and Analysis Volume II/2,Exercise 5.10a解法一
為了應用 Stokes 定理,我們欲找向量場 G=(P,Q,R) 使得 ∇×G=F,即考慮聯立偏微分方程∂R∂y−∂Q∂z=−x,∂P∂z−∂R∂x=0,∂Q∂x−∂P∂y=z.
因為僅需找出一組符合題意的向量場 G,我們方便起見取 Q=0,那麼可取出 P=−yz、R=−xy 滿足條件。現考慮 S 的邊界為 ∂S={(x,y,z)∈R3:x=1/2, y2+z2=3/4},從而應用 Stokes 定理便有∬Szdx∧dy−xdy∧dz=∬S∇×G⋅dS=∮∂SG⋅dr.
現將 ∂S 參數化為 y=√3cosθ/2、z=√3sinθ/2,其中變數範圍為 0≤θ<2π,那麼所求為∬Szdx∧dy−xdy∧dz=∫2π0[−12⋅√32cosθ⋅√32cosθ]dθ=−38∫2π01+2cosθ2dθ=−3π8.
【註】 部分的球面 S 參見下圖
解法二
將 x 正向處的曲面參數化為r(y,z)=(√1−y2−z2,y,z),其中因 x>1/2,故知 0≤y2+z2≤3/4。於是令 D={(y,z)∈R2:0≤y2+z2≤3/4} 以及 F(x,y,z)=(−x,0,z)。由此所求為∬Szdx∧dy−xdy∧dz=∬D(−√1−y2−z2,0,z)⋅(∂r∂y×∂r∂z)dA=∬Dy2+2z2−1√1−y2−z2dA,
其中∂r∂y×∂r∂z=(−y√1−y2−z2,1,0)×(−z√1−y2−z2,0,1)=(1,y√1−y2−z2,z√1−y2−z2).
如此令 y=rcosθ、z=rsinθ,而變數範圍為 0≤r≤√3/2、0≤θ≤2π,如此所求為∬Szdx∧dy−xdy∧dz=∫2π0∫√3/20r2(1+sin2θ)−1√1−r2⋅rdrdθ=∫√3/20∫2π0r3(3−cos2θ)−2r2√1−r2dθdr=π∫√3/203r3−2r√1−r2dr=π∫√3/20(r√1−r2−3r√1−r2)dr=π[−√1−r2+(1−r2)3/2]|√3/20=π⋅[(−12+18)−(−1+1)]=−3π8.
【註】 部分的球面 S 參見下圖
解法三
考慮空間中的圓盤 D′={(x,y,z)∈R3:x=1/2,y2+z2≤3/4}={1/2}×D,其中 D 為解法二中所定義的二維圓盤,而 E 為 S∪D′ 所圍成之區域。運用 Gauss 散度定理可知∬S∪D′zdx∧dy−xdy∧dz=∭E(∂∂x(z)+∂∂y(−x)+∂∂z(0))dV=∬E0dV=0.
由此得∬Szdx∧dy−xdy∧dz=−∬D′zdx∧dy−xdy∧dz,
因為在 D′ 上 x 之值恆為 1/2,故知∬Szdx∧dy−xdy∧dz=12∬D′dy∧dz=12⋅−3π4=−3π8,
其中 D′ 上的曲面積分上的法方向為 (−1,0,0),因此該曲面積分之結果為負號的圓盤面積。【註】 部分的球面 S 參見下圖
訣竅
運用 Taylor 展開式的技術表達之,隨後盡可能獲得 Hn 的資訊來答題。解法
首先根據指數函數的解析性可知f(x,y)=e−y2e2xy=∞∑k=01k!(−y2)k⋅∞∑m=01m!(2xy)m=∞∑k=0(−1)kk!y2k⋅∞∑m=0(2x)mm!ymfor x,y∈R.
兩收斂的冪級數之乘積也會收斂,其收斂範圍恰為兩收斂級數之交集。由此可知乘開後的函數可表達為f(x,y)=∞∑n=0Hn(x)n!yn.
此級數對任何 x,y∈R 也收斂。進一步我們可以對原先的函數運用單變數 Taylor 展開式得到
∞∑n=0∂nf∂yn(x,0)n!yn,
而∂nf∂yn(x,0)=ex2∂n∂yne−(y−x)2|y=0=(−1)nex2∂n∂xne−(x−y)2|y=0=(−1)nex2dndxne−x2.
因此取 Hn(x)=(−1)nex2dndxne−x2(n≥1)即可。當 n=0 與 n=1 時分別有 H0(x)=1、H1(x)=2x。現設 k≤n 時 Hk(x) 為 k 次多項式,那麼可以發現
Hn+1(x)=(−1)n+1ex2dn+1dxn+1e−x2=(−1)n+1ex2dndxn(−2xe−x2)=(−1)n+1ex2(−2ndn−1dxn−1e−x2−2xdndxne−x2)=−2nHn−1(x)+2xHn(x).
一個是 n−1 次多項式而另一個則為 n+1 次多項式,兩者之和為 n+1 次多項式,這就說明了(a)的結論。並且在我們的計算過程中也一併證明了(c)。現觀察
H′n(x)=ddx((−1)nex2dndxne−x2)=2(−1)nxex2dndxne−x2+(−1)nex2dn+1dxn+1e−x2=2xHn(x)−Hn+1(x).
由前述的結果可知 2xHn(x)−Hn+1(x)=2nHn−1(x),故得(b)的結論。最後利用(b)與(c)可以知道
H″n(x)−2xH′n(x)+2nHn(x)=2nH′n−1(x)−4nxHn−1(x)+2nHn(x)=4n(n−1)Hn−2(x)−4nxHn−1(x)+2nHn(x)=2n[Hn(x)−2xHn−1(x)+2(n−1)Hn−2(x)]=0.
遂知結論(d)成立。本題證明完畢。【註】 由(a)的過程可看出 Hn 為多項式,其稱為 Hermite 多項式。
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