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2020年9月27日 星期日

國立臺灣大學一百零九學年度轉學生入學考試試題詳解

*注意:請於試卷上「非選擇題作答區」標明題號並依序作答。
不得使用計算機,每題 10 分 總分 100 分。

  1. limxx211x=?
  2. 訣竅首先運用代換法將極限問題簡化,如此能辨識其所求。
    解法u=1x,如此當 x 可得 u0+,因此所求的極限能改寫並運用 L'Hôpital 法則可計算如下

    limxx211x=limu0+2u1u=limu0+2uln21=ln2.

    【註】 事實上,極限 limu02u1u 可代表函數 f(x)=2xx=0 處的導數值,而其導函數為 f(x)=2xln2,故該處的導數確實為 ln2


  3. Find f(2) if f(x)=eg(x) and g(x)=x24t1+t3dt.
  4. 訣竅運用微積分基本定理與連鎖律求解即可。
    解法運用連鎖律與微積分基本定理可知

    f(x)=eg(x)g(x)=eg(x)x21+(x2)32x.

    x=2 代入並注意到 g(2)=0,從而有

    f(2)=e041+434=1665.


  5. Trochoid x=2θsinθ, y=2cosθ. Find the tangent line of the curve at θ=π2.
  6. 訣竅利用連鎖律計算切線斜率,隨後運用點斜式寫出切線方程式。
    解法首先運用連鎖律計算切線斜率為

    dydx=dy/dθdx/dθ=sinθ2cosθ.

    故當 θ=π2 時切線斜率為 dydx|θ=π/2=12,從而切線方程式為

    y2=12(xπ+1),

    或寫為 x2y=π5

  7. Trochoid x=2θsinθ, y=2cosθ. Find the area under the curve and above the x-axis for 0θ2π.
  8. 訣竅運用參數的求面積公式直接計算即可。
    解法使用參數式下的面積公式計算如下

    A=2π0y(θ)x(θ)dθ=2π0(2cosθ)2dθ=2π0(44cosθ+cos2θ)dθ=122π0(98cosθ+cos2θ)dθ=12(9θ8sinθ+sin2θ2)|2π0=9π.


  9. Let the region R be enclosed by the curves y=x2 and y=2x2. Find the volume of the solid obtained by rotating the region R about x=1.
  10. 訣竅運用繞鉛直線的旋轉體體積公式。
    解法運用繞鉛直線的旋轉體體積公式

    V=2π11(1x)[(2x2)x2]dx=4π11(x3x2x+1)dx=4π(x44x33x22+x)|11=16π3.


  11. Let the region R be enclosed by the curves y=x2 and y=2x2. Find the arc length of the region R.
  12. 訣竅運用曲線弧長公式即可。
    解法運用曲線弧長公式列式如下

    s=111+[ddx(2x2)]2dx+111+[ddx(x2)]2dx=2111+4x2dx.

    x=tanθ2,那麼
    • x=1 時有 θ=tan1(2)
    • x=1 時有 θ=tan1(2)
    • 求導可知 dx=sec2θ2dθ
    如此所求的弧長可改寫如下

    s=tan1(2)tan1(2)sec3θdθ=sectanθ+ln|secθ+tanθ|2|tan1(2)tan1(2)=25+ln(2+5),

    其中 sec3θdθ 可運用分部積分計算如下

    sec3θdθ=secθtanθsecθtan2θdθ=secθtanθ(sec3θsecθ)dθ,

    sec3θdθ=12(secθtanθ+secθdθ)=secθtanθ+ln|secθ+tanθ|2+C.


  13. Evaluate Rcos(yxy+x)dA where R is the trapezoidal region with vertices (1,0), (2,0), (0,2) and (0,1).
  14. 訣竅運用變數變換處理之。
    解法u=y+xv=yx,則梯形 R 的邊界分別為 u=1u=2u+v=0u=v。再者,Jacobian 行列式值能計算如下

    |J|=||(x,y)(u,v)||=||(u,v)(x,y)||1=||uxuyvxvy||1=||1111|1|=12.

    那麼

    Rcos(yxy+x)dA=21uucos(vu)12dvdu=1221usin(vu)|uudu=sin(1)21udu=3sin(1)2.


  15. Let f(x,y)=x4+y44xy+1. Find local maxima, local minima, and saddle points of f(x,y).
  16. 訣竅解一階偏導為零之處,隨後運用二階偏導函數來求解。
    解法為了找極值,我們解下列的聯立方程組

    {fx(x,y)=4x34y=0,fy(x,y)=4y34x=0.

    運用代入消去法可知 y=x3=y9,可解得 y=0y=±1,此時可知 x=0x=±1。又計算二階判別式可知

    D(x,y)=|fxx(x,y)fxy(x,y)fyx(x,y)fyy(x,y)|=|12x24412y2|=144x2y216.

    • (x,y)=(0,0) 時有 D(0,0)=16<0,故 (0,0) 為鞍點;
    • (x,y)=(1,1) 時有 D(1,1)=128>0fxx(1,1)=12>0,故 (1,1) 為極小點;
    • (x,y)=(1,1) 時有 D(1,1)=128>0fxx(1,1)=12>0,故 (1,1) 為極小點。
    容易知道 f(0,0)=1f(1,1)=f(1,1)=1

  17. Find the absolute maximum value and absolute minimum value of f(x,y)=x4+y44xy+1 on the disk x2+y21.
  18. 訣竅運用 Lagrange 乘子法求解。
    解法對於圓盤內部的情形已在前一個小題中處理了,故我們僅需考慮在圓盤邊界的狀況。為此考慮 Lagrange 乘子函數如下

    F(x,y,λ)=x4+y44xy+1+λ(x2+y21).

    據此解聯立方程組

    {Fx(x,y,λ)=4x34y+2λx=0,Fy(x,y,λ)=4y34x+2λy=0,Fλ(x,y,λ)=x2+y21=0.

    前兩式相加可知 4(x3+y3)+(2λ4)(x+y)=0,可因式分解得

    (x+y)(2λ4+4x24xy+4y2)=0.

    • x+y=0,則透過第三式可得座標 (x,y)=±(2/2,2/2)
    • 2λ4+4x24xy+4y2=0,透過第三式便有 λ=2xy。代回第一式有 x3y+x2y=0,代回第二式有 y3x+xy2=0,兩式相減有 (xy)(1+xy)=0
      • x=y,則搭配有 (x,y)=(2/2,2/2)
      • xy=1,代入第三式可知 x4x2+1=0,容易發現其無解。
    至此我們的候選點有 (0,0)±(2/2,2/2)±(2/2,2/2)。代入可知

    f(2/2,2/2)=f(2/2,2/2)=1/2,f(2/2,2/2)=f(2/2,2/2)=7/2.

    故最大值為 7/2 而最小值為 1/2

  19. Solve the differential equation xy=y+x2sinx with y(π)=2π.
  20. 訣竅運用積分因子法求解微分方程。
    解法首先整理給定的微分方程為標準型如下

    yyx=xsinx.

    此時的積分因子為 e(1/x)dx=elnx=1x,故同乘以 1x 可得

    ddx(yx)=1xdydxyx2=sinx.

    接著取積分可得

    y(x)xy(π)π=xπsintdt=cosx|xπ=cosx1.

    如此所求為

    y(x)=xxcosx.

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