*注意:請於試卷上「非選擇題作答區」標明題號並依序作答。
不得使用計算機,每題 10 分 總分 100 分。
- limx→∞x√2−11x=?
- Find f′(2) if f(x)=eg(x) and g(x)=∫x24t1+t3dt.
- Trochoid x=2θ−sinθ, y=2−cosθ. Find the tangent line of the curve at θ=π2.
- Trochoid x=2θ−sinθ, y=2−cosθ. Find the area under the curve and above the x-axis for 0≤θ≤2π.
- Let the region R be enclosed by the curves y=x2 and y=2−x2. Find the volume of the solid obtained by rotating the region R about x=1.
- Let the region R be enclosed by the curves y=x2 and y=2−x2. Find the arc length of the region R.
- 當 x=−1 時有 θ=−tan−1(2);
- 當 x=1 時有 θ=tan−1(2);
- 求導可知 dx=sec2θ2dθ。
- Evaluate ∬Rcos(y−xy+x)dA where R is the trapezoidal region with vertices (1,0), (2,0), (0,2) and (0,1).
- Let f(x,y)=x4+y4−4xy+1. Find local maxima, local minima, and saddle points of f(x,y).
- 當 (x,y)=(0,0) 時有 D(0,0)=−16<0,故 (0,0) 為鞍點;
- 當 (x,y)=(1,1) 時有 D(1,1)=128>0 且 fxx(1,1)=12>0,故 (1,1) 為極小點;
- 當 (x,y)=(−1,−1) 時有 D(−1,−1)=128>0 且 fxx(−1,−1)=12>0,故 (−1,−1) 為極小點。
- Find the absolute maximum value and absolute minimum value of f(x,y)=x4+y4−4xy+1 on the disk x2+y2≤1.
- 若 x+y=0,則透過第三式可得座標 (x,y)=±(√2/2,−√2/2)。
- 若 2λ−4+4x2−4xy+4y2=0,透過第三式便有 λ=2xy。代回第一式有 x3−y+x2y=0,代回第二式有 y3−x+xy2=0,兩式相減有 (x−y)(1+xy)=0。
- 若 x=y,則搭配有 (x,y)=(√2/2,√2/2);
- 若 xy=−1,代入第三式可知 x4−x2+1=0,容易發現其無解。
- Solve the differential equation xy′=y+x2sinx with y(π)=2π.
訣竅
首先運用代換法將極限問題簡化,如此能辨識其所求。解法
令 u=1x,如此當 x→∞ 可得 u→0+,因此所求的極限能改寫並運用 L'Hôpital 法則可計算如下limx→∞x√2−11x=limu→0+2u−1u=limu→0+2uln21=ln2.
【註】 事實上,極限 limu→02u−1u 可代表函數 f(x)=2x 在 x=0 處的導數值,而其導函數為 f′(x)=2xln2,故該處的導數確實為 ln2。
訣竅
運用微積分基本定理與連鎖律求解即可。解法
運用連鎖律與微積分基本定理可知f′(x)=eg(x)g′(x)=eg(x)x21+(x2)3⋅2x.
取 x=2 代入並注意到 g(2)=0,從而有f′(2)=e0⋅41+43⋅4=1665.
訣竅
利用連鎖律計算切線斜率,隨後運用點斜式寫出切線方程式。解法
首先運用連鎖律計算切線斜率為dydx=dy/dθdx/dθ=sinθ2−cosθ.
故當 θ=π2 時切線斜率為 dydx|θ=π/2=12,從而切線方程式為y−2=12(x−π+1),
或寫為 x−2y=π−5。訣竅
運用參數的求面積公式直接計算即可。解法
使用參數式下的面積公式計算如下A=∫2π0y(θ)x′(θ)dθ=∫2π0(2−cosθ)2dθ=∫2π0(4−4cosθ+cos2θ)dθ=12∫2π0(9−8cosθ+cos2θ)dθ=12(9θ−8sinθ+sin2θ2)|2π0=9π.
訣竅
運用繞鉛直線的旋轉體體積公式。解法
運用繞鉛直線的旋轉體體積公式V=2π∫1−1(1−x)[(2−x2)−x2]dx=4π∫1−1(x3−x2−x+1)dx=4π(x44−x33−x22+x)|1−1=16π3.
訣竅
運用曲線弧長公式即可。解法
運用曲線弧長公式列式如下s=∫1−1√1+[ddx(2−x2)]2dx+∫1−1√1+[ddx(x2)]2dx=2∫1−1√1+4x2dx.
令 x=tanθ2,那麼s=∫tan−1(2)−tan−1(2)sec3θdθ=sectanθ+ln|secθ+tanθ|2|tan−1(2)−tan−1(2)=2√5+ln(2+√5),
其中 ∫sec3θdθ 可運用分部積分計算如下∫sec3θdθ=secθtanθ−∫secθtan2θdθ=secθtanθ−∫(sec3θ−secθ)dθ,
故∫sec3θdθ=12(secθtanθ+∫secθdθ)=secθtanθ+ln|secθ+tanθ|2+C.
訣竅
運用變數變換處理之。解法
令 u=y+x、v=y−x,則梯形 R 的邊界分別為 u=1、u=2、u+v=0 與 u=−v。再者,Jacobian 行列式值能計算如下|J|=||∂(x,y)∂(u,v)||=||∂(u,v)∂(x,y)||−1=||∂u∂x∂u∂y∂v∂x∂v∂y||−1=||11−11|−1|=12.
那麼∬Rcos(y−xy+x)dA=∫21∫u−ucos(vu)⋅12dvdu=12∫21usin(vu)|u−udu=sin(1)∫21udu=3sin(1)2.
訣竅
解一階偏導為零之處,隨後運用二階偏導函數來求解。解法
為了找極值,我們解下列的聯立方程組{fx(x,y)=4x3−4y=0,fy(x,y)=4y3−4x=0.
運用代入消去法可知 y=x3=y9,可解得 y=0 或 y=±1,此時可知 x=0 或 x=±1。又計算二階判別式可知D(x,y)=|fxx(x,y)fxy(x,y)fyx(x,y)fyy(x,y)|=|12x2−4−412y2|=144x2y2−16.
訣竅
運用 Lagrange 乘子法求解。解法
對於圓盤內部的情形已在前一個小題中處理了,故我們僅需考慮在圓盤邊界的狀況。為此考慮 Lagrange 乘子函數如下F(x,y,λ)=x4+y4−4xy+1+λ(x2+y2−1).
據此解聯立方程組{Fx(x,y,λ)=4x3−4y+2λx=0,Fy(x,y,λ)=4y3−4x+2λy=0,Fλ(x,y,λ)=x2+y2−1=0.
前兩式相加可知 4(x3+y3)+(2λ−4)(x+y)=0,可因式分解得(x+y)(2λ−4+4x2−4xy+4y2)=0.
f(√2/2,√2/2)=f(−√2/2,−√2/2)=−1/2,f(√2/2,−√2/2)=f(−√2/2,√2/2)=7/2.
故最大值為 7/2 而最小值為 −1/2。訣竅
運用積分因子法求解微分方程。解法
首先整理給定的微分方程為標準型如下y′−yx=xsinx.
此時的積分因子為 e∫(−1/x)dx=e−lnx=1x,故同乘以 1x 可得ddx(yx)=1xdydx−yx2=sinx.
接著取積分可得y(x)x−y(π)π=∫xπsintdt=−cosx|xπ=−cosx−1.
如此所求為y(x)=x−xcosx.
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