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2020年9月1日 星期二

國立臺灣大學一百零二學年度研究所碩士班入學考試試題:微積分(C)

  1. (10%) Solve the function A(t) if

    A(t)=αA2(t)+βA(t)1, and A(0)=0,

    where α and β are real numbers.
  2. 訣竅利用分離變量法以及一元二次方程式的概念按係數討論來處理。
    解法假若 α=β=0,那麼微分方程為 A(t)=1,取積分並使用 A(0)=0A(t)=t。假若 α=0β0 時同乘以 eβt

    (eβtA(t))=eβtA(t)βeβtA(t)=eβt

    同取積分有

    eβtA(t)=eβt1β

    故得 A(t)=1eβtβ

    現設 α0,並考慮下列三種情形:

    • β2+4α>0,那麼設方程的兩實根為 ββ2+4α2α=x1<x2:=β+β2+4α2α,如此給定的微分方程可寫為

      A(t)=α(A(t)x1)(A(t)x2)

      那麼便有

      (1Ax21Ax1)dA=dA(Ax1)(Ax2)=α(x2x1)dt

      取積分可得

      ln|Ax2Ax1|=α(x2x1)t+ln|x2x1|

      取自然指數有

      Ax2Ax1=x2x1eα(x2x1)t

      移項整理可得

      A(t)=x1x2(eα(x2x1)t1)x2eα(x2x1)tx1=2(1etβ2+4α)(β+β2+4α)etβ2+4α+β+β2+4α

    • β2+4α=0,那麼方程式有相同的實根 β2α,如此給定的微分方程可寫為

      A(t)=α(A(t)+β2α)2

      那麼移項有

      dA(A+β2α)2=αdt

      取積分可得

      1A+β2α=αt2αβ

      可解得

      A(t)=β2t2α(2βt)

    • β2+4α<0,那麼方程式有兩共軛複根 β+iβ24α2αβiβ24α2α,如此給定的微分方程可寫為

      dA(A+β2α)2+(β24α2α)2=αdt

      取積分有

      2αβ24αtan12αA+ββ24α=αt+2αβ24αtan1ββ24α

      A(t)=12α[β+β24αtan(tβ24α2+tan1ββ24α)]


  3. (10%) Given

    ym=dx(x2+4)m,

    express ym as A+Bym1, where A and B are functions of x and m.
  4. 訣竅運用分部積分法改寫以求得遞迴關係式。
    解法直接使用分部積分法可知

    ym1=x(x2+4)m1x[(x2+4)m+1]dx=x(x2+4)m1+2(m1)x2(x2+4)mdx=x(x2+4)m1+2(m1)x2+4(x2+4)mdx8(m1)dx(x2+4)m=x(x2+4)m1+2(m1)ym18(m1)ym

    由此整理可得

    ym=2m38(m1)ym1+x8(m1)(x2+4)m1

    因此 A=x8(m1)(x2+4)m1B=2m38(m1)

  5. (10%) Find the Taylor series about x=0 for the following integral:

    x2ex2dx.

  6. 訣竅經由自然指數的泰勒展開式進行適當的變形改寫即可。
    解法由自然指數的泰勒展開式可知

    ex=n=0xnn!

    x2 取代 x 可得

    ex2=n=0(1)nx2nn!

    兩邊同乘以 x2

    x2ex2=n=0(1)nx2n+2n!

    最後同取不定積分有

    x2ex2dx=C+n=0(1)nx2n+3n!(2n+3)


  7. (20%) The Black-Scholes formula for a call option with six input parameters (S,X,r,q,σ,T) is as follows.

    c(S,X,r,q,σ,T)=SeqTN(d1)XerTN(d2),

    where

    d1=ln(S/X)+(rq+σ2/2)TσT and d2=ln(S/X)+(rqσ2/2)TσT=d1σT,

    and N() is the cumulative distribution function of the standard normal distribution defined as

    N(d)=dn(x)dx=d12πex22dx,

    where n() is the probability density function of the standard normal distribution.
    1. (5%) Derive and express cS as the form of eAN(B). What are A and B?
    2. (5%) Derive and express 2cS2 as the form of n(C)eDE. What are C, D, and E?
    3. (5%) Derive and express cσ as the form of FeGn(H). What are F, G, and H?
    4. (5%) Derive and express cr as the form of IeJN(K). What are I, J, and K?
    (Please write down the detailed calculation process.)
  8. 訣竅按照題意直接使用多變數函數的連鎖律演算即可。
    解法
    1. 由給定的方程求偏導有

      cS=eqTN(d1)+SeqTN(d1)d1SXerTN(d2)d2S=eqTN(d1)+SeqTn(d1)XerTn(d2)SσT

      其中我們注意到

      d1+d2=2[ln(S/X)+(rq)T]σT=2[ln(S/X)+(rq)T]d1d2

      這表明

      ed21d222=SXe(rq)T

      即有 SeqTed21/2=XerTed22/2,因此 SeqTn(d1)XerTn(d2)=0,故得 cS=eqTN(d1),因此 A=qTB=d1
    2. 繼續使用連鎖律求二階偏導函數有

      2cS2=eqTn(d1)1SσT=n(d1)eqTSσT

      因此 C=d1D=qTE=SσT
    3. 使用連鎖律求導可知

      cσ=SeqTn(d1)d1σXerTn(d2)(d1σT)σ=SeqTn(d1)(d1σ+T)XerTn(d2)(d1σ)=STeqTn(d1)

      因此 F=STG=qTH=d1
    4. 同樣使用連鎖律計算可得

      cr=SeqTn(d1)Tσ+XerTN(d2)XerTn(d2)Tσ=XerTN(d2)

      故取 I=XJ=rTK=d2

  9. (10%) Represent (1x)2 in a Maclaurin series for 1<x<1.
  10. 訣竅由經典的無窮等比級數導出給定函數的級數表達式。
    解法首先注意到

    (1x)1=n=0xn

    兩邊同時微分可得

    (1x)2=n=1nxn1=n=0(n+1)xn


  11. (10%) Find the equation of the line tangent to the curve x=2t315t2+24t+7, y=t2+t+1 at t=2.
  12. 訣竅運用連鎖律求參數曲線的斜率,隨後使用點斜式寫出切線方程式。
    解法使用連鎖律可知

    dydx=dy/dtdx/dt=2t+16t230t+24

    那麼在 t=2 時的斜率為 dydx|t=2=512。故切線方程式為

    yy(2)=512(xx(2))

    5x+12y=167

  13. (10%) Find the maximum and minimum values of f(x,y)=xy2 subject to the condition x2+y2=1.
  14. 訣竅由初等不等式估算極值即可;亦可使用拉格朗日乘子法求解。
    解法一使用算術幾何不等式可知

    13=x2+y22+y2233x2y22y22=22/3(xy2)2/3

    如此可知

    239=233=(22/33)3/2xy2(22/33)3/2=233=239

    此時等號成立條件為 x2=y2/2,故分別解得 (x,y)=(33,±63)(x,y)=(33,±63)
    解法二設定拉格朗日乘子函數如下

    F(x,y,λ)=xy2+λ(x2+y21)

    據此解聯立方程組

    {Fx(x,y,λ)=y2+2λx=0Fy(x,y,λ)=2xy+2λy=0Fλ(x,y,λ)=x2+y21=0

    由第二式可知 2y(x+λ)=0
    • y=0,則第三式給出 x=±1
    • x=λ,則第一式有 y2=2λ2,從而於第三式有 3λ2=1,即 λ=±33,進而得四座標 (x,y)=(33,±63)(33,±63)
    代入檢驗可知最大最小值分別為 239239

  15. (10%) Evaluate (tan5x)(sec4x)dx.
  16. 訣竅使用三角恆等式以及基本三角函數的反導函數即可求解。
    解法改寫後可直接計算如下

    (tan5x)(sec4x)dx=tan5x(1+tan2x)sec2xdx=tan6x6+tan8x8+C


  17. (10%) Determine the interval of convergence of +n=1xn2+n2.
  18. 訣竅由比值審歛法的概念先確定收斂半徑,隨後檢查端點。
    解法首先由比值審歛法能知

    limn|xn+12+(n+1)2÷xn2+n2|<1

    即得 |x|<1,因此收斂半徑為 1。現檢查端點如下
    • x=1 時級數可寫為 n=112+n2<n=11n2 收斂。
    • x=1 時可透過前一點知道其絕對收斂,故此點也收斂。
    綜上可知給定的冪級數之收斂區間為 [1,1]

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