- (10%) Solve the function A(t) if
A′(t)=αA2(t)+βA(t)−1, and A(0)=0,
where α and β are real numbers. - 若 β2+4α>0,那麼設方程的兩實根為 −β−√β2+4α2α=x1<x2:=−β+√β2+4α2α,如此給定的微分方程可寫為
A′(t)=α(A(t)−x1)(A(t)−x2)
那麼便有(1A−x2−1A−x1)dA=dA(A−x1)(A−x2)=α(x2−x1)dt
取積分可得ln|A−x2A−x1|=α(x2−x1)t+ln|x2x1|
取自然指數有A−x2A−x1=x2x1eα(x2−x1)t
移項整理可得A(t)=x1x2(eα(x2−x1)t−1)x2eα(x2−x1)t−x1=2(1−et√β2+4α)(−β+√β2+4α)et√β2+4α+β+√β2+4α
- 若 β2+4α=0,那麼方程式有相同的實根 −β2α,如此給定的微分方程可寫為
A′(t)=α(A(t)+β2α)2
那麼移項有dA(A+β2α)2=αdt
取積分可得−1A+β2α=αt−2αβ
可解得A(t)=β2t2α(2−βt)
- 若 β2+4α<0,那麼方程式有兩共軛複根 −β+i√−β2−4α2α 與 −β−i√−β2−4α2α,如此給定的微分方程可寫為
dA(A+β2α)2+(√−β2−4α2α)2=αdt
取積分有2α√−β2−4αtan−12αA+β√−β2−4α=αt+2α√−β2−4αtan−1β√−β2−4α
A(t)=12α[−β+√−β2−4αtan(t√−β2−4α2+tan−1β√−β2−4α)]
- (10%) Given
ym=∫dx(x2+4)m,
express ym as A+Bym−1, where A and B are functions of x and m. - (10%) Find the Taylor series about x=0 for the following integral:
∫x2e−x2dx.
- (20%) The Black-Scholes formula for a call option with six input parameters (S,X,r,q,σ,T) is as follows.
c(S,X,r,q,σ,T)=Se−qTN(d1)−Xe−rTN(d2),
whered1=ln(S/X)+(r−q+σ2/2)Tσ√T and d2=ln(S/X)+(r−q−σ2/2)Tσ√T=d1−σ√T,
and N(⋅) is the cumulative distribution function of the standard normal distribution defined asN(d)=∫d−∞n(x)dx=∫d−∞1√2πe−x22dx,
where n(⋅) is the probability density function of the standard normal distribution.- (5%) Derive and express ∂c∂S as the form of eAN(B). What are A and B?
- (5%) Derive and express ∂2c∂S2 as the form of n(C)eDE. What are C, D, and E?
- (5%) Derive and express ∂c∂σ as the form of FeGn(H). What are F, G, and H?
- (5%) Derive and express ∂c∂r as the form of IeJN(K). What are I, J, and K?
- 由給定的方程求偏導有
∂c∂S=e−qTN(d1)+Se−qTN′(d1)⋅∂d1∂S−Xe−rTN′(d2)⋅∂d2∂S=e−qTN(d1)+Se−qTn(d1)−Xe−rTn(d2)Sσ√T
其中我們注意到d1+d2=2[ln(S/X)+(r−q)T]σ√T=2[ln(S/X)+(r−q)T]d1−d2
這表明ed21−d222=SXe(r−q)T
即有 Se−qTe−d21/2=Xe−rTe−d22/2,因此 Se−qTn(d1)−Xe−rTn(d2)=0,故得 ∂c∂S=e−qTN(d1),因此 A=−qT 且 B=d1。 - 繼續使用連鎖律求二階偏導函數有
∂2c∂S2=e−qTn(d1)⋅1Sσ√T=n(d1)e−qTSσ√T
因此 C=d1、D=−qT、E=Sσ√T。 - 使用連鎖律求導可知
∂c∂σ=Se−qTn(d1)∂d1∂σ−Xe−rTn(d2)∂(d1−σ√T)∂σ=Se−qTn(d1)(−d1σ+√T)−Xe−rTn(d2)(−d1σ)=S√Te−qTn(d1)
因此 F=S√T、G=−qT、H=d1。 - 同樣使用連鎖律計算可得
∂c∂r=Se−qTn(d1)⋅√Tσ+Xe−rTN(d2)−Xe−rTn(d2)⋅√Tσ=Xe−rTN(d2)
故取 I=X、J=−rT、K=d2。 - (10%) Represent (1−x)−2 in a Maclaurin series for −1<x<1.
- (10%) Find the equation of the line tangent to the curve x=2t3−15t2+24t+7, y=t2+t+1 at t=2.
- (10%) Find the maximum and minimum values of f(x,y)=xy2 subject to the condition x2+y2=1.
- 若 y=0,則第三式給出 x=±1;
- 若 x=−λ,則第一式有 y2=2λ2,從而於第三式有 3λ2=1,即 λ=±√33,進而得四座標 (x,y)=(√33,±√63) 與 (−√33,±√63)。
- (10%) Evaluate ∫(tan5x)(sec4x)dx.
- (10%) Determine the interval of convergence of +∞∑n=1xn2+n2.
- 當 x=1 時級數可寫為 ∞∑n=112+n2<∞∑n=11n2 收斂。
- 當 x=−1 時可透過前一點知道其絕對收斂,故此點也收斂。
訣竅
利用分離變量法以及一元二次方程式的概念按係數討論來處理。解法
假若 α=β=0,那麼微分方程為 A′(t)=−1,取積分並使用 A(0)=0 得 A(t)=−t。假若 α=0 但 β≠0 時同乘以 e−βt 有(e−βtA(t))′=e−βtA′(t)−βe−βtA(t)=−e−βt
同取積分有e−βtA(t)=e−βt−1β
故得 A(t)=1−eβtβ。現設 α≠0,並考慮下列三種情形:
訣竅
運用分部積分法改寫以求得遞迴關係式。解法
直接使用分部積分法可知ym−1=x(x2+4)m−1−∫x[(x2+4)−m+1]′dx=x(x2+4)m−1+2(m−1)∫x2(x2+4)mdx=x(x2+4)m−1+2(m−1)∫x2+4(x2+4)mdx−8(m−1)∫dx(x2+4)m=x(x2+4)m−1+2(m−1)ym−1−8(m−1)ym
由此整理可得ym=2m−38(m−1)ym−1+x8(m−1)(x2+4)m−1
因此 A=x8(m−1)(x2+4)m−1、B=2m−38(m−1)。訣竅
經由自然指數的泰勒展開式進行適當的變形改寫即可。解法
由自然指數的泰勒展開式可知ex=∞∑n=0xnn!
用 −x2 取代 x 可得e−x2=∞∑n=0(−1)nx2nn!
兩邊同乘以 x2 有x2e−x2=∞∑n=0(−1)nx2n+2n!
最後同取不定積分有∫x2e−x2dx=C+∞∑n=0(−1)nx2n+3n!(2n+3)
訣竅
按照題意直接使用多變數函數的連鎖律演算即可。解法
訣竅
由經典的無窮等比級數導出給定函數的級數表達式。解法
首先注意到(1−x)−1=∞∑n=0xn
兩邊同時微分可得(1−x)−2=∞∑n=1nxn−1=∞∑n=0(n+1)xn
訣竅
運用連鎖律求參數曲線的斜率,隨後使用點斜式寫出切線方程式。解法
使用連鎖律可知dydx=dy/dtdx/dt=2t+16t2−30t+24
那麼在 t=2 時的斜率為 dydx|t=2=−512。故切線方程式為y−y(2)=−512(x−x(2))
即 5x+12y=167。訣竅
由初等不等式估算極值即可;亦可使用拉格朗日乘子法求解。解法一
使用算術幾何不等式可知13=x2+y22+y223≥3√x2⋅y22⋅y22=2−2/3(xy2)2/3
如此可知−2√39=−23√3=−(22/33)3/2≤xy2≤(22/33)3/2=23√3=2√39
此時等號成立條件為 x2=y2/2,故分別解得 (x,y)=(√33,±√63) 與 (x,y)=(−√33,±√63)。解法二
設定拉格朗日乘子函數如下F(x,y,λ)=xy2+λ(x2+y2−1)
據此解聯立方程組{Fx(x,y,λ)=y2+2λx=0Fy(x,y,λ)=2xy+2λy=0Fλ(x,y,λ)=x2+y2−1=0
由第二式可知 2y(x+λ)=0。訣竅
使用三角恆等式以及基本三角函數的反導函數即可求解。解法
改寫後可直接計算如下∫(tan5x)(sec4x)dx=∫tan5x(1+tan2x)sec2xdx=tan6x6+tan8x8+C
訣竅
由比值審歛法的概念先確定收斂半徑,隨後檢查端點。解法
首先由比值審歛法能知limn→∞|xn+12+(n+1)2÷xn2+n2|<1
即得 |x|<1,因此收斂半徑為 1。現檢查端點如下
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