[書評] 大學微積分解題方法

雖然這本書的編排頗具凡異的風格，也就是非常詭異，不過光是聽到這本出版自凡異，內容奇特似乎也不是什麼特別的事情了。

內容分為十四章，每章各編列數題，主要用途是澄清學習微積分時常會遭遇的學習困難或是盲點，共計兩百道問題或疑難。

撇開學習上的功能外，它本身也對於教師而言極具工具性意義，我強烈建議需要擔任微積分教學工作的助教或教授們（或對於自修微積分有興趣／中學教師們添購這本小冊子）。它協助我們彙整反例、以釐清數學術語的內涵與外延。對我自身而言，多變數函數的偏導函數是非常繁複的章節，這些章節的反例特多，而且不易構作，而這本書一口氣將我容易混淆的所有知識一併澄清。

此處我將一些我鍾愛、教學上應當特別交代清楚的例子列舉如下：

1. 若$f$在$P$的偏導數存在且連續，則$f$在$P$點連續；反之不然。而且將前提弱化為偏導數存在是不行的。
2. 若$f$在$P$點的偏導數存在且連續，則$f$在$P$的全微分存在；反之不然。前提弱化為偏導數存在是不行的；弱化為存在且有界也是不行的。
3. 若$f$在$P$點的全微分存在，則$f$在$P$點的任意方向導數皆存在（但不一定連續）；反之不然。
4. 若$z=f(x,y)$的偏導數存在且連續，且$x=\phi\left(t\right)$與$y=\phi\left(t\right)$皆可微分，則全導數公式成立。前提弱化為偏導數存在是不行的。

反例如下：

1. 前提弱化的反例：$f\left(x,y\right)=\left\{\begin{aligned} &\frac{x^2y}{x^4+y^2},&\left(x,y\right)\neq\left((0,0\right)\\&0,&\left(x,y\right)=\left(0,0\right)\end{aligned}\right.$
2. 第一種弱化前提的反例：$f\left(x,y\right)=\sqrt{|xy|}$。
   第二種弱化前提的反例：$f\left(x,y\right)=\left\{\begin{aligned} &\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}},&\left(x,y\right)\neq\left(0,0\right)\\&0,&\left(x,y\right)=\left(0,0\right)\end{aligned}\right.$
   「反之不然」的反例：$f\left(x,y\right)=\left\{\begin{aligned} &\left(x^2+y^2\right)\sin{\frac{1}{x^2+y^2}},&\left(x,y\right)\neq\left(0,0\right)\\&0,&\left(x,y\right)=\left(0,0\right)\end{aligned}\right.$
3. 「反之不然」的反例：$f\left(x,y\right)=\left\{\begin{aligned} &x+y+\frac{x^3y}{x^4+y^2},&\left(x,y\right)\neq\left(0,0\right)\\&0,&\left(x,y\right)=\left(0,0\right)\end{aligned}\right.$
4. 「弱化前提」的反例：$z=f\left(x,y\right)=\left\{\begin{aligned} &\frac{x^2y}{x^2+y^2},&\left(x,y\right)\neq\left(0,0\right)\\&0,&\left(x,y\right)=\left(0,0\right)\end{aligned}\right.$，
   其中$x\left(t\right)=t$、$y\left(t\right)=t$。

ISBN：9576943566
叢書系列：理工叢書
規格：平裝 / 普通級 / 單色印刷 / 初版
出版地：台灣
出版日期：2005/01/01