[書評] 斐波那契數

「斐波那契數」是蘇聯青年數學科普叢書系列中極為經典且重要的一本。這一系列的一個特色是先備知識極低，但手法與深度廣度皆相當完備。

陳述思路極富自然性，容易思考延伸的問題，而且幾乎都非常薄（約莫50至80面，而且紙面選擇也較其他市面上出版的書籍還來得小！）但這本「斐波那契數」是個例外，儘管紙面相當，但厚度為兩百多來頁，在相關系列中頗不同。

其中書次如下：
§斐波那契數的簡單性質
§斐波那契數的數論性質
§斐波那契數與連分數
§斐波那契數與幾何
§斐波那契數與搜索理論

現在讓我們仔細講講這本書為什麼可以值得這麼厚的篇幅，而他又談了什麼樣的數學議題。

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在§簡單性質中，我們其實主要關心的是

1. 各種連加問題，諸如： $$\begin{aligned} &u_1+u_2+...+u_n\\&u_1^2+u_2^2+...+u_n^2\\&u_1^3+u_2^2+...+u_n^3\end{aligned}$$
2. 循環數列的一般處理原則
   我們可以從中發現循環數列的解具有線性性質，因此我們可以據此找出具有等比性質的解作為基底構作出通解，最後進一步透過初始條件得出比內公式(Binet formula)。
3. 與巴斯卡三角形的聯繫
   這一小節中，我們引入組合數$C_n^m$來介紹巴斯卡三角形，其中最主要的特點在於斜直線上的和竟然便是斐波那契數。
4. $u_n$的近似估計
   我們可以利用比內公式輕易地知道最接近$u_n$的整數，而且為了在更後面的單元中介紹近一步的分析，我們介紹了一個重要的估計 $$\frac{\alpha^{n-\frac{1}{n}}}{\sqrt{5}}\leq u_n\leq\frac{\alpha^{n+\frac{1}{n}}}{\sqrt{5}}$$ 此處$\displaystyle\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。
5. 函數級數問題
   這個地方我們也關心這樣的級數$S_n\left(x\right)=\sum_{k=1}^{n}u_kx^k$，特別是當$n\to\infty$時的收斂區間，很容易透過一些技巧得知當這個函數級數收斂時會有 $$S\left(x\right)=\frac{x}{1-x-x^2}$$
6. 倒數和問題
   我們好奇$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{u_k}$之值，不過很可惜的是我們現在還只能知道這個值是無理數。首先我們對於這個問題的第一種可能處理手段是先求出$S_n$再求極限，不過很可惜的是這種途徑大概是無望的，因此我們走向第二種途徑，先求出主要部份的值再將誤差控制在不是很大的地方，藉此我們達到一種快速收斂的計算公式。我們將結果呈現如下 $$\begin{aligned}S=&3+S^{\left(3\right)}\\S=&\frac{41}{12}-\frac{3}{2}S^{\left(5\right)}\\S=&\frac{11749}{5280}-\frac{60}{11}S^{\left(7\right)}\end{aligned}$$ 此處$\displaystyle S^{\left(3\right)}=\frac{1}{u_1u_2u_3}+\frac{1}{u_2u_3u_4}+\cdots$、$\displaystyle S^{\left(5\right)}=\frac{1}{u_1u_2u_3u_4u_5}+\frac{1}{u_2u_3u_4u_5u_6}+\cdots$，等依此類推。

7. 負指標與計數法
   這部分稍微延伸關於數列採取負指標的狀態、運用斐波那契數作為計數系統的可能性。（雖然作者似乎想主張這個計數系統有其優點，但在我看來似乎有點鬼打牆或說優點更本比不上缺點啊！！）

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在§數論性質中，我們主要關心的是

1. 整除性問題
   我們可以注意到$u_{nm}$被$u_n$整除，而且$u_{n+1}$與$u_n$互質等基礎性質，在這樣的狀況之下，我們很容易就發現$gcd\left(u_n,u_m\right)=u_{gcd\left(n,m\right)}$。此外，還有一個相當有趣的事情是，若$n$為奇數，則$u_n$的奇因數皆為$4n+1$的形式！最後，我們值得說一下事實上每個整數都一定有一個斐波那契數為它的倍數。而這個問題導致上我們去問，給定$m$，那些斐波那契數也是它的倍數？根據斐波那契數的倍數關係，我們只需要找到最小整除地就自動找到無限多個倍數了。
2. 關於質數的整除性問題
   在這部分中最重要定理的敘述如下：若$p$是形式為$5t\pm1$的質數，則$u_{p-1}$被$p$整除；若$p$是形式為$5t\pm2$的質數，則$u_{p+1}$被$p$整除。
   透過這個定理，我們可以立即知道質數可使必可使那些斐波那契數整除，但是我們也很容易發現這並不是最小能滿足的斐波那契數。為此，我們引入一個概念稱之為特徵因數：設$u_n$被某個質數$p$整除，但同時任何小於$u_n$的斐波那契數都不被$p$整除的話我們便稱$p$為$u_n$的特徵因數。至終，我們會發現除了$u_1, u_2, u_6, u_{12}$以外的斐波那契數都至少具有一個特徵因數。而這個論證相當複雜，值得參閱本書以瞭解過程。

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在§斐波那契數與連分數的關係中，有許多有趣的逼近現象值得說說

1. 所有實數都可以透過連分數逼近，但逼近的速度有快有慢，而逼近速度最慢的實數為$\displaystyle\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，其所構作出的連分數的分子分母皆為相鄰的斐波那契數。
2. 若給定的實數為$\omega$，我們會發現連分數會以忽大忽小的姿態逼近$\omega$。事實上，奇數編號的連分數總比$\omega$大，而偶數編號的連分數總比$\omega$小。
3. 在許多分母不是很大的時候，我們會研究採用分母來討論連分數逼近實數的精確程度。在這方面我們有諸多定理來描述
   1. 勒讓德定理
   2. 華林定理
   3. 波萊爾定理
   4. 胡爾維次定理

   這些定理的特點在描述將分母的係數進行調整後會造成甚麼樣的現象改變。另外值得提及的是，為了詳細的描述滿足這些定理的某類數的特性，我們替實數做出等價類，而這種等價類的變換式在複變數的研究中也扮演著極重要的角色。

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在§斐波那契數與幾何，可能是由於幾經改版後而填加上的內容，許多部分並沒有特別新穎的點。相鄰斐波那契數的比值之極限常出現於自然界中，也被希臘人稱之為黃金比例，我想這點幾乎是眾所皆知。在這個小節中，也利用了一些圖形的方法重新證明一些簡單的性質。另外，本書也將一個涉及斐波那契數理論的數學遊戲方在這個單元中，雖然脈絡滿奇怪的，但是說理與分析方法相當清楚，值得細查。

至於§斐波那契數與搜索理的單元中，這也是本書需要相當工夫才能瞭解文意、所欲證明的事情。它最重要的恐怕不在於分析的手法（雖然也值得一學啦，不過我目前還看不太出來那些方面的研究可以藉助這種思路也進一步分析），而在於它指出斐波那契數竟可以用這種方式悄然潛入人類的應用生活中。

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以上是這本書極為精簡的摘要，也替未能親嘗本書的各位指出這本書的優點、內容。
如果要說缺點的話，可能在於介紹輾轉相除法時，竟然沒有介紹如何利用斐波那契數估計輾轉相除法的停止步驟數。其餘缺點可能還需要留待後人補正了！

ISBN：9799576032256
叢書系列：蘇聯青年數學科普叢書
規格：平裝 / 223頁 / 16k菊 / 14.8 x 21 cm/ 普通級 / 單色印刷 / 初版
出版地：台灣
出版日：2002/9/1