這是一本精彩的數學史書籍。正如書名指出的，數學這項學問一直以來站在完美無瑕的邏輯高點，不斷被世人視為人類理性的最高成就，凡是一個數學上的命題似乎只是數學家們暫時無法找到證明或反例去說明命題的真假。然而就在人類發展數學與探究數學的基石的過程中，這一切開始慢慢不對勁……
簡評：瞭解數學在人類文化地位中的轉變，自完美理性的地位轉變至根基隨時可以動搖的可朽物之間，數學發生了什麼變化又如何應對。作者做出完整的反思並直指未來的去路。
本書旨在談數學的思想轉變，從神聖與極具價值的地位轉為失去確定性命題的過程。雖然表面上是談過去的事物，他作者本身卻想透過這樣的反思指出數學研究該走向的方向。除此之外，本書作者克萊因(Kline)也具有數學教育、數學哲學等專長，因此在談論數學史事件也能精準地指出後續的影響與當代將這些事件歸類於何方流派，對於建立數學史觀有莫大幫助。
本書從數學的誕生開始談起，但又精簡了其過程，首三章從古希臘的幾何學的建立與發揚光大：精準的描述自然出發，直至第一次的挫敗：歐幾里得第五公設。這實際上是一條漫長的歷史道路，作者直搗黃龍地揭示數學學門接下來不斷面對的重挫：毫無根基與原理的時期。
不過並不是每個人都是這樣的絕望，在那個時代有許多兼具其他學門頂尖人物的數學家，如牛頓和萊布尼茲便是如此，牛頓以物理學的眼光洞悉了微積分學的原理，而萊布尼茲則以微小量的累積的想法達到相同的結論。此時尚不構成一個具有邏輯系統的發展，只是一些洞見組成的技巧組合，由於這樣的緣故微積分學或稱為分析學的領域漸漸陷於泥沼中，作者選用的這個詞彙相當生動，也凸顯出這樣概念的難以接受——有許多學生在初學極限概念時時常要面對一個既是零又不是零的量，這對當時也是極難理解的。不過隨著時間的演進，數學家們對於這種無法明確界定的曖昧狀態也感到受不了。作者點出為何數學家在將數學化的過程中會展現出如此的抗拒呢？他推測這是因為原先的數學型態是幾何式的，本來就無需對細節帶有強烈說明的必要性，但對於抽象的數與式甚至是導函數與不定積分等概念就不能訴諸直觀。言至此，作者認為數學家遠離自然世界的泉源，轉而試圖自給自足的創造問題。但當時卻缺乏公設的觀點，也就無法理解除了自明以外的真理究竟為何。
透過對分析的嚴格化，數學的近親或更基礎的工具：邏輯，也開始有了自己的道路。同時康托爾則闖入了希爾伯特所謂的無限的失樂園之中，區別了可數與不可數的差異，甚至更進一步列出更豐富的阿列夫數的概念，其中更引出一個深奧而迷人的連續統問題。現今我們已經知道這是無法透過現有的通用的公設證明或否證的命題，亦即將肯定或否定的連續統敘述將入常用的公設可以分別獲得兩種互斥的數學系統。數學的形式主義或許就在這裡崩台了，希爾伯特原先認為(或者我認為他認為如此)只需要將數學嚴格的形式化後就能將所有命題化為演算問題，從而所有的命題勢必就能如此證真或證偽。但哥德爾卻帶來了災難般的壞消息，摧毀了這項希望。
在我看來，這段數學的歷史對現今的數學而言早就成為陳舊的事物，很少引起數學家的關注。對作者而言，這場由數學自身引起的嚴格化又垮台是自作自受。至於未來要怎麼走，或許應該回到數學問題產生的根本：自然的權威，畢竟數學的產生便是為了解釋或達到定量的預測，又或者是總結自然中常見的規律或現象的結構。此外，作者對於數學的基本哲學觀點有許多介紹，但其中的細節有待讀者自行閱讀並參考作者提供的文獻會較適宜。(P.S.我自己是很喜歡形式主義的立場)
延伸閱讀心得：叢書系列：OPEN 4/22
規格：平裝 / 518頁 / 16k菊 / 14.8 x 21 cm / 普通級 / 單色印刷 / 初版
出版地：台灣
出版日期：2004/08/31
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