國立臺灣大學數學系103學年度大學「個人申請」入學
第二階段筆試試題一
2014年3月29日上午9:00-11:00
- 不准使用計算機。
- (20%) 在袋中有N張分別標有號碼1,2,⋯,N的紙牌,今用兩種抽樣方法,隨機從袋中抽出n個號碼,其中n≤N。抽樣方法如下:
方法一:每次抽一張紙牌,紀錄號碼後,放回袋中,然後再抽下一張,如此繼續,依序得到號碼Y1,⋯,Yn。
方法二:每次抽一張紙牌,紀錄號碼,該張紙牌不再放回袋中,如此繼續,依序得到號碼Y1,⋯,Yn。
問題一:若1≤a1≤N,1≤a2≤N,⋯,1≤an≤N且a1,a2,⋯,an不一定完全相異,請針對方法一及方法二,分別計算條件機率
P(Yj=aj|Y1=a1,⋯,Yj−1=aj−1),
其中2≤j≤n。問題二:若1≤a≤N,請針對方法一及方法二證明P(Yj=a)=1N,其中1≤j≤n。
- (25%) 如示意圖,有一個四面體,¯OA=¯OB=¯OC=1,∠CBA和∠ACB均為銳角,並且滿足
- ∠BOC=45∘;
- ∠AOB=30∘;
- 平面ABO和平面CBO所夾的平面角(或稱兩面角、二面角)為60∘,
- (25%) 設{an}∞n=1為一個實數數列且滿足a1=5, a2=19及遞迴關係式an=5an−1−6an−2(n≥3)。求一般項an的通式。(需詳細說明求解過程)
- (30%) 如果多項式f(x)可以分解為(x−α)kg(x),其中α為常數,k≥2,g(x)是一個多項式並且g(α)≠0,則稱α是f(x)的一個k重根。下文中,f′(x)代表f(x)對x的微分(或導函數),請回答下列問題:
- 如果α是f(x)的一個k重根且k≥2,則x−α是f(x)和f′(x)的公因式,試證之。
- 假設f(x)是一個首項係數為1的整係數四次多項式,請分別證明下列敘述。
- 如果α是f(x)的4重根,則α為整數。
- 如果α是f(x)的3重根,則α為整數。
- 由於α是f(x)的k重根,因此題幹所敘述的定義可知存在多項式g(x)使得f(x)=(x−α)kg(x)。那麼計算f(x)的導函數如下
f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→0(x+h−α)kg(x+h)−(x−α)kg(x)h=limh→0[(x−α+h)k−(x−α)khg(x+h)+(x−α+h)kg(x+h)−g(x)h]=k(x−α)k−1g(x)+(x−α)kg′(x)=(x−α)k−1[kx−kα+g′(x)]
由於k≥2,因此f′(x)也有因式x−α,故x−α為f(x)與f′(x)的公因式。 - 若α為f(x)的四重根,那麼有
f(x)=x4−4αx3+6α2x2−4α3x+α4
由於f為整係數四次多項式,因此6α為整數,記6α=k∈Z。接下運用反證法證明k為六的倍數,如此知α為整數,證明就完畢了。現假設不然,那麼α=k6,其最簡分數之分母為2或3或6,因此α4不為整數,從而與題設矛盾。 - 由於α是f(x)的3重根,因此可以將f(x)寫為f(x)=(x−α)3(x−β),因此展開有
f(x)=x4−(3α+β)x3+(3α2+3αβ)x2−(α3+3α2β)x+α3β
按題設可知3α+β、3α2+3αβ、α3+3α2β與α3β皆為整數,分別記為m,n,k,l。首先可知β=lα3(可假定α≠0,否則結論將成立),從而有{m=3α+lα3n=3α2+3lα2k=α3+3lα
如此一來可知3α2m−4αn+3k=0
- 若m=0,則β=−3α,而l=−3α4,此外有α=3k4n為有理數。若α不為整數則l=3α4也不為整數,從而矛盾。
- 若m≠0,則α=2n±√4n2−9mk3m。若4n2−9mk≠0時表示α為根式。由於α為整係數多項式的根,從而可以知道β=2n∓√4n2−9nk3m。但此時剩下的兩個根皆為α便無法根式成對,這表明4n2−9mk=0,亦即α=2n3m為有理數。那麼依據牛頓一次因式檢驗法可以知道α為整數。
- 若α為f(x)的四重根,那麼有
訣竅
按條件機率的定義以及抽取之情形分析或計數其方法數。解法
問題一。
針對方法一明顯可知結論為
P(Yj=aj|Y1=a1,⋯,Yj−1=aj−1)=P(Yj=aj)=1N
這是因為運用條件機率的定義可直接計算並表達如下P(Yj=aj|Y1=a1,⋯,Yj−1=aj−1)=P(Y1=a1,⋯,Yj−1=aj−1,Yj=aj)P(Y1=a1,⋯,Yj−1=aj−1)=(1/N)j(1/N)j−1=1N
其中分子與分母的機率可由全部的方法數分之一(唯一的一種符合該事件)獲得。針對方法二需進行分類,假若aj與a1,⋯,aj−1中任一項重複,則該條件機率為零;假若不重複則該條件機率為1N−j+1。
問題二。
針對方法一,可以運用條件機率的結果將P(Yj=a)分拆改寫如下
P(Yj=a)=∑(a1,⋯,aj−1)P(Yj=a|Y1=a1,⋯,Yj−1=aj−1)P(Y1=a1,⋯,Yj−1=aj−1)
其中是把所有可能的(a1,⋯,aj−1)的組合進行加總。從而所求為P(Yj=a)=∑(a1,⋯,aj−1)1N⋅(1N)j−1=Nj−1[1N⋅(1N)j−1]=1N
現在考慮方法二,同樣運用條件機率的結果將P(Yj=a)分拆改寫如上,但此處需將(a1,⋯,aj−1)分為兩類,第一類為a1,⋯,aj−1其中至少一項為a或a1,⋯,aj−1之間有重複者,後者則否。容易知道後者有(N−1)!(N−j)!種情形,並記此類情形的蒐集為S。從而詳細的條件機率數值可以求得如下P(Yj=a)=∑(a1,⋯,aj−1)∈S1N−j+1⋅(1N⋯1N−j+2)=(N−1)!(N−j)!1N−j+1⋅(1N⋯1N−j+2)=(N−1)!N!=1N
訣竅
分別計算出底面積和高,隨後運用錐體體積公式即可。解法
首先計算底面△BOC的面積如下△BOC=12⋅¯OB⋅¯OCsin∠BOC=√24
接著作通過A且垂直平面BOC的直線L,且交平面BOC於H。最後在平面BOC上作通過H且垂直↔BO的直線M,交↔BO於K。由於△AHK與∠AOK皆為直角三角形,因此¯AH=¯AKsin∠AKH=¯OAsin∠AOBsin∠AKH=1⋅12⋅√32=√34
其中∠AKH為平面ABO與平面CBO所夾的兩面角。故運用錐體體積公式可求出四面體體積為V=13⋅△BOC⋅¯AH=13⋅√24⋅√34=√648
訣竅
本題有許多種作法,最簡單的是閱讀與線性遞迴數列相關的理論始能找出系統性的解法。解法
考慮輔助數列bn=an+1−2an(n≥1),則bn+1−3bn=(an+2−2an+1)−3(an+1−2an)=an+2−5an+1+an=0
因此{bn}為等比數列,可知bn=3n−1b1=3n+1,從而有an+1−2an=3n+1。移項整理可寫為an+1−3n+2=2(an−3n+1)
此表明an−3n+1為等比數列,從而有an−3n+1=2n−1(a1−32),依此可解得an=3n+1−2n+1
訣竅
第一小題按定義計算導函數即可知道確實擁有公因式,第二小題則需先確定α為有理數後使用牛頓一次因式檢驗法即可。解法
國立臺灣大學數學系103學年度大學「個人申請」入學
第二階段筆試試題二
2014年3月29日下午2:00-4:00
- 不准使用計算機。
- (25%) 設a1,a2,⋯,an是正實數。試證a1+⋯+ann≥n√a1a2⋯an,而且等號在a1=a2=⋯=an時才成立。(提示:可以嘗試先證明“n=2m時的情形"。)
- (25%) 假設在x−z平面上有一向量→V=(a,0,c),a>0,在y−z平面上有一向量→W=(0,β,γ),β>0,
- 求→V×→W。
- 設(0,0,0),(a,0,c),(0,β,γ)三點所成的平面為P,並設平面P與x−z平面的夾角為A,平面P與y−z平面的夾角為B。求證A+B>90∘。
- 直接按定義計算可得
→V×→W=|→i→j→ka0c0βγ|=(−cβ,−aγ,aβ)
- 按設定可知A與B為銳角,利用內積可知
cosA=a|γ|√c2β2+a2(β2+γ2), cosB=|c|β√c2β2+a2(β2+γ2)
使用餘弦函數的和角公式可得cos(A+B)=cosAcosB−sinAsinB=aβ|cγ|−aβ√a2+c2√β2+γ2c2β2+a2β2+a2γ2
由於|cγ|=√c2√γ2<√a2+c2√β2+γ2,因此cos(A+B)<0,故A+B>90∘。 - (20%) 箱中有25顆紅球及75顆黑球且每顆球被抽取之機會一樣。今重複從箱中抽取一球再放回箱中並記錄其顏色,請回答下列問題。
- 令X代表紅球首次出現所需抽取的次數,對於任意自然數k,m,試證明P(X>m+k−1|X>m−1)=P(X>k)。
- 令Y代表紅球出現第r次所需抽取的次數,其中r為自然數,求P(Y=y)的機率值,其中y為大於或等於r的自然數。
- 按文意可知右式P(X>k)表超過k才抽到紅球的機率,意即在少於或等於k次時都沒抽到紅球,因此這樣的機率為(34)k。
另一方面,根據條件機率可知P(X>m+k−1|X>m−1)=P(X>m+k−1,X>m−1)P(X>m−1)=P(X>m+k−1)P(X>m−1)=(3/4)m+k−1(3/4)m−1=(34)k
其中這些計算不取決於特定的k和m,從而我們證明了該等式左右兩邊的值恆相等。 - 按文意知道P(Y=y)為代表取球y次時紅球出現第r次的機率,這樣的情形代表第y次取球時正好出現紅球,而第y次取球之前(即第1次取球至第y−1次取球)恰出現紅球r−1次,因此P(Y=y)可表達如下
\displaystyle P\left(Y=y\right)=\frac{1}{4}\cdot{y-1 \choose r-1}\left(\frac{1}{4}\right)^{r-1}\left(\frac{3}{4}\right)^{y-r}={y-1 \choose r-1}\left(\frac{1}{4}\right)^r\left(\frac{3}{4}\right)^{y-r}
其中\displaystyle{y-1 \choose r-1}=\frac{\left(y-1\right)!}{\left(r-1\right)!\left(y-r\right)!}=C_{r-1}^{y-1}。 - (30\%) 設\displaystyle z=\cos\frac{2\pi}{17}+i\sin\frac{2\pi}{17}。
- 證明z,z^2,\cdots,z^{16}為方程式x^{16}+x^{15}+\cdots+x^2+x+1=0的所有根。
- 驗證以下兩個集合相等:\begin{aligned} &\left\{z,z^3,z^{3^2},z^{3^3},\cdots,z^{3^{14}},z^{3^{15}}\right\}\\=&\left\{z,z^3,z^9,z^{10},z^{13},z^5,z^{15},z^{11},z^{16},z^{14},z^8,z^7,z^4,z^{12},z^2,z^6\right\}\end{aligned}
- 設\left\{\begin{aligned} &u_1=z+z^{3^2}+z^{3^4}+\cdots+z^{3^{14}}\\&u_2=z^3+z^{3^3}+z^{3^5}+\cdots+z^{3^{15}}\end{aligned}\right.,證明u_1,u_2為方程式x^2+x-4=0之兩根。
- 設\left\{\begin{aligned} &w_1=z+z^{3^4}+z^{3^8}+z^{3^{12}}\\&w_2=z^3+z^{3^5}+z^{3^9}+z^{3^{13}}\\&w_3=z^{3^2}+z^{3^6}+z^{3^{10}}+z^{3^{14}}\\&w_4=z^{3^3}+z^{3^7}+z^{3^{11}}+z^{3^{15}}\end{aligned}\right.,證明\left\{\begin{aligned} &w_1,w_3\mbox{為方程式}x^2-u_1x-1=0\mbox{之兩根。}\\&w_2,w_4\mbox{為方程式}x^2-u_2x-1=0\mbox{之兩根。}\end{aligned}\right.
- 證明\displaystyle2\cos\frac{2\pi}{17}為方程式x^2-w_1x+w_2=0之一根。因此可導出\displaystyle\cos\frac{2\pi}{17}的值。
- 根據棣莫弗定理可知z^{17}=1,進而可知\left(z^2\right)^{17}=z^{34}=\left(z^{17}\right)^2=1、\left(z^{3}\right)^{17}=z^{51}=\left(z^{17}\right)^3=1、\cdots、\left(z^{16}\right)^{17}=z^{272}=\left(z^{17}\right)^{16}=1,故z,z^2,\cdots,z^{16}皆為x^{17}-1=0的根。又x^{17}-1可因式分解如下
x^{17}-1=\left(x-1\right)\left(x^{16}+x^{15}+\cdots+x+1\right)
而z,z^2,\cdots,z^{16}等數皆不為1,從而z,z^2,\cdots,z^{16}等數為x^{16}+x^{15}+\cdots+x^2+x+1=0的根。再者z,z^2,\cdots,z^{16}等數皆相異,從而此十六個數為該十六次方程的所有根。 - 首先明顯z,z^3,z^9的部分重複因而相等,接著按如下的計算比較即可:
- z^{3^3}=z^{27}=z^{17}z^{10}=z^{10};
- z^{3^4}=\left(z^{10}\right)^3=z^{30}=z^{17}z^{13}=z^{13};
- z^{3^5}=\left(z^{13}\right)^3=z^{39}=z^{17}z^{17}z^{5}=z^5;
- z^{3^6}=\left(z^5\right)^3=z^{15};
- z^{3^7}=\left(z^{15}\right)^3=z^{45}=z^{17}z^{17}z^{11}=z^{11};
- z^{3^8}=\left(z^{11}\right)^3=z^{33}=z^{17}z^{16}=z^{16};
- z^{3^9}=\left(z^{16}\right)^3=z^{48}=z^{17}z^{17}z^{14}=z^{14};
- z^{3^{10}}=\left(z^{14}\right)^3=z^{42}=z^{17}z^{17}z^{8}=z^8;
- z^{3^{11}}=\left(z^8\right)^3=z^{24}=z^{17}z^7=z^7;
- z^{3^{12}}=\left(z^7\right)^3=z^{21}=z^{17}z^4=z^4;
- z^{3^{13}}=\left(z^4\right)^3=z^{12};
- z^{3^{14}}=\left(z^{12}\right)^3=z^{36}=z^{17}z^{17}z^2=z^2;
- z^{3^{15}}=\left(z^2\right)^3=z^6;
- 首先利用第二小題的結果可知u_1+u_2=z+\cdots+z^{16}=-1,再者有
\begin{aligned}u_1=&z+z^9+z^{13}+z^{15}+z^{16}+z^8+z^4+z^2\\=&z+z^2+z^4+z^8+z^{-1}+z^{-2}+z^{-4}+z^{-8}\end{aligned}
另一方面也有\begin{aligned}u_2=&z^3+z^{10}+z^5+z^{11}+z^{14}+z^7+z^{12}+z^6\\=&z^3+z^5+z^6+z^7+z^{-3}+z^{-5}+z^{-6}+z^{-7}\end{aligned}
因此有\displaystyle\begin{aligned}u_1u_2=&\left(z^4+z^5+z^7+z^{11}+z^2+z+z^{-1}+z^{-5}\right)\\&+\left(z^6+z^7+z^9+z^{13}+z^4+z^3+z+z^{-3}\right)\\&+\left(z^7+z^8+z^{10}+z^{14}+z^5+z^4+z^2+z^{-2}\right)\\&+\left(z^8+z^9+z^{11}+z^{15}+z^6+z^5+z^3+z^{-1}\right)\\&+\left(z^{-2}+z^{-1}+z+z^5+z^{-4}+z^{-5}+z^{-7}+z^{-11}\right)\\&+\left(z^{-4}+z^{-3}+z^{-1}+z^3+z^{-6}+z^{-7}+z^{-9}+z^{-13}\right)\\&+\left(z^{-5}+z^{-4}+z^{-2}+z^2+z^{-7}+z^{-8}+z^{-10}+z^{-14}\right)\\&+\left(z^{-6}+z^{-5}+z^{-3}+z+z^{-8}+z^{-9}+z^{-11}+z^{-15}\right)\\=&4\left(z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6+z^7+z^8+z^9+z^{10}+z^{11}+z^{12}+z^{13}+z^{14}+z^{15}\right)\\=&-4\end{aligned}
因此根據韋達定理可知u_1,u_2為x^2+x-4=0的兩根。 - 可以知道w_1+w_3=u_1、w_2+w_4=u_2,再者運用第二小題的結果可以驗證
\begin{aligned}w_1w_3=&\left(z+z^{13}+z^{16}+z^4\right)\left(z^9+z^{15}+z^8+z^2\right)\\=&z^{10}+z^{16}+z^9+z^3+z^5+z^{11}+z^4+z^{15}+z^8+z^{14}+z^7+z+z^{13}+z^2+z^{12}+z^6\\=&-1\end{aligned}
以及\begin{aligned}w_2w_4=&\left(z^3+z^5+z^{14}+z^{12}\right)\left(z^{10}+z^{11}+z^7+z^6\right)\\=&z^{13}+z^{14}+z^{10}+z^9+z^{15}+z^{16}+z^{12}+z^{11}+z^7+z^8+z^4+z^3+z^5+z^6+z^2+z\\=&-1\end{aligned}
因此根據韋達定理可知w_1,w_3為x^2-u_1x-1=0的兩根,而w_2,w_4為x^2-u_2x-1=0的兩根,證明完畢。 - 可以驗證z+z^{-1}為x^2-w_1x+w_2=0如下
\begin{aligned} &\left(z+z^{-1}\right)^2-w_1\left(z+z^{-1}\right)+w_2\\=&z^2+2+z^{-2}-\left(z+z^{13}+z^{16}+z^4\right)\left(z+z^{-1}\right)+\left(z^3+z^5+z^{14}+z^{12}\right)\\=&0\end{aligned}
又\displaystyle z+z^{-1}=2\cos\frac{2\pi}{17}。同樣的方法可以知道另一根為\displaystyle2\cos\frac{8\pi}{17},故有\displaystyle2\cos\frac{2\pi}{17}=\frac{w_1+\sqrt{w_1^2-4w_2}}{2}
另一方面可以知道\displaystyle u_1=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}、\displaystyle u_2=\frac{-1-\sqrt{17}}{2},由此能去計算得w_1和w_2如下\displaystyle\begin{aligned}w_1=&\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}}{4}\\w_2=&\frac{-1-\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}}{4}\end{aligned}
如此有\displaystyle\begin{aligned}\cos\frac{2\pi}{17}=&\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+\sqrt{68+12\sqrt{17}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17}\sqrt{34-2\sqrt{17}}-16\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{16}\\=&\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{16}\end{aligned}
其中可以注意到下列等式從而達到上面的整理\sqrt{17}\sqrt{34-2\sqrt{17}}=-\sqrt{34-2\sqrt{17}}+4\sqrt{34+2\sqrt{17}}
為了說明這個等式,可以將其兩邊平方可得578-34\sqrt{17}=34-2\sqrt{17}-8\sqrt{34^2-4\cdot17}+16\left(34+2\sqrt{17}\right)
從而等式成立。
訣竅
此為廣義算術幾何不等式。可先證明n為2的次冪成立後逆推至較小的n亦可成立。解法
由於(√a1−√a2)2≥0,從而推得a1+a22≥√a1a2,亦即n=2時有該不等式,且僅當a1=a2成立時不等式之等號才成立。現假定當n=2m−1時算術幾何不等式成立,亦即有
a1+⋯+a2m−12m−1≥2m−1√a1⋯a2m−1
其中不等式的等號成立條件為a1=⋯=a2m−1。那麼對n=2m的情形可知a1+⋯+a2m−1+a2m−1+1+⋯+a2m2m=a1+⋯+a2m−12m−1+a2m−1+1+⋯+a2m2m−12≥2m−1√a1⋯a2m−1+2m−1√a2m−1+1⋯a2m2≥2m√a1⋯a2m
因此由數學歸納法可知算術幾何不等式在n=2m(m∈N)時成立。現在考慮n≠2m的情形,此時可知存在正整數m滿足2m−1<n<2m。那麼,於2m的不等式,其中取an+1=an+2=⋯=a2m=a1+⋯+ann,如此有
a1+⋯+ann=a1+⋯+a2mm≥2m√a1⋯an(2m√a1+⋯+ann)2m−n=2m√a1⋯a2m
兩邊同取2m次方後同除以(a1+⋯+ann)2m−n再開n次方根可得a1+⋯+ann≥n√a1⋯an
其中根據過程可知等號成立的條件為a1=⋯=an。至此證明完畢。
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