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2018年2月9日 星期五

一百零三學年度大學申請入學筆試試題詳解

國立臺灣大學數學系103學年度大學「個人申請」入學
第二階段筆試試題一
2014年3月29日上午9:00-11:00

  • 不准使用計算機。
“總共四大題,請儘量答題,通常會依答題的狀況給予部份分數。"
  1. (20%) 在袋中有N張分別標有號碼1,2,,N的紙牌,今用兩種抽樣方法,隨機從袋中抽出n個號碼,其中nN。抽樣方法如下:

    方法一:每次抽一張紙牌,紀錄號碼後,放回袋中,然後再抽下一張,如此繼續,依序得到號碼Y1,,Yn

    方法二:每次抽一張紙牌,紀錄號碼,該張紙牌不再放回袋中,如此繼續,依序得到號碼Y1,,Yn

    問題一:若1a1N,1a2N,,1anNa1,a2,,an不一定完全相異,請針對方法一及方法二,分別計算條件機率

    P(Yj=aj|Y1=a1,,Yj1=aj1),

    其中2jn

    問題二:若1aN,請針對方法一及方法二證明P(Yj=a)=1N,其中1jn

  2. 訣竅按條件機率的定義以及抽取之情形分析或計數其方法數。
    解法

    問題一。
    針對方法一明顯可知結論為

    P(Yj=aj|Y1=a1,,Yj1=aj1)=P(Yj=aj)=1N

    這是因為運用條件機率的定義可直接計算並表達如下

    P(Yj=aj|Y1=a1,,Yj1=aj1)=P(Y1=a1,,Yj1=aj1,Yj=aj)P(Y1=a1,,Yj1=aj1)=(1/N)j(1/N)j1=1N

    其中分子與分母的機率可由全部的方法數分之一(唯一的一種符合該事件)獲得。
    針對方法二需進行分類,假若aja1,,aj1中任一項重複,則該條件機率為零;假若不重複則該條件機率為1Nj+1

    問題二。
    針對方法一,可以運用條件機率的結果將P(Yj=a)分拆改寫如下

    P(Yj=a)=(a1,,aj1)P(Yj=a|Y1=a1,,Yj1=aj1)P(Y1=a1,,Yj1=aj1)

    其中是把所有可能的(a1,,aj1)的組合進行加總。從而所求為

    P(Yj=a)=(a1,,aj1)1N(1N)j1=Nj1[1N(1N)j1]=1N

    現在考慮方法二,同樣運用條件機率的結果將P(Yj=a)分拆改寫如上,但此處需將(a1,,aj1)分為兩類,第一類為a1,,aj1其中至少一項為aa1,,aj1之間有重複者,後者則否。容易知道後者有(N1)!(Nj)!種情形,並記此類情形的蒐集為S。從而詳細的條件機率數值可以求得如下

    P(Yj=a)=(a1,,aj1)S1Nj+1(1N1Nj+2)=(N1)!(Nj)!1Nj+1(1N1Nj+2)=(N1)!N!=1N


  3. (25%) 如示意圖,有一個四面體,¯OA=¯OB=¯OC=1CBAACB均為銳角,並且滿足
    1. BOC=45
    2. AOB=30
    3. 平面ABO和平面CBO所夾的平面角(或稱兩面角、二面角)為60
    求此四面體的體積。(需寫出計算過程,否則將予扣分)
  4. 訣竅分別計算出底面積和高,隨後運用錐體體積公式即可。
    解法首先計算底面BOC的面積如下

    BOC=12¯OB¯OCsinBOC=24

    接著作通過A且垂直平面BOC的直線L,且交平面BOCH。最後在平面BOC上作通過H且垂直BO的直線M,交BOK。由於AHKAOK皆為直角三角形,因此

    ¯AH=¯AKsinAKH=¯OAsinAOBsinAKH=11232=34

    其中AKH為平面ABO與平面CBO所夾的兩面角。故運用錐體體積公式可求出四面體體積為

    V=13BOC¯AH=132434=648


  5. (25%) 設{an}n=1為一個實數數列且滿足a1=5, a2=19及遞迴關係式an=5an16an2(n3)。求一般項an的通式。(需詳細說明求解過程)
  6. 訣竅本題有許多種作法,最簡單的是閱讀與線性遞迴數列相關的理論始能找出系統性的解法。
    解法考慮輔助數列bn=an+12ann1),則

    bn+13bn=(an+22an+1)3(an+12an)=an+25an+1+an=0

    因此{bn}為等比數列,可知bn=3n1b1=3n+1,從而有an+12an=3n+1。移項整理可寫為

    an+13n+2=2(an3n+1)

    此表明an3n+1為等比數列,從而有an3n+1=2n1(a132),依此可解得

    an=3n+12n+1


  7. (30%) 如果多項式f(x)可以分解為(xα)kg(x),其中α為常數,k2g(x)是一個多項式並且g(α)0,則稱αf(x)的一個k重根。下文中,f(x)代表f(x)x的微分(或導函數),請回答下列問題:
    1. 如果αf(x)的一個k重根且k2,則xαf(x)f(x)的公因式,試證之。
    2. 假設f(x)是一個首項係數為1的整係數四次多項式,請分別證明下列敘述。
      1. 如果αf(x)4重根,則α為整數。
      2. 如果αf(x)3重根,則α為整數。
  8. 訣竅第一小題按定義計算導函數即可知道確實擁有公因式,第二小題則需先確定α為有理數後使用牛頓一次因式檢驗法即可。
    解法
    1. 由於αf(x)k重根,因此題幹所敘述的定義可知存在多項式g(x)使得f(x)=(xα)kg(x)。那麼計算f(x)的導函數如下

      f(x)=limh0f(x+h)f(x)h=limh0(x+hα)kg(x+h)(xα)kg(x)h=limh0[(xα+h)k(xα)khg(x+h)+(xα+h)kg(x+h)g(x)h]=k(xα)k1g(x)+(xα)kg(x)=(xα)k1[kxkα+g(x)]

      由於k2,因此f(x)也有因式xα,故xαf(x)f(x)的公因式。
      1. αf(x)的四重根,那麼有

        f(x)=x44αx3+6α2x24α3x+α4

        由於f為整係數四次多項式,因此6α為整數,記6α=kZ。接下運用反證法證明k為六的倍數,如此知α為整數,證明就完畢了。現假設不然,那麼α=k6,其最簡分數之分母為236,因此α4不為整數,從而與題設矛盾。
      2. 由於αf(x)3重根,因此可以將f(x)寫為f(x)=(xα)3(xβ),因此展開有

        f(x)=x4(3α+β)x3+(3α2+3αβ)x2(α3+3α2β)x+α3β

        按題設可知3α+β3α2+3αβα3+3α2βα3β皆為整數,分別記為m,n,k,l。首先可知β=lα3(可假定α0,否則結論將成立),從而有

        {m=3α+lα3n=3α2+3lα2k=α3+3lα

        如此一來可知

        3α2m4αn+3k=0

        • m=0,則β=3α,而l=3α4,此外有α=3k4n為有理數。若α不為整數則l=3α4也不為整數,從而矛盾。
        • m0,則α=2n±4n29mk3m。若4n29mk0時表示α為根式。由於α為整係數多項式的根,從而可以知道β=2n4n29nk3m。但此時剩下的兩個根皆為α便無法根式成對,這表明4n29mk=0,亦即α=2n3m為有理數。那麼依據牛頓一次因式檢驗法可以知道α為整數。
        由以上兩種情形的分析可以知道α必為整數。

國立臺灣大學數學系103學年度大學「個人申請」入學
第二階段筆試試題二
2014年3月29日下午2:00-4:00

  • 不准使用計算機。
“總共四大題,請儘量答題,通常會依答題的狀況給予部份分數。"
  1. (25%) 設a1,a2,,an是正實數。試證a1++annna1a2an,而且等號在a1=a2==an時才成立。(提示:可以嘗試先證明“n=2m時的情形"。)
  2. 訣竅此為廣義算術幾何不等式。可先證明n2的次冪成立後逆推至較小的n亦可成立。
    解法

    由於(a1a2)20,從而推得a1+a22a1a2,亦即n=2時有該不等式,且僅當a1=a2成立時不等式之等號才成立。現假定當n=2m1時算術幾何不等式成立,亦即有

    a1++a2m12m12m1a1a2m1

    其中不等式的等號成立條件為a1==a2m1。那麼對n=2m的情形可知

    a1++a2m1+a2m1+1++a2m2m=a1++a2m12m1+a2m1+1++a2m2m122m1a1a2m1+2m1a2m1+1a2m22ma1a2m

    因此由數學歸納法可知算術幾何不等式在n=2mmN)時成立。

    現在考慮n2m的情形,此時可知存在正整數m滿足2m1<n<2m。那麼,於2m的不等式,其中取an+1=an+2==a2m=a1++ann,如此有

    a1++ann=a1++a2mm2ma1an(2ma1++ann)2mn=2ma1a2m

    兩邊同取2m次方後同除以(a1++ann)2mn再開n次方根可得

    a1++annna1an

    其中根據過程可知等號成立的條件為a1==an。至此證明完畢。


  3. (25%) 假設在xz平面上有一向量V=(a,0,c)a>0,在yz平面上有一向量W=(0,β,γ)β>0
    1. V×W
    2. (0,0,0),(a,0,c),(0,β,γ)三點所成的平面為P,並設平面Pxz平面的夾角為A,平面Pyz平面的夾角為B。求證A+B>90
  4. 訣竅第一小題根據定義計算即可;第二小題則可透過餘弦值的計算證明之。
    解法
    1. 直接按定義計算可得

      V×W=|ijka0c0βγ|=(cβ,aγ,aβ)

    2. 按設定可知AB為銳角,利用內積可知

      cosA=a|γ|c2β2+a2(β2+γ2), cosB=|c|βc2β2+a2(β2+γ2)

      使用餘弦函數的和角公式可得

      cos(A+B)=cosAcosBsinAsinB=aβ|cγ|aβa2+c2β2+γ2c2β2+a2β2+a2γ2

      由於|cγ|=c2γ2<a2+c2β2+γ2,因此cos(A+B)<0,故A+B>90

  5. (20%) 箱中有25顆紅球及75顆黑球且每顆球被抽取之機會一樣。今重複從箱中抽取一球再放回箱中並記錄其顏色,請回答下列問題。
    1. X代表紅球首次出現所需抽取的次數,對於任意自然數k,m,試證明P(X>m+k1|X>m1)=P(X>k)
    2. Y代表紅球出現第r次所需抽取的次數,其中r為自然數,求P(Y=y)的機率值,其中y為大於或等於r的自然數。
  6. 訣竅第一小題可直接計算之;第二小題屬於前一小題的推廣。
    解法
    1. 按文意可知右式P(X>k)表超過k才抽到紅球的機率,意即在少於或等於k次時都沒抽到紅球,因此這樣的機率為(34)k

      另一方面,根據條件機率可知

      P(X>m+k1|X>m1)=P(X>m+k1,X>m1)P(X>m1)=P(X>m+k1)P(X>m1)=(3/4)m+k1(3/4)m1=(34)k

      其中這些計算不取決於特定的km,從而我們證明了該等式左右兩邊的值恆相等。
    2. 按文意知道P(Y=y)為代表取球y次時紅球出現第r次的機率,這樣的情形代表第y次取球時正好出現紅球,而第y次取球之前(即第1次取球至第y1次取球)恰出現紅球r1次,因此P(Y=y)可表達如下

      \displaystyle P\left(Y=y\right)=\frac{1}{4}\cdot{y-1 \choose r-1}\left(\frac{1}{4}\right)^{r-1}\left(\frac{3}{4}\right)^{y-r}={y-1 \choose r-1}\left(\frac{1}{4}\right)^r\left(\frac{3}{4}\right)^{y-r}

      其中\displaystyle{y-1 \choose r-1}=\frac{\left(y-1\right)!}{\left(r-1\right)!\left(y-r\right)!}=C_{r-1}^{y-1}

  7. (30\%) 設\displaystyle z=\cos\frac{2\pi}{17}+i\sin\frac{2\pi}{17}
    1. 證明z,z^2,\cdots,z^{16}為方程式x^{16}+x^{15}+\cdots+x^2+x+1=0的所有根。
    2. 驗證以下兩個集合相等:\begin{aligned} &\left\{z,z^3,z^{3^2},z^{3^3},\cdots,z^{3^{14}},z^{3^{15}}\right\}\\=&\left\{z,z^3,z^9,z^{10},z^{13},z^5,z^{15},z^{11},z^{16},z^{14},z^8,z^7,z^4,z^{12},z^2,z^6\right\}\end{aligned}
    3. \left\{\begin{aligned} &u_1=z+z^{3^2}+z^{3^4}+\cdots+z^{3^{14}}\\&u_2=z^3+z^{3^3}+z^{3^5}+\cdots+z^{3^{15}}\end{aligned}\right.,證明u_1,u_2為方程式x^2+x-4=0之兩根。
    4. \left\{\begin{aligned} &w_1=z+z^{3^4}+z^{3^8}+z^{3^{12}}\\&w_2=z^3+z^{3^5}+z^{3^9}+z^{3^{13}}\\&w_3=z^{3^2}+z^{3^6}+z^{3^{10}}+z^{3^{14}}\\&w_4=z^{3^3}+z^{3^7}+z^{3^{11}}+z^{3^{15}}\end{aligned}\right.,證明\left\{\begin{aligned} &w_1,w_3\mbox{為方程式}x^2-u_1x-1=0\mbox{之兩根。}\\&w_2,w_4\mbox{為方程式}x^2-u_2x-1=0\mbox{之兩根。}\end{aligned}\right.
    5. 證明\displaystyle2\cos\frac{2\pi}{17}為方程式x^2-w_1x+w_2=0之一根。因此可導出\displaystyle\cos\frac{2\pi}{17}的值。
  8. 訣竅利用棣莫弗定理和z^{17}=1的特性可以處理前兩題,餘下經過耐心的計算可以驗證接下來的結果。此為高斯求出\displaystyle\cos\frac{2\pi}{17}之值的方法,從而確定出正17邊形可由尺規作圖作出。
    解法
    1. 根據棣莫弗定理可知z^{17}=1,進而可知\left(z^2\right)^{17}=z^{34}=\left(z^{17}\right)^2=1\left(z^{3}\right)^{17}=z^{51}=\left(z^{17}\right)^3=1\cdots\left(z^{16}\right)^{17}=z^{272}=\left(z^{17}\right)^{16}=1,故z,z^2,\cdots,z^{16}皆為x^{17}-1=0的根。又x^{17}-1可因式分解如下

      x^{17}-1=\left(x-1\right)\left(x^{16}+x^{15}+\cdots+x+1\right)

      z,z^2,\cdots,z^{16}等數皆不為1,從而z,z^2,\cdots,z^{16}等數為x^{16}+x^{15}+\cdots+x^2+x+1=0的根。再者z,z^2,\cdots,z^{16}等數皆相異,從而此十六個數為該十六次方程的所有根。
    2. 首先明顯z,z^3,z^9的部分重複因而相等,接著按如下的計算比較即可:
      • z^{3^3}=z^{27}=z^{17}z^{10}=z^{10}
      • z^{3^4}=\left(z^{10}\right)^3=z^{30}=z^{17}z^{13}=z^{13}
      • z^{3^5}=\left(z^{13}\right)^3=z^{39}=z^{17}z^{17}z^{5}=z^5
      • z^{3^6}=\left(z^5\right)^3=z^{15}
      • z^{3^7}=\left(z^{15}\right)^3=z^{45}=z^{17}z^{17}z^{11}=z^{11}
      • z^{3^8}=\left(z^{11}\right)^3=z^{33}=z^{17}z^{16}=z^{16}
      • z^{3^9}=\left(z^{16}\right)^3=z^{48}=z^{17}z^{17}z^{14}=z^{14}
      • z^{3^{10}}=\left(z^{14}\right)^3=z^{42}=z^{17}z^{17}z^{8}=z^8
      • z^{3^{11}}=\left(z^8\right)^3=z^{24}=z^{17}z^7=z^7
      • z^{3^{12}}=\left(z^7\right)^3=z^{21}=z^{17}z^4=z^4
      • z^{3^{13}}=\left(z^4\right)^3=z^{12}
      • z^{3^{14}}=\left(z^{12}\right)^3=z^{36}=z^{17}z^{17}z^2=z^2
      • z^{3^{15}}=\left(z^2\right)^3=z^6
      由以上的計算可知兩集合相等。
    3. 首先利用第二小題的結果可知u_1+u_2=z+\cdots+z^{16}=-1,再者有

      \begin{aligned}u_1=&z+z^9+z^{13}+z^{15}+z^{16}+z^8+z^4+z^2\\=&z+z^2+z^4+z^8+z^{-1}+z^{-2}+z^{-4}+z^{-8}\end{aligned}

      另一方面也有

      \begin{aligned}u_2=&z^3+z^{10}+z^5+z^{11}+z^{14}+z^7+z^{12}+z^6\\=&z^3+z^5+z^6+z^7+z^{-3}+z^{-5}+z^{-6}+z^{-7}\end{aligned}

      因此有

      \displaystyle\begin{aligned}u_1u_2=&\left(z^4+z^5+z^7+z^{11}+z^2+z+z^{-1}+z^{-5}\right)\\&+\left(z^6+z^7+z^9+z^{13}+z^4+z^3+z+z^{-3}\right)\\&+\left(z^7+z^8+z^{10}+z^{14}+z^5+z^4+z^2+z^{-2}\right)\\&+\left(z^8+z^9+z^{11}+z^{15}+z^6+z^5+z^3+z^{-1}\right)\\&+\left(z^{-2}+z^{-1}+z+z^5+z^{-4}+z^{-5}+z^{-7}+z^{-11}\right)\\&+\left(z^{-4}+z^{-3}+z^{-1}+z^3+z^{-6}+z^{-7}+z^{-9}+z^{-13}\right)\\&+\left(z^{-5}+z^{-4}+z^{-2}+z^2+z^{-7}+z^{-8}+z^{-10}+z^{-14}\right)\\&+\left(z^{-6}+z^{-5}+z^{-3}+z+z^{-8}+z^{-9}+z^{-11}+z^{-15}\right)\\=&4\left(z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6+z^7+z^8+z^9+z^{10}+z^{11}+z^{12}+z^{13}+z^{14}+z^{15}\right)\\=&-4\end{aligned}

      因此根據韋達定理可知u_1,u_2x^2+x-4=0的兩根。
    4. 可以知道w_1+w_3=u_1w_2+w_4=u_2,再者運用第二小題的結果可以驗證

      \begin{aligned}w_1w_3=&\left(z+z^{13}+z^{16}+z^4\right)\left(z^9+z^{15}+z^8+z^2\right)\\=&z^{10}+z^{16}+z^9+z^3+z^5+z^{11}+z^4+z^{15}+z^8+z^{14}+z^7+z+z^{13}+z^2+z^{12}+z^6\\=&-1\end{aligned}

      以及

      \begin{aligned}w_2w_4=&\left(z^3+z^5+z^{14}+z^{12}\right)\left(z^{10}+z^{11}+z^7+z^6\right)\\=&z^{13}+z^{14}+z^{10}+z^9+z^{15}+z^{16}+z^{12}+z^{11}+z^7+z^8+z^4+z^3+z^5+z^6+z^2+z\\=&-1\end{aligned}

      因此根據韋達定理可知w_1,w_3x^2-u_1x-1=0的兩根,而w_2,w_4x^2-u_2x-1=0的兩根,證明完畢。
    5. 可以驗證z+z^{-1}x^2-w_1x+w_2=0如下

      \begin{aligned} &\left(z+z^{-1}\right)^2-w_1\left(z+z^{-1}\right)+w_2\\=&z^2+2+z^{-2}-\left(z+z^{13}+z^{16}+z^4\right)\left(z+z^{-1}\right)+\left(z^3+z^5+z^{14}+z^{12}\right)\\=&0\end{aligned}

      \displaystyle z+z^{-1}=2\cos\frac{2\pi}{17}。同樣的方法可以知道另一根為\displaystyle2\cos\frac{8\pi}{17},故有

      \displaystyle2\cos\frac{2\pi}{17}=\frac{w_1+\sqrt{w_1^2-4w_2}}{2}

      另一方面可以知道\displaystyle u_1=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\displaystyle u_2=\frac{-1-\sqrt{17}}{2},由此能去計算得w_1w_2如下

      \displaystyle\begin{aligned}w_1=&\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}}{4}\\w_2=&\frac{-1-\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}}{4}\end{aligned}

      如此有

      \displaystyle\begin{aligned}\cos\frac{2\pi}{17}=&\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+\sqrt{68+12\sqrt{17}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17}\sqrt{34-2\sqrt{17}}-16\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{16}\\=&\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{16}\end{aligned}

      其中可以注意到下列等式從而達到上面的整理

      \sqrt{17}\sqrt{34-2\sqrt{17}}=-\sqrt{34-2\sqrt{17}}+4\sqrt{34+2\sqrt{17}}

      為了說明這個等式,可以將其兩邊平方可得

      578-34\sqrt{17}=34-2\sqrt{17}-8\sqrt{34^2-4\cdot17}+16\left(34+2\sqrt{17}\right)

      從而等式成立。

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