八十六學年度數學學科能力測驗

八十六學年度大學入學考試中心
學科能力測驗試題

數學考科

－作答注意事項－

1. 考試時間：$100$ 分鐘
2. 題型題數：單一選擇題 $8$ 題，多重選擇題 $4$ 題，填充題 $8$ 題
3. 作答方式：
   • 用2B鉛筆在「答案卡」上作答，修正時應以橡皮擦拭，切勿使用修正液
   • 答錯不倒扣
4. 作答說明：在答案卡適當位置選出數值或符號。請仔細閱讀下面的例子。
   1. 填答選擇題時，只用 $1$，$2$，$3$，$4$，$5$ 等五個格子，而不需要用到 $-$，$±$，以及 $6$，$7$，$8$，$9$，$0$ 等格子。
      例：若第 $1$ 題的選項為(1) $3$ (2) $5$ (3) $7$ (4) $9$ (5) $11$，而正確的答案為 $7$，［亦即選項(3)］時，考生要在答案卡第 $1$ 列的 $\underset{\boxed{~~}}{3}$ 劃記（注意不是 $7$）如：

      $\begin{array}{|c|}\hline解答欄\\\hline1~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}~\end{array}$

      例：若多重選擇題第 $10$ 題的正確選項為 (1) 與 (3) 時，考生要在答案卡的第 $10$ 列的 $\underset{\boxed{~~}}{1}$ 與 $\underset{\boxed{~~}}{3}$ 劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}10~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\color{black}{▆▆}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline\end{array}$

   2. 填充題的題號是 A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。
      
      例：若第 B 題的答案格式是 $\displaystyle\underline{\frac{⑱}{⑲}}$，而依題意計算出來的答案是 $\displaystyle\frac38$，則考生必須分別在答案卡上的第 $18$ 列的 $\underset{\boxed{~~}}{3}$ 與第 $19$ 列的 $\underset{\boxed{~~}}8$ 劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}18~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\19~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\color{black}{▆▆}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

      
      例：若第 C 題的答案格式是$\displaystyle\underline{\frac{⑳㉑}{50}}$，而答案是 $\displaystyle\frac{-7}{50}$ 時，則考生必須分別在答案卡的第 $20$ 列的 $\underset{\boxed{~~}}{-}$ 與第 $21$ 列的 $\underset{\boxed{~~}}{7}$ 劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}20~~\underset{\color{black}{▆▆}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline21~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\color{black}{▆▆}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

5. ※試題後附有參考公式、常用對數表及三角函數表

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第一部分：選擇題

1. 單一選擇題
說明：第 $1$ 至 $8$ 題，每題選出最適當的一個選項，標示在答案卡之「解答欄」，每題答對得 $5$ 分，答錯不倒扣。
1. 坐標平面上兩直線之斜率分別為 $\sqrt3$ 及 $\displaystyle\frac1{\sqrt3}$，則下列何者為其一交角？
   1. $30^\circ$
   2. $36^\circ$
   3. $45^\circ$
   4. $60^\circ$
   5. $90^\circ$
訣竅
留意到正切函數值即為斜率，從而運用正切函數的差角公式來求出角度。
解法一
由於斜率為 $\sqrt3$ 的直線與 $x$ 軸正向的夾角為 $60^\circ$，而斜率為 $\displaystyle\frac1{\sqrt3}$ 的直線與 $x$ 軸正向的夾角為 $30^\circ$，因此兩直線之交角為 $30^\circ$，故選 (1)。
解法二
設斜率為 $\sqrt3$ 的直線與 $x$ 軸正向的交角為 $\alpha$ 而斜率為 $\displaystyle\frac1{\sqrt3}$ 的交角為 $\beta$，那麼有 $\tan\alpha=\sqrt3$、$\displaystyle\tan\beta=\frac1{\sqrt3}$。運用差角公式可得
$\displaystyle\tan\left(\alpha-\beta\right)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}=\frac{\displaystyle\sqrt3-\frac1{\sqrt3}}{\displaystyle1+\sqrt3\cdot\frac1{\sqrt3}}=\frac1{\sqrt3}$.
因此 $\alpha-\beta=30^\circ$。事實上直接可以發現 $\alpha=60^\circ$ 而 $\beta=30^\circ$。應選 (1)。


2. 設 $P$，$Q$ 為平面 $ax+by+cz=5$ 上相異兩點，且 $\overset\rightharpoonup{PQ}=\left(x_0,y_0,z_0\right)$，則 $\overset\rightharpoonup{PQ}\cdot\left(a,b,c\right)$ 為
   1. 不定值，隨 $\left(x_0,y_0,z_0\right)$ 而改變
   2. $25$
   3. $5$
   4. $0$
   5. $-1$
訣竅
注意到 $\left(a,b,c\right)$ 為平面的法向量，而 $\overset\rightharpoonup{PQ}$ 落於平面上，因此兩者垂直，從而答案為 $0$。
解法一
根據訣竅可立刻知道所求為 $0$，故選 (4)。
解法二
設 $P$ 與 $Q$ 之座標分別為 $\left(x_1,y_1,z_1\right)$ 和 $\left(x_2,y_2,z_2\right)$，由於 $P$ 和 $Q$ 落於該平面上，因此滿足 $ax_1+by_1+cz_1=5$、$ax_2+by_2+cz_2=5$。兩式相減可得
$a\left(x_2-x_1\right)+b\left(y_2-y_1\right)+c\left(z_2-z_1\right)=0$.
再者，$\overset\rightharpoonup{PQ}=\left(x_0,y_0,z_0\right)=\left(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1\right)$，因此
$\overset\rightharpoonup{PQ}\cdot\left(a,b,c\right)=ax_0+by_0+cz_0=a\left(x_2-x_1\right)+b\left(y_2-y_1\right)+c\left(z_2-z_1\right)=0$.
故選 (4)。


3. 設 $f\left(x\right)$ 為二次函數，且不等式 $f\left(x\right)>0$ 之解為 $-2<x<4$，則 $f\left(2x\right)<0$ 之解為
   1. $-1<x<2$
   2. $x<-1$ 或 $x>2$
   3. $x<-2$ 或 $x>4$
   4. $-4<x<8$
   5. $x<-4$ 或 $x>8$
訣竅
利用二次多項式和不等式的概念解題即可。
解法一
由於 $f\left(x\right)>0$ 的解為 $-2<x<4$ 而且 $f$ 為二次函數，亦即為連續函數，因此 $f\left(x\right)<0$ 的解為
「$x>4$ 或 $x<-2$」。
進而 $f\left(2x\right)<0$ 的解為
「$2x>4$ 或 $2x<-2$」
此等價於
「$x>2$ 或 $x<-1$」
故選 (2)。
解法二
根據解二次多項式不等式的經驗可知 $f\left(x\right)=a\left(x+2\right)\left(x-4\right)$，其中 $a<0$。那麼不等式 $f\left(2x\right)<0$ 等同於
$a\left(2x+2\right)\left(2x-4\right)<0$
從而有
「$2x+2<0$ 或 $2x-4>0$」
即不等式之解為「$x<-1$ 或 $x>2$」故選 (2)。


4. 有一個無窮等比級數，其和為 $\displaystyle\frac89$，第四項為 $\displaystyle\frac3{32}$。已知公比為一有理數，則當公比以最簡分數表示時，其分母為
   1. $2$
   2. $3$
   3. $4$
   4. $6$
   5. $8$
訣竅
運用等比數列一般項之公式以即無窮等比級數和之公式即可求解。
解法

設首項為 $a$，公比為 $r$，那麼有

$\displaystyle ar^3=\frac3{32}$,

以及

$\displaystyle\frac a{1-r}=\frac89$.

兩式相除可得

$\displaystyle r^3\left(1-r\right)=\frac3{32}\cdot\frac98=\frac{27}{256}$.

因此觀察分子 $27$ 為 $3^3$，而分母 $256$ 為 $4^4$，從而可猜測出 $\displaystyle r=\frac34$，進而選出 (3)。

嚴格作法：整理移項可得

$256r^4-256r^3+27=0$

那麼因式分解可得

$\left(4r-3\right)^2\left(16r^2+8r+3\right)=0$

故解得 $\displaystyle r=\frac34$ 或 $\displaystyle r=\frac{-1\pm\sqrt{-2}}4$，可知後者不合，因此 $\displaystyle r=\frac34$，故選 (3)。



5. 有一邊長為 $3$ 的正六邊形紙板，今在每一個角各剪掉一個小三角形，使其成為正十二邊形之紙板，則此正十二邊形之一邊長為
   1. $1$
   2. $\displaystyle\frac32$
   3. $\sqrt3$
   4. $\displaystyle\frac{3\sqrt3-3}2$
   5. $6\sqrt3-9$
訣竅
留意到每個角各剪掉的小三角形為等腰三角形。
解法
設此正十二邊形的邊長為 $x$，那麼剪去的等腰三角形之腰為 $\displaystyle\frac{3-x}2$，那麼此等腰三角形之底為正十二邊形之邊長，且頂角為恰為正六邊形的角度，亦即為 $120^\circ$。故由特殊三角形之邊比關係或正弦定理等可知
$\displaystyle x:\frac{3-x}2=\sqrt3:1$
因此
$2x=3\sqrt3-\sqrt3x$.
從而解得
$\displaystyle x=\frac{3\sqrt3}{2+\sqrt3}=3\sqrt3\left(2-\sqrt3\right)=6\sqrt3-9$.
故選 (5)。


6. 有一正立方體，其邊長都是 $1$。如果向量 $\overset\rightharpoonup a$ 的起點與終點都是此正立方體的頂點，且 $\left|\overset\rightharpoonup a\right|=1$，則共有多少個不相等的向量 $\overset\rightharpoonup a$？
   1. $3$
   2. $6$
   3. $12$
   4. $24$
   5. $28$
訣竅
直接計數即可。
解法
首先注意正立方體中長度為 $1$ 的向量恰好為各邊，因此計有三種方向，亦即 $x$ 方向、$y$ 方向和 $z$ 方向。再者每種方向亦可分為正向與負向，共有 $6$ 種。應選 (2)。


7. 考慮一正立方體六個面的各中心點，則以其中四個中心點為頂點的正方形一共有幾個？
   1. $3$
   2. $4$
   3. $6$
   4. $8$
   5. $12$
訣竅
直接計數即可。
解法
設底面之中心點為 $A$，而四個側面之中心點依序為 $B$、$C$、$D$、$E$，而頂部之中心點為 $F$。那麼使用到底面中心點的正方形有兩種分別為 $ABFD$ 以及 $ACFE$。而不使用底部中心的正方形則為僅使用側面的正方形，此僅情形僅有一種：$BCDE$。共計有三種，應選 (1)。


8. 有一種丟銅板的遊戲，其規則為：出現正面則繼續丟，出現反面就出局。那麼連續丟 $5$ 次還可以繼續丟的機率為 $\displaystyle\left(\frac12\right)^5=\frac1{32}$。某班有 $40$ 名學生，每人各玩一局，設班上至少有一人連續丟 $5$ 次後還可繼續丟的機率為 $p$，則
   1. $0.4\leq p<0.5$
   2. $0.5\leq p<0.6$
   3. $0.6\leq p<0.7$
   4. $0.7\leq p<0.8$
   5. $0.8\leq p<0.9$
訣竅
運用反面思考扣去無人可繼續的機率即可。
解法
根據訣竅可立即知道
$\displaystyle p=1-\left(\frac{31}{32}\right)^{40}$
為了正確估算其範圍，我們記 $\displaystyle q=\left(\frac{31}{32}\right)^{40}$ 並對 $q$ 取以 $10$ 為底的對數可得
$\begin{aligned}\log q&=40\log31-40\log32=40\left(1+\log3.1-5\log2\right)\\&\approx40\left(1+0.4914-5\cdot0.3010\right)=-0.544=-1+0.456.\end{aligned}$
因此 $q\approx10^{0.456}\cdot10^{-1}$，又因 $10^{0.301}\approx2$、$10^{0.4771}\approx3$，故可知
$0.2<q<0.3$.
從而
$0.7<p<0.8$.
應選 (4)。
2. 多重選擇題
說明：第 $9$ 至 $12$ 題，每題至少有一個選項是正確的，選出正確選項，標示在答案卡之「解答欄」。每題答對得 $5$ 分，答錯不倒扣，未答者不給分。只錯一個可獲 $2.5$ 分，錯兩個或兩個以上不給分。
9. 設 $\displaystyle f\left(x\right)=\sum_{n=1}^3\left(x-n\right)^2+\sum_{n=8}^{10}\left(x-n\right)^2$。若 $f\left(x\right)$ 在 $x=a$ 處有最小值，則
   1. $a$ 為整數
   2. $a<5.9$
   3. $a>5.1$
   4. $\left|a-4\right|<0.5$
   5. $\left|a-6\right|<0.5$
訣竅
藉由配方法的知識即可求解。
解法
直接展開整理可得
$\displaystyle\begin{aligned}f\left(x\right)&=\left(x^2-2x+1\right)+\left(x^2-4x+4\right)+\left(x^2-6x+9\right)+\left(x^2-16x+64\right)+\left(x^2-18x+81\right)+\left(x^2-20x+100\right)\\&=6x^2-66x+259\\&=6\left(x-\frac{11}2\right)^2+\frac{155}2.\end{aligned}$
故當 $a=5.5$ 時有最小值，直接檢驗可知應選 (2)(3)。


10. 關於方程式 $\displaystyle\left|\frac{3x+y-19}{\sqrt{10}}\right|=\sqrt{\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2}$ 所代表的錐線圖形 $\Gamma$，下列何者為真？
    1. $\Gamma$ 為拋物線
    2. $\left(1,-2\right)$ 為 $\Gamma$ 的焦點
    3. $3x+y-19=0$ 的為 $\Gamma$ 的漸近線
    4. $x-3y+7=0$ 為 $\Gamma$ 的對稱軸
    5. $\left(3,1\right)$ 為 $\Gamma$ 的頂點
訣竅
仔細考察方程式中的幾何意義。
解法
1. 觀察可知左式為動點 $\left(x,y\right)$ 至直線的距離，而右式為動點 $\left(x,y\right)$ 至定點的距離，兩者相等的動點形成之軌跡稱為拋物線。故本選項正確。
2. 承 (1) 可知焦點座標為 $\left(-1,2\right)$，故本選項錯誤。
3. 承 (1) 可知 $3x+y-19=0$ 為準線方程式，因而此方程不可能為漸近線方程式，故本選項錯誤。
4. 對稱軸為垂直準線且通過焦點的直線。由於準線方程式為 $3x+y-19=0$，因此可假設對稱軸方程式為 $x-3y+k=0$，其中 $k$ 為待定常數。代入焦點座標 $\left(-1,2\right)$ 可得 $k=7$，因此對稱軸方程式為 $x-3y+7=0$，此選項正確。
5. 由於頂點必然落在對稱軸上，因此直接檢驗可以發現 $\left(3,1\right)$ 不落在 $x-3y+7=0$ 上，因此 $\left(3,1\right)$ 不為頂點座標。因此本選項錯誤。

   求解頂點坐標：
   若記對稱軸與準線的交點為 $M$，而拋物線焦點為 $F$，那麼頂點坐標 $V$ 為 $\overline{MF}$ 的中點。由 (3)(4) 知道準線方程式和對稱軸方程式，可解得 $M\left(5,4\right)$，而 $F\left(-1,2\right)$，故 $V=\left(M+F\right)/2=\left(2,3\right)$。
綜合以上應選 (1)(4)。


11. 下列各選項中的曲線 $\Gamma$，何者是一個橢圓？
    1. 
       $\Gamma$ 為標準跑道的內側
    2. 
       $\Gamma$ 為 $Q$ 點的軌跡，其中 $\overline{PQ}=1$，$P$ 為橢圓 $M$ 上任一點，$O$ 為 $M$ 的中點，且 $O$、$P$、$Q$ 三點共線
    3. 
       $\Gamma$ 為 $Q$ 點的軌跡，其中 $\overline{PQ}=\overline{OP}$，$P$ 為橢圓 $M$ 上任一點，$O$ 為 $M$ 的中點，且 $O$、$P$、$Q$ 三點共線
    4. 
       $\Gamma$ 為直圓柱與平面 $E$ 的交線
    5. 
       $\Gamma$ 為直圓錐面與平面 $E$ 的交線
訣竅
熟悉圓錐曲線的基本特質。
解法
1. $\Gamma$ 為兩條直線與兩個半圓所拼接而成，因此不為橢圓。
2. 此不必然為橢圓，因為詳細計算其長軸長與短軸長之變化未必能適當調整其焦點位置而使其符合橢圓定義。
3. $\Gamma$ 為小橢圓 $M$ 之放大兩倍後的圖形，由相似之觀點可知仍為橢圓。
4. 理由同 (5)。
5. 此乃橢圓屬於圓錐曲線之由來之一，詳細證明較為複雜於此略去，但應以常識性的觀點熟悉此事實。
應選 (3)(4)(5)。


12. 下圖中，有五組數據，每組各有 $A$，$B$，$C$，$D$，$E$，$F$ 等六個資料點。
    
    設各組的相關係數由左至右，分別為 $r_1$，$r_2$，$r_3$，$r_4$，$r_5$，$r_6$，則下列關係式何者為真？
    1. $r_1=r_2$
    2. $r_2<r_3$
    3. $r_3>r_4$
    4. $r_3<r_5$
    5. $r_4=r_5$
訣竅
善用對稱性與線性變換等特性考察各相關係數之關係，盡量避免精確計算相關係數之值。
解法
首先由對稱性可以觀察得知 $r_1=r_2=0$，再者由遞增的特性可推知 $r_3,r_4,r_5$ 皆為正數。同樣由對稱性可知 $r_3=r_4$，最後仔細觀察第三張圖和第五張圖的 $y$ 座標有線性變換（$y_5=2y_3-1$）的關係，從而 $r_3=r_5$。
總結關係如下：
$r_1=r_2=0<r_3=r_4=r_5$
應選 (1)(2)(5)。

第二部分：填充題

說明：

1. 第 $A$ 至 $H$ 題，將答案標示在答案卡之「解答欄」所標示的列號(13-28)處。
2. 每題完全答對給 $5$ 分，答錯不倒扣，未完全答對者，不給分。
3. 如果填充題答案要求的是分數時，必須以最簡分數表示。

1. 設 $f\left(x\right)=x^5+6x^4-4x^3+25x^2+30x+20$，則 $f\left(-7\right)=$　⑬　。
訣竅
根據餘式定理可知所欲求之值等價於 $f\left(x\right)$ 除以 $\left(x+7\right)$ 的餘式；亦可直接代入計算之。
解法一
根據訣竅使用綜合除法如下
$\begin{array}{c|cccccc}&1&6&-4&25&30&20\\-7&&-7&7&-21&-28&-14\\\hline&1&-1&3&4&2&{\color{red}6}\end{array}$
故 $⑬=6$。
解法二
直接計算如下
$\begin{aligned}f\left(-7\right)&=\left(-7\right)^5+6\left(-7\right)^4-4\left(-7\right)^3+25\left(-7\right)^2+30\cdot\left(-7\right)+20\\&=-\left(-7\right)^4-4\left(-7\right)^3+25\left(-7\right)^2+30\cdot\left(-7\right)+20\\&=3\left(-7\right)^3+25\left(-7\right)^2+30\cdot\left(-7\right)+20\\&=4\cdot\left(-7\right)^2+30\cdot\left(-7\right)+20=-14+20=6.\end{aligned}$
故 $⑬=6$。


2. 設 $\theta$ 為兩平面 $2x-y+2z=6$ 與 $3x-4z=2$ 的夾角（取銳角），則 $\theta$ 最接近的整數度數為　⑭⑮　度。
訣竅
運用法向量內積求得其中一個夾角的餘弦值，藉由查表求出最接近的整數度數。
解法
根據題意可知兩平面的法向量分別為 $\overset\rightharpoonup n_1=\left(2,-1,2\right)$、$\overset\rightharpoonup n_2=\left(3,0,-4\right)$，因此運用內積可知
$\displaystyle\cos\theta=\frac{\left|\overset\rightharpoonup n_1\cdot\overset\rightharpoonup n_2\right|}{\left|\overset\rightharpoonup n_1\right|\left|\overset\rightharpoonup n_2\right|}=\frac{\left|2\cdot3+\left(-1\right)\cdot0+2\cdot\left(-4\right)\right|}{3\cdot5}=\frac2{15}=0.1\bar3$.
藉由餘角關係和查表可知
$\cos82^\circ30'=\sin7^\circ30'\approx0.1305<0.1\bar3<0.1334\approx\sin7^\circ40'=\cos82^\circ20'$.
因此 $82^\circ20'<\theta<82^\circ30'$，故最接近 $\theta$ 的整數度數為 $82$ 度。因此 $⑭=8$、$⑮=2$。


3. 在四邊形 $ABCD$ 中，$\angle A=120^\circ$，$\overline{AB}=1$，$\overline{AD}=2$，且 $\overset\rightharpoonup{AC}=3\overset\rightharpoonup{AB}+2\overset\rightharpoonup{AD}$，則 $\overline{AC}$ 的長度為 $\underline{　\sqrt{⑯⑰}　}$。
訣竅
線段的長度恰為向量的絕對值（或稱「範數」），運用向量絕對值得特性（如加法的平方公式展開）計算即可。
解法
直接計算可得
$\begin{aligned}\overline{AC}&=\left|\overset\rightharpoonup{AC}\right|\\&=\left|3\overset\rightharpoonup{AB}+2\overset\rightharpoonup{AD}\right|\\&=\sqrt{\left|3\overset\rightharpoonup{AB}+2\overset\rightharpoonup{AD}\right|^2}\\&=\sqrt{9\left|\overset\rightharpoonup{AB}\right|^2+12\overset\rightharpoonup{AB}\cdot\overset\rightharpoonup{AD}+4\left|\overset\rightharpoonup{AD}\right|^2}\\&=\sqrt{9\cdot1^2+12\cdot1\cdot2\cdot\cos120^\circ+4\cdot2^2}\\&=\sqrt{13}.\end{aligned}$
因此 $⑯=1$、$⑰=3$。


4. 已知三角形由三直線 $y=0$，$3x-2y+3=0$，$x+y-4=0$ 所圍成，則其外接圓之直徑為 $\underline{　\sqrt{⑱⑲}　}$。
訣竅
正弦定理的敘述中涉及到外接圓直徑是本題最重要的觀察。此外亦可根據外接圓的意義找出圓心坐標後計算半徑，進而獲得直徑的數值。
解法一
設 $L_1$、$L_2$、$L_3$ 分別表 $y=0$、$3x-2y+3=0$、$x+y-4=0$ 的直線，並且記 $A$、$B$、$C$ 分別為 $L_1$ 與 $L_2$、$L_2$ 與 $L_3$、$L_3$ 與 $L_1$ 的交點。可以特別留意到 $\angle C=45^\circ$。因此運用正弦定理可知
$\displaystyle2R=\frac{\overline{AB}}{\sin C}=\sqrt2\overline{AB}$.
因此我們僅需求出 $\overline{AB}$ 之值。根據設定可以容易解得 $A=\left(-1,0\right)$、$B=\left(1,3\right)$，故 $\overline{AB}=\sqrt{13}$，進而有 $2R=\sqrt{26}$，因此 $⑱=2$、$⑲=6$。
解法二
承上題之設定可解得 $A=\left(-1,0\right)$、$B\left(1,3\right)$、$C=\left(4,0\right)$。設外接圓圓心座標為 $O=\left(a,b\right)$，那麼有
$\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}$,
亦即
$\left(a+1\right)^2+b^2=\left(a-1\right)^2+\left(b-3\right)^2=\left(a-4\right)^2+b^2$.
由第一式與第三式相等可解得 $\displaystyle a=\frac32$，代回可解得 $\displaystyle b=\frac12$。如此能獲得外接圓半徑 $R$ 如下
$\displaystyle R=\overline{OC}=\sqrt{\left(\frac32-4\right)^2+\left(\frac12\right)^2}=\frac{\sqrt{26}}2$.
故直徑為 $\sqrt{26}$，因此 $⑱=2$、$⑲=6$。


5. 已知圓內接四邊形的各邊長為 $\overline{AB}=1$，$\overline{BC}=2$，$\overline{CD}=3$，$\overline{DA}=4$，則對角線 $\overline{BD}$ 的長度為 $\underline{　\displaystyle\sqrt{\frac{⑳㉑}{㉒}}　}$。
訣竅
此為經典餘弦定理算兩次的應用題。針對圖形中的兩個三角形分別使用餘弦定理來計算 $\overline{BD}$ 的長度，其間需運用到圓內接四邊形之對角互補的特性，此將導致兩個餘弦值互為相反數。
解法
首先設 $\angle A=\theta$，那麼由圓內接四邊形的性質可知 $\angle C=180^\circ-\theta$。對 $\bigtriangleup BAD$ 與 $\bigtriangleup BCD$ 兩三角形使用餘弦定理可知
$\overline{BC}^2+\overline{CD}^2-2\overline{BC}\cdot\overline{CD}\cos\angle C=\overline{BD}^2=\overline{BA}^2+\overline{AD}^2-2\overline{BA}\cdot\overline{AD}\cos\angle A$.
代入題目給定的條件有
$2^2+3^2-2\cdot2\cdot3\cdot\cos\left(180^\circ-\theta\right)=1^2+4^2-2\cdot1\cdot4\cdot\cos\theta$.
又由 $\cos\left(180^\circ-\theta\right)=-\cos\theta$，如此可求得 $\displaystyle\cos\theta=\frac15$，代回可得 $\displaystyle\overline{BD}=\sqrt{\frac{77}5}$。應填 $⑳=7$、$㉑=7$、$㉒=5$。


6. 將 $3^{100}$ 以科學記號表示：$3^{100}=a\times10^m$，其中 $1\leq a<10$，$m$ 為整數，則 $a$ 的整數部分為　㉓　。
訣竅
此為經典對數應用題。藉由取對數後分為首數和尾數的基本技巧釐清一個擁有很大指數的數為幾位數以及首位數字之值。
解法

同取對數可得

$47+0.71=47.71\approx100\log3=\log3^{100}=m+\log a$,

其中由 $a$ 的範圍可知 $0\leq\log a<1$，故 $m=47$，而 $\log a\approx0.71$。再者可以觀察到下列不等式

$\log5\approx0.699<0.71<\log6\approx0.7782$.　【註】

因此 $a$ 介於 $5$ 和 $6$ 之間，從而 $a$ 的整數部分為 $5$。故 $㉓=5$。

【註】$\log6$ 若由對數的基本公式，許多人會運用熟記的 $\log2\approx0.3010$ 與 $\log3\approx0.4771$ 而得

$\log6=\log2+\log3\approx0.3010+0.4771=0.7781$.

但實際上這些近似的過程中會使得最後一位幾乎進位，透過電子計算機可以知道

$\log6\approx0.77815125038$.



7. 某人上班有甲、乙兩條路線可供選擇。早上定時從家裡出發，走甲路線有 $\displaystyle\frac1{10}$ 的機率會遲到，走乙路線則有 $\displaystyle\frac15$ 的機率會遲到。無論走哪一條路線，只要不遲到，下次就走同一條路線，否則就換另一條路線。假設他第一天走甲路線，則第三天也走甲路線的機率為 $\underline{　\displaystyle\frac{㉔㉕}{100}　}$。
訣竅
直接分析所有可能討論即可；亦可使用轉移矩陣求解之。
解法一
直接條列可知有如下的情形及其對應之機率：
• 兩天都沒遲到（也就是兩天都走甲路線），機率為 $\displaystyle\frac9{10}\cdot\frac9{10}=\frac{81}{100}$；
• 兩天都遲到（也就是第一天走甲、第二天走乙），機率為 $\displaystyle\frac1{10}\cdot\frac15=\frac2{100}$。
因此第三天走甲路線之機率為 $\displaystyle\frac{83}{100}$。故 $㉔=8$、$㉕=3$。
解法二
設定轉移矩陣如下
$A=\begin{bmatrix}\frac9{10}&\frac15\\\frac1{10}&\frac45\end{bmatrix}$,
其中 $\left(1,1\right)$ 元表示走甲路線的隔天走甲路線的機率；$\left(1,2\right)$ 元表示走乙路線的隔天走甲路線的機率；$\left(2,1\right)$ 元表示走甲路線的隔天走乙路線的機率；$\left(2,2\right)$ 元表示走乙路線的隔天走乙路線的機率。依據題目表示第一天走甲路線，因此設定初始矩陣 $X_1=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$，那麼 $X_3$ 可計算如下
$X_3=A^2X_1=\begin{bmatrix}\frac9{10}&\frac15\\\frac1{10}&\frac45\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac9{10}&\frac15\\\frac1{10}&\frac45\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac9{10}&\frac15\\\frac1{10}&\frac45\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac9{10}\\\frac1{10}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{83}{100}\\\frac{17}{100}\end{bmatrix}$.
從而可知第三天走甲路線的機率為 $\displaystyle\frac{83}{100}$，從而 $㉔=8$、$㉕=3$。


8. 有一種遊戲，每次輸贏規則如下：先從 $1$ 至 $6$ 中選定一個號碼 $n$，再擲三立均勻的骰子。若三粒骰子的點數全都是 $n$，則可贏 $3$元；恰有兩個點數為 $n$，則可贏 $2$元；恰有一個點數為 $n$ 則可贏 $1$ 元；而沒有點數為 $n$，則輸 $1$ 元。如此，玩一次的期望值（贏為正，輸為負）為 $\underline{　\displaystyle\frac{㉖㉗㉘}{216}　}$ 元。
訣竅
將各種情形之機率釐清後按期望值的定義計算即可。
解法
設選定號碼為 $n$。並且各個骰子出現各點數之機率均等且獨立，那麼
• 三粒點數皆相同為之機率為 $\displaystyle\left(\frac16\right)^3=\frac1{216}$；
• 恰兩個點數為 $n$ 之機率為 $\displaystyle C_2^3\left(\frac16\right)^2\left(\frac56\right)=\frac{15}{216}$；
• 恰一個點數為 $n$ 之機率為 $\displaystyle C_1^3\left(\frac16\right)\left(\frac56\right)^2=\frac{75}{216}$；
• 都沒有點數為 $n$ 之機率為 $\displaystyle\left(\frac56\right)^3=\frac{125}{216}$。
因此期望值可計算如下
$\displaystyle\frac1{216}\cdot3+\frac{15}{216}\cdot2+\frac{75}{216}\cdot1+\frac{125}{216}\cdot\left(-1\right)=\frac{-17}{216}$.
因此 $㉖=-$、$㉗=1$、$㉘=7$。

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參考公式、常用對數表及三角函數表

1. 一元二次方程式的公式解：$\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
2. 以$\alpha$，$\beta$ 為二根的一元二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ 的根與係數的關係為：$\displaystyle\alpha+\beta=-\frac ba$ 及 $\displaystyle\alpha\beta=\frac ca$
3. 等比級數 $\left\langle ar^{n-1}\right\rangle$ 的前 $n$ 項之和
   當 $r\neq1$ 時 $\displaystyle S_n=a\cdot\frac{1-r^n}{1-r}=\frac a{1-r}-\frac{ar^n}{1-r}$；當 $r=1$ 時 $S_n=na$
4. 平面上兩點 $P_1\left(x_1,y_1\right)$，$P_2\left(x_2,y_2\right)$ 兩點間的距離 $\overline{P_1P_2}=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$
5. $\bigtriangleup ABC$ 的正弦與餘弦定律
   (1) $\displaystyle\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}=d$，$d$ 為外接圓直徑（正弦定律）
   (2) $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$（餘弦定律）
6. 正弦函數的和角公式為
   $\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$
   $\sin\left(\alpha-\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$
7. 餘弦函數的和角公式為
   $\cos\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$
   $\cos\left(\alpha-\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$
8. 點 $P\left(x_0,y_0,z_0\right)$ 到平面 $E:ax+by+cz+d=0$ 的距離為：$\displaystyle\frac{\left|ax_0+by_0+cz_0+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
9. 貝氏定理 $\displaystyle P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right)P\left(B|A\right)}{P\left(A\right)P\left(B|A\right)+P\left(A'\right)P\left(B|A'\right)}$
10. 對數換底公式：$\displaystyle\log_ax=\frac{\log_bx}{\log_ba}$
11. 統計公式
    算術平均　　　　$\displaystyle M\left(={\bar X}\right)=\frac1n\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)=\frac1n\sum_{i=1}^nx_i$
    標準差　　　　$\displaystyle S=\sqrt{\frac1n\sum_{i=1}^n\left(x_i-{\bar X}\right)^2}=\sqrt{\frac1n\sum_{i=1}^nx_i^2-\bar X^2}$
    相關係數　　　　$\displaystyle r=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar X\right)\left(y_i-\bar Y\right)}{n\cdot S_XS_Y}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar X\right)\left(y_i-\bar Y\right)}{\displaystyle\sqrt{\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar X\right)^2\sum_{i=1}^n\left(y_i-\bar Y\right)^2}}$
    $S_X$ 為隨機變數 $X$ 之標準差
    $S_Y$ 為隨機變數 $Y$ 之標準差

12. 常用對數表 $y=\log_{10}x$
    
    註：
    1. 表中所給的對數值為小數點後的值。
    2. 表中最左欄的數字表示 $x$ 的個位數及小數點後第一位，最上一欄的數字表示 $x$ 的小數點後第二位。
13. 三角函數表