2018年5月14日 星期一

八十八學年度數學學科能力測驗

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八十八學年度學科能力測驗試題

數學考科



－作答注意事項－

  1. 考試時間：$100$分鐘
  2. 題型題數：單一選擇題$3$題，多重選擇題$7$題，填充題第$A$至$J$題共$10$題
  3. 作答方式：
    • 用2B鉛筆在「答案卡」上作答，修正時應以橡皮擦拭，切勿使用修正液
    • 答錯不倒扣
  4. 作答說明：在答案卡適當位置選出數值或符號。請仔細閱讀下面的例子。
    1. 填答選擇題時，只用$1$，$2$，$3$，$4$，$5$等五個格子，而不需要用到$-$，$±$，以及$6$，$7$，$8$，$9$，$0$等格子。
      例：若第$1$題的選項為(1)$3$ (2)$5$ (3)$7$ (4)$9$ (5)$11$，而正確的答案為$7$，［亦即選項(3)］時，考生要在答案卡第$1$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$劃記（注意不是$7$）如：

      $\begin{array}{|c|}\hline解答欄\\\hline1~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}~\end{array}$

      例：若多重選擇題第$10$題的正確選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡的第$10$列的$\underset{\boxed{~~}}{1}$與$\underset{\boxed{~~}}{3}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}10~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\color{black}{▆▆}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline\end{array}$

    2. 填充題的題號是A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。

      例：若第B題的答案格式是$\displaystyle\underline{\frac{⑱}{⑲}}$，而依題意計算出來的答案是$\displaystyle\frac{3}{8}$，則考生必須分別在答案卡上的第$18$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$與第$19$列的$\underset{\boxed{~~}}{8}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}18~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\19~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\color{black}{▆▆}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

      例：若第C題的答案格式是$\displaystyle\underline{\frac{⑳㉑}{50}}$，而答案是$\displaystyle\frac{-7}{50}$時，則考生必須分別在答案卡的第$20$列的$\underset{\boxed{~~}}{-}$與第$21$列的$\underset{\boxed{~~}}{7}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}20~~\underset{\color{black}{▆▆}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline21~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\color{black}{▆▆}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

  5. ※試題後附有參考公式及可能用到的對數值

第一部分：選擇題
  1. 單一選擇題
    2. 說明：第$1$至$3$題，每題選出最適當的一個選項，標示在答案卡之「解答欄」，每題答對得$5$分，答錯不倒扣。
    1. 下列何者是$2^{100}$除以$10$的餘數？
      1. $0$
      2. $2$
      3. $4$
      4. $6$
      5. $8$
      2. 訣竅根據經驗可以知道本類問題觀察規律。
      解法觀察下列規律
      • $2^1$除以$10$餘$2$；
      • $2^2$除以$10$餘$4$；
      • $2^3$除以$10$餘$8$；
      • $2^4$除以$10$餘$6$；
      • $2^5$除以$10$餘$2$；
      • $\vdots$
      從中可以顯示出$2^n$除以$10$的餘數為四循環數列（這個結果不難用數學歸納法進行證明）。由於$100$為$4$的倍數，因此$2^{100}$除以$10$的餘數等同於$2^4$除以$10$的餘數，亦即$6$，應選(4)。

    2. 下列五個數中，何者為最小？
      1. $2^{\frac{1}{3}}$
      2. $\displaystyle\left(\frac{1}{8}\right)^{-2}$
      3. $2^{-\frac{1}{4}}$
      4. $\displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}$
      5. $8^{-\frac{1}{3}}$
      3. 訣竅化為相同底數後進行比大小，應注意底數是否大於$1$會影響比大小的過程。
      解法將各選項按$2$為底數改寫，其中選項(2)按指數列可作如下改寫
      1. $2^{\frac{1}{3}}$無須改寫。
      2. $\displaystyle\left(\frac{1}{8}\right)^{-2}=\left(2^{-3}\right)^{-2}=2^6$
      3. $2^{-\frac{1}{4}}$無須改寫。
      4. $\displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2^{-1}\right)^{\frac{1}{2}}=2^{-\frac{1}{2}}$
      5. $8^{-\frac{1}{3}}=\left(2^3\right)^{-\frac{1}{3}}=2^{-1}$
      由於$2>1$，因此藉由指數的大小關係可知

      $2^6>2^{\frac{1}{3}}>2^{-\frac{1}{4}}>2^{-\frac{1}{2}}>2^{-1}$

      故$8^{-\frac{1}{3}}$最小，應選(5)。

    3. 圖一為一正立方體，$A,B,C$分別為所在的邊之中點，通過$A,B,C$三點的平面與此立方體表面相截，問下列何者為其截痕的形狀？
      1. 直角三角形
      2. 非直角的三角形
      3. 正方形
      4. 非正方形的長方形
      5. 六邊形
      4. 訣竅設想用器械進行切割後所削去的部分後看出答案。
      解法設此正方體之邊長為$l$，那麼$\overline{AC}=l$、$\displaystyle\overline{AB}=\frac{\sqrt{2}l}{2}$。現在沿$\overline{AC}$自上往下斜切並通過$B$，那麼會削去一個直角三角柱，留下長方形，第四個點位在$B$的對面且與$C$之距離為$\displaystyle\frac{\sqrt{2}l}{2}$。應選(4)。
  2. 多重選擇題
    3. 說明：第$4$至第$10$題，每題至少有一個選項是正確的，選出正確選項，標示在答案卡之「解答欄」。每題答對得$5$分，答錯不倒扣，未答者不給分。只錯一個可獲$2.5$分，錯兩個或兩個以上不給分。
    1. 設$\bigtriangleup ABC$的三頂點$A,B,C$所對邊的邊長分別為$a,b,c$，$\overline{AH}$為高，則$\overline{AH}$之長為
      1. $b\cdot\sin B$
      2. $c\cdot\sin C$
      3. $b\cdot\sin C$
      4. $c\cdot\sin B$
      5. $a\cdot\sin A$
      2. 訣竅由於垂足會產生直角，因此考慮其中所產生的直角三角形即可按正弦函數的定義求解。
      解法

      在$\bigtriangleup AHB$中，$\overline{AH}$為$\angle B$的對邊，其斜邊為$\overline{AB}=c$，因此按照定義可得$c\cdot\sin B=\overline{AH}$，故選項(4)正確，而選項(1)錯誤。

      在$\bigtriangleup AHC$中，$\overline{AH}$為$\angle C$的對邊，其斜邊為$\overline{AC}=b$，因此按照定義可得$b\cdot\sin C=\overline{AH}$，故選項(3)正確，而選項(2)錯誤。

      最後選項(5)錯誤係因為我們可以考慮當$\angle A=90^\circ$時可以發現斜邊$\overline{BC}=a$上的高$\overline{AH}$未必與$a$相等。

      總結如上可知應選(3)(4)。

    2. 試選出正確的選項：
      1. $0.3\overline{43}$不是有理數
      2. $\displaystyle0.\overline{34}>\frac{1}{3}$
      3. $0.\overline{34}>0.343$
      4. $0.\overline{34}<0.35$
      5. $0.\overline{34}=0.3\overline{43}$
      3. 訣竅根據循環小數化為小數等相關知識即可作答。
      解法
      1. 由於$0.3\overline{43}$是無限循環小數，因此它是有理數。事實上我們可以運用無窮等比級數和等概念有

        $\displaystyle0.3\overline{43}=\frac{3}{10}+\frac{1}{10}\cdot\frac{43}{99}=\frac{34}{99}$

        故本選項錯誤。
      2. 運用無窮等比級數和的公式可立即知道

        $\displaystyle0.\overline{34}=\frac{34}{99}>\frac{33}{99}=\frac{1}{3}$

        故本選項正確。
      3. 因為$\displaystyle0.\overline{34}=\frac{34}{99}$可與右手邊通分比大小可立刻知道大小關係，從而知道本選項正確。此外亦可直接觀察無窮小數在書寫過程中到小數點後第四項時便已超過右手邊的數，據此可知此選項的正確性。
      4. 由於$\displaystyle0.\overline{34}=\frac{34}{99}<\frac{35}{100}$，因此可知本選項正確。此外也可以藉由書寫無窮小數的過程中發現右手邊確實大於左邊的量。
      5. 根據(1)與(2)的計算過程可知兩者相等，或由直接的書寫可發現兩者在小數點後的每位數字皆相同，從而是兩個相等的數，因此本選項正確。
      經由以上的說明可知應選(2)(3)(4)(5)。

    3. 三次方程式$x^3+x^2-2x-1=0$在下列那些連續整數之間有根？
      1. $-2$與$-1$之間
      2. $-1$與$0$之間
      3. $0$與$1$之間
      4. $1$與$2$之間
      5. $2$與$3$之間
      4. 訣竅運用勘根定理以及代數基本定理即可。
      解法設$f\left(x\right)=x^3+x^2-2x-1$，那麼藉由取$x=-2,\cdots,3$可得知下表

      $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}x&-2&-1&0&1&2&3\\\hline f\left(x\right)&-1&1&-1&-1&7&29\end{array}$

      由於多項式函數為連續函數，那麼由勘根定理可知$f$在$\left(-2,-1\right)$、$\left(-1,0\right)$以及$\left(1,2\right)$之間有根。再者三次多項式至多有三個根，因此僅在這些區間有根，故應選(1)(2)(4)。

    4. 關於橢圓$\Gamma$：$\sqrt{\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2}+\sqrt{\left(x+1\right)^2+\left(y+2\right)^2}=6$，下列何者為真？
      1. $\left(0,0\right)$是$\Gamma$的中心
      2. $\left(1,2\right)$，$\left(-1,2\right)$為$\Gamma$的焦點
      3. $\Gamma$的短軸長為$4$
      4. $\Gamma$對稱於直線$x=y$
      5. $\Gamma$對稱於$\left(1,2\right)$與$\left(-1,-2\right)$的連線
      5. 訣竅依據橢圓的定義分析其結構後答題即可。
      解法

      根據題目給定的方程可以知道兩個焦點的位置分別為$\left(1,2\right)$與$\left(-1,-2\right)$，因此選項(2)正確。

      又因中心為兩焦點的中點，從而可以知道$\left(0,0\right)$為中心，故選項(1)正確。

      此外，我們根據方程本身可知長軸長為$2a=6$，而兩焦點的距離為$2c=2\sqrt{5}$，從而能推知半短軸長為$b=\sqrt{a^2-c^2}=2$，故$2b=4$，因此選項(3)正確。

      而兩焦點所在的直線為長軸，容易看出此直線方程為$y=2x$；另一方面短軸會垂直長軸並且通過中心，因此短軸所在的直線方程式為$2x+y=0$。而橢圓$\Gamma$將會對稱於長軸與短軸，故選項(4)錯誤而選項(5)正確。

      依據以上的分析可知應選(1)(2)(3)(5)。

    5. 下列各選項中的行列式，那些與行列式$\left|\begin{matrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{matrix}\right|$相等？
      1. $\left|\begin{matrix}a_1&a_2&a_3\\c_1&c_2&c_3\\b_1&b_2&b_3\end{matrix}\right|$
      2. $\left|\begin{matrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{matrix}\right|$
      3. $\left|\begin{matrix}a_1&a_2&a_3\\b_1-c_1&b_2-c_2&b_3-c_3\\c_1&c_2&c_3\end{matrix}\right|$
      4. $\left|\begin{matrix}a_1&a_2&a_3\\b_1\cdot c_1&b_2\cdot c_2&b_3\cdot c_3\\c_1&c_2&c_3\end{matrix}\right|$
      5. $\left|\begin{matrix}a_3&a_2&a_1\\b_3&b_2&b_1\\c_3&c_2&c_1\end{matrix}\right|$
      6. 訣竅根據行列式的特性即可選出正確選項。
      解法
      1. 此選項錯誤，因為兩列(row)對調其行列式值異號，因此與題幹給定的行列式值相異。
      2. 本選項正確，這因為行列式進行轉置時其值不變。
      3. 本選項正確。由於行列式的某列乘上一數後加至另一列其值不變，故第三列乘以$\left(-1\right)$後加至第二列仍保持相同的行列式值。
      4. 本選項錯誤。考慮$\begin{bmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$，從而可知題幹的行列式值為$1$而此選項的行列式值為$0$，此構成反例。
      5. 本選項錯誤。因為第一行與第三行對調導致行列式值異號，故與題幹給定的行列式值相異。
      根據以上討論可知應選(2)(3)。

    6. 測量一物件的長度$9$次，得其長(公尺)為

      $2.43$,　$2.46$,　$2.41$,　$2.45$,　$2.44$,　$2.48$,　$2.46$,　$2.47$,　$2.45$

      將上面的數據每一個都乘以$100$，再減去$240$得一組新數據為

      $3$,　$6$,　$1$,　$5$,　$4$,　$8$,　$6$,　$7$,　$5$

      問下列選項，何者為真？
      1. 新數據的算術平均數為$5$
      2. 新數據的標準差為$2$
      3. 原數據的算術平均數為$2.45$
      4. 原數據的標準差為$0.2$
      5. 原數據的中位數為$2.45$
      7. 訣竅應瞭解算術平均數、標準差以及中位數之定義，此外也應熟悉線性變換對於統計量產生的影響。
      解法記原始數據為$x_1,x_2,\cdots,x_9$，其算術平均數、標準差和中位數分別為$\bar{x}$、$S_x$、$x_m$；而新數據為$y_1,y_2,\cdots,y_9$，其算術平均數、標準差和中位數分別為$\bar{y}$、$S_y$、$y_m$。
      1. 依照算術平均數的定義計算可得

        $\displaystyle\bar{y}=\frac{3+6+1+5+4+8+6+7+5}{9}=5$

        因此本選項正確。
      2. 利用標準差的公式可以計算如下

        $\displaystyle S_y=\sqrt{\frac{3^2+6^2+1^2+5^2+4^2+8^2+6^2+7^2+5^2}{9}-5^2}=2$

        故本選項正確。
      3. 由於$x_i$與$y_i$滿足關係$y_i=100x_i-240$，因此原數據的算術平均數與新數據的算術平均數滿足關係

        $\bar{y}=100\bar{x}-240$

        從而有

        $\displaystyle\bar{x}=\frac{\bar{y}+240}{100}=2.45$

        因此本選項正確。
      4. 由於$x_i$與$y_i$滿足關係$y_i=100x_i-240$，因此原數據的算術平均數與新數據的標準差滿足關係

        $S_y=100S_x$

        從而有

        $\displaystyle S_x=\frac{S_y}{100}=0.02$

        因此本選項錯誤。
      5. 由於$x_i$與$y_i$滿足關係$y_i=100x_i-240$，因此原數據的算術平均數與新數據的中位數滿足關係

        $y_m=100x_m-240$

        而將新數據$y_i$由小而大排列如下

        $1,~~3,~~4,~~5,~~5,~~6,~~6,~~7,~~8$

        因此中位數$y_m=5$，從而原始數據的中位數為

        $\displaystyle x_m=\frac{y_m+240}{100}=2.45$

        故本選項正確。
      由以上的討論可知應選(1)(2)(3)(5)。

    7. 圖二為一正立方體，試問下列何者為真？
      1. $\overset{\rightharpoonup}{EA}\cdot\overset{\rightharpoonup}{EG}=0$
      2. $\overset{\rightharpoonup}{ED}\cdot\overset{\rightharpoonup}{EF}=0$
      3. $\overset{\rightharpoonup}{EF}+\overset{\rightharpoonup}{EH}=\overset{\rightharpoonup}{AC}$
      4. $\overset{\rightharpoonup}{EC}+\overset{\rightharpoonup}{AG}=0$
      5. $\overset{\rightharpoonup}{EF}+\overset{\rightharpoonup}{EA}+\overset{\rightharpoonup}{EH}=\overset{\rightharpoonup}{EC}$
      8. 訣竅運用坐標化可以將向量用坐標表示法寫下來，隨後進行運算檢驗即可。
      解法假定此為單位正方方體（若非單位正立方體可透過縮放大小進行同樣的論述），並且設$E$為原點，那麼有$E\left(0,0,0\right)$，而$A=\left(0,0,-1\right)$、$B\left(1,0,-1\right)$、$C\left(1,1,-1\right)$、$D\left(0,1,-1\right)$、$F\left(1,0,0\right)$、$G\left(1,1,0\right)$、$H\left(0,1,0\right)$。這樣各個選項可以計算如下
      1. 因為$\overset{\rightharpoonup}{EA}=\left(0,0,-1\right)$、$\overset{\rightharpoonup}{EG}=\left(1,1,0\right)$，因此

        $\overset{\rightharpoonup}{EA}\cdot\overset{\rightharpoonup}{EG}=0\cdot1+0\cdot1+\left(-1\right)\cdot0=0$

        因此本選項正確。
      2. 因為$\overset{\rightharpoonup}{ED}=\left(0,1,-1\right)$、$\overset{\rightharpoonup}{EF}=\left(1,0,0\right)$，因此

        $\overset{\rightharpoonup}{ED}\cdot\overset{\rightharpoonup}{EF}=0\cdot1+1\cdot0+\left(-1\right)\cdot0=0$

        因此本選項正確。
      3. 因為$\overset{\rightharpoonup}{EF}=\left(1,0,0\right)$、$\overset{\rightharpoonup}{EH}=\left(0,1,0\right)$以及

        $\overset{\rightharpoonup}{AC}=C-A=\left(1,1,-1\right)-\left(0,0,-1\right)=\left(1,1,0\right)$

        因此確實有$\overset{\rightharpoonup}{EF}+\overset{\rightharpoonup}{EH}=\overset{\rightharpoonup}{AC}$。故本選項正確。
      4. 因為$\overset{\rightharpoonup}{EC}=\left(1,1,-1\right)$、$\overset{\rightharpoonup}{AG}=G-A=\left(1,1,0\right)-\left(0,0,-1\right)=\left(1,1,1\right)$，因此

        $\overset{\rightharpoonup}{EC}\cdot\overset{\rightharpoonup}{AG}=\left(1,1,-1\right)\cdot\left(1,1,1\right)=1\cdot1+1\cdot1+\left(-1\right)\cdot1=1\neq0$

        故本選項錯誤。
      5. 由先前的小題來計算有

        $\overset{\rightharpoonup}{EF}+\overset{\rightharpoonup}{EA}+\overset{\rightharpoonup}{EH}=\left(1,1,-1\right)=\overset{\rightharpoonup}{EC}$

        故本選項正確。
      由以上可知應選(1)(2)(3)(5)。
第二部分：填充題
說明：
  1. 第$A$至$J$題，將答案標示在答案卡之「解答欄」所標示的列號(11-33)處。
  2. 每題完全答對給$5$分，答錯不倒扣，未完全答對者，不給分。
  1. 一個正三角形的面積為$36$，今截去三個角（如圖三），使成為正六邊形，此正六邊形的面積為$\underline{　⑪⑫　}$。
    2. 訣竅利用相似形求出切除之面積後扣去即可求出剩餘之正六邊形的面積。
    解法記圖中各點如下圖：
    由於$\overline{DE}$與$\overline{BC}$平行，而且由於三個角所形成的三角形全等，可以知道$\overline{BC}=3\overline{DE}$，因此$\bigtriangleup ADE$的面積為$\bigtriangleup ABC$的$\displaystyle\frac{1}{9}$倍，因此其面積為$4$，故正六邊形面積為$36-4\cdot3=24$。如此有$⑪=2$、$⑫=4$。

  2. 本金$100$元，年利率$6\%$，每半年複利一次，五年期滿，共得本利和為$\underline{　⑬⑭⑮　}$元。(元以下四捨五入)
    3. 訣竅列出本利和的表達式後運用對數並配合查表求其近似值。
    解法由於每半年複利一次，故每次應乘以$\displaystyle1+\frac{0.06}{2}=1.03$。五年共有$10$個半年，因此應複利$10$次。依此可列得本利和為

    $100\cdot1.03^{10}$

    記此數為$S$，那麼取其對數並查表可得

    $\log S=\log\left[100\cdot1.03^{10}\right]=2+10\log1.03\approx2+10\cdot0.0128=2.128$

    另一方面繼續透過查表（運用表尾差）可以發現

    $2.128=2+0.128\approx\log100+\log1.343=\log134.3$

    因此$S$之值約為$134.3$，按題意要求四捨五入得本利和為$134$元。故$⑬=1$、$⑭=3$、$⑮=4$。

  3. 一位海盜欲將三件珠寶埋藏在一個島上的三個地方，海盜就以島上的一棵大王椰子樹為中心，由大王椰子樹向東走$12$步埋他的第一件珠寶；由大王椰子樹向東走$4$步，再往北走$a$步埋他的第二件珠寶；最後由大王椰子樹向東走$a$步，再往南走$8$步埋他的第三件珠寶。事隔多年後，海盜僅記得$a>0$及埋藏珠寶的三個地方在同一直線上。那麼$a=\underline{　⑯⑰　}$。
    4. 訣竅設定坐標化後，根據條件「在同一直線」表示斜率相同可藉此求出$a$之值。
    解法設大王椰子樹之坐標為$\left(0,0\right)$，記向東方為$x$軸正向而北方為$y$軸正向。那麼第一件珠寶的坐標為$\left(12,0\right)$；第二件珠寶的坐標為$\left(4,a\right)$；第三件珠寶的坐標為$\left(a,-8\right)$。由於三點共線，我們可以知道任兩點所得的斜率相等，從而有

    $\displaystyle\frac{0-a}{12-4}=\frac{0-\left(-8\right)}{12-a}$

    因此有$a^2-12a=64$，如此可解得$a=16$或$a=-4$。按條件要求$a>0$，故$a=16$。因此$⑯=1$、$⑰=6$。

  4. 設$\displaystyle0<\theta<\frac{\pi}{4}$，且$2+\sqrt{3}$為$x^2-\left(\tan\theta+\cot\theta\right)x+1=0$的一根，則$\tan\theta=\underline{　⑱-\sqrt{⑲}　}$。
    5. 訣竅根據根的定義以及三角函數的倒數關係求解。
    解法由於$2+\sqrt{3}$為根，因此有

    $\left(2+\sqrt{3}\right)^2-\left(\tan\theta+\cot\theta\right)\left(2+\sqrt{3}\right)+1=0$

    展開整理可得

    $\displaystyle\tan\theta+\cot\theta=\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)^2+1}{2+\sqrt{3}}=\frac{8+4\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=4$

    再者可以注意到$\displaystyle\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}$，從而兩邊同乘以$\tan\theta$有

    $\tan^2\theta-4\tan\theta+1=0$

    可以解得

    $\tan=2\pm\sqrt{3}$

    由於$\theta$介在$0$與$\displaystyle\frac{\pi}{4}$，從而$\tan\theta$介在$0$與$1$之間，故$\tan\theta=2-\sqrt{3}$。因此$⑱=2$、$⑲=3$。

  5. 有一輪子，半徑$50$公分，讓它在地上滾動$200$公分的長度，問輪子繞軸轉動$\underline{　⑳㉑㉒　}$度。（度以下四捨五入）
    6. 訣竅按旋轉角度與圓周長成比例來求解。
    解法設輪子繞軸轉動的角度為$\theta$。由於旋轉$360$度時會在地上滾動的長度為$2\cdot50\cdot\pi=100\pi$，因此按比例關係可列得

    $\displaystyle\frac{\theta}{360^\circ}=\frac{200}{100\pi}$

    因此得

    $\displaystyle\theta=\frac{720^\circ}{\pi}=\left(\frac{720}{\pi}\right)^\circ\approx\left(\frac{720}{3.14}\right)^\circ\approx229.29^\circ$

    故四捨五入約可得$229$度。因此$⑳=2$、$㉑=2$、$㉒=9$。

  6. 在$\bigtriangleup ABC$中，已知$\angle C=60^\circ$，$\overline{AC}=3000$公尺，$\overline{BC}=2000$公尺，則$\angle A$為$\underline{　㉓㉔　}$度。（度以下四捨五入）
    （參考資料：$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt{7}\approx2.646$，$\sqrt{21}\approx4.583$）
    7. 訣竅從給定的條件中使用正弦定理會發現欠缺$\overline{AB}$長度的資訊，而透過餘弦定理可求出$\overline{AB}$之值。最後透過三角函數表求出角度之近似值。
    解法首先運用餘弦定理可得

    $\displaystyle\begin{aligned}\overline{AB}=&\sqrt{\overline{CA}^2+\overline{CB}^2-2\cdot\overline{CA}\cdot\overline{CB}\cdot\cos\angle C}\\=&\sqrt{3000^2+2000^2-2\cdot3000\cdot2000\cdot\frac{1}{2}}\\=&1000\sqrt{3^2+2^2-3\cdot2}\\=&1000\sqrt{7}\end{aligned}$

    接著運用正弦定理有

    $\displaystyle\frac{2000}{\sin\angle A}=\frac{\overline{BC}}{\sin\angle A}=\frac{\overline{AB}}{\sin\angle C}=\frac{1000\sqrt{7}}{\sin60^\circ}$

    因此有

    $\displaystyle\sin\angle A=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}\approx\frac{4.583}{7}\approx0.6547$

    由於$\sin40.5^\circ\approx0.6494$、$\sin41.0^\circ\approx0.6561$，可以知道$40.5^\circ<\angle A<41.0^\circ$。四捨五入後可得$\angle A\approx41^\circ$，因此$㉓=4$、$㉔=1$。

  7. 袋子裡有$3$個球，$2$個球上標$1$元，$1$個球上標$5$元。從袋中任取$2$個球，即可得到兩個球所標錢數的總和，則此玩法所得錢數的期望值是$\displaystyle\underline{　\frac{㉕㉖}{3}　}$元。
    8. 訣竅取兩球的報酬期望值即為兩倍的取一球的期望值；亦可根據期望值的定義為報酬乘以其對應的機率後的加總。
    解法一取一球所得的報酬期望值如下

    $\displaystyle1\cdot\frac{2}{3}+5\cdot\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$

    因此所求為$\displaystyle2\cdot\frac{7}{3}=\frac{14}{3}$。故$㉕=1$、$㉖=4$。
    解法二取出兩球皆為$1$元的機率為$\displaystyle\frac{1}{3}$，取出一球為$1$元而另一球為$5$元的機率為$\displaystyle\frac{2}{3}$，因此期望值為

    $\displaystyle2\cdot\frac{1}{3}+6\cdot\frac{2}{3}=\frac{14}{3}$

    故$㉕=1$、$㉖=4$。

  8. 有一片長方形牆壁，尺寸為$12\times1$（即：長$12$單位長，寬$1$單位長）。若有許多白色及咖啡色壁磚，白色壁磚尺寸為$2\times1$，咖啡色壁磚尺寸為$4\times1$，用這些壁磚貼滿此長方形，問可貼成幾種不同的圖案？$\underline{　㉗㉘　}$種。
    9. 訣竅此為經典的重複排列組合問題。關鍵在考慮各個顏色使用的數量後考慮其排列的可能數量。
    解法設白色壁磚使用$x$塊、咖啡色壁磚使用$y$塊，那麼$x$與$y$滿足方程式$2x+4y=12$，亦即$x+2y=6$。由於$x$與$y$皆為非負整數，因此可列表如下

    $\begin{array}{c|c|c|c|c}x&0&2&4&6\\\hline y&3&2&1&0\end{array}$

    那麼
    • 當$x=0$、$y=3$時有$1$種排法；
    • 當$x=2$、$y=2$時有$\displaystyle\frac{4!}{2!2!}=6$種排法；
    • $x=4$、$y=1$時有$\displaystyle\frac{5!}{4!1!}=5$種排法；
    • 當$x=6$、$y=0$時有$1$種排法。
    根據上述的討論可知共計有$1+6+5+1=13$種排法。因此$㉗=1$、$㉘=3$。

  9. 擲$3$粒公正骰子，問恰好有兩粒點數相同的機率為$\displaystyle\underline{　\frac{㉙㉚}{6^3}　}$。
    10. 訣竅根據題意規律的列出／歸納出所考慮情形的數量。
    解法

    恰好兩粒點數相同的情況表示會出現兩種點數，其中一個點數要出現兩次而另一個點數要出現一次，如$1,1,2$、$5,5,3$等，故有$6\cdot5=30$種情形，其中$6$表示六個數字挑出一個要出現兩次的，而$5$表示從剩下五個數字中挑一個僅出現一次。

    接著考慮排序，可以容易見到$a,a,b$的排序有三種：$\left(a,a,b\right)$、$\left(a,b,a\right)$、$\left(b,a,a\right)$，因此符合題意的所有可能性有$30\cdot3=90$種，故$㉙=9$、$㉚=0$。


  10. 在空間中，連接點$P\left(2,1,3\right)$與點$Q\left(4,5,5\right)$的線段$PQ$之垂直平分面為$\underline{　㉛x+㉜y+㉝z=13　}$。
    11. 訣竅向量$\overset{\rightharpoonup}{PQ}$為垂直平分面的法向量而按照平分的概念可知該平面通過$\overline{PQ}$中點，從而可依點法式列出平面方程式。
    解法根據訣竅可知垂直平分面的法向量為$\overset{\rightharpoonup}{PQ}=Q-P=\left(4,5,5\right)-\left(2,1,3\right)=\left(2,4,2\right)$。又$\overline{PQ}$的中點為$\displaystyle\frac{\left(2,1,3\right)+\left(4,5,5\right)}{2}=\left(3,3,4\right)$，從而運用點法式可得垂直平分面方程式為

    $2\left(x-3\right)+4\left(y-3\right)+2\left(z-4\right)=0$

    整理有$x+2y+z=13$，因此$㉛=1$、$㉜=2$、$㉝=1$。

參考公式、常用對數表及三角函數表

  1. 一元二次方程式的公式解：$\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
  2. 通過$\left(x_1,y_1\right)$與$\left(x_2,y_2\right)$的直線斜率為$\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
  3. 等比級數$\left\langle ar^{n-1}\right\rangle$的前$n$項之和：
    當$r\neq1$時，$\displaystyle S_n=a\cdot\frac{1-r^n}{1-r}=\frac{a}{1-r}-\frac{ar^n}{1-r}$
    當$r=1$時，$S_n=na$
  4. $\bigtriangleup ABC$的正弦與餘弦定律
    (1) $\displaystyle\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=d$，$d$為外接圓直徑　　（正弦定律）
    (2) $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$　　（餘弦定律）
  5. 統計公式
    算術平均　　　　$\displaystyle M\left(={\bar X}\right)=\frac{1}{n}\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$
    標準差　　　　$\displaystyle S=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-{\bar X}\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^2-\bar{X}^2}$
  6. 常用對數表$y=\log_{10}x$
    註：
    1. 表中所給的對數值為小數點後的值。
    2. 表中最左欄的數字表示$x$的個位數及小數點後第一位，最上一欄的數字表示$x$的小數點後第二位。
  7. 三角函數表

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