八十七學年度數學學科能力測驗

八十七學年度大學入學考試中心
學科能力測驗試題

數學考科

－作答注意事項－

1. 考試時間：$100$ 分鐘
2. 題型題數：單一選擇題 $4$ 題，多重選擇題 $6$ 題，填充題第 A 至 J 題共 $10$ 題
3. 作答方式：
   • 用2B鉛筆在「答案卡」上作答，修正時應以橡皮擦拭，切勿使用修正液
   • 答錯不倒扣
4. 作答說明：在答案卡適當位置選出數值或符號。請仔細閱讀下面的例子。
   1. 填答選擇題時，只用 $1$，$2$，$3$，$4$，$5$ 等五個格子，而不需要用到 $-$，$±$，以及 $6$，$7$，$8$，$9$，$0$ 等格子。
      例：若第 $1$ 題的選項為 (1) $3$ (2) $5$ (3) $7$ (4) $9$ (5) $11$，而正確的答案為 $7$，［亦即選項 (3)］時，考生要在答案卡第 $1$ 列的 $\underset{\boxed{~~}}{3}$ 劃記（注意不是 $7$）如：

      $\begin{array}{|c|}\hline解答欄\\\hline1~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}~\end{array}$

      例：若多重選擇題第 $10$ 題的正確選項為 (1) 與 (3) 時，考生要在答案卡的第 $10$ 列的 $\underset{\boxed{~~}}{1}$ 與 $\underset{\boxed{~~}}{3}$ 劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}10~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\color{black}{▆▆}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline\end{array}$

   2. 填充題的題號是 A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。
      
      例：若第 B 題的答案格式是 $\displaystyle\underline{\frac{⑱}{⑲}}$，而依題意計算出來的答案是 $\displaystyle\frac38$，則考生必須分別在答案卡上的第 $18$ 列的 $\underset{\boxed{~~}}{3}$ 與第 $19$ 列的 $\underset{\boxed{~~}}{8}$ 劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}18~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\19~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\color{black}{▆▆}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

      
      例：若第 C 題的答案格式是 $\displaystyle\underline{\frac{⑳㉑}{50}}$，而答案是 $\displaystyle\frac{-7}{50}$ 時，則考生必須分別在答案卡的第 $20$ 列的 $\underset{\boxed{~~}}{-}$ 與第 $21$ 列的 $\underset{\boxed{~~}}{7}$ 劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}20~~\underset{\color{black}{▆▆}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline21~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\color{black}{▆▆}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

5. ※試題後附有參考公式及可能用到的對數值

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第一部分：選擇題

1. 單一選擇題
說明：第 $1$ 至 $4$ 題，每題選出最適當的一個選項，標示在答案卡之「解答欄」，每題答對得 $5$ 分，答錯不倒扣。
1. 當 $x$ 介於 $0$ 與 $2\pi$ 之間，直線 $y=1-x$ 與函數 $y=\tan x$ 的圖形，共有幾個交點？
   1. $0$
   2. $1$
   3. $2$
   4. $3$
   5. $4$
訣竅
詳細繪圖後即可知道交點個數。
解法
如訣竅所述繪圖如下可知有 $3$ 個交點，應選 (4)。



2. 設 $1-i$ 為 $x^2+ax+3-i=0$ 的一根，則 $a$ 的值為何？
   1. $-3$
   2. $-2$
   3. $-1-i$
   4. $2$
   5. $3$
訣竅
依據根的意義來解題。
解法
由於 $1-i$ 為二次方程的根，因此代入後可得
$\left(1-i\right)^2+a\left(1-i\right)+3-i=0$.
整理可得
$a\left(1-i\right)=-3\left(1-i\right)$.
因此 $a=-3$，應選 (1)。


3. 設事件 $A$ 發生的機率為 $\displaystyle\frac12$，事件 $B$ 發生的機率為 $\displaystyle\frac13$。若以 $p$ 表示事件 $A$ 或事件 $B$ 發生的機率，則
   1. $\displaystyle p\leq\frac16$
   2. $\displaystyle\frac16<p\leq\frac13$
   3. $\displaystyle\frac13<p<\frac12$
   4. $\displaystyle\frac12\leq p\leq\frac56$
   5. $\displaystyle p>\frac56$
訣竅
運用集合包含的關係蘊含機率大小的關係來解題。
解法
設 $P$ 表事件 $A$ 或事件 $B$ 的發生，從而有
$A\subset P\subset A\cup B$ 且 $B\subset P\subset A\cup B$.
依照集合的包含關係可知
$\displaystyle\frac12\leq p\leq\frac12+\frac13=\frac56$.
應選 (4)。


4. 如圖(一)，$ABCDEF$ 為一正六邊形。那麼下列向量內積中，何者最大？
   
   1. $\overset{\rightharpoonup}{AB}\cdot\overset{\rightharpoonup}{AB}$
   2. $\overset{\rightharpoonup}{AB}\cdot\overset{\rightharpoonup}{AC}$
   3. $\overset{\rightharpoonup}{AB}\cdot\overset{\rightharpoonup}{AD}$
   4. $\overset{\rightharpoonup}{AB}\cdot\overset{\rightharpoonup}{AE}$
   5. $\overset{\rightharpoonup}{AB}\cdot\overset{\rightharpoonup}{AF}$
訣竅
運用內積代表投影量之乘積來思考即可解題，其中需注意方向性。
解法
根據訣竅，我們延長 $\overline{AB}$ 並將 $C$、$D$、$E$、$F$ 投影至直線 $AB$ 上，分別為 $G$、$B$、$A$、$H$，如下圖

因此可以知道各選項分別為
1. $\overset{\rightharpoonup}{AB}\cdot\overset{\rightharpoonup}{AB}=\overline{AB}^2$
2. $\overset{\rightharpoonup}{AB}\cdot\overset{\rightharpoonup}{AC}=\overline{AB}\cdot\overline{AG}$
3. $\overset{\rightharpoonup}{AB}\cdot\overset{\rightharpoonup}{AD}=\overline{AB}^2$
4. $\overset{\rightharpoonup}{AB}\cdot\overset{\rightharpoonup}{AE}=\overline{AB}\cdot\overline{AA}=0$
5. $\overset{\rightharpoonup}{AB}\cdot\overset{\rightharpoonup}{AF}=\overline{AB}\cdot\left(-\overline{AH}\right)<0$
因此最大為選項 (2)。
2. 多重選擇題
說明：第 $5$ 至 $10$ 題，每題至少有一個選項是正確的，選出正確選項，標示在答案卡之「解答欄」。每題答對得 $5$ 分，答錯不倒扣，未答者不給分。只錯一個可獲 $2.5$ 分，錯兩個或兩個以上不給分。
5. 已知「偶數的平方是 $4$ 的倍數；奇數的平方除以 $4$ 餘數為 $1$」。考慮五個數：$513$，$226$，$216$，$154$，$145$，試問下列何者可以和上述五個數中的某一數相加成為完全平方數？
   1. $513$
   2. $226$
   3. $216$
   4. $154$
   5. $145$
訣竅
根據題目所提供的已知知識去判定各個數字除以 $4$ 的餘數，據此可以知道若兩數之和餘 $2$ 或 $3$ 便不可能為完全平方數。
解法
首先知道 $513$，$226$，$216$，$154$，$145$ 除以 $4$ 分別餘 $1$，$2$，$0$，$2$，$1$。因此檢驗各選項如下
1. $513$ 與所列的各個數字之和的餘數分別為 $2$，$3$，$1$，$3$，$2$；因此僅需檢查餘 $1$ 的狀況，有 $216+513=729=27^2$，故此選項正確。
2. $226$ 與所列的各個數字之和的餘數分別為 $3$，$0$，$2$，$0$，$3$；因此僅需檢查餘 $0$ 的狀況，有 $226+226=452$、$226+154=380$ 皆不為完全平方數，故本選項錯誤。
3. 承 (1) 可知 $216+513=729=27^2$，故此選項正確。
4. $154$ 與所列的各個數字之和的餘數分別為 $3$，$0$，$2$，$0$，$3$；因此僅需檢查餘 $0$ 的狀況，有 $154+226=380$、$154+154=308$ 皆不為完全平方數，故本選項錯誤。
5. $145$ 與所列的各個數字之和的餘數分別為 $2$，$3$，$1$，$3$，$2$，因此僅需檢查餘 $1$ 的狀況，有 $145+216=361=19^2$，故本選項正確。
根據以上的討論應選 (1)(3)(5)。


6. 設不共點的三直線之方程式分別為

   $\begin{aligned} &ax-4y=1,\\&\left(a+1x\right)x+3y=2,\\&x-2y=3,\end{aligned}$

   其中 $a$ 為實數。試問 $a$ 為何值時，上述三直線會圍出一個直角三角形？
   1. $-8$
   2. $-4$
   3. $1$
   4. $3$
   5. $5$
訣竅
由於兩非鉛直的直線垂直表示斜率相乘為 $-1$，因此找出能使斜率相乘為 $-1$ 的 $a$ 即可。
解法
可以容易發現 $a=0$ 和 $a=-1$ 時斜率時任兩條直線皆不垂直。因此考慮 $a\neq0$ 且 $a\neq-1$ 的情形可知道各直線方程之斜率分別為 $\displaystyle\frac a4$、$\displaystyle-\frac{a+1}3$、$\displaystyle\frac12$。因此 $a$ 需要滿足下列三條中的至少一條：
$\displaystyle\begin{aligned} &\frac a4\cdot\left(-\frac{a+1}3\right)=-1,\\&\left(-\frac{a+1}3\right)\cdot\frac12=-1,\\&\frac12\cdot\frac a4=-1.\end{aligned}$
分別解三述三條方程可得 $a=3$ 或 $a=-4$ 或 $a=5$ 或 $a=-8$。經檢驗可知符合題意，故選 (1)(2)(4)(5)。


7. 下列敘述何者為真？
   1. $\sin50^\circ<\cos50^\circ$
   2. $\tan50^\circ<\cot50^\circ$
   3. $\tan50^\circ<\sec50^\circ$
   4. $\sin230^\circ<\cos230^\circ$
   5. $\tan230^\circ<\cot230^\circ$
訣竅
運用三角函數的遞減遞增或有界等特性進行大小之比較。
解法
1. 由於 $\sin$ 在 $\left[0^\circ,90^\circ\right]$ 上嚴格遞增、$\cos$ 在 $\left[0^\circ,90^\circ\right]$ 上嚴格遞減，因此有

   $\displaystyle\sin50^\circ>\sin45^\circ=\frac{\sqrt2}2=\cos45^\circ>\cos50^\circ$.

   故本選項錯誤。
2. 由於 $\tan$ 在 $\left(0^\circ,90^\circ\right)$ 上嚴格遞增、$\cot$ 在 $\left(0^\circ,90^\circ\right)$ 上嚴格遞減，因此有

   $\tan50^\circ>\tan45^\circ=1=\cot45^\circ>\cot50^\circ$.

   故本選項錯誤。
3. 由於 $\cos50^\circ>0$、$\sin50^\circ<1$，因此

   $\displaystyle\tan50^\circ=\frac{\sin50^\circ}{\cos50^\circ}<\frac1{\cos50^\circ}=\sec50^\circ$.

   故本選項正確。
4. 由於 $\sin\left(\theta+180^\circ\right)=-\sin\theta$、$\cos\left(\theta+180^\circ\right)=-\cos\theta$，因此利用 (1) 的結果有

   $\sin230^\circ=-\sin50^\circ<-\cos50^\circ=\cos230^\circ$.

   故本選項正確。
5. 由於 $\tan\left(\theta+180^\circ\right)=\tan\theta$、$\cot\left(\theta+180^\circ\right)=\cot\theta$，因此利用 (2) 的結果有

   $\tan230^\circ=\tan50^\circ>\cot50^\circ=\cot230^\circ$.

   故本選項錯誤。
依據以上之分析可知應選 (3)(4)。


8. 在空間中，下列那些點可與 $A\left(1,2,3\right)$，$B\left(2,5,3\right)$，$C\left(2,6,4\right)$ 三點構成一平行四邊形？
   1. $\left(-1,-5,-2\right)$
   2. $\left(1,1,2\right)$
   3. $\left(1,3,4\right)$
   4. $\left(3,7,6\right)$
   5. $\left(3,9,4\right)$
訣竅
由於平行四邊形的對角線互相平分，因此設定其中兩點為對角點，那麼就利用第三點求第四點。
解法
依據提示可知三個點取兩個點作為對角點有三種選法，從而分類討論有
• 若 $A$、$B$ 為對角點，則第四點坐標為

  $D=A+B-C=\left(1,2,3\right)+\left(2,5,3\right)-\left(2,6,4\right)=\left(1,1,2\right)$.

• 若 $B$、$C$ 為對角點，則第四點坐標為

  $D=B+C-A=\left(2,5,3\right)+\left(2,6,4\right)-\left(1,2,3\right)=\left(3,9,4\right)$.

• 若 $C$、$A$ 為對角點，則第四點坐標為

  $D=C+A-B=\left(2,6,4\right)+\left(1,2,3\right)-\left(2,5,3\right)=\left(1,3,4\right)$.
因此依據上述的結果可知應選 (2)(3)(5)。


9. 設 $a$ 與 $b$ 均為實數，且二次函數 $f\left(x\right)=a\left(x-1\right)^2+b$ 滿足 $f\left(4\right)>0$，$f\left(5\right)<0$。試問下列何者為真？
   1. $f\left(0\right)>0$
   2. $f\left(-1\right)>0$
   3. $f\left(-2\right)>0$
   4. $f\left(-3\right)>0$
   5. $f\left(-4\right)>0$
訣竅
藉由觀察函數圖形之走勢判斷各個選項之正負；亦可完全根據條件進行代數運算判斷之。
解法一
由題目給定 $f$ 的形式可知 $f$ 的對稱軸為 $x=1$。再由 $f\left(4\right)>0$、$f\left(5\right)<0$ 可推知 $f$ 為在 $x=1$ 處有最大值且凹口向下的拋物線，並且在 $x\geq5$ 或 $x\leq-3$ 的值為負，而在 $-2\leq x\leq4$ 的值為正，應選 (1)(2)(3)。
解法二
依據條件可知
$\left\{\begin{aligned} &f\left(4\right)=9a+b>0,\\&f\left(5\right)=16a+b<0.\end{aligned}\right.$
兩式相減可知 $a<0$。據此可以計算各個選項之值
1. $f\left(0\right)=a+b>9a+b=f\left(4\right)>0$，故此選項正確。
2. $f\left(-1\right)=4a+b>9a+b=f\left(4\right)>0$，故此選項正確。
3. $f\left(-2\right)=9a+b=f\left(4\right)>0$，故此選項正確。
4. $f\left(-3\right)=16a+b=f\left(5\right)<0$，故此選項錯誤。
5. $f\left(-4\right)=25a+b<16a+b=f\left(5\right)<0$，故此選項錯誤。
依據上列計算可知應選 (1)(2)(3)。


10. 圖(二)為某池塘中布袋蓮蔓延的面積與時間的關係圖。假設其關係為指數函數，試問下列敘述何者為真？
    
    1. 此指數函數的底數為 $2$。
    2. 在第 $5$ 個月時，布袋蓮的面積就會超過 $30\text{m}^2$。
    3. 布袋蓮從 $4\text{m}^2$ 蔓延到 $12\text{m}^2$，只要 $1.5$ 個月。
    4. 設布袋蓮蔓延到 $2\text{m}^2$、$3\text{m}^2$、$6\text{m}^2$ 所需的時間分別為 $t_1$、$t_2$、$t_3$，則 $t_1+t_2=t_3$。
    5. 布袋蓮在第 $1$ 到第 $3$ 個月之間的蔓延平均速度等於在第 $2$ 到第 $4$ 個月之間的蔓延平均速度。
訣竅
根據指數函數和指數律的特性求解。
解法
1. 由於該函數為指數函數，因此函數形如 $a^x$，運用圖中指示的坐標代入可知 $a^1=2$，因此本選項正確。
2. 承 (1) 可知 $a^5=2^5=32$，因此面積超過 $30$ 平方公尺，故此選項正確。
3. 假設在 $T$ 月時面積為 $12$ 平方公尺，那麼 $T$ 會滿足 $2^T=12$，從而有

   $\displaystyle T=\log_212=2+\log_23=2+\frac{\log3}{\log2}\approx2+\frac{4771}{3010}<3.5$.

   因此從 $4$ 平方公尺蔓延到 $12$ 平方公尺不超過 $1.5$ 個月；因此本選項錯誤。
4. 依照敘述可知 $a^{t_1}=2$、$a^{t_2}=3$、$a^{t_3}=6$，將前兩式相乘可得

   $a^{t_1+t_2}=2\times3=6=a^{t_3}$.

   因此 $t_1+t_2=t_3$，故本選項正確。【注意此結果與 $a$ 是否為 $2$ 無關。】
5. 第 $1$ 至第 $3$ 個月的平均蔓延速度為 $\displaystyle\frac{8-1}2=3.5$ 平方公尺／月；第 $2$ 至第 $4$ 個月的平均蔓延速度為 $\displaystyle\frac{16-4}2=6$ 平方公尺／月。由於兩者不相等，故本選項錯誤。
根據上述選項可知應選 (1)(2)(4)。

第二部分：填充題

說明：

1. 第 $A$ 至 $J$ 題，將答案標示在答案卡之「解答欄」所標示的列號(11-35)處。
2. 每題完全答對給 $5$ 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
3. 如果填充題答案要求的是分數時，必須以最簡分數表示。

1. 在三位數中，百位數與個位數之差的絕對值為 $2$ 的數，共有$\underline{　⑪⑫⑬　}$個。
訣竅
由題意所限定的條件中留意相差之絕對值為 $2$，仔細推敲百位數與個位數有何種條件可符合之，分類討論即可。
解法
若百位數為 $1$ 或 $8$ 或 $9$，則個位數僅有一種可能；若百位數為 $2$ 至 $7$ 的數，則個位數皆有兩種可能。而十位數無論在任何情況下皆有十種可能，故有
$\left(3\cdot1+6\cdot2\right)\cdot10=150$.
種符合題意的三位數。故 $⑪=1$、$⑫=5$、$⑬=0$。


2. 設 $a$ 與 $b$ 均為實數。若

   $\displaystyle\frac a{2^1}+\frac b{2^2}+\frac a{2^3}+\frac b{2^4}+\cdots+\frac a{2^{2n-1}}+\frac b{2^{2n}}+\cdots=3,$

   則 $2a+b=\underline{　⑭　}$。
訣竅
運用無窮等比級數和公式即可。
解法
此無窮級數可寫為如下的形式
$\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{2a+b}{4^k}=3$.
可以看出此為等比級數，其公比為 $\displaystyle\frac14$，因此運用無窮等比級數和之公式可得
$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2a+b}4}{\displaystyle1-\frac14}=3$.
可以解得 $2a+b=9$。故 $⑭=9$。


3. 某公司有甲、乙、丙三條生產線，現欲生產三萬個產品，如果甲、乙、丙三條生產線同時開動，則需 $10$ 小時；如果只開動乙、丙兩條三產線，則需 $15$ 小時；如果只開動甲生線 $15$ 小時，則需再開動丙生產線 $30$ 小時，才能完成所有產品。問如果只開動乙生產線，則需$\underline{　⑮⑯　}$小時才能生產三萬個產品。
訣竅
依據題意設置適當的變數後列出並解該聯立方程組後回答索求即可。
解法

設甲生產線每小時可以完成 $x$ 萬個、乙生產線每小時可以完成 $y$ 萬個、丙生產線每小時可以完成 $z$ 萬個，那麼依據題意可以列出下列的聯立方程組

$\begin{aligned} &10x+10y+10z=3,\\&15y+15z=3,\\&15x+30z=3.\end{aligned}$

首先第二式乘以 $\displaystyle\frac23$ 後有 $10y+10z=2$，如此與第一式相減可得 $10x=1$，亦即有 $\displaystyle x=0.1$。這樣代入第三式可得 $30z=1.5$，因此 $z=0.05$。最後代入第二式能得 $y=0.15$。

設只開動乙生產線 $T$ 小時就能完成三萬個產品，這表明 $T$ 滿足方程 $0.15T=3$，可解得 $\displaystyle T=20$，故 $⑮=2$、$⑯=0$。



4. 長方體中，互為歪斜的稜線共有$\underline{　⑰⑱　}$對。
訣竅
掌握歪斜的意義後針對每條邊去思索直線互相產生的關係（如平行、相交、歪斜）的個數。
解法
長方體共有 $12$ 條邊，每條邊會與另外三條平行、與四條相交，從而與另外四條歪斜。故有
$\displaystyle\frac{12\times4}2=24$.
對歪斜稜線，其中除以 $2$ 是因為歪斜是互相對的，因此要去除重複計算的情形。故 $⑰=2$、$⑱=4$。


5. 在圖(三)中，$ABC$ 是邊長為 $8$ 的正三角形撞球檯，線段 $\overline{BP}=\sqrt2$。今由 $P$ 點將一粒球以平行 $BA$ 方向射出，最後又回到 $P$ 點。球所走的路徑，如圖箭號所示。則此路徑的長度為$\underline{　⑲⑳　}$。
   
訣竅
藉由平移重組出路徑總長。
解法
因為 $ABC$ 為正三角形，故可根據訣竅所述觀察發現路徑總長等同於該正三角形的周長，因此路徑總長為 $24$。故 $⑲=2$、$⑳=4$。【注意到這項結果與 $P$ 的起始位置無關。】


6. 在等比數列 $\left\langle a_n\right\rangle$ 中，

   $\begin{aligned} &a_1=1,\\&a_4=2-\sqrt{5},\\&a_{n+2}=a_{n+1}+a_n,~n\geq1\end{aligned}$

   則 $\left\langle a_n\right\rangle$ 的公比 $\displaystyle=\underline{　\frac{㉑㉒\sqrt{5}}{㉓}　}$。
訣竅
運用等比數列的一般項代入後解出公比即可。
解法
設公比為 $r$，那麼 $a_2=r$、$a_3=r^2$、$a_4=r^3$，那麼由第三條遞迴關係有
$r^3=r^2+r$
可以移項有 $r\left(r^2-r-1\right)=0$，如此解得 $r=0$ 或 $\displaystyle r=\frac{1\pm\sqrt5}2$。經檢驗可知 $r=0$ 與 $\displaystyle r=\frac{1+\sqrt5}2$ 不合於 $r^3=2-\sqrt5$，因此 $\displaystyle r=\frac{1-\sqrt5}2$。故 $㉑=1$、$㉒=-$、$㉓=2$。


7. 如圖(四)，$A$、$B$ 分別位於一河口的兩岸邊。某人在通往 $A$ 點的筆直公路上，距離 $A$ 點 $50$ 公尺的 $C$ 點與距離 $A$ 點 $200$ 公尺的 $D$ 點，分別測得 $\angle ACB=60^\circ$，$\angle ADB=30^\circ$，則 $A$ 與 $B$ 的距離為$\underline{　㉔㉕\sqrt{㉖}　}$公尺。
   
訣竅
注意到 $60^\circ$ 為 $30^\circ$ 的兩倍，因此可以仔細留意 $\bigtriangleup$ 的角度關係發現此為等腰三角形。
解法

由於 $\angle ACB=60^\circ$ 以及 $A$、$C$、$D$ 三點共線，因此 $\angle BCD=120^\circ$。再由三角形內角和為 $180^\circ$ 可知 $\angle CBD=30^\circ$。故 $\bigtriangleup BCD$ 為等腰三角形，因此 $\overline{CB}=\overline{CD}=150$。

因此在 $\bigtriangleup ABC$ 中使用餘弦定理可得

$\displaystyle\begin{aligned}\overline{AB}&=\sqrt{\overline{AB}^2}\\&=\sqrt{\overline{CA}^2+\overline{CB}^2-2\cdot\overline{CA}\cdot\overline{CB}\cdot\cos60^\circ}\\&=\sqrt{50^2+150^2-2\cdot50\cdot150\cdot\frac12}\\&=\sqrt{2500+22500-7500}\\&=\sqrt{17500}=50\sqrt7.\end{aligned}$

故 $㉔=5$、$㉕=0$、$㉖=7$。



8. 設 $f\left(x\right)$ 為一多項式。若 $\left(x+1\right)f\left(x\right)$ 除以 $x^2+x+1$ 的餘式為 $5x+3$，則 $f\left(x\right)$ 除以 $x^2+x+1$ 的餘式為 $\underline{　㉗x+㉘　}$。
訣竅
此為經典的求餘式技巧題。關鍵在於先假設所求的餘式之形式後代入題目給定的條件中後使用除法以獲得未知係數的關係式。
解法
設所求的餘式為 $ax+b$，亦即有
$f\left(x\right)=\left(x^2+x+1\right)q\left(x\right)+ax+b$.
那麼兩邊同乘以 $\left(x+1\right)$ 可得
$\begin{aligned}\left(x+1\right)f\left(x\right)&=\left(x^2+x+1\right)\left[q\left(x\right)\left(x+1\right)\right]+\left(ax+b\right)\left(x+1\right)\\&=\left(x^2+x+1\right)\left[q\left(x\right)\left(x+1\right)\right]+ax^2+\left(a+b\right)x+b\\&=\left(x^2+x+1\right)\left[q\left(x\right)\left(x+1\right)\right]+a\left(x^2+x+1\right)+bx+\left(b-a\right)\\&=\left(x^2+x+1\right)\left[q\left(x\right)\left(x+1\right)+a\right]+bx+\left(b-a\right).\end{aligned}$
根據除法原理可以知道 $bx+\left(b-a\right)$ 為 $\left(x+1\right)f\left(x\right)$ 除以 $x^2+x+1$ 的餘式。那麼由題目給定的條件可知 $b=5$、$b-a=3$，因此所求的餘式為 $2x+5$。故 $㉗=2$、$㉘=5$。


9. 在圖(五)中，圓 $O$ 的半徑為 $6$，$F$ 的坐標為 $\left(4,0\right)$，$Q$ 在圓 $O$ 上，$P$ 為 $\overline{FQ}$ 的中垂線與 $\overline{OQ}$ 的交點。當 $Q$ 在圓 $O$ 上移動時，動點 $P$ 的軌跡方程式為$\displaystyle\underline{　\frac{\left(x-㉙\right)^2}{㉛}+\frac{\left(y-㉚\right)^2}{㉜}=1　}$。
   
訣竅
此為經典的圓錐曲線（二次曲線）的軌跡問題。關鍵在於仔細推敲是否有幾何圖形中有保持不變的量。
解法

由於 $\overline{FQ}$ 的中垂線交 $\overline{OQ}$ 於 $P$，那麼依照中垂線的特性可知 $\overline{PF}=\overline{PQ}$，那麼有

$\overline{PO}+\overline{PF}=\overline{OP}+\overline{PQ}=\overline{PQ}=6$.

這表明 $P$ 到兩個定點 $O$ 和 $F$ 的距離和為定值 $6$，這便符合橢圓的定義。

可以見到 $O$、$F$ 為橢圓之焦點，因此 $2c=\overline{OF}=4$，故 $c=2$。又 $2a=\overline{PO}+\overline{PF}=6$，故 $a=3$。由於半長軸長 $a$、半短軸長 $b$ 和焦距 $c$ 滿足 $a^2=b^2+c^2$，因此 $b^2=5$，故 $b=\sqrt5$。再者 $\overline{OF}$ 的中點 $\left(2,0\right)$ 為橢圓之中心，因此利用橢圓的標準式可知該軌跡方程為

$\displaystyle\frac{\left(x-2\right)^2}9+\frac{\left(y-0\right)^2}5=1$.

故 $㉙=2$、$㉚=0$、$㉛=9$、$㉜=5$。



10. 下表所列為各項主要食品的平均消費價格，以及民國$70$ 年維持一家四口所需各項食品的平均需要量。若以拉氏指數來衡量，那麼民國$76$ 年主要食品的費用比民國$70$ 年高出的百分率為$\underline{　㉝㉞㉟　}\%$。(小數點以下四捨五入)

    $\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline項目&\text{70年價格}&\text{76年價格}&\text{70年平均用量}\\\hline蓬萊米&7.6&16.0&45.0\\豬肉&49.0&97.0&5.0\\虱目魚&36.0&74.0&0.5\\包心白菜&5.6&15.0&4.0\\香蕉&4.7&13.0&3.0\\花生油&25.0&54.0&0.8\\\hline\end{array}$

訣竅
透過文末所附的參考公式理解拉氏指數的意義後即可作答。
解法
根據拉氏指數可以發現分母為最初時刻的價格乘以當時消費量後的總和；而分子為要考慮的時刻的價格乘以當時的消費量後的總和，從而表達如下
$\displaystyle I_6=\frac{16\cdot45+97\cdot5+74\cdot0.5+15\cdot4+13\cdot3+54\cdot0.8}{7.6\cdot45+49\cdot5+36\cdot0.5+5.6\cdot4+4.7\cdot3+25\cdot0.8}\times100=\frac{1384.2}{661.5}\times100\approx209.25170068$.
四捨五入至整數後為 $209$。再者若以 $70$ 年為基期可知道自身對自身的拉氏指數為 $100$，因此高出 $109$，故 $㉝=1$、$㉞=0$、$㉟=9$。

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參考公式及可能用到的對數值

1. 一元二次方程式的公式解：$\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
2. 以 $\alpha$，$\beta$ 為二根的一元二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ 的根與係數關係為：$\displaystyle\alpha+\beta=-\frac ba$ 及 $\displaystyle\alpha\beta=\frac ca$
3. 等比級數 $\left\langle ar^{n-1}\right\rangle$ 的前 $n$ 項之和
   當 $r\neq1$ 時，$\displaystyle S_n=a\cdot\frac{1-r^n}{1-r}=\frac a{1-r}-\frac{ar^n}{1-r}$；當 $r=1$ 時，$S_n=na$
4. 平面上兩點 $P_1\left(x_1,y_1\right)$，$P_2\left(x_2,y_2\right)$ 間的距離為 $\overline{P_1P_2}=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$
5. $\bigtriangleup ABC$ 的正弦及餘弦定律
   (1) $\displaystyle\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}=d$，$d$ 為外接圓直徑　　（正弦定律）
   (2) $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$　　（餘弦定律）
6. 正弦函數的和角公式為
   $\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$
   $\sin\left(\alpha-\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$
7. 餘弦函數的和角公式為
   $\cos\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$
   $\cos\left(\alpha-\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$
8. $I_k$ 表 $k$ 期（計算期）的加權綜合物價指數，

   $\displaystyle I_k=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^np_{ik}q_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^np_{i0}q_i}\times100,$

   其中 $p_{i0}$ 表 $0$ 期（基期）第 $i$ 項商品的價格；
   　　$p_{ik}$ 表 $k$ 期（計算期）的第 $i$ 項商品的價格；
   　　$q_i$ 表第 $i$ 項商品的指定權數（適當的消費量）；
   　　$n$ 表列入計算的商品數。
   註：以基期之消費量 $q_{i0}$ 作為權數而得的指數叫拉氏指數；
   　　以計算期之消費量 $q_{ik}$ 作為權數而得的指數叫裴氏指數。
9. 對數公式

   $\begin{aligned} &\log_a\left(xy\right)=\log_ax+\log_ay\\&\log_a\left(x/y\right)=\log_ax-\log_ay\\&\log_a\left(x^y\right)=y\log_ax\end{aligned}$

10. 可能用到的對數值（近似值）

    $\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$