Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

2018年7月18日 星期三

九十四學年度數學學科能力測驗

大學入學考試中心
九十四學年度學科能力測驗試題

數學考科



-作答注意事項-

  1. 考試時間:100分鐘
  2. 題型題數:單選題5題,多選題6題,填充題第AI題共9
  3. 作答方式:
    • 用2B鉛筆在「答案卡」上作答,修正時應以橡皮擦拭,切勿使用修正液
    • 答錯不倒扣
  4. 作答說明:在答案卡適當位置選出數值或符號。請仔細閱讀下面的例子。
    1. 填答選擇題時,只用12345等五個格子,而不需要用到±,以及67890等格子。
      例:若第1題的選項為(1)3 (2)5 (3)7 (4)9 (5)11,而正確的答案為7,亦即選項(3)時,考生要在答案卡第1列的3  劃記(注意不是7)如:

      1     ±   1   2   3 4   5   6   7   8   9   0   

      例:若多選題第10題的正確選項為(1)與(3)時,考生要在答案卡的第10列的1  3  劃記,如:

      10     ±   1 2   3 4   5   6   7   8   9   0  

    2. 填充題的題號是A,B,C,……,而答案的格式每題可能不同,考生必須依各題的格式填答,且每一個列號只能在一個格子劃記。

      例:若第B題的答案格式是_,而依題意計算出來的答案是38,則考生必須分別在答案卡上的第18列的3  與第19列的8  劃記,如:

      18     ±   1   2   3 4   5   6   7   8   9   0  19     ±   1   2   3   4   5   6   7   8 9   0  

      例:若第C題的答案格式是50_,而答案是750時,則考生必須分別在答案卡的第20列的  與第21列的7  劃記,如:

      20   ±   1   2   3   4   5   6   7   8   9   0  21     ±   1   2   3   4   5   6   7 8   9   0  

  5. ※試題後附有參考公式及可能用到的對數值與參考數值


第一部分:選擇題
  1. 單選題
  2. 說明:第15題,每題選出最適當的一個選項,劃記在答案卡之「解答欄」,每題答對得5分,答錯不倒扣。
    1. 試問整數43659共有多少個不同的質因數?
      1. 1
      2. 2
      3. 3
      4. 4
      5. 5
    2. 訣竅直接計算其質因數分解。
      解法首先可以發現其各位數之和為4+3+6+5+9=279的倍數,因此43659=9×4851。又可注意到4851的各位數之和為4+8+5+1=189的倍數,因此

      43659=92×539

      539=11×49,故43659的質因數分解如下

      34×72×11

      故有3個不同的質因數,應選(3)。

    3. 利用公式13+23++n3=(n(n+1)2)2,可計算出(11)3+(12)3++(20)3之值為
      1. 41075
      2. 41095
      3. 41115
      4. 41135
      5. 41155
    4. 訣竅注意到所求可改寫為13++203減去13++103後即可利用該公式進行計算。
      解法將所求改寫並利用公式計算如下

      113++203=(13++203)(13++103)=(20212)2(10112)2=2102552=441003025=41075

      應選(1)。

    5. 台北銀行最早發行的樂透彩(俗稱小樂透)的玩法是「426」:購買者從0142中任選六個號碼,當這六個號碼與開出的六個號碼完全相同(不計次序)時即得頭獎;台北銀行曾考慮改發行「395」的小小樂透:購買者從0139中任選五個號碼,如果這五個號碼與開出的五個號碼完全相同(不計次序)則得頭獎。假設原來的小樂透中頭獎的機率是R,而曾考慮發行的小小樂透中頭獎的機率是r。試問比值rR最接近下列哪個選項?
      1. 3
      2. 5
      3. 7
      4. 9
      5. 11
    6. 訣竅對於中獎機率獲得精確列式,隨後估算之。
      解法小樂透的不計次序的所有號碼數量為C426,其頭獎情形僅有1種,故R=1C426;類似的小小樂投不計次序的所有情形有C395種,故中獎機率為r=1C395,因此所求為

      rR=C426C395=42!5!34!6!36!39!=42414063536=829=9199

      應選(4)。

    7. a,b為正整數,已知log7a=11log7b=13;試問log7(a+b)之值最接近下列哪個選項?
      1. 12
      2. 13
      3. 14
      4. 23
      5. 24
    8. 訣竅直接寫出ab來考慮之。
      解法按條件可知a=711b=713,從而有a+b=713(1+72),故

      log7(a+b)=log7713+log7(1+72)13+0=13

      應選(2)。

    9. 某校高一第一次段考數學成績不太理想,多數同學成績偏低;考慮到可能是同學們適應不良所致,數學老師決定將每人的原始成績取平方根後再乘以10作為正式紀錄的成績。今隨機抽選100位同學,發現調整後的成績其平均為65分,標準差為15分;試問這100位同學未調整前的成績之平均M介於哪兩個連續正整數之間?(第7頁附有標準差公式)
      1. 40M<41
      2. 41M<42
      3. 42M<43
      4. 43M<44
      5. 44M<45
    10. 訣竅運用適當的記號代表原始成績與調整後的成績,接著按照標準差的定義列式後即可求解。
      解法設全體同學之原始數學成績為xi,其中i[1,100]為正整數,那麼新成績為yi=10xi。按題目給定的標準差資訊可知

      152=199(100i=1y2i100652)

      因此

      225=10099100i=1xi100422599

      故得這100位同學的原始成績總和

      100i=1xi=4225+22599100

      從而原始成績的平均為

      M=1100100i=1xi=42.25+2.250.99=44.50.0225=44.4775

      故選(5)。
  3. 多選題
  4. 說明:第6至第11題,每題至少有一個選項是正確的,選出正確選項,劃記在答案卡之「解答欄」。每題答對得5分,答錯不倒扣,未答者不給分。只錯一個可獲2.5分,錯兩個或兩個以上不給分。
    1. 如右圖所示,兩射線OAOB交於O點,試問下列選項中哪些向量的終點會落在陰影區域內?
      1. OA+2OB
      2. 34OA+13OB
      3. 34OA13OB
      4. 34OA+15OB
      5. 34OA15OB
    2. 訣竅運用分點公式可推知落於¯AB線段上,依此為基礎觀察是否會往陰影區域移動即可。
      解法
      1. 由於13OA+23OB落於¯AB上,故以O為中心延長3倍可得OA+2OB落於陰影區域內。
      2. 由於913OA+413OB落於¯AB線段上,故以O為中心延長1312倍可得34OA+13OB會落於陰影區域內。
      3. 由於34OA落在¯OA上,接著減去13¯OB則朝左邊前進,故不落於陰影區域內。
      4. 由於1519OA+419OB落於¯AB上,則縮小1920倍則得34OA+15OB落於ΔABC中而非陰影區域內。
      5. 由於34OA落在¯OA上,接著減去15¯OB則朝左邊前進,故不落於陰影區域內。
      由以上分析可知應選(1)(2)。

    3. 如右圖所示,坐標平面上一鳶形ABCD,其中A,Cy-軸上,B,Dx-軸上,且¯AB=¯AD=2¯BC=¯CD=4¯AC=5。令mABmBCmCDmDA分別表直線ABBCCDDA之斜率。試問以下哪些敘述成立?
      1. 此四數值中以mAB為最大
      2. 此四數值中以mBC為最大
      3. mBC=mCD
      4. mAB×mBC=1
      5. mCD+mDA>0
    4. 訣竅由圖形比較斜率大小即可。
      解法直接由圖可直接知道斜率之大小mCD>mAB>0>mAD>mBC,故選項(1)錯誤而選項(2)正確。

      利用對稱性可知mAB+mAD=0=mBC+mCD,故選項(3)正確。又由於ΔABC並非直角三角形,故mAB×mBC1,因此選項(4)錯誤。再者可以直接觀察下列不等式

      mCD+mDA>mAB+mDA=0

      選項(5)。

      因此由以上分析可知應選(2)(3)(5)。

    5. 假設坐標空間中三相異平面E1E2E3皆通過(1,2,0)(3,0,2)兩點,試問以下哪些點也同時在此三平面上?
      1. (2,2,2)
      2. (1,1,1)
      3. (4,2,2)
      4. (2,4,0)
      5. (5,4,2)
    6. 訣竅由幾何意義可知E1,E2,E3至少交於一線,因此應選出落在(1,2,0)(3,0,2)所形成的直線上的點。
      解法在空間中通過(1,2,0)(3,0,2)的直線方程式為

      {x=1+4t,y=22t,z=2t,  tR

      1. 1+4t=2,則t=34,從而過點(2,12,32),故沒通過(2,2,2),因此(2,2,2)未必在三平面上。
      2. 1+4t=1,則t=12,從而過點(1,1,1),因此(1,1,1)必在三平面上。
      3. 1+4t=4,則t=54,從而過點(4,12,52),故沒通過(4,2,2),因此(4,2,2)未必在三平面上。
      4. 14t=2,則t=34,從而過點(2,12,32),過沒通過(2,4,0),因此(2,4,0)未必在三平面上。
      5. 1+4t=5,則t=1,從而過點(5,4,2),故沒通過(5,4,2),因此(5,4,2)未必在三平面上。
      由以上分析可知應選(2)。

    7. 0<θ<π4,試問以下哪些選項恆成立?
      1. sinθ<cosθ
      2. tanθ<sinθ
      3. cosθ<tanθ
      4. sin2θ<cos2θ
      5. tanθ2<12tanθ
    8. 訣竅注意到正弦與餘弦的在銳角的變化趨勢。
      解法
      1. 由於0<θ<π4,因此

        sinθ<sinπ4=22<cosθ

        故本選項正確。
      2. 由於

        tanθ=sinθcosθ>sinθ1=sinθ

        或者取θ=π6,如此有tanπ6=13=33>12=sinπ6,因此本選項錯誤。
      3. 本選項錯誤,若取θ=π6,因此

        cosπ6=32>tanπ6=13=33

      4. 本選項是錯誤的,取θ=π6有得下列的反例

        sinπ3=32>12=cosπ3

      5. 這是正確的,利用正切函數的倍角公式可得

        12tanθ>122tanθ21tan2θ2=tanθ21tan2θ2>tanθ2

      由以上分析可知應選(1)(5)。

    9. F1F2為坐標平面上雙曲線Γ:x29y216=1的兩個焦點,PΓ上一點,使得此三點構成一等腰三角形。試問以下哪些值可能是這些等腰三角形的周長?
      1. 20
      2. 24
      3. 28
      4. 32
      5. 36
    10. 訣竅運用雙曲線的定義並留意等腰三角形的腰之位置共有兩種可能。
      解法由方程可知a=3b=4,從而c=5,故¯F1F2=10。再者由雙曲線的定義可知|¯PF1¯PF2|=6。因此等腰三角形ΔF1PF2有兩種可能如下:若¯PF1=¯F1F2=10,則¯PF2=16¯PF2=4,因此ΔF1PF2周長可能為3624,應選(2)(5)。

    11. S為空間中一球面,¯AB為其一直徑,且¯AB=10。若P為空間中一點,使得¯PA+¯PB=14, 則P點的位置可能落在哪裡?
      1. 線段¯AB上;
      2. 直線AB上,但不在線段¯AB上;
      3. 球面S上;
      4. S的內部,但不在線段¯AB上;
      5. S的外部,但不在線段¯AB上。
    12. 訣竅聯想到橢圓的定義上可推知P滿足¯PA+¯PB=14形成空間中的橢球
      解法聯想到橢圓的定義上可推知P滿足¯PA+¯PB=14形成空間中的橢球,其中半長軸長為7AB為兩焦點,故P不可能落於¯AB上,從而應選(2)(3)(4)(5)。
第二部分:填充題
說明:
  1. AI題,將答案標示在答案卡之「解答欄」所標示的列號(12-34)處。
  2. 每題完全答對給5分,答錯不倒扣,未完全答對不給分。
  1. 若多項式x2+x+2能整除x5+x4+x3+px2+2x+q,則p=_q=_
  2. 訣竅進行多項式除法後比較係數可獲得聯立方程,解開該聯立方程即可。
    解法進行橫式多項式除法可得

    x5+x4+x3+px2+2x+q=(x2+x+2)x3+(x3+px2+2x+q)=(x2+x+2)(x3x)(p+1)x2+4x+q=(x2+2x+2)[x3x+(p+1)]+(3p)x+(q2p2)

    由於x2+x+2能整除x5+x4+x3+px2+2x+q,因此3p=0q2p2=0,如此解得p=3q=8,填入=3=8

  3. 在坐標平面上,正方形ABCD 的四個頂點坐標分別為A(0,1),B(0,0),C(1,0),D(1,1)。設P為正方形ABCD內部的一點,若ΔPDAΔPBC的面積比為1:2,且ΔPABΔPCD的面積比為2:3,則P點的坐標為(_,_)。(化成最簡分數)
  4. 訣竅面積比所代表的線段比。
    解法首先作過P的鉛直線交¯AD¯BCEF,那麼由ΔPDAΔPBC的面積比為1:2可得¯EP:¯PF=1:2,因此Py座標為23。接著作過P的水平線交¯AB¯CDGH,那麼由ΔPABΔPCD的面積比為2:3可知¯GP:¯PH=2:3,從而Px座標為25。綜合可知P之座標為(25,23),由此填入=2=5=2=3

  5. 在數線上有一個運動物體從原點出發,在此數線上跳動,每次向正方向或負方向跳1個單位,跳動過程可重複經過任何一點。若經過6次跳動後運動物體落在點+4處,則此運動物體共有_種不同的跳動方法。
  6. 訣竅直接分析並條列出所有的跳動方法即可。
    解法為了最後落點在+4處,必須往右跳5次而往左跳1次,因此共有下列6種跳動方法:
    • ←→→→→→
    • →←→→→→
    • →→←→→→
    • →→→←→→
    • →→→→←→
    • →→→→→←
    故填=6

  7. 設複數z=1i;若1+z+z2++z9=a+bi,其中a,b為實數,則a=_b=_
  8. 訣竅運用等比級數計算之。
    解法運用等比級數公式可得

    a+bi=1+z+z2++z9=1z101z=1(z2)5i=1(2i)5i=1+32ii=32i

    a=32b=1,因此填入=3=2==1

  9. O為坐標平面上的原點,P點坐標為(2,1);若AB分別是正x-軸及正y-軸上的點,使得PAPB,則ΔOAB面積的最大可能值為  _。(化成最簡分數)
  10. 訣竅直接設定座標獲得限制條件後求其極大值,應使用算術幾何不等式。
    解法A(a,0)B(0,b),由於PAPB,如此利用內積可得

    PAPB=(a2,1)(2,b1)=2ab+5=0

    如此有2a+b=5,而ΔOAB的面積為ab2,那麼利用算術幾何不等式可知

    52=2a+b22ab

    兩邊平方後同除以4可得

    ΔOAB=ab22516

    故最大值為2516,因此填入=2=5=1=6

  11. 如右圖所示,在ΔABC中,BAC的平分線AD交對邊¯BCD;已知¯BD=3¯DC=6,且¯AB=¯AD,則cosBAD之值為_。(化成最簡分數)
  12. 訣竅利用面積關係求該角之正弦值,隨後求其餘弦值;亦可根據要求某個角度的餘弦值,從而要使用餘弦定理。
    解法一BAD=θ,那麼BAC=2θ。首先由角平分線的特性可知¯AB:¯AC=1:2,故設¯AB=¯AD=x以及¯AC=2x。運用面積關係有ΔABC=ΔADB+ΔADC,從而有

    12x2xsin2θ=12xxsinθ+12x2xsinθ

    又由sin2θ=2sinθcosθ,因此兩邊約去2x2sinθ可得

    cosθ=34

    因此填入=3=4
    解法二由角平分線的特性可知¯AB:¯AC=1:2,因此設¯AB=¯AD=x,而¯AC=2x。如此在ΔABD中使用餘弦定理可知

    ¯AD2=¯BA2+¯BD22¯BA¯BDcosABD

    即有cosABD=32x。另一方面在ΔABC中使用餘弦定理可知

    ¯AC2=¯BA2+¯BC22¯BA¯BCcosBAC

    即有

    4x2=x2+922x932x

    整理有3x2=8127=54,如此可解得x=32(負不合)。現於ΔABD中使用餘弦定理可得

    32=(32)2+(32)223232cosBAD

    如此解得

    cosBAD=34

    因此填入=3=4

  13. 在坐標平面上,過F(1,0)的直線交拋物線Γ:y2=4xPQ兩點,其中P在上半平面,且知2¯PF=3¯QF,則P點的x-坐標為_。(化成最簡分數)
  14. 訣竅留意拋物線中的準線可將拋物線的點到焦點的距離改為點至直線的距離。
    解法由條件可知¯PF:¯QF=3:2,因此設¯PF=3k¯QF=2k,並且由拋物線的特性可知準線L的方程式為x=1,從而PQx座標為3k12k1,進而有P(3k1,23k1)Q(2k1,22k1)。現分別作PQx軸的垂足MN,那麼容易發現ΔPFMΔQFN,從而有

    23k122k1=32

    平方展開有

    3k12k1=94

    如此解得k=56,而P點的x座標則為3k1=32,填入=3=2

  15. x為一正實數且滿足x3x=318;若x落在連續正整數kk+1之間,則k=_
  16. 訣竅由於多項式和指數函數皆為連續函數,因此利用勘根定理即可。
    解法首先利用x=18試探可注意到

    18318>318

    接著使用x=17

    17317>3317=318

    接著使用x=16

    16316>9316=318

    接著使用x=15

    15315<27315=318

    因此可以知道該實根介於1516之間,故k=15,填入=1=5

  17. 如右圖所示,ABCDEFGH為邊長等於1之正立方體。若P點在立方體之內部且滿足AP=34AB+12AD+23AE,則P點至直線AB之距離為_。(化成最簡分數)
  18. 訣竅運用座標表示法處理之。
    解法A(0,0,0)B(1,0,0)D(0,1,0)E=(0,0,1),從而P(34,12,23),故P到直線AB的距離即為Px軸的距離,可以計算如下

    (12)2+(23)2=2536=56

    因此填入=5=6

參考公式及可能用到的數值

  1. 一元二次方程式ax2+bx+c=0的公式解:x=b±b24ac2a
  2. 平面上兩點P1(x1,y1)P2(x2,y2)間的距離為¯P1P2=(x2x1)2+(y2y1)2
  3. 通過(x1,y1)(x2,y2)的直線斜率m=y2y1x2x1x2x1
  4. 等比級數ark1的前n項之和Sn=a(1rn)1rr1
  5. 三角函數的和角公式:sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA
              tan(θ1+θ2)=tanθ1+tanθ21tanθ1tanθ2
  6. ΔABC的正弦定理:sinAa=sinBb=sinCc
    ΔABC的餘弦定理:c2=a2+b22abcosC
  7. 棣美弗定理:設z=r(cosθ+isinθ),則zn=rn(cosnθ+isinnθ)n為一正整數
  8. 算術平均數 M(=ˉX)=1n(x1+x2++xn)=1nni=1xi
    (樣本)標準差 S=1n1ni=1(xiˉX)2=1n1(ni=1x2inˉX2)
  9. 參考數值:21.414; 31.732; 52.236; 62.449; π3.142
  10. 對數值:log1020.3010log1030.4771log1050.6990log1070.8451

沒有留言:

張貼留言