九十五學年度數學學科能力測驗

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九十五學年度學科能力測驗試題

數學考科

－作答注意事項－

1. 考試時間：$100$分鐘
2. 題型題數：單選題$5$題，多選題$6$題，選填題第$A$至$I$題共$9$題
3. 作答方式：
   • 用2B鉛筆在「答案卡」上作答，修正時應以橡皮擦拭，切勿使用修正液
   • 答錯不倒扣
4. 作答說明：在答案卡適當位置選出數值或符號。請仔細閱讀下面的例子。
   1. 填答選擇題時，只用$1$，$2$，$3$，$4$，$5$等五個格子，而不需要用到$-$，$±$，以及$6$，$7$，$8$，$9$，$0$等格子。
      例：若第$1$題的選項為(1)$3$ (2)$5$ (3)$7$ (4)$9$ (5)$11$，而正確的答案為$7$，亦即選項(3)時，考生要在答案卡第$1$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$劃記（注意不是$7$）如：

      $\begin{array}{|c|}\hline解答欄\\\hline1~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}~\end{array}$

      例：若多選題第$10$題的正確選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡的第$10$列的$\underset{\boxed{~~}}{1}$與$\underset{\boxed{~~}}{3}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}10~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\color{black}{▆▆}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline\end{array}$

   2. 選填題的題號是A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。

      例：若第B題的答案格式是$\displaystyle\underline{\frac{⑱}{⑲}}$，而依題意計算出來的答案是$\displaystyle\frac{3}{8}$，則考生必須分別在答案卡上的第$18$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$與第$19$列的$\underset{\boxed{~~}}{8}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}18~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\19~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\color{black}{▆▆}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

      例：若第C題的答案格式是$\displaystyle\underline{\frac{⑳㉑}{50}}$，而答案是$\displaystyle\frac{-7}{50}$時，則考生必須分別在答案卡的第$20$列的$\underset{\boxed{~~}}{-}$與第$21$列的$\underset{\boxed{~~}}{7}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}20~~\underset{\color{black}{▆▆}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline21~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\color{black}{▆▆}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

5. ※試題後附有參考公式及可能用到的對數值與參考數值

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第一部分：選擇題（佔$55$分）

1. 單選題（佔$25$分）
說明：第$1$至$5$題，每題選出最適當的一個選項，標示在答案卡之「解答欄」，每題答對得$5$分，答錯不倒扣。
1. 設一元二次整係數方程式$ax^2+bx+c=0$有一根為$4+3i$。若將此方程式的兩根與原點在複數平面上標出，則此三點所圍成的三角形面積為
   1. $5$
   2. $6$
   3. $12$
   4. $16$
   5. $24$
訣竅
整係數方程式為實係數方程式之特例，因此會有虛根成對。
解法
由於虛根成對，因此另外一個虛根為$4-3i$，故三點形成的三角形面積為$\displaystyle\frac{1}{2}\cdot8\cdot3=12$，故選(3)。


2. 在右圖的棋盤方格中，隨機任意取兩個格子。選出的兩個格子不在同行（有無同列無所謂）的機率為
   
   1. $\displaystyle\frac{1}{20}$
   2. $\displaystyle\frac{1}{4}$
   3. $\displaystyle\frac{3}{4}$
   4. $\displaystyle\frac{3}{5}$
   5. $\displaystyle\frac{4}{5}$
訣竅
在選取格子時應留意重複計算之情形應排除。
解法
隨機任取兩個之方法數為$\displaystyle C_15^{16}=120$，而選出兩個格子不在同行的方法數為$\displaystyle\frac{16\cdot12}{2}=96$，故機率為$\displaystyle\frac{96}{120}=\frac{4}{5}$，因此選(5)。


3. 右圖是由三個直角三角形推疊而成的圖形，且$\overline{OD}=8$。問：直角三角形$OAB$的高$\overline{AB}$的為何？
   
   1. $1$
   2. $\sqrt{6}-\sqrt{2}$
   3. $\sqrt{7}-1$
   4. $\sqrt{3}$
   5. $2$
訣竅
運用三角函數表達$\overline{AB}$後並使用公式化簡之；亦可詳細地計算每段之長度後求得$\overline{AB}$。
解法一
可以用正弦與餘弦函數表達$\overline{AB}$如下
$\displaystyle\overline{AB}=\overline{OB}\sin15^\circ=\overline{OC}\cos15^\circ\sin15^\circ=\overline{OD}\cos30^\circ\cos15^\circ\sin15^\circ=8\cdot\frac{\cos30^\circ\sin30^\circ}{2}=8\cdot\frac{\sin60^\circ}{4}=\sqrt{3}$
應選(4)。
解法二
可以依序計算$\overline{OC}$、$\overline{OB}$、$\overline{AB}$如下：
$\displaystyle\overline{OC}=\overline{OD}\cos30^\circ=8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$
$\displaystyle\overline{OB}=\overline{OC}\cos15^\circ=4\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=3\sqrt{2}+\sqrt{6}$
最後有
$\displaystyle\overline{AB}=\overline{OB}\sin15^\circ=\left(3\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)\cdot\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=\frac{6\sqrt{3}-6+6-2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$
故選(4)。


4. 下列哪一個數值最接近$\sqrt{2}$？
   1. $\sqrt{3}\cos44^\circ+\sin44^\circ$
   2. $\sqrt{3}\cos54^\circ+\sin54^\circ$
   3. $\sqrt{3}\cos64^\circ+\sin64^\circ$
   4. $\sqrt{3}\cos74^\circ+\sin74^\circ$
   5. $\sqrt{3}\cos84^\circ+\sin84^\circ$
訣竅
運用和角公式改寫各個選項即可。
解法
利用$\sqrt{3}\cos\theta+\sin\theta=2\sin\left(\theta+60^\circ\right)$，從而各個選項可以改寫如下
1. 此選項為$2\sin104^\circ=2\sin76^\circ$
2. 此選項為$2\sin114^\circ=2\sin66^\circ$
3. 此選項為$2\sin124^\circ=2\sin56^\circ$
4. 此選項為$2\sin134^\circ=2\sin46^\circ$
5. 此選項為$2\sin144^\circ=2\sin36^\circ$
其中又當$2\sin45^\circ=\sqrt{2}$，因此選項(4)最為接近，故劃記選項(4)。


5. 在養分充足的情況下，細菌的數量會以指數函數的方式成長，假設細菌$A$的數量每兩個小時可以成長為兩倍，細菌$B$的數量每三個小時可以成長為三倍。若養分充足且一開始兩種細菌的數量相等，則大約幾小時後細菌$B$的數量除以細菌$A$的數量最接近$10$？
   1. $24$小時。
   2. $48$小時。
   3. $69$小時。
   4. $96$小時。
   5. $117$小時。
訣竅
考慮相同的時間間距下兩種細菌之成長速度後進行比較即可。
解法
設兩種細菌一開始皆有$N$隻，且每過$6$個小時細菌$A$會變為$8$倍，而細菌$B$則會變為$9$倍，那麼每經過$t$個$6$小時則細菌$A$會變成$8^tN$隻而細菌$B$為$9^tN$隻。按題意解
$\displaystyle\frac{9^tN}{8^tN}=10$
同取以$10$為底的對數可得
$t\left(\log9-\log8\right)=1$
從而解得
$\displaystyle t=\frac{1}{2\log3-3\log2}$
因此所求之小時數為
$\displaystyle6t=\frac{6}{2\log3-3\log2}\approx\frac{6}{2\cdot0.4771-3\cdot0.301}=\frac{6}{0.0512}=117.1875$
故選(5)。


2. 多選題（佔$30$分）
說明：第$6$至第$11$題，每題的五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的，選出正確選項標示在答案卡之「解答欄」。每題皆不倒扣，五個選項全部答對者得$5$分，只錯一個選項可得$2.5$分，錯兩個或兩個以上選項不給分。
6. 假設$a,b,c$是三個正整數。若$25$是$a,b$的最大公因數，且$3,4,14$都是$b,c$的公因數，則下列何者正確？
   1. $c$一定可以被$56$整除。
   2. $b\geq2100$。
   3. 若$a\leq100$，則$a=25$。
   4. $a,b,c$三個數的最大公因數是$25$的因數。
   5. $a,b,c$三個數的最小公倍數大於或等於$25\times3\times4\times14$。
訣竅
運用因數倍數的觀念分析選項。
解法
1. 由於$c$是$3$與$4$與$14$的倍數，可以取$c=84$滿足條件但並非$56$的倍數，故本選項錯誤。
2. 由於$b$為$3$與$4$與$14$與$25$的倍數，因此$b$為四者最小公倍數的倍數，而四者最小公倍數為$2100$，因此$b\geq2100$，本選項正確。
3. 由於$a$為$25$的倍數又不超過$100$，那麼$a$僅可能為25,50,75,100$。假若$a=50,75,100$，那麼由於$b$為$2100$的倍數，那麼$a$與$b$的公因數則不可能只有$25$，從而矛盾。故此時$a$必為$25$，此選項正確。
4. $a,b,c$三者的最大公因數必為$a,b$最大公因數的因數，即為$25$的因數，故本選項正確。
5. 本選錯誤。取$a=25$、$b=2100$、$c=84$，那麼最小公倍數為$2100$，並非選項所述之數字。
由以上分析可知應選(2)(3)(4)。


7. 考慮坐標平面上所有滿足$\sqrt{\left(x−2\right)^2+y^2}+\sqrt{\left(x−2\right)^2+\left(y+4\right)^2}=10$的點$\left(x,y\right)$所成的圖形，下列敘述何者正確？
   1. 此圖形為一橢圓。
   2. 此圖形為一雙曲線。
   3. 此圖形的中心在$\left(2,−2\right)$。
   4. 此圖形對稱於$x−2=0$。
   5. 此圖形有一頂點$\left(2,3\right)$。
訣竅
首先可以由方程式該出為兩線段和為定值，因此可能為橢圓方程式。
解法
設$P\left(x,y\right)$、$F_1\left(2,0\right)$、$F_2\left(2,-4\right)$，而$2a=10>4=\overline{F_1F_2}$，則$P$所形成的圖形為橢圓，故(1)正確而(2)錯誤。
由於$F_1,F_2$為橢圓的兩焦點，故中心位於$\overline{F_1F_2}$的中點$\left(2,-2\right)$，並容易注意到圖形對稱於x=2$與$y=-2$，因此選項(3)(4)皆正確。再者由於$2a=10$，因此知道$a=5$，如此推知長軸頂點為$\left(2,-2\pm5\right)$，故選項(5)正確。
由以上的說明可知應選(1)(3)(4)(5)。


8. 假設實數$a_1,a_2,a_3,a_4$是一個等差數列，且滿足$0<a_1<2$及$a_3=4$。若定義$b_n=2^{a_n}$，則以下哪些選項是對的？
   1. $b_1,b_2,b_3,b_4$是一個等比數列。
   2. $b_1<b_2$。
   3. $b_2>4$。
   4. $b_4>32$。
   5. $b_2\times b_4=256$。
訣竅
注意到將等差數列取指數後將呈現出等比數列，並藉由估算來分析各個選項。
解法
1. 由於$a_1,a_2,a_3,a_4$為等差數列，設公差為$d$，那麼可以檢驗出

   $\displaystyle\frac{b_{k+1}}{b_k}=2^{a_{k+1}-a_k}=2^d$

   此表明$b_1,b_2,b_3,b_4$是公比為$2^d$的等比數列，此選項正確。
2. 由於$a_1$介於$0$與$2$之間而$a_3=4$，故$d>0$，從而$b_1=2^{a_1}<2^{a_2}=b_2$，此選項正確。
3. 首先由等差中項可知$\displaystyle a_2=\frac{a_1+a_3}{2}$，因此$2<a_2<3$，故$4<b_2<8$，從而本選項正確。
4. 由於公差為$\displaystyle d=\frac{a_3-a_1}{2}$，故$\displaystyle1<d<2$。又因$a_4=a_3+d$，故$5<a_4<6$，從而$b_4=2^{a_4}>2^5=32$，本選項正確。
5. 由於$b_2\times b_4=2^{a_2+a_4}=2^{2a_3}=2^8=256$，故本選項正確。
由以上可知應選(1)(2)(3)(4)(5)。


9. 學生練習計算三次多項式$f\left(x\right)$除以一次多項式$g\left(x\right)$的餘式。已知$f\left(x\right)$的三次項係數為$3$，一次項係數為$2$。甲生在計算時把$f\left(x\right)$的三次項係數錯看成$2$（其它係數沒看錯），乙生在計算時把$f\left(x\right)$的一次項係數錯看成$−2$（其它係數沒看錯）。而甲生和乙生算出來的餘式剛好一樣。試問$g\left(x\right)$可能等於以下哪些一次式？
   1. $x$
   2. $x-1$
   3. $x-2$
   4. $x+1$
   5. $x+2$
訣竅
按題意列式等式並藉由運算消去無關之未知數，最後由因式的概念推敲出正確的選項。
解法
按題設$f\left(x\right)=3x^2+ax^2+2x+b$，並根據甲乙兩人進行除法之情形列式如下
$\begin{aligned} &2x^3+ax^2+2x+b=g\left(x\right)q_1\left(x\right)+R\\&3x^3+ax^2-2x+b=g\left(x\right)q_2\left(x\right)+R\end{aligned}$
其中$q_1,q_2$分別為甲乙兩人進行計算時的商式而$R$為共同的餘式。將兩式相減可得
$\displaystyle x^3-4x=g\left(x\right)\left(q_1\left(x\right)-q_2\left(x\right)\right)$
因此$g$為$x^3-4x=x\left(x-2\right)\left(x+2\right)$的因式，故$g$可能為$x$或$x-2$或$x+2$，應選(1)(3)(5)。


10. 下圖是根據$100$名婦女的體重所作出的直方圖（圖中百分比數字代表各體重區間的相對次數，其中各區間不包含左端點而包含右端點）。該$100$名婦女體重的平均數為$55$公斤，標準差為$12.5$公斤。曲線$N$代表一常態分佈，其平均數與標準差與樣本值相同。在此樣本中，若定義「體重過重」的標準為體重超過樣本平均數$2$個標準差以上（即體重超過$80$公斤以上），則下列敘述哪些正確？
    
    1. 曲線$N$（常態分佈）中，在$55$公斤以上所佔的比例約為$50\%$。
    2. 曲線$N$（常態分佈）中，在$80$公斤以上所佔的比例約為$2.5\%$。
    3. 該樣本中，體重的中位數大於$55$公斤。
    4. 該樣本中，體重的第一四分位數大於$45$公斤。
    5. 該樣本中，「體重過重」（體重超過$80$公斤以上）的比例大於或等於$5\%$。
訣竅
注意到在常態分佈下，在一定標準差之內的比例數量有特定的規律。
解法
1. 在常態分佈中，在平均數以上的人數所佔比例約為$50\%$，而$55$公斤為平均數，故在$55$公斤以上的所佔比例約為$50\%$，故本選項正確。
2. 在常態分佈中，以平均數為中點而介在兩個標準差的人口比例約為$95\%$，故高於兩倍標準差或低於兩倍標準差的人口約為$5\%$，又由對稱性可之高於兩倍標準差的人口約為$2.5\%$，因此超過$80$公斤的人口約為$2.5\%$，故本選項正確。
3. 在樣本中，中位數介在$45$至$55$的區間中，故沒有大於$55$公斤，故本選項錯誤。
4. 由於有$20\%$的人口小於$45$公斤，故第一四分位數（近乎第$25\%$的位置）超過$45$公斤，故本選項正確。
5. 由圖可知樣本中超過$85$公斤的人口比例有$5\%$，故超過$80$公斤的人口比例至少有$5\%$，本選項正確。
由以上分析可知應選(1)(2)(4)(5)。


11. 將正整數$18$分解成兩個正整數的乘積有

    $1\times18$，$2\times9$，$3\times6$

    三種，又$3\times6$是這三種分解中，兩數的差最小的，我們稱$3\times6$為$18$的最佳分解。當$p\times q$（$p\leq q$）是正整數$n$的最佳分解時，我們規定函數$\displaystyle F\left(n\right)=\frac{p}{q}$，例如$\displaystyle F\left(18\right)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。下列有關函數$F\left(n\right)$的敘述，何者正確？
    1. $F\left(4\right)=1$。
    2. $\displaystyle F\left(24\right)=\frac{3}{8}$。
    3. $F\left(27\right)=\frac{1}{3}$。
    4. 若$n$是一個質數，則$\displaystyle F\left(n\right)=\frac{1}{n}$。
    5. 若$n$是一個完全平方數，則$F\left(n\right)=1$。
訣竅
按題目的設定對給定的正整數進行因數分解後即可答題。
解法
1. 因為$2\times2$為$4$的最佳分解，因此$\displaystyle F\left(4\right)=\frac{2}{2}=1$，故此選項正確。
2. 因為$4\times6$為$24$的最佳分解，因此$\displaystyle F\left(24\right)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\neq\frac{3}{8}$，故本選項錯誤。
3. 因為$3\times9$為$27$的最佳分解，因此$\displaystyle F\left(27\right)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，故此選項正確。
4. 假若$n$為質數，則其最佳分解為$1\times n$，從而$\displaystyle F\left(n\right)=\frac{1}{n}$，本選項正確。
5. 假若$n$為完全平方數，則存在正整數$k$滿足$k\times k=n$，易知此為$n$的最佳分解，從而$\displaystyle F\left(n\right)=\frac{k}{k}=1$，故本選項正確。
由以上分析可知應選(1)(3)(4)(5)。

第二部分：選填題（佔$45$分）

說明：

1. 第$A$至$I$題，將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號(12-32)處。
2. 每題完全答對給$5$分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

1. 抽樣調查某地區$1000$個有兩個小孩的家庭，得到如下數據，其中（男，女）代表第一個小孩是男孩而第二個小孩是女生的家庭，餘類推。

   $\begin{array}{|c|c|}\hline家庭別&家庭數\\\hline（男,男）&261\\\hline（男，女）&249\\\hline（女，男）&255\\\hline（女，女）&235\\\hline\end{array}$

   由此數據可估計該地區有兩個小孩家庭的男、女孩性別比約為

   $\underline{⑫⑬⑭}:100$

   （四捨五入至整數位）。
訣竅
運用四則運算求出男女人數後按性別的定義求其近似值。
解法
直接計算可知男生有$2\cdot261+249+255=1026$人，而女生有$249+255+2\cdot235=974$人，故男女比為$\displaystyle1026:974=\frac{1026}{974}\cdot100:100$，可以知道
$\displaystyle\frac{1026}{974}\cdot100=\frac{51300}{487}\approx105.33$
應填入$⑫=1$、$⑬=0$、$⑭=5$。


2. 下圖為一正立方體，若$M$在線段$\overline{AB}$上，$\overline{BM}=2\overline{AM}$，$N$為線段$\overline{BC}$之中點，則$\displaystyle\cos\angle MON=\underline{\frac{⑰}{⑮⑯}}\sqrt{10}$。（分數要化成最簡分數）
   
訣竅
在正立方體中設定座標後運用向量內積求角度之餘弦值
解法
設$O$為原點，而$A$為$\left(0,0,6k\right)$、$B$為$\left(6k,0,6k\right)$、$C$為$\left(6k,6k,6k\right)$，從而有$M$為$\left(2k,0,6k\right)$、$N$為$\left(6k,3k,6k\right)$，故運用內積有
$\displaystyle\cos\angle MON=\frac{\overset{\rightharpoonup}{OM}\cdot\overset{\rightharpoonup}{ON}}{\left|\overset{\rightharpoonup}{OM}\right|\left|\overset{\rightharpoonup}{ON}\right|}=frac{12k^2+36k^2}{\sqrt{4k^2+36k^2}\cdot\sqrt{36k^2+9k^2+36k^2}}=\frac{48k^2}{\sqrt{40}k\cdot9k}=\frac{48}{18\sqrt{10}}=\frac{4}{15}\sqrt{10}$
因此填入$⑮=1$、$⑯=5$、$⑰=4$。


3. 給定平面上三點$\left(−6,−2\right)$，$\left(2,−1\right)$，$\left(1,2\right)$。若有第四點和此三點形成一菱形（四邊長皆相等），則第四點的坐標為$\left(\underline{⑱},\underline{⑲}\right)$。
訣竅
按條件先判斷出何者為對角線段，並利用對角線互相平分的特點求出第四點之坐標。
解法
設$A\left(-6,-2\right)$，$B\left(2,-1\right)$，$C\left(1,2\right)$，而第四點$D$為$\left(x,y\right)$，那麼由於$\overline{AB}=\overline{AC}=\sqrt{65}$、$\overline{BC}=\sqrt{10}$，可以知道$\overline{BC}$為對角線。故可知道$A+D=B+C$，從而
$D=B+C-A=\left(2,-1\right)+\left(1,2\right)-\left(-6,-2\right)=\left(9,3\right)$
因此填入$⑱=9$、$⑲=3$。


4. 如圖所示，$ABCD$為圓內接四邊形：
   
   若$\angle DBC=30^\circ$，$\angle ABD=45^\circ$，$\overline{CD}=6$，則線段$\overline{AD}=\sqrt{\underline{⑳㉑}}$。
訣竅
運用圓周角相等將角度之位置轉移後使用正弦定理即可。
解法
由於$ABCD$為圓內接四邊形，因此$\angle DAC=\angle DBC=30^\circ$，$\angle ACD=\angle ABD=45^\circ$。在$\Delta ACD$中使用正弦定理如下
$\displaystyle\frac{\overline{AD}}{\sin\angle ACD}=\frac{\overline{CD}}{\sin\angle DAC}$
即有
$\displaystyle\overline{AD}=\overline{CD}\cdot\frac{\sin45^\circ}{\sin30^\circ}=6\cdot\frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{72}$
故填入$⑳=7$、$㉑=2$。


5. 新新鞋店為與同業進行促銷戰，推出「第二雙不用錢---買一送一」的活動。該鞋店共有八款鞋可供選擇，其價格如下：

   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline款式&甲&乙&丙&丁&戊&己&庚&辛\\\hline價格&670&670&700&700&700&800&800&800\\\hline\end{array}$

   規定所送的鞋之價格一定少於所買的價格（例如：買一個「丁」款鞋，可送甲、乙兩款鞋之一）。若有一位新新鞋店的顧客買一送一，則該顧客所帶走的兩雙鞋，其搭配方法一共有$\underline{㉒㉓}$種。
訣竅
直接按促銷規則條列可能的數量。
解法
買甲或乙則沒有辦法適用該活動；買丙、丁或戊則可送甲或乙；買己、庚或辛則可送甲、乙、丙、丁或戊，故有$3\times2+3\times5=21$種搭配方法。


6. 某地共有$9$個電視頻道，將其分配給$3$個新聞台、$4$個綜藝台及$2$個體育台共三種類型。若同類型電視台的頻道要相鄰，而且前兩個頻道保留給體育台，則頻道的分配方式共有$\underline{㉔㉕㉖}$種。
訣竅
運用乘法原理依序決定每個步驟的方法數後相乘起來即可。
解法
首先前兩台是體育台，故可以交換兩台之順序；接著的順序可能是先「綜藝台」後「新聞台」也可能是先「新聞台」後「綜藝台」，故又有兩種可能。再者新聞台三台可任意排列有$3!=6$種，而綜藝台四台可任意排列有$4!=24$種，因此運用乘法原理可知總數為
$2\times2\times6\times24=576$種
因此填入$㉔=5$、$㉕=7$、$㉖=6$。


7. 用黑、白兩種顏色的正方形地磚依照如下的規律拼成若干圖形：
   
   拼第$95$個圖需用到$\underline{㉗㉘㉙}$塊白色地磚。
訣竅
比較兩個圖之間的差異可以發現白色地磚的數量形成等差數列。
解法
由於白色地磚的數量形成等差數列，其首項為$8$而公差為$5$，因此第$n$個圖的白色地磚數量為$8+5\left(n-1\right)=5n+3$，因此第$95$張圖有$478$塊白色地磚，故填入$㉗=4$、$㉘=7$、$㉙=8$。


8. 在三角形$ABC$中，若$D$點在$\overline{BC}$邊上，且$\overline{AB}=7$，$\overline{AC}=13$，$\overline{BD}=7$，$\overline{CD}=8$，則$\overline{AD}=\underline{㉚}$。
訣竅
運用餘弦定理算兩次即可。
解法
設$\angle B=\theta$，那麼在$\Delta ABC$中使用餘弦定理
$\overline{AC}^2=\overline{BA}^2+\overline{BC}^2-2\overline{BA}\cdot\overline{BC}\cos\theta$
根據題意代入資訊後可解得$\displaystyle\cos\theta=\frac{1}{2}$。接著在$\Delta ABD$中使用餘弦定理有
$\displaystyle\overline{AD}^2=\overline{BA}^2+\overline{BD}^2-2\overline{BA}\cdot\overline{BD}\cos\theta=7^2+7^2-2\cdot7\cdot7\cdot\frac{1}{2}=49$
因此$\overline{AD}=7$。或可注意到$\theta=60^\circ$，從而$\Delta ABD$為等腰三角形且頂角為$60^\circ$，因此為正三角形，故$\overline{AD}=7$。應填入$㉚=7$。


9. 設$A\left(0,0\right)$，$B\left(10,0\right)$，$C\left(10,6\right)$，$D\left(0,6\right)$為坐標平面上的四個點。如果直線$y=m\left(x-7\right)+4$將四邊形$ABCD$分成面積相等的兩塊，那麼$\displaystyle m=\underline{\frac{㉜}{㉛}}$（化成最簡分數）。
訣竅
為了將長方形切割成面積相等的兩塊，則直線必須通過長方形之中心。
解法
容易注意到長方形$ABCD$之中心為$\left(5,3\right)$，而直線為了將長方形切為面積相等的兩塊，因此直線必須通過$\left(5,3\right)$，代入該座標後有$3=m\cdot\left(5-7\right)+4$，如此有$\displaystyle m=\frac{1}{2}$，因此填入$㉛=2$、$㉜=1$。

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參考公式及可能用到的數值

1. 一元二次方程式$ax^2+bx+c=0$的公式解：$\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
2. 平面上兩點$P_1\left(x_1,y_1\right)$，$P_2\left(x_2,y_2\right)$間的距離為$\overline{P_1P_2}=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$
3. 通過$\left(x_1,y_1\right)$與$\left(x_2,y_2\right)$的直線斜率$\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$，$x_2\neq x_1$
4. 等比級數$\left\langle ar^{k-1}\right\rangle$的前$n$項之和$\displaystyle S_n=\frac{a\cdot\left(1-r^n\right)}{1-r}$，$r\neq1$。
5. 三角函數的公式：$\sin\left(A+B\right)=\sin A\cos B+\sin B\cos A$
   　　　　　　　　$\cos\left(A+B\right)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$
   　　　　　　　　$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$
6. $\Delta ABC$的正弦定理：$\displaystyle\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}=\frac{1}{2R}$，$R$是外接圓半徑。
   $\Delta ABC$的餘弦定理：　$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$
7. 棣美弗定理：設$z=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)$，則$z^n=r^n\left(\cos n\theta+i\sin n\theta\right)$，$n$為一正整數
8. 算術平均數：$\displaystyle M\left(={\bar X}\right)=\frac{1}{n}\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$
   (樣本)標準差：　$\displaystyle S=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-{\bar X}\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^{n}x_i^2-n\bar{X}^2\right)}$
9. 參考數值：$\log2\approx0.3010$； $\log3\approx0.4771$； $\displaystyle\sin15^\circ=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$； $\displaystyle\cos15^\circ=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
10. 常態分佈：常態分佈的資料對稱於平均數$\mu$，且當標準差為$S$時，該資料大約有$68\%$落在區間$\left(\mu-S,\mu+S\right)$內，約有$95\%$落在區間$\left(\mu−2S,\mu+2S\right)$內，約有$99.7\%$落在區間$\left(\mu-3S,\mu+3S\right)$內。