幾何明珠 第七章 托勒密定理 練習與思考 詳解

1. 已知等腰梯形 $ABCD$，且 $AB//CD$，求證：

   $AC^2=AD^2+AB\cdot CD.$

解法
由於 $AB\parallel CD$，因此 $\angle A+\angle C=180^\circ$，又因 $ABCD$ 為等腰梯形，因此 $\angle C=\angle D$，從而有 $\angle A+\angle D=180^\circ$，故等腰梯形為圓內接四邊形。根據托勒密定理可知
$AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD.$
又因此為等腰梯形，因此可知 $BC=AD$ 且 $BD=AC$，故有
$AB\cdot AC+AD\cdot AD=AC\cdot AC.$
此即所欲證的等式，證明完畢。


2. 在 $\Delta ABC$ 中，$\angle A$ 的角平分線 $AD$ 與 $\angle B$ 的平分線交於 $I$，求證：

   $\displaystyle\frac{AI}{ID}=\frac{AB+AC}{BC}.$

解法一

運用角平分線的內分比性質可知

$\displaystyle\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}.$

又因 $BD+DC=BC$，從而有

$\displaystyle BD=\frac{AB\cdot BC}{AB+AC}.$

又 $BI$ 為 $\angle B$ 的角平分線，故再次使用內分比性質可知

$\displaystyle\frac{AI}{ID}=\frac{AB}{BD}=\frac{AB}{\displaystyle\frac{AB\cdot BC}{AB+AC}}=\frac{AB+AC}{BC}.$

解法二
作 $AI$ 的延長線交 $\Delta ABC$ 的外接圓於 $E$，那麼由托勒密定理有
$AB\cdot CE+AC\cdot BE=BC\cdot AE.$
再者由於 $AI$ 為角平分線，因此 $\angle BEC=\angle ECB$，故有 $BE=CE$，因此有
$\displaystyle\frac{AB+AC}{BC}=\frac{AE}{CE}.$
另外藉由計算角度可以發現兩組 AA 相似：$\Delta ACE\sim\Delta ADB$、$\Delta ABE\sim\Delta ADC$，這表明
$\displaystyle\frac{AC}{CD}=\frac{AE}{BE}=\frac{AE}{CE}=\frac{AB}{BD}.$
現在作 $\Delta ABD$ 的外接圓且延長 $BI$ 交此外接圓於 $F$，易知 $AF=FD$，同樣由 AA 相似有 $\Delta BAF\sim\Delta BID$、$\Delta BDF\sim\Delta BIA$，這表明
$\displaystyle\frac{BA}{AI}=\frac{BF}{FD}=\frac{BF}{FA}=\frac{BD}{DI},$
如此有
$\displaystyle\frac{AI}{ID}=\frac{AB}{BD}=\frac{AB+AC}{BC}.$
證明完畢。


3. 過平行四邊形 $ABC$ 的頂點 $A$ 作一圓，分別交 $AB$、$AD$ 及對角線 $AC$ 於 $E$、$F$、$G$，求證：

   $AC\cdot AG=AB\cdot AE+AD\cdot AF.$

解法
由於 $AEGF$ 四點共圓，因此使用托勒密定理有
$AE\cdot FG+AF\cdot EG=AG\cdot EF.$
連 $EF$ 可注意到 $\angle BAC=\angle EAG=\angle EFG$、$\angle B=180^\circ-\angle A=\angle G$，從而 $\Delta ABC\sim\Delta FGE$，那麼有
$\displaystyle\frac{AB}{FG}=\frac{BC}{EG}=\frac{CA}{EF}.$
記此比例為 $k$，那麼對前述由托勒密所得的等式同乘以 $k$ 可得
$AE\cdot AB+AF\cdot BC=AG\cdot AC.$
最後再由 $BC=AD$ 即可獲得所欲證的等式，證明完畢。


4. 從距離圓心 $O$ 有 $25$ cm 的一點 $P$，向圓引兩條切線 $PA$、$PB$。若圓的半徑是 $7$ cm，求兩切點 $A$、$B$ 間的距離。
解法
可以注意到 $\angle OAP=\angle OBP=90^\circ$，從而 $OAPB$ 四點共圓，如此使用托勒密定理有
$OA\cdot PB+OB\cdot PA=OP\cdot AB.$
按條件可知 $OP=25$ 公分，$OA=OB=7$ 公分。此外由畢氏定理可知 $PA=PB=24$ 公分，代入進行計算可得 $\displaystyle AB=\frac{336}{25}=13.44$ 公分。


5. 已知 $\left|a\right|\leq1$，$\left|b\right|\leq1$，求證：

   $\left|ab\pm\sqrt{\left|\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)\right|}\right|\leq1.$

解法
由柯西(Cauchy)不等式可知
$1=\left(a^2+\sqrt{1-a^2}^2\right)\left(b^2+\sqrt{1-b^2}\right)\geq\left(ab\pm\sqrt{\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)}\right)^2.$
因此兩邊取平方根號即可。


6. 若 $\displaystyle0<\theta<\frac{\pi}{2}$，求證：$\sin\theta+\cos\theta\leq\sqrt{2}$。
解法
首先注意到 $\displaystyle\frac{\pi}{4}<\theta+\frac{\pi}{4}<\frac{3\pi}{4}$，如此有
$\displaystyle\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\left(\sin\theta\cos\frac{\pi}{4}+\cos\theta\sin\frac\pi4\right)=\sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac\pi4\right)\leq\sqrt{2},$
其中等號成立的充分必要條件為 $\displaystyle\theta=\frac\pi4$。