幾何明珠 第五章 塞瓦定理 練習與思考 詳解

1. 求證三角形三條中線交於一點。
解法
設 $BC$、$CA$、$AB$ 的中點分別為 $D$、$E$、$F$，那麼有 $AD=DB$、$BE=EC$、$CF=FA$，從而有
$\displaystyle\frac{AD}{DB}\times\frac{BE}{EC}\times\frac{CF}{FA}=1.$
因此由塞瓦逆定理可知三線共點，證明完畢。


2. 平行於 $\Delta ABC$ 的邊 $BC$ 的直線交 $AB$、$AC$於$D$、$E$，$BE$、$CD$ 交於 $S$，求證：$AS$ 的延長線必過 $BC$ 邊的中點 $F$。
解法
運用塞瓦定理有
$\displaystyle\frac{AD}{DB}\times\frac{BF}{FC}\times\frac{CE}{EA}=1.$
由於 $DE$ 平行 $BC$，因此 $\displaystyle\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，從而有 $BF=FC$，此表明 $F$ 為 $BC$ 的中點。


3. $S$ 為 $\Delta ABC$ 的中線 $AF$ 上的任意一點，$BS$ 交 $AC$ 於 $E$，$CS$ 交 $AB$ 於 $D$，求證 $DE//BC$。
解法
運用塞瓦定理有
$\displaystyle\frac{AD}{DB}\times{BF}{FC}\times\frac{CE}{EA}=1.$
由於 $F$ 為 $BC$ 中點，故有 $BF=FC$，因此 $\displaystyle\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，因此 $DE$ 平行 $BC$。


4. 已知 $D$、$E$、$F$ 分別為 $\Delta ABC$ 的 $BC$、$CA$、$AB$ 邊上的點，且 $\displaystyle\frac{AF}{FB}=\frac{BD}{DC}=\frac{CE}{EA}=2$。$AD$ 與 $BE$、$CF$ 交於 $P$、$Q$，$BE$ 交 $CF$ 於 $R$，問 $\Delta ABC$ 的面積是 $\Delta PQR$ 的幾倍？
解法一
可以注意到三角形的面積可以分拆四項如下
$\displaystyle\Delta ABC=\Delta ABP+\Delta BCR+\Delta CQA.$
以直線 $BE$ 截 $ACD$，那麼使用梅內勞斯定理有
$\displaystyle\frac{AP}{PD}\times\frac{DB}{BC}\times\frac{CE}{EA}=1.$
由於 $DB:BC=2:3$、$CE:EA=2:1$，故 $\displaystyle\frac{AP}{PD}=\frac{3}{4}$，因此由同底等高計算可知 $\Delta ABP:\Delta ABD=3:7$、$\Delta ABD:\Delta ABC=2:3$，故 $\Delta ABP:\Delta ABC=2:7$。類似地可得 $\displaystyle\Delta ABP=\Delta BCR=\Delta CAQ=\frac{2}{7}\Delta ABC$，因此有 $\displaystyle\Delta PQR=\frac{1}{7}\Delta ABC$。至終可知 $\Delta ABC$ 的面積為 $\Delta PQR$ 的 $7$ 倍。
解法二
運用定理 $5.3$ 取 $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=2$，那麼即有
$\displaystyle\frac{S_{\Delta PQR}}{S_{\Delta ABC}}=\frac{\left(2^3-1\right)^2}{\left(1+2+4\right)^3}=\frac{1}{7}.$
因此 $\Delta ABC$ 面積為 $\Delta PQR$ 面積的 $7$ 倍。