幾何明珠 第六章 秦九韶公式 練習與思考 詳解

1. 已知 $\Delta ABC$ 的三邊為 $a$、$b$、$c$，求高 $h_a$、$h_b$、$h_c$。
解法

運用海倫公式可知

$\displaystyle\frac{1}{2}ah_a=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\cdot\frac{b+c-a}{2}\cdot\frac{c+a-b}{2}\cdot\frac{a+b-c}{2}}=\frac{\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}}{4}.$

因此有

$\displaystyle h_a=\frac{\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}}{2a}.$

同理有

$\begin{aligned} &h_b=\frac{\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}}{2b},\\&h_c=\frac{\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}}{2c}.\end{aligned}$



2. 已知 $\Delta ABC$ 三邊為 $a$、$b$、$c$，求內切圓半徑 $r$ 和外接圓半徑 $R$。
解法

設內心為 $I$，那麼可以知道 $\Delta ABC=\Delta IAB+\Delta IBC+\Delta ICA$，從而有

$\displaystyle\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr=\frac{\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}}{4}.$

因此有

$\displaystyle r=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}{a+b+c}}.$

另一方面，三角形面積可用三邊長與外接圓半徑表達為 $\displaystyle\frac{abc}{4R}$，如此使用海倫公式可得

$\displaystyle R=\frac{abc}{\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}}.$



3. 邊長和面積都為整數的三角形稱為海倫三角形。其邊長構成的數組稱為海倫數組。如：

   $(5,5,6),~(13,20,21),~(25,51,52),~(41,104,105),\cdots,(a_n,b_n,c_n).$

   設半周長為 $p_n$ 寫出 $a_n$、$p_n$ 與 $n$ 的關係式，並求出 $a_n$、$b_n$ 在 $c_n$ 上的射影，觀察它們有什麼美妙性質。
解法
容易發現這些數組的半周長 $p_n=(n+1)^3$、$a_n=2n^2+2n+1$、$b_n=n^3+2n^2+2n$、$c_n=n^3+2n^2+2n+1$。而 $a_n$ 與 $b_n $ 在 $c_n$ 上的射影分別為 $2n+1$、$n^2(n+2)$，可以發現兩邊所組成的直角三角形仍舊成為畢氏三元數。


4. 三稜錐 $S-ABC$ 中，側稜 $SA$、$SB$、$SC$ 的長分別為 $a$、$b$、$c$，又 $\angle ASB=60^\circ$、$\angle ASC=\angle BSC=90^\circ$，求此稜錐的體積。
解法一
以 $B$、$C$、$S$ 所在的平面作為底面，由於 $\angle BSC=90^\circ$，故底面面積為 $\displaystyle\frac{bc}{2}$。又可以注意到頂點 $A$ 作 $BCS$ 的垂足會落在線段 $BS$ 上，記垂足為 $H$。由於 $\angle ASH=60^\circ$，故 $\displaystyle AH=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，因此錐體體積為 $\displaystyle\frac{1}{3}\cdot\frac{bc}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{12}abc$。
解法二

利用餘弦定理或畢氏定理可得

$AB=\sqrt{a^2+b^2-ab},~BC=\sqrt{b^2+c^2},~CA=\sqrt{c^2+a^2}.$

如此可知應運用定理 $6.4$。為此，我們記 $a'=BC$、$b'=CA$、$c'=AB$ 以及

$\begin{aligned} &P=a^2\left(b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab\right),\\&Q=b^2\left(c^2+a^2\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab\right),\\&R=c^2\left(a^2+b^2-ab\right)\left(a^2+b^2+c^2+ab\right),\\&S=\left(a^2+b^2-ab\right)\left(b^2+c^2\right)\left(c^2+a^2\right)+\left(b^2+c^2\right)b^2c^2+\left(c^2+a^2\right)c^2a^2+\left(a^2+b^2-ab\right)a^2b^2.\end{aligned}$

因此所求的體積可以表達並整理如下

$\displaystyle V=\frac{1}{12}\sqrt{P+Q+R-S}=\frac{1}{12}\sqrt{\left(a^2+b^2+c^2-ab\right)\left(2a^2b^2+c^2a^2+b^2c^2\right)}=\frac{1}{12}\sqrt{3a^2b^2c^2}=\frac{\sqrt{3}}{12}abc.$