- 已知 ΔABC 的三邊為 a、b、c,求高 ha、hb、hc。
- 已知 ΔABC 三邊為 a、b、c,求內切圓半徑 r 和外接圓半徑 R。
- 邊長和面積都為整數的三角形稱為海倫三角形。其邊長構成的數組稱為海倫數組。如:
(5,5,6), (13,20,21), (25,51,52), (41,104,105),⋯,(an,bn,cn).
設半周長為 pn 寫出 an、pn 與 n 的關係式,並求出 an、bn 在 cn 上的射影,觀察它們有什麼美妙性質。 - 三稜錐 S−ABC 中,側稜 SA、SB、SC 的長分別為 a、b、c,又 ∠ASB=60∘、∠ASC=∠BSC=90∘,求此稜錐的體積。
解法
運用海倫公式可知12aha=√a+b+c2⋅b+c−a2⋅c+a−b2⋅a+b−c2=√(a+b+c)(b+c−a)(c+a−b)(a+b−c)4.
因此有ha=√(a+b+c)(b+c−a)(c+a−b)(a+b−c)2a.
同理有hb=√(a+b+c)(b+c−a)(c+a−b)(a+b−c)2b,hc=√(a+b+c)(b+c−a)(c+a−b)(a+b−c)2c.
解法
設內心為 I,那麼可以知道 ΔABC=ΔIAB+ΔIBC+ΔICA,從而有12ar+12br+12cr=√(a+b+c)(b+c−a)(c+a−b)(a+b−c)4.
因此有r=12√(b+c−a)(c+a−b)(a+b−c)a+b+c.
另一方面,三角形面積可用三邊長與外接圓半徑表達為 abc4R,如此使用海倫公式可得R=abc√(a+b+c)(b+c−a)(c+a−b)(a+b−c).
解法
容易發現這些數組的半周長 pn=(n+1)3、an=2n2+2n+1、bn=n3+2n2+2n、cn=n3+2n2+2n+1。而 an 與 bn 在 cn 上的射影分別為 2n+1、n2(n+2),可以發現兩邊所組成的直角三角形仍舊成為畢氏三元數。解法一
以 B、C、S 所在的平面作為底面,由於 ∠BSC=90∘,故底面面積為 bc2。又可以注意到頂點 A 作 BCS 的垂足會落在線段 BS 上,記垂足為 H。由於 ∠ASH=60∘,故 AH=√32a,因此錐體體積為 13⋅bc2⋅√32a=√312abc。解法二
利用餘弦定理或畢氏定理可得AB=√a2+b2−ab, BC=√b2+c2, CA=√c2+a2.
如此可知應運用定理 6.4。為此,我們記 a′=BC、b′=CA、c′=AB 以及P=a2(b2+c2)(a2+b2+c2−ab),Q=b2(c2+a2)(a2+b2+c2−ab),R=c2(a2+b2−ab)(a2+b2+c2+ab),S=(a2+b2−ab)(b2+c2)(c2+a2)+(b2+c2)b2c2+(c2+a2)c2a2+(a2+b2−ab)a2b2.
因此所求的體積可以表達並整理如下V=112√P+Q+R−S=112√(a2+b2+c2−ab)(2a2b2+c2a2+b2c2)=112√3a2b2c2=√312abc.
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