2018年8月2日 星期四

幾何明珠 第六章 秦九韶公式 練習與思考 詳解

  1. 已知 ΔABC 的三邊為 abc,求高 hahbhc
  2. 解法運用海倫公式可知

    12aha=a+b+c2b+ca2c+ab2a+bc2=(a+b+c)(b+ca)(c+ab)(a+bc)4.

    因此有

    ha=(a+b+c)(b+ca)(c+ab)(a+bc)2a.

    同理有

    hb=(a+b+c)(b+ca)(c+ab)(a+bc)2b,hc=(a+b+c)(b+ca)(c+ab)(a+bc)2c.


  3. 已知 ΔABC 三邊為 abc,求內切圓半徑 r 和外接圓半徑 R
  4. 解法設內心為 I,那麼可以知道 ΔABC=ΔIAB+ΔIBC+ΔICA,從而有

    12ar+12br+12cr=(a+b+c)(b+ca)(c+ab)(a+bc)4.

    因此有

    r=12(b+ca)(c+ab)(a+bc)a+b+c.

    另一方面,三角形面積可用三邊長與外接圓半徑表達為 abc4R,如此使用海倫公式可得

    R=abc(a+b+c)(b+ca)(c+ab)(a+bc).


  5. 邊長和面積都為整數的三角形稱為海倫三角形。其邊長構成的數組稱為海倫數組。如:

    (5,5,6), (13,20,21), (25,51,52), (41,104,105),,(an,bn,cn).

    設半周長為 pn 寫出 anpnn 的關係式,並求出 anbncn 上的射影,觀察它們有什麼美妙性質。
  6. 解法容易發現這些數組的半周長 pn=(n+1)3an=2n2+2n+1bn=n3+2n2+2ncn=n3+2n2+2n+1。而 anbncn 上的射影分別為 2n+1n2(n+2),可以發現兩邊所組成的直角三角形仍舊成為畢氏三元數。

  7. 三稜錐 SABC 中,側稜 SASBSC 的長分別為 abc,又 ASB=60ASC=BSC=90,求此稜錐的體積。
  8. 解法一BCS 所在的平面作為底面,由於 BSC=90,故底面面積為 bc2。又可以注意到頂點 ABCS 的垂足會落在線段 BS 上,記垂足為 H。由於 ASH=60,故 AH=32a,因此錐體體積為 13bc232a=312abc
    解法二利用餘弦定理或畢氏定理可得

    AB=a2+b2ab, BC=b2+c2, CA=c2+a2.

    如此可知應運用定理 6.4。為此,我們記 a=BCb=CAc=AB 以及

    P=a2(b2+c2)(a2+b2+c2ab),Q=b2(c2+a2)(a2+b2+c2ab),R=c2(a2+b2ab)(a2+b2+c2+ab),S=(a2+b2ab)(b2+c2)(c2+a2)+(b2+c2)b2c2+(c2+a2)c2a2+(a2+b2ab)a2b2.

    因此所求的體積可以表達並整理如下

    V=112P+Q+RS=112(a2+b2+c2ab)(2a2b2+c2a2+b2c2)=1123a2b2c2=312abc.

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