一百學年度數學學科能力測驗

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$100$學年度學科能力測驗試題

數學考科

－作答注意事項－

1. 考試時間：$100$分鐘
2. 題型題數：單選題$6$題，多選題$7$題，選填題第$A$至$G$題共$7$題
3. 作答方式：用2B鉛筆在「答案卡」上畫記，修正時應以橡皮擦拭，切勿使用修正液（帶）
4. 作答說明：在答案卡適當位置選出數值或符號。請仔細閱讀下面的例子。
   1. 填答選擇題時，只用$1$，$2$，$3$，$4$，$5$等五個格子，而不需要用到$-$，$±$，以及$6$，$7$，$8$，$9$，$0$等格子。
      例：若第$1$題的選項為(1)$3$ (2)$5$ (3)$7$ (4)$9$ (5)$11$，而正確的答案為$7$，亦即選項(3)時，考生要在答案卡第$1$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$劃記（注意不是$7$）如：

      $\begin{array}{|c|}\hline解答欄\\\hline1~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}~\end{array}$

      例：若多選題第$10$題的正確選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡的第$10$列的$\underset{\boxed{~~}}{1}$與$\underset{\boxed{~~}}{3}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}10~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\color{black}{▆▆}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline\end{array}$

   2. 選填題的題號是A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。

      例：若第B題的答案格式是$\displaystyle\underline{\frac{⑱}{⑲}}$，而依題意計算出來的答案是$\displaystyle\frac{3}{8}$，則考生必須分別在答案卡上的第$18$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$與第$19$列的$\underset{\boxed{~~}}{8}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}18~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\19~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\color{black}{▆▆}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

      例：若第C題的答案格式是$\displaystyle\underline{\frac{⑳㉑}{50}}$，而答案是$\displaystyle\frac{-7}{50}$時，則考生必須分別在答案卡的第$20$列的$\underset{\boxed{~~}}{-}$與第$21$列的$\underset{\boxed{~~}}{7}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}20~~\underset{\color{black}{▆▆}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline21~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\color{black}{▆▆}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

5. ※試題後附有參考公式及可能用到的數值

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第壹部分：選擇題（佔$65$分）

1. 單選題（佔$30$分）
說明：第$1$題至第$6$題，每題$5$個選項，其中只有一個是最適當的答案，畫記在答案卡之「解答欄」。各題答對得$5$分；未作答、答錯或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。
1. 有一箱子，內有$3$黑球與$2$白球。有一遊戲，從箱子中任取出一球。假設每一顆球被取出的機率都相同，若取出黑球可得獎金$50$元，而取出白球可得獎金$100$元，則下列哪一個選項是此遊戲的獎金期望值？
   1. $70$元
   2. $75$元
   3. $80$元
   4. $85$元
   5. $90$元
訣竅
按期望值的定義計算即可。
解法
期望值為各項報酬乘以對應的機率並進行加總，據此計算如下
$\displaystyle\frac{3}{5}\cdot50+\frac{2}{5}\cdot100=\frac{350}{5}=70$
故選(1)。


2. 多項式$4\left(x^2+1\right)+\left(x+1\right)^2\left(x-3\right)+\left(x-1\right)^3$等於下列哪一個選項？
   1. $x\left(x+1\right)^2$
   2. $2x\left(x-1\right)^2$
   3. $x\left(x-1\right)\left(x+1\right)$
   4. $2\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)$
   5. $2x\left(x-1\right)\left(x+1\right)$
訣竅
展開化簡即可。
解法
運用分配律與乘法公式展開，隨後進行因式分解如下
$\begin{aligned}4\left(x^2+1\right)+\left(x+1\right)^2\left(x-3\right)+\left(x-1\right)^3=4x^2+4+\left(x^2+2x+1\right)\left(x-3\right)+\left(x^3-3x^2+3x-1\right)\\=&\left(x^3+x^2+3x+3\right)+\left(x^3-x^2-5x-3\right)\\=&2x^3-2x\\=&2x\left(x^2-1\right)\\=&2x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\end{aligned}$
應選(5)。


3. 設$\displaystyle\left(a_{n+1}\right)^2=\frac{1}{\sqrt{10}}\left(a_n\right)^2$，$n$為正整數，且知$a_n$皆為正。令$b_n=\log a_n$，則數列$b_1,b_2,b_3,\cdots$為
   1. 公差為正的等差數列
   2. 公差為負的等差數列
   3. 公比為正的等比數列
   4. 公比為負的等比數列
   5. 既非等差亦非等比數列
訣竅
對條件的方程進行化簡後取對數應可觀察出數列$b_n$的特性。
解法
首先將條件開根號且因數列$a_n$恆正可得
$a_{n+1}=10^{-\frac{1}{4}}a_n$
同取以$10$為底的對數有
$\displaystyle b_{n+1}=b_n-\frac{1}{4}$
故$b_n$為公差是$\displaystyle-\frac{1}{4}$的等差數列，故選(2)。


4. 坐標平面上滿足方程式$\displaystyle\left(\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{4^2}\right)\left(\frac{x^2}{3^2}-\frac{y^2}{4^2}\right)=0$的點$\left(x,y\right)$所構成的圖形為
   1. 只有原點
   2. 橢圓及原點
   3. 兩條相異直線
   4. 橢圓及雙曲線
   5. 雙曲線及原點
訣竅
運用因式拆解之。
解法
由方程可知$\displaystyle\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{4^2}=0$或$\displaystyle\frac{x^2}{3^2}-\frac{y^2}{4^2}=0$。前者可得$\left(x,y\right)=\left(0,0\right)$，而後者可得兩條通過原點的相異直線$\displaystyle\frac{x}{3}-\frac{y}{4}=0$和$\displaystyle\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=0$。因此應選(3)。


5. 請問下面哪一個選項是正確的？
   1. $3^7<7^3$
   2. $5^{10}<10^5$
   3. $2^{100}<10^{30}$
   4. $\log_23=1.5$
   5. $\log_211<3.5$
訣竅
按指對數估算即可。
解法
1. 直接計算如下

   $3^7=9\times9\times9\times3=81\times27=2187>343=7^3$

   故本選項錯誤。
2. 運用指數律估算如下

   $5^{10}=25^5>10^5$

   本選項錯誤。
3. 運用指數律估算如下

   $2^{100}=\left(2^{10}\right)^{10}=1024^{10}>1000^{10}=\left(10^3\right)^{10}=10^{30}$

   本選項錯誤。
4. 運用對數律估算如下

   $\log_23=\log_2\sqrt{9}>\log_2\sqrt{8}=\log_22^{1.5}=1.5$

   故該等式不成立，本選項錯誤。
5. 根據對數律估算如下

   $\log_211=\log_2\sqrt{121}<\log_2\sqrt{128}=\log_28\sqrt{2}=3.5$

   本選項正確。
故選(5)。


6. 根據台灣壽險業的資料，男性從$0$歲、$1$歲、…到$60$歲各年齡層的死亡率(單位：$\%$)依序為

   $\begin{array}{cccccccccc}1.0250,&0.2350,&0.1520,&0.1010,&0.0720,&0.0590,&0.0550,&0.0540,&0.0540,&0.0520,\\0.0490,&0.0470,&0.0490,&0.0560,&0.0759,&0.1029,&0.1394,&0.1890,&0.2034,&0.2123,\\0.2164,&0.2166,&0.2137,&0.2085,&0.2019,&0.1948,&0.1882,&0.1830,&0.1799,&0.1793,\\0.1813,&0.1862,&0.1941,&0.2051,&0.2190,&0.2354,&0.2539,&0.2742,&0.2961,&0.3202,\\0.3472,&0.3779,&0.4129,&0.4527,&0.4962,&0.5420,&0.5886,&0.6346,&0.6791,&0.7239\\0.7711,&0.8229,&0.8817,&0.9493,&1.0268,&1.1148,&1.2139,&1.3250,&1.4485,&1.5851,\\1.7353\end{array}$

   經初步整理後，已知$61$個資料中共有$24$個資料小於$0.2$。請問死亡率資料的中位數為下列哪一個選項？
   1. $0.2034$
   2. $0.2164$
   3. $0.2137$
   4. $0.2085$
   5. $0.2019$
訣竅
確定出中位數的位置後直接點數即可。
解法
由於有$61$筆資料，因此中位數的位置在$\displaystyle\frac{1+61}{2}=31$，故先找到由小至大的第$24$筆資料後在依序點數如下：
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}24&25&26&27&28&29&30&31\\\hline0.1948&0.2019&0.2034&0.2051&0.2085&0.2123&0.2137&0.2164\end{array}$
故選(2)。
2. 多選題（佔$35$分）
說明：第$7$題至第$13$題，每題有$5$個選項，其中至少有一個是正確的選項，選出正確選項畫記在答案卡之「解答欄」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得$5$分；答錯$1$個選項者，得$3$分；答錯$2$個選項者，得$1$分；所有選項均未作答或答錯多於$2$個選項者，該題以零分計算。
7. 設$O$、$A$、$B$分別為複數平面上代表$0$、$1+i$、以及$1-i$的點。請問下列哪些選項所對應的點落在$\Delta OAB$的內部？
   1. $\cos60^\circ$
   2. $\cos50^\circ+i\sin50^\circ$
   3. $\displaystyle\frac{4-3i}{5}$
   4. $\displaystyle\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$
   5. $\left(\cos30^\circ+i\sin30^\circ\right)^{25}$
訣竅
注意到複數平面與$xy$坐標平面的對應關係。
解法
若將複數平面上的點$O$、$A$、$B$對應於$xy$坐標平面上的點為$\left(0,0\right)$、$\left(1,1\right)$、$\left(1,-1\right)$，故要在$\Delta OAB$內部即須有$x<1$且$-x<y<x$。現在逐一檢查各選項如下：
1. 由於$\cos60^\circ$對應於$\left(\cos60^\circ,0\right)=\left(\frac{1}{2},0\right)$，此點落落在$\Delta OAB$內部。
2. $\cos50^\circ+i\sin50^\circ$對應於坐標$\left(\cos50^\circ,\sin50^\circ\right)$，由三角函數在銳角中的單調性可知$\cos50^\circ<\sin50^\circ$，故此點不落於$\Delta OAB$內部。
3. $\displaystyle\frac{4-3i}{5}$對應於坐標$\displaystyle\left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right)$，其中由$\displaystyle\frac{4}{5}<1$以及$\displaystyle-\frac{3}{5}<\frac{4}{5}$可知該點有落於$\Delta OAB$內部。
4. $\displaystyle\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$所對應的坐標為$\displaystyle\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，由於$\displaystyle\frac{1}{2}<\frac{\sqrt{3}}{2}$，故此點不落於$\Delta OAB$內部。
5. 由棣美弗定理可知

   $\left(\cos30^\circ+i\sin30^\circ\right)^{25}=\cos750^\circ+i\sin750^\circ=\cos30^\circ+i\sin30^\circ$

   此點所對應的坐標為$\displaystyle\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$。由於$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}<1$以及$\displaystyle\frac{1}{2}<\frac{\sqrt{3}}{2}$，故此點落於$\Delta OAB$內部。
由分析可知應選(1)(3)(5)。


8. 已知$\displaystyle\sin\theta=-\frac{2}{3}$且$\cos\theta>0$，請問下列哪些選項是正確的？
   1. $\tan\theta<0$
   2. $\displaystyle\tan^2\theta>\frac{4}{9}$
   3. $\sin^2\theta>\cos^2\theta$
   4. $\sin2\theta>0$
   5. 標準位置角$\theta$與$2\theta$的終邊位在不同的象限
訣竅
利用平方關係與商數關係以及正弦的二倍角等公式計算，最後利用正負符號判定其象限。
解法
1. 由於$\displaystyle\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$，其中分子為負數而分母為正數，從而$\tan\theta<0$，本選項正確。
2. 由於$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$且$\cos\theta>0$，因此可得$\displaystyle\cos\theta=\frac{\sqrt{5}}{3}$，從而有$\displaystyle\tan\theta=-\frac{2}{\sqrt{5}}$，進而有$\displaystyle\tan^2\theta=\frac{4}{5}>\frac{4}{9}$，本選項正確。
3. 承(2)所知，$\sin^2\theta=\frac{4}{9}<\frac{5}{9}=\cos^2\theta$，本選項錯誤。
4. 利用二倍角公式可知

   $\displaystyle\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta=2\cdot\frac{-2}{3}\cdot\frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{-4\sqrt{5}}{9}<0$

   本選項錯誤。
5. 由於$\sin\theta<0$、$\cos\theta>0$可知$\theta$在第四象限。再者可以計算有$\displaystyle\cos2\theta=2\cos^2\theta-1=\frac{1}{9}>0$並配合選項(4)所知的$\sin2\theta<0$，從而有$2\theta$也在第二象限。因此兩者的終邊位於相同的象限，本選項錯誤。
由以上分析可知應選(1)(2)。


9. 考慮坐標平面上以$O\left(0,0\right)$、$A\left(3,0\right)$、$B\left(0,4\right)$為頂點的三角形，令$C_1$、$C_2$分別為$\Delta OAB$的外接圓、內切圓。請問下列哪些選項是正確的？
   1. $C_1$的半徑為$2$
   2. $C_1$的圓心在直線$y=x$上
   3. $C_1$的圓心在直線$4x+3y=12$上
   4. $C_2$的圓心在直線$y=x$上
   5. $C_2$的圓心在直線$4x+3y=6$上
訣竅
注意$\Delta OAB$為直角三角形以及外接圓和內切圓的特性。
解法
由於$\Delta OAB$為直角三角形，其斜邊為$\overline{AB}=5$。由初中的知識可知外接圓圓心位於斜邊中點的位置上，因此$C_1$的半徑為$2.5$而圓心為$\left(1.5,2\right)$，可以檢查得知$C_1$圓心落於$4x+3y=12$上但不落於$y=x$上，至此知道選項(3)正確而選項(1)與選項(2)錯誤。
由於內切圓圓心為角平分線之交點而$\angle AOB=90^\circ$，因此內切圓圓心在$y=x$上，選項(4)正確。再者，由於內切圓半徑$r$滿足
$\displaystyle r\cdot\frac{a+b+c}{2}=\Delta OAB=\frac{3\times4}{2}=6$
因此有$\displaystyle r=1$，故內切圓圓心坐標為$\displaystyle\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$，不落於$4x+3y=6$上，選項(5)錯誤。
由以上的兩個段落可知應選(3)(4)。


10. 坐標平面中，向量$\vec{w}$與向量$\vec{v}=\left(2,\sqrt{5}\right)$互相垂直且等長。請問下列哪些選項是正確的？
    1. 向量$\vec{w}$必為$\left(\sqrt{5},-2\right)$或$\left(-\sqrt{5},2\right)$
    2. 向量$\vec{v}+\vec{w}$與$\vec{v}-\vec{w}$等長
    3. 向量$\vec{v}+\vec{w}$與$\vec{w}$的夾角可能為$135^\circ$
    4. 若向量$\vec{u}=a\vec{v}+b\vec{w}$，其中$a,b$為實數，則向量$\vec{u}$的長度為$\sqrt{a^2+b^2}$
    5. 若向量$\left(1,0\right)=c\vec{v}+d\vec{w}$，其中$c,d$為實數，則$c>0$
訣竅
互相垂直表示內積為零並配合等長的條件可求得$\vec{w}$，注意到有兩個可能。
解法
1. 設$\vec{w}=\left(a,b\right)$，那麼按題意有$a^2+b^2=9$以及$\vec{w}\cdot\vec{v}=0$，後者即$2a+\sqrt{5}b=0$。運用代入消去法可得$a=\pm\sqrt{5}$、$b=\mp2$，故$\vec{w}=\left(\sqrt{5},-2\right)$或$\vec{w}=\left(-\sqrt{5},2\right)$，本選項正確。
2. 按條件可知

   $\left|\vec{v}+\vec{w}\right|=\sqrt{\left|\vec{v}+\vec{w}\right|^2}=\sqrt{\left|\vec{v}\right|^2+2\vec{v}\cdot\vec{w}+\left|\vec{w}\right|^2}=3\sqrt{2}=\sqrt{\left|\vec{v}\right|^2-2\vec{v}\cdot\vec{w}+\left|\vec{w}\right|^2}=\sqrt{\left|\vec{v}-\vec{w}\right|^2}=\left|\vec{v}-\vec{w}\right|$

   其中利用了$\vec{v}\cdot\vec{w}=0$，從而本選項正確。
3. 承選項(2)可知$\left|\vec{v}+\vec{w}\right|=3\sqrt{2}$，因此利用內積可知

   $9=\left|\vec{w}\right|^2=\vec{v}\cdot\vec{w}+\vec{w}\cdot\vec{w}=\left(\vec{v}+\vec{w}\right)\cdot\vec{w}=\left|\vec{v}+\vec{w}\right|\left|\vec{w}\right|\cos\theta=3\cdot3\sqrt{2}\cos\theta$

   因此$\displaystyle\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$，故$\theta=45^\circ$，即不可能夾$135^\circ$，本選項錯誤。
4. 直接計算有

   $\left|\vec{u}\right|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}=\sqrt{a^2\left|\vec{v}\right|^2+2ab\vec{v}\cdot\vec{w}+b^2\left|\vec{w}\right|^2}=\sqrt{9a^2+9b^2}=3\sqrt{a^2+b^2}$

   其中利用了$\vec{v}\cdot\vec{w}=0$，從而本選項錯誤。
5. 當$\vec{w}=\left(\sqrt{5},-2\right)$時，可解得$\displaystyle c=\frac{2}{9}$、$\displaystyle d=\frac{\sqrt{5}}{9}$，而當$\vec{w}=\left(-\sqrt{5},2\right)$時，可解得$\displaystyle c=\frac{2}{9}$、$\displaystyle d=-\frac{\sqrt{5}}{9}$。因此無論是何種情形必有$c>0$，本選項正確。
由以上分析可知應選(1)(2)(5)。


11. 在坐標平面上，圓$C$的圓心在原點且半徑為$2$，已知直線$L$與圓$C$相交，請問$L$ 與下列哪些圖形一定相交？
    1. $x$軸
    2. $\displaystyle y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$
    3. $x^2+y^2=3$
    4. $\left(x-2\right)^2+y^2=16$
    5. $\displaystyle\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$
訣竅
藉由繪圖可以容易觀察那些情形成立與否。
解法
若取$L$為$y=-2$，則容易注意到$L$與$C$切於$\left(0,-2\right)$，但與$x$軸（即$y=0$）平行。再者$y=2^x>0$，故不可能使$y=-2$，因此也不相交。再者$L$與$x^2+y^2=3$的圓心距離為$2$，但該圓的半徑為$\sqrt{3}$，因此$L$與$x^2+y^2=3$亦不相交。至此可知選項(1)(2)(3)皆不合。
選項(4)與選項(5)皆為包圍$x^2+y^2=4$的封閉圖形，因此$L$若與$C$相交則由兩端延長之特性必與這兩個選項的圖形相交，故選項(4)(5)合於所求。
由以上討論可知應選(4)(5)。


12. 坐標空間中，考慮球面$S:\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-3\right)^2=14$與$A\left(1,0,0\right)$、$B\left(-1,0,0\right)$兩點。請問下列哪些選項是正確的？
    1. 原點在球面$S$上
    2. $A$點在球面$S$之外部
    3. 線段$\overline{AB}$與球面$S$相交
    4. $A$點為直線$AB$上距離球心最近的點
    5. 球面$S$和$xy$，$yz$，$xz$平面分別截出的三個圓中，以與$xy$平面所截的圓面積為最大
訣竅
留意如何判別坐標與球面的關係。
解法
1. 藉由代入檢驗可知$\left(0-1\right)^2+\left(0-2\right)^2+\left(0-3\right)^2=1+4+9=14$，因此原點落在球面$S$上，本選項正確。
2. 藉由代入檢驗可知

   $\left(1-1\right)^2+\left(0-2\right)^2+\left(0-3\right)^2=0+4+9=13<14$

   故$A$點在球面$S$內部，本選項錯誤。
3. 由於$B$點落於$S$之外部，因此線段$\overline{AB}$與球面$S$相交。事實上由選項(1)可知相交於原點，本選項正確。
4. 設球心為$C$，其坐標為$\left(1,2,3\right)$，可以注意到向量$\overset{\rightharpoonup}{CA}=\left(0,-2,-3\right)$與向量$\overset{\rightharpoonup}{AB}=\left(-2,0,0\right)$垂直，故$A$為直線$AB$上最接近球心的點，本選項正確。
5. 由於球心到$xy$、$yz$、$ax$平面的距離分別為$3$、$1$、$2$，而最近的截圓半徑將越大，從而面積將越大，故為與$yz$平面所截的圓面積最大，本選項錯誤。
應選選項(1)(3)(4)。


13. 設$f\left(x\right)=x\left(x-1\right)\left(x+1\right)$，請問下列哪些選項是正確的？
    1. $\displaystyle f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)>0$
    2. $f\left(x\right)=2$有整數解
    3. $f\left(x\right)=x^2+1$有實數解
    4. $f\left(x\right)=x$有不等於零的有理數解
    5. 若$f\left(a\right)=2$，則$f\left(-a\right)=2$。
訣竅
藉由直接計算或整係數與實係數多項式的特點來進行判斷。
解法
1. 直接計算可知

   $\displaystyle f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-1\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+1\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{2}-1\right)=-\frac{1}{2\sqrt{2}}<0$

   本選項錯誤。
2. 由於$f\left(x\right)=2$等同於$x\left(x^2-1\right)=2$，即$x^3-x-2=0$。藉由牛頓一次因式檢驗法可知可能的一次因式有$x-1$、$x+1$、$x-2$、$x+2$，直接檢驗可知皆不合，故沒有整數根，本選項錯誤。
3. 由於$f\left(x\right)=x^2+1$等同於$x^3-x=x^2+1$，即$x^3-x^2-x-1=0$。由於實係數多項式之虛根成對，因此三次實係數多項式有可能為「三個實根」或「一個實根與兩個共軛虛根」，故無論是何者情形都存在實數解，本選項正確。
4. 由於$f\left(x\right)=x$等同於$x\left(x^2-1\right)=x$，即$x^3-2x=0$，可解得$x=0$或$x=\pm\sqrt{2}$，故沒有不為零的有理數解，本選項錯誤。
5. 若$f\left(a\right)=2$，即$a^3-a=2$，那麼$f\left(-a\right)=-a^3+a=-2$，本選項錯誤。
故應選(3)。

第二部分：選填題（佔$35$分）

說明：

1. 第$A$至$G$題，將答案畫記在答案卡之「解答欄」所標示的列號(14-35)處。
2. 每題完全答對給$5$分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

1. 已知首項為$a$、公比為$r$的無窮等比級數和等於$5$；首項為$a$、公比為$3r$的無窮等比級數和等於$7$，則首項為$a$、公比為$2r$的無窮等比級數和等於$\displaystyle\underline{ \frac{⑭⑮}{⑯} }$。
訣竅
運用無窮等比級數公式計算即可。
解法
由題意可列得兩式如下
$\displaystyle\begin{aligned} &\frac{a}{1-r}=5,\\&\frac{a}{1-3r}=7\end{aligned}$
移項消去$a$有$5\left(1-r\right)=7\left(1-3r\right)$，如此解得$\displaystyle r=\frac{1}{8}$，代回有$\displaystyle a=\frac{35}{8}$。因此所求為
$\displaystyle\frac{a}{1-2r}=\frac{\displaystyle\frac{35}{8}}{\displaystyle1-2\cdot\frac{1}{8}}=\frac{35}{6}$
因此填入$⑭=3$、$⑮=5$、$⑯=6$


2. 空間中一長方體如下圖所示，其中$ABCD$為正方形，$\overline{BE}$為長方體的一邊。已知$\displaystyle\cot\angle AEB=\frac{2\sqrt{6}}{5}$，則$\displaystyle\cot\angle CED=\underline{ \frac{⑰}{⑱} }$。
   
訣竅
按餘割函數的定義表達出各線段之長度來求解。
解法
設$\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=a$，那麼由$\cot\angle AEB=\frac{2\sqrt{6}}{5}$可知$\displaystyle\overline{BE}=\frac{2\sqrt{6}a}{5}$。運用畢氏定理可求
$\displaystyle\overline{CE}=\sqrt{\overline{BC}^2+\overline{BE}^2}=\sqrt{\frac{24}{25}a^2+a^2}=\sqrt{\frac{49}{25}a^2}=\frac{7a}{5}$
那麼有
$\displaystyle\cot\angle CED=\frac{\overline{CE}}{\overline{CD}}=\frac{7}{5}$
故填$⑰=7$、$⑱=5$。


3. 高三甲班共有$20$位男生、$15$位女生，需推派$3$位同學參加某項全校性活動。班會中大家決定用抽籤的方式決定參加人選。若每個人中籤的機率相等，則推派的三位同學中有男也有女的機率為$\displaystyle\underline{ \frac{⑲⑳}{㉑㉒㉓} }$。
訣竅
直接清算所有可能後始能計算有男也有女的機率，也可以藉由排除全是男生或全是女生的情況來計算。
解法一
所有情形有$\displaystyle C_3^{35}=\frac{35\times34\times33}{3\times2\times1}=35\times17\times11$，而有男也有女有兩種情形：
• 兩位男生一位女生共有$\displaystyle C_{2}^{20}C_1^{15}=\frac{20\times19}{2\times1}\times15=10\times19\times15$種
• 一位男生兩位女生共有$\displaystyle C_1^{20}C_2^{15}=20\times\frac{15\times14}{2\times1}=10\times15\times14$種
因此所求機率為
$\displaystyle\frac{10\times19\times15+10\times15\times14}{35\times17\times11}=\frac{10\times15\times33}{35\times17\times11}=\frac{90}{119}$
因此填入$⑲=9$、$⑳=0$、$㉑=1$、$㉒=1$、$㉓=9$。
解法二
所有情形有$\displaystyle C_3^{35}=\frac{35\times34\times33}{3\times2\times1}=35\times17\times11$，而全都是男生或全都是女生有兩種情形：
• 全都是男生有$\displaystyleC_3^{20}=\frac{20\times19\times18}{3\times2\times1}=10\times19\times6=1140$種
• 全都是女生有$\displaystyle C_3^{15}=\frac{15\times14\times13}{3\times2\times1}=5\times7\times13=455$種
因此所求機率為
$\displaystyle1-\frac{1140+455}{35\times17\times11}=1-\frac{1595}{35\times17\times11}=1-\frac{29}{119}=\frac{90}{119}$
因此填入$⑲=9$、$⑳=0$、$㉑=1$、$㉒=1$、$㉓=9$。


4. 四邊形$ABCD$中，$\overline{AB}=1$，$\overline{BC}=5$，$\overline{CD}=5$，$\overline{DA}=7$，且$\angle DAB =\angle BCD=90^\circ$，則對角線$\overline{AC}$長為$\underline{\sqrt{㉔㉕}}$。
訣竅
注意到四邊形對角互補，利用餘弦定理算兩次求解。
解法
由於$\angle DAB=\angle BCD=90^\circ$，因此$\angle ABC+\angle CDA=180^\circ$，故有$\cos\angle ABC=-\cos\angle CDA$。利用餘弦定理可知
$\overline{DA}^2+\overline{DC}^2-2\overline{DA}\cdot\overline{DC}\cos\angle CDA=\overline{AC}^2=\overline{BA}^2+\overline{BC}^2-2\overline{BA}\cdot\overline{BC}\cos\angle ABC$
由題幹條件以及$\cos\angle ABC=-\cos\angle CDA$可知
$49+25+70\cos\angle ABC=1+25-10\cos\angle ABC$
如此有$\displaystyle\cos\angle ABC=-\frac{3}{5}$，故代回可解得$\overline{AC}=\sqrt{32}$，因此填入$㉔=3$、$㉕=2$。


5. 一礦物內含$A$、$B$、$C$三種放射性物質，放射出同一種輻射。已知$A$、$B$、$C$每公克分別會釋放出$1$單位、$2$單位、$1$單位的輻射強度，又知$A$、$B$、$C$每過半年其質量分別變為原來質量的$\displaystyle\frac{1}{2}$、$\displaystyle\frac{1}{3}$、$\displaystyle\frac{1}{4}$倍。於一年前測得此礦物的輻射強度為$66$單位，而半年前測得此礦物的輻射強度為$22$單位，且目前此礦物的輻射強度為$8$單位，則目前此礦物中$A$、$B$、$C$物質之質量分別為㉖、㉗、㉘公克。
訣竅
按照題意可列出三元一次聯立方乘組，接著使用高斯消去法求解即可。
解法
設$A$、$B$、$C$目前質量分別為$x$、$y$、$z$公克，則按題意可列式如下
$\left\{\begin{aligned} &x+2y+z=8\\&2x+6y+4z=22\\&4x+18y+16z=66\end{aligned}\right.$
首先將第二式與第三式皆除以$2$可得
$\left\{\begin{aligned} &x+2y+z=8\\&x+3y+2z=11\\&2x+9y+8z=33\end{aligned}\right.$
將第一式分別乘以$\left(-1\right)$與$\left(-2\right)$加到第二列與第三列可得
$\left\{\begin{aligned} &x+2y+z=8\\&y+z=3\\&5y+6z=17\end{aligned}\right.$
接著將第二列乘以$\left(-5\right)$加至第三列有
$\left\{\begin{aligned} &x+2y+z=8\\&y+z=3\\&z=2\end{aligned}\right.$
如此能夠解得$z=2$、$y=1$、$x=4$。因此填入$㉖=4$、$㉗=1$、$㉘=2$。


6. 設$\displaystyle E_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（其中$a>0$）為焦點在$\left(3,0\right)$，$\left(-3,0\right)$的橢圓；$E_2$：焦點在$\left(3,0\right)$且準線為$x=-3$的拋物線。已知$E_1,E_2$的交點在直線$x=3$上，則$a=\underline{㉙+㉚\sqrt{㉛}}$。
訣竅
按照橢圓與拋物線的標準式中的參數所代表的意義列出關係式來求解。
解法
由於$E_1$的焦點為$\left(\pm3,0\right)$，因此$a^2=b^2+9$。再者拋物線$E_2$的方程式可表達為$y^2=12x$。若$E_1$與$E_2$的焦點在直線$x=3$上，則由可知該交點為$\left(3,\pm6\right)$。無論何者代入$E_1$的方程中皆有
$\displaystyle\frac{9}{a^2}+\frac{36}{b^2}=1$
根據$a^2=b^2+9$可寫為
$\displaystyle\frac{9}{b^2+9}+\frac{36}{b^2}=1$
同乘以$b^2\left(b^2+9\right)$可得
$45b^2+324=b^4+9b^2$
即$b^4-36b^2-324=0$，有$\displaystyle b^2=18\pm18\sqrt{2}$。但因$b^2>0$，故取$b^2=18+18\sqrt{2}$，進而有$a^2=b^2+9=27+18\sqrt{2}$。藉由化簡雙重根號並取正根有$a=\sqrt{27+18\sqrt{2}}=3\sqrt{3+2\sqrt{2}}=3\left(1+\sqrt{2}\right)=3+3\sqrt{2}$。故填入$㉙=3$、$㉚=3$、$㉛=2$。


7. $H:x-y+z=2$為坐標空間中一平面，$L$為平面$H$上的一直線。已知點$P\left(2,1,1\right)$為$L$上距離原點$O$最近的點，則$\left(2,\underline{ ㉜㉝ },\underline{ ㉞㉟ }\right)$為$L$的方向向量。
訣竅
注意到$OP$會垂直於$L$且$H$的法向量也會垂直$L$的方向向量，據此利用外積求解。
解法
設$L$的其中一個方向向量為$\vec{l}$，由於$\vec{l}\bot\overset{\rightharpoonup}{OP}=\left(2,1,1\right)$、$\vec{l}\bot\left(1,-1,1\right)$，因此可利用外積求解
$\vec{l}\parallel\left(2,1,1\right)\times\left(1,-1,1\right)=\left(2,-1,-3\right)$
此為題目所求的方向向量，因此填入$㉜=-$、$㉝=1$、$㉞=-$、$㉟=3$。

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參考公式及可能用到的數值

1. 一元二次方程式$ax^2+bx+c=0$的公式解：$\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
2. 平面上兩點$P_1\left(x_1,y_1\right)$，$P_2\left(x_2,y_2\right)$間的距離為$\overline{P_1P_2}=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$
3. 通過$\left(x_1,y_1\right)$與$\left(x_2,y_2\right)$的直線斜率$\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$，$x_2\neq x_1$
4. 首項為$a$且公比為$r$的等比數列前$n$項之和$\displaystyle S_n=\frac{a\cdot\left(1-r^n\right)}{1-r}$，$r\neq1$。
5. 三角函數的和角公式：$\sin\left(A+B\right)=\sin A\cos B+\sin B\cos A$
   　　　　　　　　　　$\cos\left(A+B\right)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$
6. $\Delta ABC$的正弦定理： $\displaystyle\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$
   $\Delta ABC$的餘弦定理： $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$
7. 棣美弗定理：設$z=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)$，則$z^n=r^n\left(\cos n\theta+i\sin n\theta\right)$，$n$為一正整數
8. 算術平均數$\displaystyle M\left(={\bar X}\right)=\frac{1}{n}\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$
   (樣本)標準差： $\displaystyle S=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-{\bar X}\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\left(\left(\sum_{i=1}^{n}x_i^2\right)-n\bar{X}^2\right)}$
9. 參考數值：$\sqrt{2}\approx1.414$；　$\sqrt{3}\approx1.732$；　$\sqrt{5}\approx2.236$；　$\sqrt{6}\approx2.449$；　$\pi\approx3.142$
10. 對數值：$\log_{10}2\approx0.3010$，$\log_{10}3\approx0.4771$，$\log_{10}5\approx0.6990$，$\log_{10}7\approx0.8451$