大學入學考試中心
$101$ 學年度學科能力測驗試題

數學考科

－作答注意事項－

考試時間： $100$ 分鐘
題型題數：單選題 $7$ 題，多選題 $6$ 題，選填題第 $A$ 至 $G$ 題共 $7$ 題
作答方式：用2B鉛筆在「答案卡」上作答；更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液（帶）。未依規定畫記答案卡，致機器掃描無法辨識答案者，其後果由考生自行承擔。
選填題作答說明：選填題的題號是A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子畫記。請仔細閱讀下面的例子。
例：若第B題的答案格式是 $\displaystyle\underline{　\frac{⑱}{⑲}　}$ ，而依題意計算出來的答案是 $\displaystyle\frac{3}{8}$ ，則考生必須分別在答案卡上的第 $18$ 列的 $\underset{\boxed{~~}}{3}$ 與第 $19$ 列的 $\underset{\boxed{~~}}{8}$ 劃記，如：
$\begin{array}{|c|}18~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\19~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\color{black}{▆▆}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$
例：若第C題的答案格式是 $\displaystyle\underline{　\frac{⑳㉑}{50}　}$ ，而答案是 $\displaystyle\frac{-7}{50}$ 時，則考生必須分別在答案卡的第 $20$ 列的 $\underset{\boxed{~~}}{-}$ 與第 $21$ 列的 $\underset{\boxed{~~}}{7}$ 畫記，如：
$\begin{array}{|c|}20~~\underset{\color{black}{▆▆}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline21~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\color{black}{▆▆}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$
※試題後附有參考公式及可能用到的數值

第壹部分：選擇題（占

$65$ 分）

單選題（占 $35$ 分）

說明：第

$1$ 題至第

$7$ 題，每題有

$5$ 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得

$5$ 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

√152+142+1等於下列哪一個選項？
1. $1.01$
2. $1.05$
3. $1.1$
4. $1.15$
5. $1.21$

訣竅

直接計算即可。

解法

直接計算有

$\displaystyle\sqrt{\frac{1}{5^2}+\frac{1}{4^2}+1}=\sqrt{\frac{1}{25}+\frac{1}{16}+1}=\sqrt{\frac{16+25+400}{400}}=\sqrt{\frac{441}{400}}=\frac{21}{20}=1.05$

故選(2)。

將邊長為1公分的正立方體堆疊成一階梯形立體，如下圖所示，其中第1層（最下層）有10塊，第2層有9塊，…，依此類推。當堆疊完10層時，該階梯形立體的表面積（即該立體的前、後、上、下、左、右各表面的面積總和）為多少？
1. $75$ 平方公分
2. $90$ 平方公分
3. $110$ 平方公分
4. $130$ 平方公分
5. $150$ 平方公分

訣竅

在計算表面積時要注意到僅需計算正前方、左側方和下側方三者之總和後的兩倍。

解法

注意到前面的表面積與後面的表面積相同，而左面的表面積與右面的表面積也相同，上面的表面積也與下面的表面積相同。因此總表面積為

$\left(55+10+10\right)\times2=150$ 平方公分

應選(5)。

下表為常用對數表log10N的一部分：N0123456789100000004300860128017002120253029403340374110414045304920531056906070645068207190755⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮203010303230543075309631183139316031813201⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮304771478648004814482948434857487148864900請問103.032最接近下列哪一個選項？
1. $101$
2. $201$
3. $1007$
4. $1076$
5. $2012$

訣竅

運用指數律確定應分析的對象後利用對數表估算其範圍。

解法

根據對數表可知

$\log1.07\approx0.0294$ 、

$\log_1.08\approx0.0334$ ，此表明

$1.07<10^{0.032}<1.08$ ，故依

$10^{3.032}=10^3\cdot10^{0.032}$ 可知

$1070<10^{3.032}<1080$

故選(4)。

甲、乙兩校有一樣多的學生參加數學能力測驗，兩校學生測驗成績的分布都很接近常態分布，其中甲校學生的平均分數為 $60$ 分，標準差為 $10$ 分；乙校學生的平均分數為 $65$ 分，標準差為 $5$ 分。若用粗線表示甲校學生成績分布曲線；細線表示乙校學生成績分布曲線，則下列哪一個分布圖較為正確？

訣竅

瞭解平均分數與標準差對圖形的影響。

解法

由於甲校的平均分數較乙校低，因此其高峰的位置較乙校偏左；又甲校的標準差較乙校大，因此其圖形較為矮寬，故選(1)。

若正實數x,y滿足log10x=2.8，log10y=5.6，則log10(x2+y)最接近下列哪一個選項的值？
1. $2.8$
2. $5.6$
3. $5.9$
4. $8.4$
5. $11.2$

訣竅

運用對數的定義求解。

解法

按定義可知

$x=10^{2.8}$ 、

$y=10^{5.6}$ ，故

$x^2+y=2\times10^{5.6}$ ，因此

$\log{10}\left(x^2+y\right)=\log_{10}2+\log_{10}10^{5.6}\approx5.6+0.301=5.901$

應選(3)。

箱中有編號分別為0,1,2,⋯,9的十顆球。隨機抽取一球，將球放回後，再隨機抽取一球。請問這兩球編號相減的絕對值為下列哪一個選項時，其出現的機率最大？
1. $0$
2. $1$
3. $4$
4. $5$
5. $9$

訣竅

釐清各選項之方法數，選出有最多方法數者即可。

解法

前後兩次取球的情形共有

$100$ 種狀況，兩球編號相減的絕對值為各個選項之可能數如下

相差為 $0$ 者有 $10$ 種，即 $\left(0,0\right),\cdots,\left(9,9\right)$ ；
相差為 $1$ 者有 $18$ 種，即 $\left(0,1\right),\left(1,2\right),\cdots,\left(8,9\right)$ 與 $\left(1,0\right),\left(2,1\right),\cdots,\left(9,8\right)$ ；
相差為 $4$ 者有 $12$ 種，即 $\left(0,4\right),\left(1,5\right),\cdots,\left(5,9\right)$ 與 $\left(4,0\right),\left(5,1\right),\cdots,\left(9,5\right)$
相差為 $5$ 者有 $10$ 種，即 $\left(0,5\right),\left(1,6\right),\cdots,\left(4,9\right)$ 與 $\left(5,0\right),\left(6,1\right),\cdots,\left(9,4\right)$ 。
相差為 $9$ 者共 $2$ 種，即 $\left(0,9\right)$ 與 $\left(9,0\right)$ 。

故選(2)。

空間坐標中有一球面（半徑大於0）與平面3x+4y=0相切於原點，請問此球面與三個坐標軸一共有多少個交點？
1. $1$
2. $2$
3. $3$
4. $4$
5. $5$

訣竅

按條件思索球心的位置，如此作圖後容易觀察球心分別與各軸相交的情形。

解法

由於球面與平面

$3x+4y=0$ 切於原點，可以知道球心落在平面

$z=0$ 上，從而球面與

$x$ 軸交兩點、

$y$ 軸交兩點與

$z$ 軸恰交一點，其中三者共同為原點，故共有

$3$ 點，應選(3)。

多選題（占 $30$ 分）

說明：第

$8$ 題至第

$13$ 題，每題有

$5$ 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得

$5$ 分；答錯

$1$ 個選項者，得

$3$ 分；答錯

$2$ 個選項者，得

$1$ 分；答錯多於

$2$ 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

設f(x)=x4−5x3+x2+ax+b為實係數多項式，且知f(i)=0（其中i2=−1）。請問下列哪些選項是多項式方程式f(x)=0的根？
1. $-i$
2. $0$
3. $1$
4. $-5$
5. $5$

訣竅

利用實係數多項式方程式虛根成對以及因式定理確定

$f\left(x\right)$ ，隨後透過因式分解求出所有根。

解法

由虛根成對定理可知

$-i$ 亦為根，從而有因式

$\left(x-i\right)$ 與

$\left(x+i\right)$ ，故

$f\left(x\right)$ 有因式

$x^2+1$ ，因此作長除法有

$x^4-5x^3+x^2+ax+b=\left(x^2+1\right)\left(x^2-5x\right)+\left(a-5\right)x+b$

由此可知

$a=5$ 、

$b=0$ ，即有

$f\left(x\right)=x\left(x-5\right)\left(x^2+1\right)$

故四根分別為

$0,5,i,-i$ ，應選(1)(2)(5)。

三角形ABC是一個邊長為3的正三角形，如下圖所示。若在每一邊的兩個三等分點中，各選取一點連成三角形，則下列哪些選項是正確的？
1. 依此方法可能連成的三角形一共有 $8$ 個
2. 這些可能連成的三角形中，恰有 $2$ 個是銳角三角形
3. 這些可能連成的三角形中，恰有 $3$ 個是直角三角形
4. 這些可能連成的三角形中，恰有 $3$ 個是鈍角三角形
5. 這些可能連成的三角形中，恰有 $1$ 個是正三角形

訣竅

直接繪圖清點即可。

解法

為方便起見，在

$\overline{AB}$ 、

$\overline{BC}$ 、

$\overline{CA}$ 邊上分別依逆時針記這六個點分別為

$D$ 、

$E$ 、

$F$ 、

$G$ 、

$H$ 、

$I$ 。據此可以發現如下的事實：

由於各邊各取一點，因此各有兩種選擇，從而有 $2\times2\times2=8$ 種，亦可列舉如下：
$\Delta DFH,~\Delta DFI,~\Delta DGH,~\Delta DGI,~\Delta EFH,~\Delta EFI,~\Delta EGH,~\Delta EGI$
由前項事實中可以發現 $\Delta DFH,~\Delta EGI$ 兩者皆為正三角形，即有 $2$ 個銳角三角形、 $2$ 個正三角形。
$\Delta DFI,~\Delta DGH,~\Delta DGI,~\Delta EFH,~\Delta EFI,~\Delta EGH$ 等六個三角形為直角三角形。

根據以上的結果可知應選(1)(2)。

設O為複數平面上的原點，並令點A，B分別代表非零複數z，w。若∠AOB=90∘，則下列哪些選項必為負實數？
1. $\displaystyle\frac{z}{w}$
2. $zw$
3. $\left(zw\right)^2$
4. $\displaystyle\frac{z^2}{w^2}$
5. $\left(z\bar{w}\right)^2$ （其中 $\bar{w}$ 為 $w$ 的共軛複數）

訣竅

根據條件進行假設後根據複數的乘除計算檢查之。

解法

按條件可設

$z=r_1\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)$ ，

$w=r_2\left[\cos\left(\theta\pm90^\circ\right)+i\sin\left(\theta\pm90^\circ\right)\right]$ ，那麼可以計算各個選項如下：

$\displaystyle\frac{z}{w}=\frac{r_1}{r_2}\left(\cos\pm90^\circ+i\sin\pm90^\circ\right)=\pm\frac{r_1}{r_2}i$ 為純虛數。
$zw=r_1r_2\left[\cos\left(2\theta\pm90^\circ\right)+i\sin\left(2\theta\pm90^\circ\right)\right]$ ，不必然為負實數。
$\left(zw\right)^2=r_1^2r_2^2\left[\cos\left(4\theta\pm180^\circ\right)+i\sin\left(4\theta\pm180^\circ\right)\right]$ ，不必然是負實數。
$\displaystyle\frac{z^2}{w^2}=\left(\frac{z}{w}\right)^2=-\frac{r_1^2}{r_2^2}<0$ 為負實數。
$\left(z\bar{w}\right)^2=\left[r_1r_2\cos\left(\mp90^\circ\right)+i\sin\left(\mp90^\circ\right)\right]^2=-r_1^2r_2^2<0$ 為負實數。

故應選(4)(5)。

若實數a,b,c,d使得聯立方程組{ax+8y=cx−4y=3有解，且聯立方程組{−3x+by=dx−4y=3無解，則下列哪些選項一定正確？
1. $a\neq-2$
2. $c=-6$
3. $b=12$
4. $d\neq-9$
5. 聯立方程組 $\left\{\begin{aligned} &ax+8y=c\\&-3x+by=d\end{aligned}\right.$ 無解

訣竅

注意聯立方程組的無解的條件，並且有解可能是恰有一解或是無窮多解。此外也應注意聯立方程組所表示的幾何意義。

解法

首先處理聯立方程組 $\left\{\begin{aligned} &ax+8y=c\\&x-4y=3\end{aligned}\right.$ ，使用加減消去法有 $\left(a+2\right)x=c+6$ 。由於方程組有解可能恰有一解，則此時有 $a\neq-2$ ；而當方程組的有解為無窮多解時，則有 $a=-2$ 、 $c=-6$ 。

另一方面，聯立方程組 $\left\{\begin{aligned} &-3x+by=d\\&x-4y=3\end{aligned}\right.$ 是無解的，那麼由加減消去法可得的方程式也無解：

$\left(b-12\right)=d+9$

因此

$b=12$ 但

$d\neq-9$ 。

最後由直線們的幾何意義可以分出兩種情形： $ax+8y=c$ 與 $x-4y=3$ 重合還是恰交一點，兩種情形分別可知聯立方程組 $\left\{\begin{aligned} &ax+8y=c\\&-3x+by=d\end{aligned}\right.$ 無解或恰有一解。

至此可以知道一定正確的選項僅有(3)(4)。

在坐標平面上，廣義角θ的頂點為原點O，始邊為x軸正向，且滿足tanθ=23。若θ的終邊上有一點P，其y坐標為−4，則下列哪些選項一定正確？
1. $P$ 的 $x$ 坐標是 $6$
2. $\overline{OP}=2\sqrt{13}$
3. $\displaystyle\cos\theta=\frac{3}{\sqrt{13}}$
4. $\sin2\theta>0$
5. $\displaystyle\cos\frac{\theta}{2}<0$

訣竅

根據三角函數的定義以及倍角與半角公式等計算之。

解法

設 $P$ 之坐標為 $\left(a,-4\right)$ ，那麼按廣義角三角函數的定義可知 $\displaystyle\tan\theta=\frac{-4}{a}=\frac{2}{3}$ ，從而有 $a=-6$ ，因此本選項錯誤。
由於 $P$ 坐標為 $\left(-6,-4\right)$ ，故 $\overline{OP}=\sqrt{\left(-6\right)^2+\left(-4\right)^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ ，本選項正確。
按廣義角三角函數的定義可知 $\displaystyle\cos\theta=\frac{x}{r}=\frac{-6}{2\sqrt{13}}=\frac{-3}{\sqrt{13}}$ ，本選項錯誤。
由二倍角公式可知
$\displaystyle\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta=2\cdot\frac{-2}{\sqrt{13}}\cdot\frac{-3}{\sqrt{13}}=\frac{12}{13}>0$
本選項正確。
注意到 $\sin\theta$ 、 $\cos\theta$ 皆為負值，因此 $\theta$ 為第三象限角，即 $\theta$ 介於 $360^\circ\cdot k+180^\circ$ 與 $360^\circ\cdot k+270^\circ$ 之間，其中 $k$ 為整數，從而 $\displaystyle\frac{\theta}{2}$ 介於 $180^\circ\cdot k+90^\circ$ 與 $180^\circ\cdot k+135^\circ$ 之間。當 $k=1$ 時表明 $\displaystyle\frac{\theta}{2}$ 為第四象限角，從而 $\displaystyle\cos\frac{\theta}{2}>0$ ，因此本選項不一定正確。

由以上可知應選(2)(4)。

平面上兩點F1,F2滿足¯F1F2=4。設d為一實數，令Γ表示平面上滿足|¯PF1−¯PF2|=d的所有P點所成的圖形，又令C為平面上以F1為圓心、6為半徑的圓。請問下列哪些選項是正確的？
1. 當 $d=0$ 時， $\Gamma$ 為直線
2. 當 $d=1$ 時， $\Gamma$ 為雙曲線
3. 當 $d=2$ 時， $\Gamma$ 與圓 $C$ 交於兩點
4. 當 $d=4$ 時， $\Gamma$ 與圓 $C$ 交於四點
5. 當 $d=8$ 時， $\Gamma$ 不存在。

訣竅

注意到題目條件與雙曲線的定義式類似，並留意其極端情形。

解法

當 $d=0$ 時可以發現 $P$ 落於 $F_1$ 與 $F_2$ 的中垂線上，因此 $\Gamma$ 為直線，本選項正確。
而當 $d=1<4$ 時可知 $\Gamma$ 的圖形形成雙曲線，本選項正確。
當 $d=2<4$ 時可知 $\Gamma$ 的圖形形成雙曲線且方程為 $\displaystyle\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{3}=1$ ，故交 $x$ 軸於 $\left(\pm1,0\right)$ ，藉由繪圖可發現雙曲線與 $C$ 在四個象限中皆分別有一個交點，從而有四個交點，本選項錯誤。
當 $d=4$ 時可知 $\Gamma$ 為兩條分別以 $F_1$ 、 $F_2$ 為起點向外作的射線，從而與圓 $C$ 分別交於 $\left(-6,0\right)$ 與 $\left(6,0\right)$ ，即有兩個交點，本選項錯誤。
而當 $d=8>4$ ，從而 $\Gamma$ 為空集合，因此無圖形或稱其不存在。本選項正確。

由以上可知應選(1)(2)(5)。

第貳部分：選填題（占

$35$ 分）

說明：

第 $A$ 至 $G$ 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號(14-33)處。
每題完全答對給 $5$ 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

若首項為 $a$ ，公比為 $0.01$ 的無窮等比級數和等於循環小數 $1.\overline{2}$ ，則 $a=\underline{ ⑭.⑮⑯ }$ 。

訣竅

運用無窮等比級數公式並將循環小數化為有理數即可。

解法

首先注意到循環小數

$1.\overline{2}$ 可改寫為

$\displaystyle1+0.\overline{2}=1+\frac{2}{9}=\frac{11}{9}$ ，那麼題設與無窮等比級數公式可知

$\displaystyle\frac{a}{1-0.01}=\frac{a}{0.99}=\frac{11}{9}$

因此可知

$\displaystyle a=0.99\times\frac{11}{9}=0.11\times11=1.21$ ，故填入

$⑭=1$ 、

$⑮=2$ 、

$⑯=1$ 。

設 $A\left(1,1\right)$ ， $B\left(3,5\right)$ ， $C\left(5,3\right)$ ， $D\left(0,-7\right)$ ， $E\left(2,-3\right)$ 及 $F\left(8,-6\right)$ 為坐標平面上的六個點。若直線 $L$ 分別與三角形 $ABC$ 及三角形 $DEF$ 各恰有一個交點，則 $L$ 的斜率之最小可能值為 ⑰⑱ 。

訣竅

繪圖後觀察符合條件且使斜率為負又盡量傾斜的情形。

解法

如上附圖，為了使

$L$ 斜率為負且盡量傾斜又僅與三角形各交一點，可推知應過

$C$ 與

$F$ ，從而斜率為

$\displaystyle\frac{-6-3}{8-5}=\frac{-9}{3}=-3$ ，填入

$⑰=-$ 、

$⑱=3$ 。

小明在天文網站上看到以下的資訊「可利用北斗七星斗杓的天璇與天樞這兩顆星來尋找北極星：由天璇起始向天樞的方向延伸便可找到北極星，其中天樞與的距離為與距離的 $5$ 倍。」今小明將所見的星空想像成一個坐標平面，其中的坐標為 $\left(9,8\right)$ 及的坐標為 $\left(7,11\right)$ 。依上述資訊可以推得的坐標為 $\left(\underline{ ⑲⑳ },\underline{ ㉑㉒ }\right)$ 。

訣竅

將題意轉為向量的語言並注意該三星為共線。

解法

設天璇為

$A$ 、天樞為

$B$ ，北極星為

$C$ ，那麼題意表明

$\overset{\rightharpoonup}{BC}=5\overset{\rightharpoonup}{AB}$ ，因此有

$C=B+5\left(B-A\right)=6B-5A=6\left(7,11\right)-5\left(9,8\right)=\left(-3,26\right)$

因此填入

$⑲=-$ 、

$⑳=3$ 、

$㉑=2$ 、

$㉒=6$ 。

設點 $A\left(-2,2\right)$ 、 $B\left(4,8\right)$ 為坐標平面上兩點，且點 $C$ 在二次函數 $\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$ 的圖形上變動。當 $C$ 點的 $x$ 坐標為時，內積 $\overset{\rightharpoonup}{AB}\cdot\overset{\rightharpoonup}{AC}$ 有最小值㉕㉖

訣竅

藉由適當的假設

$C$ 點座標並據此計算內積，從而利用配方法找出最小值，並根據等號成立條件找出對應的

$C$ 點座標。

解法

設

$C$ 之坐標為

$\left(2a,2a^2\right)$ ，其中

$a$ 為實數。那麼內積可以計算得

$\displaystyle\overset{\rightharpoonup}{AB}\cdot\overset{\rightharpoonup}{AC}=\left(6,6\right)\cdot\left(2a+2,2a^2-2\right)=12a^2+12a=12\left(a+\frac{1}{2}\right)^2-3$

如此可知當

$\displaystyle a=-\frac{1}{2}$ 有最小值為

$-3$ ，此時

$C$ 之

$x$ 坐標為

$-1$ ，因此填入

$㉓=-$ 、

$㉔=1$ 、

$㉕=-$ 、

$㉖=3$ 。

在邊長為 $13$ 的正三角形 $ABC$ 上各邊分別取一點 $P$ ， $Q$ ， $R$ ，使得 $APQR$ 形成一平行四邊形，如下圖所示：若平行四邊形 $APQR$ 的面積為 $20\sqrt{3}$ ，則線段 $PR$ 的長度為㉗。

訣竅

為了使用餘弦定理，需弄清楚

$\overline{AP}$ 、

$\overline{AR}$ 之間的關係，如

$\overline{AP}+\overline{AQ}$ 與

$\overline{AP}\cdot\overline{AR}$ 。

解法

由於

$APQR$ 為平行四邊形，因此其面積可表達如下

$\overline{AP}\cdot\overline{AR}\cdot\sin60^\circ=20\sqrt{3}$

即有

$\overline{AP}\cdot\overline{AR}=40$ 。再者又由

$\Delta BPQ$ 與

$\Delta CQR$ 為正三角形，因此

$AP+AR=QR+QP=CQ+QB=BC=13$ 。因此在

$\Delta APR$ 中使用由餘弦定理有

$\displaystyle\overline{PR}=\sqrt{\overline{AP}^2+\overline{AR}^2-2\overline{AP}\cdot\overline{AR}\cos60^\circ}=\sqrt{\left(13^2-2\cdot40\right)-2\cdot40\cdot\frac{1}{2}}=7$

故填入

$㉗=7$ 。

設 $m,n$ 為正實數，橢圓 $\displaystyle\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1$ 的焦點分別為 $F_1\left(0,2\right)$ 與 $F_2\left(0,-2\right)$ 。若此橢圓上有一點 $P$ 使得 $\Delta PF_1F_2$ 為一正三角形，則 $m=\underline{ ㉘㉙ }$ ， $n=\underline{ ㉚㉛ }$ 。

訣竅

留意橢圓標準式中各項參數的意義與相關的等式。

解法

按橢圓標準式的特性可知

$n=m+2^2=m+4$ 。若橢圓上有點使

$\Delta PF_1F_2$ 為正三角形，那麼由於

$P$ 將落於

$F_1F_2$ 的中垂線上，此表明

$P$ 在

$x$ 軸上。又

$\overline{F_1F_2}=4$ ，故

$\overline{PF_1}=\overline{PF_2}=4$ ，可以解得

$P\left(\pm2\sqrt{3},0\right)$ 。將此坐標代入橢圓方程式中有

$\displaystyle\frac{12}{m}=1$ ，即

$m=12$ ，從而

$n=16$ ，填入

$㉘=1$ 、

$㉙=2$ 、

$㉚=1$ 、

$㉛=6$ 。

坐標空間中，在六個平面 $\displaystyle x=\frac{14}{13}$ ， $\displaystyle x=\frac{1}{13}$ ， $y=1$ ， $y=-1$ ， $z=-1$ 及 $z=-4$ 所圍成的長方體上隨機選取兩個相異頂點。若每個頂點被選取的機率相同，則選到兩個頂點的距離大於 $3$ 之機率為 $\displaystyle\underline{ \frac{㉜}{㉝} }$ 。（化成最簡分數）

訣竅

經由條件確定出長方體的長寬高後，探究各種選點所得到的距離的情形即可。

解法

經由條件可以知道長寬高分別為

$3$ 、

$2$ 、

$1$ ，那麼任取一點時，至其餘七點的距離分別為

$1$ 、

$2$ 、

$\sqrt{5}$ 、

$3$ 、

$\sqrt{10}$ 、

$\sqrt{13}$ 、

$\sqrt{14}$ ，故距離大於

$3$ 的機率為

$\displaystyle\frac{3}{7}$ ，應填入

$㉜=3$ 、

$㉝=7$

參考公式及可能用到的數值

一元二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ 的公式解： $\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
平面上兩點 $P_1\left(x_1,y_1\right)$ ， $P_2\left(x_2,y_2\right)$ 間的距離為 $\overline{P_1P_2}=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$
通過 $\left(x_1,y_1\right)$ 與 $\left(x_2,y_2\right)$ 的直線斜率 $\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ ， $x_2\neq x_1$
首項為 $a_1$ ，公差為 $d$ 的等差數列前 $n$ 項之和為 $\displaystyle S=\frac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}=\frac{n\left(2a_1+\left(n-1\right)d\right)}{2}$
等比數列 $\left\langle ar^{k-1}\right\rangle$ 的前 $n$ 項之和 $\displaystyle S_n=\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}$ ， $r\neq1$
級數公式： $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$
三角函數的和角公式： $\sin\left(A+B\right)=\sin A\cos B+\sin B\cos A$
　　　　　　　　　　 $\cos\left(A+B\right)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$
$\Delta ABC$ 的正弦定理： $\displaystyle\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ ， $R$ 為 $\Delta ABC$ 的外接圓半徑
$\Delta ABC$ 的餘弦定理： $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$
棣美弗定理：設 $z=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)$ ，則 $z^n=r^n\left(\cos n\theta+i\sin n\theta\right)$ ， $n$ 為一正整數
算術平均數： $\displaystyle M\left(={\bar X}\right)=\frac{1}{n}\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$
（樣本）標準差：　 $\displaystyle S=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-{\bar X}\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\left(\left(\sum_{i=1}^{n}x_i^2\right)-n\bar{X}^2\right)}$
$95\%$ 信心水準下的信賴區間： $\displaystyle\left[\hat{p}-2\sqrt{\frac{\hat{p}\left(1-\hat{p}\right)}{n}},\hat{p}+2\sqrt{\frac{\hat{p}\left(1-\hat{p}\right)}{n}}\right]$
參考數值： $\sqrt{2}\approx1.414$ ；　 $\sqrt{3}\approx1.732$ ；　 $\sqrt{5}\approx2.236$ ；　 $\sqrt{6}\approx2.449$ ；　 $\pi\approx3.142$
對數值： $\log_{10}2\approx0.3010$ ， $\log_{10}3\approx0.4771$ ， $\log_{10}5\approx0.6990$ ， $\log_{10}7\approx0.8451$

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