一百零三學年度數學學科能力測驗

大學入學考試中心
$103$學年度學科能力測驗試題

數學考科

－作答注意事項－

1. 考試時間：$100$分鐘
2. 題型題數：單選題$6$題，多選題$6$題，選填題第$A$至$H$題共$8$題
3. 作答方式：用2B鉛筆在「答案卡」上作答；更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液(帶)。未依規定畫記答案卡，致機器掃描無法辨識答案者，其後果由考生自行承擔。
4. 選填題作答說明：選填題的題號是A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子畫記。請仔細閱讀下面的例子。

   例：若第B題的答案格式是$\displaystyle\underline{　\frac{⑱}{⑲}　}$，而依題意計算出來的答案是$\displaystyle\frac{3}{8}$，則考生必須分別在答案卡上的第$18$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$與第$19$列的$\underset{\boxed{~~}}{8}$劃記，如：

   $\begin{array}{|c|}18~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\19~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\color{black}{▆▆}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

   例：若第C題的答案格式是$\displaystyle\underline{　\frac{⑳㉑}{50}　}$，而答案是$\displaystyle\frac{-7}{50}$時，則考生必須分別在答案卡的第$20$列的$\underset{\boxed{~~}}{-}$與第$21$列的$\underset{\boxed{~~}}{7}$畫記，如：

   $\begin{array}{|c|}20~~\underset{\color{black}{▆▆}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline21~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\color{black}{▆▆}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

5. ※試題後附有參考公式及可能用到的數值

---

第壹部分：選擇題（占$60$分）

1. 單選題（占$30$分）
說明：第$1$至$6$題，每題有$5$個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得$5$分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。
1. 請問下列哪一個選項等於$\log\left(2^{\left(3^5\right)}\right)$？
   1. $5\log\left(2^3\right)$
   2. $3\times5\log2$
   3. $5\log2\times\log3$
   4. $5\left(\log2+\log3\right)$
   5. $3^5\log2$
訣竅
根據對數律$\log a^r=r\log a$即可知道答案。
解法
使用訣竅的對數律公式可知$\log\left(2^{\left(3^5\right)}\right)=3^5\log2$，應選(5)。


2. 令$A\left(5,0,12\right)$、$B\left(-5,0,12\right)$為坐標空間中之兩點，且令$P$為$xy$平面上滿足$\overline{PA}=\overline{PB}=13$的點。請問下列哪一個選項中的點可能為$P$？
   1. $\left(5,0,0\right)$
   2. $\left(5,5,0\right)$
   3. $\left(0,12,0\right)$
   4. $\left(0,0,0\right)$
   5. $\left(0,0,24\right)$
訣竅
由於$P$在$xy$平面上，因此可假設$P$為$\left(a,b,0\right)$，並利用$\overline{PA}=\overline{PB}=13$來確定$a$與$b$應滿足的關係。
解法
按訣竅可設$P=\left(a,b,0\right)$［註：此時即可知道選項(5)錯誤］，那麼按條件可知
$\left(a-5\right)^2+b^2+12^2=\left(a+5\right)^2+b^2+12^2=13^2$
由第一個等號可知$\left(a-5\right)^2=\left(a+5\right)^2$，即有$a=0$。再由第二個等號可知$b=0$，從而$P=\left(0,0,0\right)$，故選(4)。


3. 在坐標平面上，以$\left(1,1\right),\left(-1,1\right),\left(-1,-1\right)$及$\left(1,-1\right)$等四個點為頂點的正方形，與圓$x^2+y^2+2x+2y+1=0$有幾個交點？
   1. $1$個
   2. $2$個
   3. $3$個
   4. $4$個
   5. $0$個
訣竅
將圓方程式整理得出圓心和半徑後繪圖即可判斷交點個數。
解法
首先將$x^2+y^2+2x+2y+1=0$配方可得$\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2=1$，此即圓心在$\left(-1,-1\right)$而半徑為$1$的圓，圖形可繪製如下

恰有兩個交點，故選(2)。


4. 請問滿足絕對值不等式$\left|4x-12\right|\leq2x$的實數$x$所形成的區間，其長度為下列哪一個選項？
   1. $1$
   2. $2$
   3. $3$
   4. $4$
   5. $6$
訣竅
解絕對值不等式時應分段討論，待解出此不等式後即可判定其區間長度。
解法
若$x\geq3$，則有$4x-12\leq2x$，即$2x\leq12$，故得$x\leq6$；若$x\leq3$，則$12-4x\leq2x$，即$12\leq6x$，故得$2\leq x$。綜合兩種情形可知滿足題幹不等式的$x$所形成的區間為$2\leq x\leq6$，其長度為$4$，應選(4)。


5. 設$\left(1+\sqrt{2}\right)^6=a+b\sqrt{2}$，其中$a,b$為整數。請問$b$等於下列哪一個選項？
   1. $C_0^6+2C_2^6+2^2C_4^6+2^3C_6^6$
   2. $C_1^6+2C_3^6+2^2C_5^6$
   3. $C_0^6+2C_1^6+2^2C_2^6+2^3C_3^6+2^4C_4^6+2^5C_5^6+2^6C_6^6$
   4. $2C_1^6+2^2C_3^6+2^3C_5^6$
   5. $C_0^6+2^2C_2^6+2^4C_4^6+2^6C_6^6$
訣竅
根據二項式定理展開整理即可。
解法
根據二項式定理可知
$\left(1+\sqrt{2}\right)^6=C_0^6+C_1^6\sqrt{2}+C_2^6\left(\sqrt{2}\right)^2+C_3^6\left(\sqrt{2}\right)^3+C_4^6\left(\sqrt{2}\right)^4+C_5^6\left(\sqrt{2}\right)^5+C_6^6\left(\sqrt{2}\right)^6$
其中可以注意到當$\left(\sqrt{2}\right)^k$的次數為偶數次時會組成$a$的部分，而次數為奇數時會組成$b\sqrt{2}$的部分，故
$b\sqrt{2}=C_1^6\sqrt{2}+C_3^6\left(\sqrt{2}\right)^3+C_5^6\left(\sqrt{2}\right)^5$
從而有
$b=C_1^6+C_3^6\left(\sqrt{2}\right)^2+C_5^6\left(\sqrt{2}\right)^4=C_1^6+2C_3^6+2^2C_5^6$
故選(2)。


6. 某疾病可分為兩種類型：第一類占$70\%$，可藉由藥物$A$治療， 其每一次療程的成功率為$70\%$，且每一次療程的成功與否互相獨立；其餘為第二類，藥物$A$治療方式完全無效。在不知道患者所患此疾病的類型， 且用藥物$A$第一次療程失敗的情況下， 進行第二次療程成功的條件機率最接近下列哪一個選項？
   1. $0.25$
   2. $0.3$
   3. $0.35$
   4. $0.4$
   5. $0.45$
訣竅
運用條件機率的思考來列式計算。
解法
設第一次失敗的情況為甲，而第二次成功的情況為乙，則欲求之值為$P\left(乙|甲\right)$，那麼按定義可知
$\displaystyle P\left(乙|甲\right)=\frac{P\left(甲\cap乙\right)}{P\left(甲\right)}$
其中分子分母的機率可分別計算如下
$\begin{aligned} &P\left(甲\right)=0.7\cdot0.3+0.3\cdot1=0.51\\&P\left(甲\cap乙\right)=0.7\cdot0.3\cdot0.7+0.3\cdot1\cdot0=0.147\end{aligned}$
因此所求為$\displaystyle\frac{0.147}{0.51}=\frac{147}{510}=\frac{49}{170}\approx0.288$，此最接近$0.3$，故選(2)。
2. 多選題（佔$30$分）
說明：第$7$至第$12$題，每題有$5$個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得$5$分；答錯$1$個選項者，得$3$分；答錯$2$個選項者，得$1$分；答錯多於$2$個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。
7. 設坐標平面上，$x$坐標與$y$坐標皆為整數的點稱為格子點。請選出圖形上有格子點的選項。
   1. $y=x^2$
   2. $3y=9x+1$
   3. $y^2=-x-2$
   4. $x^2+y^2=3$
   5. $\displaystyle y=\log_9x+\frac{1}{2}$
訣竅
藉由描點的經驗可容易判斷那些圖形通過格子點，而針對沒有通過格子點的則能透過整數的特性予以證明。
解法
1. 容易知道$y=x^2$通過原點$\left(0,0\right)$，故應選本選項。
2. 假若此方程通過格子點$\left(n,m\right)$，那麼$9m$、$3n$皆為$3$的倍數，則$3n-9m=1$亦為$3$的倍數，此為矛盾。因此$3y=9x+1$不通過格子點。
3. 容易知道$y^2=-x-2$通過$\left(-2,0\right)$。
4. 由於$x^2\leq x^2+y^2=3$、$y^2\leq x^2+y^2\leq3$，故$x=0$或$1$、$y^2=0$或$1$。容易檢驗這些情況所得的點座標都不落於$x^2+y^2=3$上，故$x^2+y^2=3$不通過格子點。
5. 可以檢驗得知$\displaystyle y=\log_9x+\frac{1}{2}$通過$\left(3,1\right)$。
根據以上(1)(3)(5)。


8. 關於下列不等式， 請選出正確的選項。
   1. $\sqrt{13}>3.5$
   2. $\sqrt{13}<3.6$
   3. $\sqrt{13}-\sqrt{3}>\sqrt{10}$
   4. $\sqrt{13}+\sqrt{3}>\sqrt{16}$
   5. $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{13}-\sqrt{3}}>0.6$
訣竅
將不等式進行簡化改寫後以判斷是否正確。
解法
1. 由於$13>12.25$，因此

   $\sqrt{13}>\sqrt{12.25}=3.5$

   故此選項正確。
2. 由於$13>12.96$，因此

   $\sqrt{13}>\sqrt{12.96}=3.6$

   故本選項錯誤。
3. 由於$2\sqrt{30}>0$，兩邊同時加上$13$可得

   $\left(\sqrt{10}+\sqrt{3}\right)^2=10+2\sqrt{10}\cdot\sqrt{3}+3=13+2\sqrt{30}>13$

   兩邊開根號可得

   $\sqrt{10}+\sqrt{3}>\sqrt{13}$

   藉由移項可得

   $\sqrt{10}>\sqrt{13}-\sqrt{3}$

   因此本選項錯誤。
4. 由於$2\sqrt{39}>0$，兩邊同加$16$有

   $\left(\sqrt{13}+\sqrt{3}\right)^2=13+2\sqrt{13}\cdot\sqrt{3}+3=16+2\sqrt{39}>16$

   兩邊開根號可得

   $\sqrt{13}+\sqrt{3}>\sqrt{16}$

   故本選項正確。
5. 本選項等價於

   $\displaystyle\frac{\sqrt{13}+\sqrt{3}}{10}>\frac{6}{10}$

   亦等同於$\sqrt{13}+\sqrt{3}>6$，但這是錯的。因為$\sqrt{13}<\sqrt{16}<4$、$\sqrt{3}<\sqrt{4}=2$，故有

   $\sqrt{13}+\sqrt{3}<6$

   因此本選項錯誤。
由以上的分析可知應選(1)(4)。


9. 一物體由坐標平面中的點$\left(-3,6\right)$出發，沿著向量$\vec{v}$所指的方向持續前進，可以進入第一象限。請選出正確的選項。
   1. $\vec{v}=\left(1,-2\right)$
   2. $\vec{v}=\left(1,-1\right)$
   3. $\vec{v}=\left(0.001,0\right)$
   4. $\vec{v}=\left(0.001,1\right)$
   5. $\vec{v}=\left(-0.001,1\right)$
訣竅
運用參數式表達後即要解聯立不等式，若有解則表示可進入第一象限，無解則表示無法進入第一象限。
解法
1. 可以將前進的直線表示為$\left\{\begin{aligned} &x=-3+t\\&y=6-2t\end{aligned}\right.$，其中$t\geq0$。假若可以進入第一象限，則表示$-3+t>0$、$6-2t>0$，這表明$t>3$且$t<3$，從而矛盾。故不可能進入第一象限。
2. 可以將前進的直線表示為$\left\{\begin{aligned} &x=-3+t\\&y=6-t\end{aligned}\right.$，其中$t\geq0$。假若可以進入第一象限，則表示$-3+t>0$、$6-t>0$，這表明$3<t<6$，不妨取$t=4$可以發現有落於第一象限中。
3. 留意到此向量$\vec{v}$水平向右，故可自第二象限的$\left(-3,6\right)$移至第一象限中。具體地說，向右移動$3001$個$\vec{v}$可移動至$\left(0.001,6\right)$即落於第一象限中。
4. 留意到此向量$\vec{v}$向右上角移動，故可自第二象限的$\left(-3,6\right)$移至第一象限中。具體地說，向右移動$3001$個$\vec{v}$可移動至$\left(0.001,3007\right)$即落於第一象限中。
5. 由於向左邊移動，故不可能自第二象限移動至第一象限中，因此其$x$座標永遠是負的。
由以上分析可知應選(2)(3)(4)。


10. 設$f\left(x\right)$為實係數二次多項式，且已知$f\left(1\right)>0$、$f\left(2\right)<0$、$f\left(3\right)>0$。令$g\left(x\right)=f\left(x\right)+\left(x-2\right)\left(x-3\right)$，請選出正確的選項。
    1. $y=f\left(x\right)$的圖形是開口向下的拋物線
    2. $y=g\left(x\right)$的圖形是開口向下的拋物線
    3. $g\left(1\right)>f\left(1\right)$
    4. $g\left(x\right)=0$在$1$與$2$之間恰有一個實根。
    5. 若$\alpha$為$f\left(x\right)=0$的最大實根，則$g\left(\alpha\right)>0$
訣竅
二次多項式所形成的函數圖形為拋物線，其開口方向取決於二次項係數的正負符號；而判斷根的位置則可透過勘根定理來決定。
解法
1. 設$f\left(x\right)=ax^2+bx+c$，由於$f\left(1\right)=a+b+c>0$、$f\left(2\right)=4a+2b+c<0$、$f\left(3\right)=9a+3b+c>0$，將其兩兩相減可得

   $3a+b<0$、$5a+b>0$

   再次相減可得$2a>0$，即$a$為正數，故$y=f\left(x\right)$為開口向上的拋物線，本選項錯誤。
2. 承選項(1)可知$y=g\left(x\right)=\left(a+1\right)x^2+\left(b-5\right)x+\left(c+6\right)$，其二次項係數為$a+1>1$，從而開口項上，本選項錯誤。
3. 按$g$的定義代入$x=1$可得

   $g\left(1\right)=f\left(1\right)+\left(1-2\right)\left(1-3\right)=f\left(1\right)+2>f\left(1\right)$

   故本選項正確。
4. 承(3)已知$g\left(1\right)=f\left(1\right)+2>0$。再者按$g$的定義可知$g\left(2\right)=f\left(2\right)<0$，故由勘根定理可知$g\left(x\right)=0$在$1$與$2$之間存在實根。另一方面，由於$g\left(3\right)=f\left(3\right)$，故$g\left(x\right)=0$在$2$與$3$之間亦有另一實根。最後由代數基本定理可知二次多項式恰有$2$根，故$g\left(x\right)=0$在$1$與$2$之間恰有一個實根，本選項正確。
5. 利用勘根定理與代數基本定理可知$f\left(x\right)=0$的最大實根$\alpha$介在$2$與$3$之間。故按$g$的定義有

   $g\left(\alpha\right)=f\left(\alpha\right)+\left(\alpha-2\right)\left(\alpha-3\right)=\left(\alpha-2\right)\left(\alpha-3\right)<0$

   故本選項錯誤。
由以上分析可知應選(3)(4)。


11. 設$a_1=1$且$a_1,a_2,a_3,\cdots$為等差數列。請選出正確的選項。
    1. 若$a_{100}>0$，則$a_{1000}>0$
    2. 若$a_{100}<0$，則$a_{1000}<0$
    3. 若$a_{1000}>0$，則$a_{100}>0$
    4. 若$a_{1000}<0$，則$a_{100}<0$
    5. $a_{1000}-a_{10}=10\left(a_{100}-a_1\right)$
訣竅
按等差數列的單調遞增或單調遞減的特性來進一步推測。
解法
1. 可以設想此為遞減的等差數列，但遞減的幅度甚小，因此在第一百項時仍正，但之後可能為負。例如$a_k=1-0.01\left(k-1\right)$，那麼當$a_1=1$、$a_{100}=0.01$，但$a_1000=-8.99<0$。故本選項錯誤。
2. 由於$a_1=1$、$a_{100}<0$，可以推知公差$d<0$，從而$a_{1000}<a_{100}<0$，故本選項正確。
3. 由於$a_{1000}=a_1+999d>0$，其中$d$為公差，那麼$\displaystyle d>-\frac{1}{999}$，故

   $\displaystyle a_{100}=a_1+99d=1+99d>1-\frac{99}{999}=\frac{100}{111}>0$

   本選項正確。
4. 本選項錯誤，反例同選項(1)。
5. 設$d$為公差，則

   $a_{1000}-a_{10}=\left(a_1+999d\right)-\left(a_1+9d\right)=990d=10\cdot99d=10\left[\left(a_1+99d\right)-a_1\right]=10\left(a_{100}-a_1\right)$

   因此本選項正確。
由以上的分析可知應選(2)(3)(5)。


12. 所謂某個年齡範圍的失業率，是指該年齡範圍的失業人數與勞動力人數之比，以百分數表達（進行統計分析時， 所有年齡以整數表示）。下表為去年某國四個年齡範圍的失業率，其中的年齡範圍有所重疊。

    $\begin{array}{c|c|c|c|c}年齡範圍&35～44歲&35～39歲&40～44歲&45～49歲\\\hline失業率&12.66(\%)&9.80(\%)&13.17(\%)&7.08(\%)\end{array}$

    請根據上表選出正確的選項。
    1. 在上述四個年齡範圍中，以$40～44$歲的失業率為最高
    2. $40～44$歲勞動力人數多於$45～49$歲勞動力人數
    3. $40～49$歲的失業率等於$\displaystyle\left(\frac{13.17+7.08}{2}\right)\%$
    4. $35～39$歲勞動力人數少於$40～44$歲勞動力人數
    5. 如果$40～44$歲的失業率降低，則$45～49$歲的失業率會升高
訣竅
根據表格中的資訊答題即可。
解法
1. 由表中可知道$13.17\%$為最高的失業率，其對應的年齡範圍為$40～44$歲。
2. 選項(2)無法判斷。
3. 除非$40～44$歲的人口數與$45～49$歲的人口數相同，否則其失業率之計算不可能為兩者相加除以$2$，因此本選項錯誤。
4. 由於$35～44$歲之失業率為$12.66\%$接近於$40～44$歲的$13.1\%$而與$35～39$歲的$9.8\%$較遠，故$40～44$歲的勞動力人口數多於$35～39$歲的勞動力人口數，本選項正確。
5. 兩者無關，本選項錯誤。
由以上分析可知應選(1)(4)。

第二部分：選填題（占$40$分）

說明：

1. 第$A$至$H$題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號(13-36)處。
2. 每題完全答對給$5$分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

1. 設圓$O$之半徑為$24$，$\overline{OC}=26$，$\overline{OC}$交圓$O$於$A$點，$\overline{CD}$切圓$O$於$D$點，$B$為$A$點到$\overline{OD}$的垂足，如右邊的示意圖。則$\displaystyle\overline{AB}=\underline{　\frac{⑬⑭⑮}{⑯⑰}　}$。(化為最簡分數)
   
訣竅
利用相似三角形與畢氏定理來求解即可。
解法
由於圓$O$的半徑為$24$，故$\overline{OD}=\overline{OA}=24$。由畢氏定理可知
$\overline{CD}=\sqrt{\overline{OC}^2-\overline{OD}^2}=\sqrt{26^2-24^2}=\sqrt{676-576}=\sqrt{100}=10$
根據AA相似有$\bigtriangleup OAB\sim\bigtriangleup OCD$，故有
$\displaystyle\frac{24}{26}=\frac{\overline{OA}}{\overline{OC}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{CD}}=\frac{\overline{AB}}{10}$
從而求得$\displaystyle\overline{AB}=\frac{24}{26}\times10=\frac{120}{13}$，故填入$⑬=1$、$⑭=2$、$⑮=0$、$⑯=1$、$⑰=3$。


2. 坐標平面上，若直線$y=ax+b$(其中$a,b$為實數)與二次函數$y=x^2$的圖形恰交於一點，亦與二次函數$y=\left(x-2\right)^2+12$的圖形恰交於一點，則$a=\underline{⑱}$，$b=\underline{⑲⑳}$。
訣竅
明白恰交一點蘊含重根，從而根據判別式為零來求解；亦可觀察兩拋物線開口大小相同，從而相切位置與直線斜率的關聯來求解。
解法一
由於$y=ax+b$與$y=x^2$的圖形恰交一點，此表明$x^2=ax+b$為重根，從而判別式$\left(-a\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-b\right)=0$，即$a^2+4b=0$；另一方面，由$y=ax+b$與$y=\left(x-2\right)^2+12$的圖形恰交一點，故$\left(x-2\right)^2+12=ax+b$為重根，展開有$x^2-\left(a+4\right)x+\left(16-b\right)=0$，從而判別式$\left(a+4\right)^2-4\left(16-b\right)=0$，即$a^2+4b+8a-48=0$。結合兩者可知$8a=48$，即$a=6$，代回可得$b=-9$。故填入$⑱=6$、$⑲=-$、$⑳=9$。
解法二【由巔峰數學提供】
由於$y=x^2$與$y=\left(x-2\right)^2+12$的開口大小相同，而且兩拋物線皆與$y=ax+b$相切，故可發現兩切點所形成的向量為$\left(2,12\right)$，如此可知直線斜率為$6$。那麼考慮方程組$\left\{\begin{aligned} &y=x^2\\&y=6x+b\end{aligned}\right.$有重根，即$x^2=6x+b$有重根可知$b=-9$。因此填入$⑱=6$、$⑲=-$、$⑳=9$。


3. 小鎮$A$距離一筆直道路$6$公里，並與道路上的小鎮$B$相距$12$公里。今欲在此道路上蓋一家超級市場使其與$A,B$等距， 則此超級市場與$A$的距離須為$\underline{㉑\sqrt{㉒}}$公里。(化為最簡根式)
訣竅
按題意可以畫出直角三角形，從而利用畢氏定理求解即可。
解法
設該道路為$L$，而$A$到$L$的最近點為$C$，從而$\overline{AC}\bot\overline{BC}$並且有$\overline{AC}=6$、$\overline{AB}=12$。利用畢氏定理也有$\overline{BC}=6\sqrt{3}$。設超級市場建置於$D$處並要求$\overline{DA}=\overline{DB}$。假定$\overline{DB}=x$，那麼$\overline{DC}=6\sqrt{3}-x$，從而使用畢氏定理有
$\left(6\sqrt{3}-x\right)^2+6^2=\overline{DC}^2+\overline{CA}^2=\overline{AC}^2=x^2$
展開後可解得$x=4\sqrt{3}$，此即所求。填入$㉑=4$、$㉒=3$。


4. 坐標空間中有四點$A\left(2,0,0\right)$、$B\left(3,4,2\right)$、$C\left(-2,4,0\right)$與$D\left(-1,3,1\right)$。若點$P$在直線$CD$上變動，則內積$\overset{\rightharpoonup}{PA}\cdot\overset{\rightharpoonup}{PB}$之最小可能值為$\displaystyle\underline{ \frac{㉓}{㉔} }$。(化為最簡分數)
訣竅
利用直線參數式表達$P$點，隨後計算內積可發現為二次多項式，使用配方法求出極小值。
解法
由於$P$在直線$CD$上變動，故寫出$CD$的直線參數式為
$\left\{\begin{aligned} &x=-2+t\\&y=4-t\\&z=0+t\end{aligned}\right.,t\in\mathbb{R}$
故設$P\left(-2+t,4-t,t\right)$，則$\overset{\rightharpoonup}{PA}\cdot\overset{\rightharpoonup}{PB}$可計算如下
$\begin{aligned}\displaystyle\overset{\rightharpoonup}{PA}\cdot\overset{\rightharpoonup}{PB}=&\left(4-t,t-4,-t\right)\cdot\left(5-t,t,2-t\right)\\=&\left(4-t\right)\left(5-t\right)+t\left(t-4\right)-t\left(2-t\right)\\=&3t^2-15t+20\\=&3\left(t-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{5}{4}\end{aligned}$
故當$\displaystyle t=\frac{5}{2}$時有最小值為$\displaystyle\frac{5}{4}$，故填入$㉓=5$、$㉔=4$。


5. 設$\overset{\rightharpoonup}{u},\overset{\rightharpoonup}{v}$為兩個長度皆為$1$的向量。若$\overset{\rightharpoonup}{u}+\overset{\rightharpoonup}{v}$與$\overset{\rightharpoonup}{u}$的夾角為$75^\circ$，則$\overset{\rightharpoonup}{u}$與$\overset{\rightharpoonup}{v}$的內積為$\displaystyle\underline{ \frac{㉕\sqrt{㉖}}{㉗}}$。(化為最簡根式)
訣竅
按內積的定義進行計算即可；注意到兩長度相同的向量之和的幾何意義，如此可逆推出原先兩向量之夾角。
解法一
按內積的定義計算有
$\overset{\rightharpoonup}{u}\cdot\overset{\rightharpoonup}{v}+\left|\overset{\rightharpoonup}{v}\right|^2=\left(\overset{\rightharpoonup}{u}+\overset{\rightharpoonup}{v}\right)\cdot\overset{\rightharpoonup}{v}=\left|\overset{\rightharpoonup}{u}+\overset{\rightharpoonup}{v}\right|\left|\overset{\rightharpoonup}{v}\right|\cos75^\circ$
此時有
$\displaystyle\overset{\rightharpoonup}{u}\cdot\overset{\rightharpoonup}{v}+1=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\cdot\left|\overset{\rightharpoonup}{u}+\overset{\rightharpoonup}{v}\right|$
另一方面也有
$\left|\overset{\rightharpoonup}{u}+\overset{\rightharpoonup}{v}\right|^2=2+2\overset{\rightharpoonup}{u}\cdot\overset{\rightharpoonup}{v}$
故有
$\displaystyle\left(\overset{\rightharpoonup}{u}\cdot\overset{\rightharpoonup}{v}+1\right)^2=\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)^2\cdot\left(2+2\overset{\rightharpoonup}{u}\cdot\overset{\rightharpoonup}{v}\right)$
記$\overset{\rightharpoonup}{u}\cdot\overset{\rightharpoonup}{v}=x$，那麼有
$\displaystyle\left(x+1\right)^2=\frac{2-\sqrt{3}}{2}\left(x+1\right)$
故$x=-1$或$\displaystyle x=\frac{-\sqrt{3}}{2}$。假若為前者，這表明$\overset{\rightharpoonup}{u}$與$\overset{\rightharpoonup}{v}$的夾角為$180^\circ$，則$\overset{\rightharpoonup}{u}+\overset{\rightharpoonup}{v}$與$\overset{\rightharpoonup}{v}$的夾角為$90^\circ$，與題意不合。故所求為$\displaystyle\frac{-\sqrt{3}}{2}$，應填入$㉕=-$、$㉖=3$、$㉗=2$。
解法二
由於$\overset{\rightharpoonup}{u}$與$\overset{\rightharpoonup}{v}$之長度相同，故$\overset{\rightharpoonup}{u}+\overset{\rightharpoonup}{v}$為$\overset{\rightharpoonup}{u}$與$\overset{\rightharpoonup}{v}$的角平分方向，從而$\overset{\rightharpoonup}{u}$與$\overset{\rightharpoonup}{v}$的夾角為$150^\circ$，因此所求為$\displaystyle\overset{\rightharpoonup}{u}\cdot\overset{\rightharpoonup}{v}=1\cdot1\cdot\cos150^\circ=\frac{-\sqrt{3}}{2}$，應填入$㉕=-$、$㉖=3$、$㉗=2$。


6. 一個房間的地面是由$12$個正方形所組成，如右圖。今想用長方形瓷磚舖滿地面， 已知每一塊長方形瓷磚可以覆蓋兩個相鄰的正方形，即或則用$6$塊瓷磚舖滿房間地面的方法有$\underline{㉘㉙}$種。
   
訣竅
針對左下角進行討論後直接將所有情形排列出來即可。
解法
首先，針對左下角的多出來的兩格有兩種處理方式：擺上一塊$1\times2$的長方形磁磚，或是分別擺上兩塊$2\times1$的磁磚後在右上擺上一塊$1\times2$。
• 如果在左下角擺上一塊$1\times2$，則剩下$2\times5$的方塊。那麼可以
  • 直接擺上$5$塊$2\times1$，恰$1$種排法；
  • 擺上$3$塊$2\times1$、$2$塊$1\times2$，有$4$種排法；
  • 擺上$1$塊$2\times1$、$4$塊$1\times2$，有$3$種排法。
  此情形共有$8$種排法。
• 如果在左下角擺上兩塊$2\times1$，則左上角必擺上$1\times2$，此時剩下$2\times3$的方塊。那麼有兩種情況：
  • 擺上$3$塊$2\times1$，此恰有$1$種排法；
  • 擺上$1$塊$2\times1$、$2$塊$1\times2$，恰有$2$種排法。
  此情形下共$3$種排法。
綜上討論共計有$11$種方法數，故填入$㉘=1$、$㉙=1$。


7. 已知$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$是一個轉移矩陣，並且其行列式(值)為$\displaystyle\frac{5}{8}$。則$\displaystyle a+d=\underline{\frac{㉚㉛}{㉜}}$。(化為最簡分數)
訣竅
留意轉移矩陣與行列式值的定義即可。
解法
根據轉移矩陣的定義可知$c=1-a$、$d=1-b$，且$a,b,c,d$皆為非負實數。再者按行列式的定義有
$\displaystyle a-b=a\left(1-b\right)-b\left(1-a\right)=ad-bc=\frac{5}{8}$
因此$\displaystyle a+d=a+1-b=1+\frac{5}{8}=\frac{13}{8}$，故填入$㉚=1$、$㉛=3$、$㉜=8$。


8. 如圖，正三角形$ABC$的邊長為$1$，並且$\angle 1=\angle 2=\angle 3=15^\circ$。已知$\displaystyle\sin15^\circ=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，則正三角形$DEF$的邊長為$\displaystyle\underline{\frac{\sqrt{㉝}}{㉞}-\frac{\sqrt{㉟}}{㊱}}$。(化為最簡根式)
   
訣竅
利用正弦定理求解即可。
解法
首先可以利用ASA全等性質可知$\bigtriangleup ABE\simeq\bigtriangleup BCF\simeq\bigtriangleup CAD$，因此
$\overline{DE}=\overline{EA}-\overline{AD}=\overline{EA}-\overline{BE}$
在$\bigtriangleup ABE$中使用正弦定理有
$\displaystyle\frac{\overline{AB}}{\sin\angle AEB}=\frac{\overline{BE}}{\sin\angle BAE}=\frac{\overline{EA}}{\sin\angle EBA}$
再者由於$\bigtriangleup ABC$為正三角形，因此$\angle EBA=60^\circ-\angle 2=45^\circ$、$\angle AEB=120^\circ$。從而可得
$\begin{aligned}\displaystyle&\overline{EA}=\overline{AB}\cdot\frac{\sin\angle EBA}{\sin\angle AEB}=1\cdot\frac{\sin45^\circ}{\sin120^\circ}=\frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{\sqrt{6}}{3},\\&\overline{BE}=\overline{AB}\cdot\frac{\sin\angle BAE}{\sin\angle AEB}=1\cdot\frac{\sin15^\circ}{\sin120^\circ}=\frac{\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)/4}{\sqrt{3}/2}=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{6}\end{aligned}$
故$DEF$的邊長為
$\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}-\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{6}=\frac{3\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$
因此填入$㉝=6$、$㉞=2$、$㉟=2$、$㊱=2$。

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參考公式及可能用到的數值

1. 首項為$a$，公差為$d$的等差數列前$n$項之和為$\displaystyle S=\frac{n\left(2a+\left(n-1\right)d\right)}{2}$
   首項為$a$，公比為$r$($r\neq1$)的等比數列前$n$項之和為$\displaystyle S=\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}$
2. 三角函數的和角公式：$\sin\left(A+B\right)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$
   　　　　　　　　　　$\cos\left(A+B\right)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$
   　　　　　　　　　　$\displaystyle\tan\left(A+B\right)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$
3. $\Delta ABC$的正弦定理：$\displaystyle\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$（$R$為$\Delta ABC$外接圓半徑）
   $\Delta ABC$的餘弦定理：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$
4. 一維數據$X:x_1,x_2,\cdots,x_n$，算術平均數$\displaystyle \mu_X=\frac{1}{n}\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$
   標準差$\displaystyle\sigma_X=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\mu_X\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{n}\left(\left(\sum_{i=1}^{n}x_i^2\right)-n\mu_X^2\right)}$
5. 二維數據$\left(X,Y\right):\left(x_1,y_1\right),\left(x_2,y_2\right),\cdots,\left(x_n,y_n\right)$，相關係數$\displaystyle r_{X,Y}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\mu_X\right)\left(y_i-\mu_Y\right)}{n\sigma_X\sigma_Y}$
   迴歸直線(最適合直線)方程式$\displaystyle y-\mu_Y=r_{X,Y}\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\left(x-\mu_X\right)$
6. 參考數值：$\sqrt{2}\approx1.414, \sqrt{3}\approx1.732, \sqrt{5}\approx2.236, \sqrt{6}\approx2.449, \pi\approx3.142$
7. 對數值：$\log_{10}2\approx0.3010$，$\log_{10}3\approx0.4771$，$\log_{10}5\approx0.6990$，$\log_{10}7\approx0.8451$