一百零二學年度數學學科能力測驗

大學入學考試中心
$102$學年度學科能力測驗試題

數學考科

－作答注意事項－

1. 考試時間：$100$分鐘
2. 題型題數：單選題$6$題，多選題$6$題，選填題第$A$至$H$題共$8$題
3. 作答方式：用2B鉛筆在「答案卡」上作答；更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液(帶)。未依規定畫記答案卡，致機器掃描無法辨識答案者，其後果由考生自行承擔。
4. 選填題作答說明：選填題的題號是Ａ，Ｂ，Ｃ，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子畫記。請仔細閱讀下面的例子。

   例：若第Ｂ題的答案格式是$\displaystyle\underline{　\frac{⑱}{⑲}　}$，而依題意計算出來的答案是$\displaystyle\frac{3}{8}$，則考生必須分別在答案卡上的第$18$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$與第$19$列的$\underset{\boxed{~~}}{8}$劃記，如：

   $\begin{array}{|c|}18~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\19~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\color{black}{▆▆}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

   例：若第Ｃ題的答案格式是$\displaystyle\underline{　\frac{⑳㉑}{50}　}$，而答案是$\displaystyle\frac{-7}{50}$時，則考生必須分別在答案卡的第$20$列的$\underset{\boxed{~~}}{-}$與第$21$列的$\underset{\boxed{~~}}{7}$畫記，如：

   $\begin{array}{|c|}20~~\underset{\color{black}{▆▆}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline21~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\color{black}{▆▆}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

5. ※試題後附有參考公式及可能用到的數值

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第壹部分：選擇題（占$60$分）

1. 單選題（占$30$分）
說明：第$1$至$6$題，每題有$5$個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得$5$分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。
1. 學校規定上學期成績需同時滿足以下兩項要求，才有資格參選模範生。一、國文成績或英文成績$70$分(含)以上； 二、數學成績及格。已知小文上學期國文$65$分而且他不符合參選模範生資格。請問下列哪一個選項的推論是正確的？
   1. 小文的英文成績未達$70$分
   2. 小文的數學成績不及格
   3. 小文的英文成績$70$分以上但數學成績不及格
   4. 小文的英文成績未達$70$分且數學成績不及格
   5. 小文的英文成績未達$70$分或數學成績不及格
訣竅
依據基礎的語句邏輯推理即可。
解法
由於小文不符合參選模範生資格，因此他可能是沒有達到「國文成績或英文成績70分(含)以上」或沒有達到數學成績及格，至於前者已經肯定國文成績未達70分，故小文成績未達70分或數學成績不及格，應選(5)。


2. 令$a=2.6^{10}-2.6^{9}$，$b=2.6^{11}-2.6^{10}$，$\displaystyle c=\frac{2.6^{11}-2.6^9}{2}$。請選出正確的大小關係。
   1. $a>b>c$
   2. $a>c>b$
   3. $b>a>c$
   4. $b>c>a$
   5. $c>b>a$
訣竅
注意三個數字間的特性來比大小。
解法
首先可以注意到
$b=2.6^{11}-2.6^{10}=2.6\left(2.6^{10}-2.6^9\right)=2.6a>a$
再者，又可注意到$\displaystyle c=\frac{a+b}{2}$，從而有$b>c>a$，故選(4)。


3. 袋子裡有$3$顆白球，$2$顆黑球。由甲、乙、丙三人依序各抽取$1$顆球，抽取後不放回。若每顆球被取出的機會相等，請問在甲和乙抽到相同顏色球的條件下，丙抽到白球之條件機率為何？
   1. $\displaystyle\frac{1}{3}$
   2. $\displaystyle\frac{5}{12}$
   3. $\displaystyle\frac{1}{2}$
   4. $\displaystyle\frac{3}{5}$
   5. $\displaystyle\frac{2}{3}$
訣竅
分析各種可能的情境來計算條件機率。
解法
設$A$表示甲乙抽到相同顏色球的事件，$B$表示丙抽到白球的事件，那麼題目欲求$\displaystyle P\left(B|A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)}$。可以注意到有兩種情形甲乙都取白球、甲乙都取黑球，從而有
$\displaystyle P\left(A\right)=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}+\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{4}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$
以及
$\displaystyle P\left(A\cap B\right)=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}\cdot\frac{1}{3}+\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{3}=\frac{12}{60}=\frac{1}{5}$
故所求為
$\displaystyle P\left(B|A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{\displaystyle\frac{1}{5}}{\displaystyle\frac{2}{5}}=\frac{1}{2}$
故選(3)。


4. 已知以下各選項資料的迴歸直線(最適合直線)皆相同且皆為負相關，請選出相關係數最小的選項。
   1. $\begin{array}{c|c|c|c}x&2&3&5\\\hline y&1&13&1\end{array}$
   2. $\begin{array}{c|c|c|c}x&2&3&5\\\hline y&3&10&2\end{array}$
   3. $\begin{array}{c|c|c|c}x&2&3&5\\\hline y&5&7&3\end{array}$
   4. $\begin{array}{c|c|c|c}x&2&3&5\\\hline y&9&1&5\end{array}$
   5. $\begin{array}{c|c|c|c}x&2&3&5\\\hline y&7&4&4\end{array}$
訣竅
觀察並推測和組數據預測能力最佳，最接近完全負相關，從而有最小的相關係數。
解法
僅有(5)符合$y$隨$x$遞減的趨勢，故應選此選項。


5. 將$24$顆雞蛋分裝到紅、黃、綠的三個籃子。每個籃子都要有雞蛋，且黃、綠兩個籃子裡都裝奇數顆。請選出分裝的方法數。
   1. $55$
   2. $66$
   3. $132$
   4. $198$
   5. $253$
訣竅
透過設置變數將問題化為重複組合問題後即可求解。
解法
設紅、黃、綠籃子三個籃子分別有$a$、$b$、$c$則有$a+b+c=24$且$a,b,c\geq1$。由於黃綠兩籃子都裝奇數顆，，故紅籃子裝偶數顆，因此令$a=2x+2,b=2y+1,c=2z+1$，從而有$x+y+z=10$，運用重複組合的知識可知共有$C^{12}_2=66$種解，應選(2)。


6. 莎韻觀測遠方等速率垂直上升的熱氣球。在上午$10:00$熱氣球的仰角為$30^\circ$，到上午$10:10$仰角變成$34^\circ$。請利用下表判斷到上午$10:30$時，熱氣球的仰角最接近下列哪一個度數？

   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline\theta&30^\circ&34^\circ&39^\circ&40^\circ&41^\circ&42^\circ&43^\circ\\\hline\sin\theta&0.500&0.559&0.629&0.643&0.656&0.669&0.682\\\hline\cos\theta&0.866&0.829&0.777&0.766&0.755&0.743&0.731\\\hline\tan\theta&0.577&0.675&0.810&0.839&0.869&0.900&0.933\\\hline\end{array}$

   1. $39^\circ$
   2. $40^\circ$
   3. $41^\circ$
   4. $42^\circ$
   5. $43^\circ$
訣竅
運用三角函數表達其距離長度解其聯立後進行查表。
解法
設莎韻與氣球的水平距離為$k$（公尺），而氣球上升速率為$v$（公尺／分鐘），那麼按條件可知經過$10$分鐘後上升的距離為
$10v=k\left(\tan34^\circ-\tan30^\circ\right)$
設經過$30$分鐘後的角度為$\theta$，則應有
$30v=k\left(\tan\theta-\tan30^\circ\right)$
兩式相除可得
$\displaystyle\frac{\tan\theta-\tan30^\circ}{\tan34^\circ-\tan30^\circ}=3$
從而有
$\displaystyle\tan\theta=\tan30^\circ+3\left(\tan34^\circ-\tan30^\circ\right)=2.025-\frac{2\sqrt{3}}{3}\approx\frac{2025}{1000}-\frac{2\times1.732}{3}=\frac{2611}{3000}\approx0.8703$
因此$\theta\approx41^\circ$，故選(3)。
2. 多選題（占$30$分）
說明：第$7$題至第$12$題，每題有$5$個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得$5$分；答錯$1$個選項者，得$3$分；答錯$2$個選項者，得$1$分；答錯多於$2$個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。
7. 設$n$為正整數，符號$\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix}^n$代表矩陣$\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix}$自乘$n$次。令$\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix}^n=\begin{bmatrix}a_n&b_n\\c_n&d_n\end{bmatrix}$，請選出正確的選項。
   1. $a_2=1$
   2. $a_1,a_2,a_3$為等比數列
   3. $d_1,d_2,d_3$為等比數列
   4. $b_1,b_2,b_3$為等差數列
   5. $c_1,c_2,c_3$為等差數列
訣竅
根據矩陣乘法的定義計算即可驗證各選項。
解法
直接計算可知
$\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix}^1=\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_1&b_1\\c_1&d_1\end{bmatrix},~~\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix}^2=\begin{bmatrix}1&3\\0&4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_2&b_2\\c_2&d_2\end{bmatrix},~~\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix}^3=\begin{bmatrix}1&7\\0&8\end{bmatrix}$
1. 根據以上計算可知$a_2=1$，本選項正確。
2. 由於$a_1=a_2=a_3=1$，故為公比為$1$的等比數列，本選項正確。
3. 由於$d_1,d_2,d_3$為公比為$2$的等比數列，故本選項正確。
4. 由於$b_2-b_1=2\neq4=b_3-b_2$，因此$b_1,b_2,b_3$不為等差數列，本選項錯誤。
5. 由於$c_1=c_2=c_3=0$，故此為等差為$0$的數列，本選項正確。
由以上可知應選(1)(2)(3)(5)。


8. 設$a>1>b>0$，關於下列不等式，請選出正確的選項。
   1. $\left(-a\right)^7>\left(-a\right)^9$
   2. $b^{-9}>b^{-7}$
   3. $\displaystyle\log_{10}\frac{1}{a}>\log_{10}\frac{1}{b}$
   4. $\log_a1>\log_b1$
   5. $\log_ab\geq\log_ba$
訣竅
根據指數律和對數律進行比大小。
解法
1. 由於$a>1$，因此$a^2>a>1$，接著同乘以$a^7$，則有$a^9>a^7$，故有$\left(-a\right)^7=-a^7>-a^9=\left(-a\right)^9$，本選項正確。
2. 由於$b<1$，同乘以$b$有$b^2<b<1$，同除以$b^9$有$b^{-7}<b^{-9}$，即$b^{-9}>b^{-7}$，本選項正確。
3. 由於$a>b>0$，那麼有$\displaystyle\frac{1}{b}>\frac{1}{a}$，從而有$\displaystyle\log_{10}\frac{1}{b}>\log_{10}\frac{1}{a}$，故本選項錯誤。
4. 由於$\log_a1=0=\log_b1$，本選項錯誤。
5. 由於$\log_ab<\log_a1=0=\log_b1<\log_ba$，因此本選項錯誤。
由以上可知應選(1)(2)。


9. 設$a<b<c$。已知實係數多項式函數$y=f\left(x\right)$的圖形為一開口向上的拋物線，且與$x$軸交於$\left(a,0\right)$、$\left(b,0\right)$兩點；實係數多項式函數$y=g\left(x\right)$的圖形亦為一開口向上的拋物線，且跟$x$軸相交於$\left(b,0\right)$、$\left(c,0\right)$兩點。請選出$y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$的圖形可能的選項。
   1. 水平直線
   2. 和$x$軸僅交於一點的直線
   3. 和$x$軸無交點的拋物線
   4. 和$x$軸僅交於一點的拋物線
   5. 和$x$軸交於兩點的拋物線
訣竅
按假設寫出$f$與$g$的表示法並進一步化簡。
解法
設$f\left(x\right)=m\left(x-a\right)\left(x-b\right)$、$g\left(x\right)=n\left(x-b\right)\left(x-c\right)$，其中由於開口向上，故$m,n>0$，因此$y=f\left(x\right)+g\left(x\right)=\left(x-b\right)\left[\left(m+n\right)x-\left(ma+nb\right)\right]$為開口向上的拋物線。與$x$軸至少交於$\left(b,0\right)$，而當$\left(m+n\right)x-\left(ma+nb\right)$為$x-b$的倍式則僅交於一點，而不為倍式時則交於兩點，故選(4)(5)。


10. 坐標平面上考慮兩點$Q_1\left(1,0\right)$，$Q_2\left(-1,0\right)$。在下列各方程式的圖形中，請選出其上至少有一點$P$滿足內積$\overset{\rightharpoonup}{PQ_1}\cdot\overset{\rightharpoonup}{PQ_2}<0$的選項。
    1. $\displaystyle y=\frac{1}{2}$
    2. $y=x^2+1$
    3. $-x^2+2y^2=1$
    4. $4x^2+y^2=1$
    5. $\displaystyle\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$
訣竅
內積小於$0$表明夾角為鈍角，藉由繪圖觀察出正確選項（從中找出符合的例子）。
解法
1. 取$\displaystyle P=\left(0,\frac{1}{2}\right)$，則有

   $\displaystyle\overset{\rightharpoonup}{PQ_1}\cdot\overset{\rightharpoonup}{PQ_2}=\left(1,-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(-1,-\frac{1}{2}\right)=-1+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}<0$

   本選項正確。
2. 任取$y=x^2+1$上一點$P=\left(t,t^2+1\right)$，則有

   $\overset{\rightharpoonup}{PQ_1}\cdot\overset{\rightharpoonup}{PQ_2}=\left(1-t,-t^2-1\right)\cdot\left(-1-t,-t^2-1\right)=t^4+3t^2\geq0$

   故本選項錯誤。
3. 取$\displaystyle P=\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$，則有

   $\displaystyle\overset{\rightharpoonup}{PQ_1}\cdot\overset{\rightharpoonup}{PQ_2}=\left(1,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot\left(-1,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}<0$

   本選項正確。
4. 取$\displaystyle P=\left(\frac{1}{2},0\right)$，則有

   $\displaystyle\overset{\rightharpoonup}{PQ_1}\cdot\overset{\rightharpoonup}{PQ_2}=\left(\frac{1}{2},0\right)\cdot\left(-\frac{3}{2},0\right)=-\frac{3}{4}<0$

   故本選項正確。
5. 任取$\left(a,b\right)$滿足$a^2-b^2=2$，此時有

   $\overset{\rightharpoonup}{PQ_1}\cdot\overset{\rightharpoonup}{PQ_2}=\left(1-a,-b\right)\cdot\left(-1-a,-b\right)=a^2+b^2-1=2b^2+1\geq1$

   本選項錯誤。
應選(1)(3)(4)。


11. 設$F_1,F_2$為橢圓$\Gamma$的兩個焦點。$S$為以$F_1$為中心的正方形($S$的各邊可不與$\Gamma$的對稱軸平行)。試問$S$可能有幾個頂點落在$\Gamma$上？
    1. $1$
    2. $2$
    3. $3$
    4. $4$
    5. $0$
訣竅
透過實際繪圖去推測圖形的關係。
解法
1. 以對角線平行長軸和短軸，擴大至讓頂點碰至長軸較遠端的頂點時可發現恰好一個頂點落於$\Gamma$上，故本選項正確。
2. 考慮各邊平行長軸與短軸那麼在正方形放大的過程中會有一時刻恰好兩點落於$\Gamma$，故本選項是可能的。
3. 設正方形之頂點為$ABCD$，若$A,B,C$三點落於$\Gamma$上，則由於以$F$為中心，因此其中一條對角線$\overline{AC}$垂直長軸，故其中一個頂點$B$落於長軸端點。因此有$\overline{BF}=a-c=\overline{FC}$，因此

   $\displaystyle a-c=\frac{1}{2}\cdot\frac{2b^2}{a}$

   再者，由$a^2=b^2+c^2$可以推理出$c=0$或$a=c$，這是矛盾的。因此不可能有三個頂點落於$\Gamma$上。
4. 由於不可能有三個頂點同時落於橢圓上，故更不可能恰四個點落於其上。
5. 考慮正方形極其大，那麼頂點皆落於橢圓之外，即沒有頂點落於$\Gamma$上，故選項是可能的。
故應選(1)(2)(5)。


12. 設實數組成的數列$\left\langle a_n\right\rangle$是公比為$-0.8$的等比數列，實數組成的數列$\left\langle b_n\right\rangle$是首項為$10$的等差數列。已知$a_9>b_9$且$a_{10}>b_{10}$。請選出正確的選項。
    1. $a_9\times a_{10}<0$
    2. $b_{10}>0$
    3. $b_9>b_{10}$
    4. $a_9>a_{10}$
    5. $a_8>b_8$
訣竅
運用等比和等差數列的一般項公式。
解法
按條件可知$a_n=a\left(-0.8\right)^{n-1}$、$b_n=10+\left(n-1\right)d$。由於$a_9>b_9$、$a_{10}>b_{10}$有$-0.8^9a>10+8d$、$0.8^{10}a>10+9d$。
1. 直接計算可知$a_9\times a_{10}=\left(-0.8\right)^{2n-1}a^2=-0.8^{2n}a^2<0$，故本選項正確。
2. 考慮$a_n=\left(-0.8\right)^n$、$b_n=10-100n$，那麼可知$a_9>b_9$、$a_{10}>b_{10}$，此時$b_{10}<0$，故本選項錯誤。
3. 這是對的。假設不然，若有$b_9\leq b_{10}$，這表明公差非負，又首項為$10$，故所有$b_n>0$，從而$a_9>b_9>0$、$a_{10}>b_{10}>0$，但不可能$a_9$與$a_{10}$皆正，矛盾。
4. 反例同(2)，故本選項錯誤。
5. 取$a_n=\left(-0.8\right)^{n+1}$，使$b_8=a_8$，那麼可以發現此構成反例，本選項錯誤。
應選(1)(3)。

第貳部分：選填題（占$40$分）

說明：

1. 第$A$至$H$題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（13–35）。
2. 每題完全答對給$5$分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

1. 設$k$為一整數。已知$\displaystyle\frac{k}{3}<\sqrt{31}<\frac{k+1}{3}$，則$k=$ ⑬⑭ 。
訣竅
藉由整理不等式找出$k$的適切範圍。
解法
首先移項有$k<3\sqrt{31}=\sqrt{279}<\sqrt{289}=17$。另一方面，$k>3\sqrt{31}-1=\sqrt{279}-1>\sqrt{256}-1=15$，從而有$k=16$。因此填入$⑬=1$、$⑭=6$。


2. 設$a,b$為實數且$\left(a+bi\right)\left(2+6i\right)=-80$，其中$i^2=-1$。則$\left(a,b\right)=\left(\underline{ ⑮⑯ },\underline{ ⑰⑱ }\right)$。
訣竅
移項有理化即可。
解法
移項可得
$\displaystyle a+bi=\frac{-80}{2+6i}=\frac{-80\left(2-6i\right)}{\left(2+6i\right)\left(2-6i\right)}=\frac{-160+480i}{40}=-4+12i$
因此$a=-4$、$b=12$，故填入$⑮=-$、$⑯=4$、$⑮=1$、$⑯=2$。


3. 坐標平面中$A\left(a,3\right)$，$B\left(16,b\right)$，$C\left(19,12\right)$三點共線。已知$C$不在$A,B$之間，且$\overline{AC}:\overline{BC}=3:1$，則$a+b=$ ⑲⑳ 。
訣竅
利用內分點公式列式求解。
解法
由於$\overline{AC}>\overline{BC}$且$C$不在$A,B$之間，因此$B$為內分點，從而有$\displaystyle B=\frac{2A+C}{3}$：
$\displaystyle 16=\frac{1\times a+2\times19}{3},~~b=\frac{1\times3+2\times12}{3}$
從而有$a=10$、$b=9$，因此$a+b=19$，故填入$⑲=1$、$⑳=9$。


4. 阿德賣$100$公斤的香蕉，第一天每公斤賣$40$元；沒賣完的部份，第二天降價為每公斤$36$元；第三天再降為每公斤$32$元，到第三天全部賣完，三天所得共為$3720$元。假設阿德在第三天所賣香蕉的公斤數為$t$，可算得第二天賣出香蕉的公斤數為$at+b$，其中$a=$ ㉑㉒ ，$b=$ ㉓㉔ 。
訣竅
依條件列式並注意此為恆等式，從而透過比較係數求解。
解法
按題幹假設可知第一天賣出的香蕉公斤數為$100-\left(a+1\right)t-b$，從而所獲得的金額共為
$40\cdot\left[100-\left(a+1\right)t-b\right]+36\cdot\left(at+b\right)+32\cdot t=3720$
整理有
$\left(4a+8\right)t+4b=280$
從而有$4a+8=0$、$4b=280$，故有$a=-2$、$b=70$，因此填入$㉑=-$、$㉒=2$、$㉓=7$、$㉔=0$。


5. 坐標平面上，一圓與直線$x-y=1$以及直線$x-y=5$所截的弦長皆為$14$。則此圓的面積為$\underline{ ㉕㉖ }\pi$。
訣竅
由於弦長相同，故可知弦心距相同。再者該兩條線為平行線，從而可以推論出弦心距的值，從而求出半徑。
解法
兩條直線的距離為$\displaystyle\frac{\left|5-1\right|}{\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$，從而弦心距為$\sqrt{2}$，因此半徑為$r=\sqrt{\sqrt{2}^2+7^2}=\sqrt{51}$，故圓面積為$51\pi$，填入$㉕=5$、$㉖=1$。


6. 令$\overset{\rightharpoonup}{A}$，$\overset{\rightharpoonup}{B}$為坐標平面上兩向量。已知$\overset{\rightharpoonup}{A}$的長度為$1$，$\overset{\rightharpoonup}{B}$的長度為$2$且$\overset{\rightharpoonup}{A}$與$\overset{\rightharpoonup}{B}$之間的夾角為$60^\circ$。令$\overset{\rightharpoonup}{u}=\overset{\rightharpoonup}{A}+\overset{\rightharpoonup}{B}$，$\overset{\rightharpoonup}{v}=x\overset{\rightharpoonup}{A}+y\overset{\rightharpoonup}{B}$，其中$x,y$為實數且符合$6\leq x+y\leq8$以及$-2\leq x-y\leq0$，則內積$\overset{\rightharpoonup}{u}\cdot\overset{\rightharpoonup}{v}$的最大值為 ㉗㉘ 。
訣竅
按內積分配律計算,隨後可透過線性規劃或組合數據的技巧獲得目標函數的最大值。
解法
直接計算$\overset{\rightharpoonup}{u}\cdot\overset{\rightharpoonup}{v}$如下：
$\overset{\rightharpoonup}{u}\cdot\overset{\rightharpoonup}{v}=x\left|\overset{\rightharpoonup}{A}\right|^2+\left(x+y\right)\overset{\rightharpoonup}{A}\cdot\overset{\rightharpoonup}{B}+y\left|\overset{\rightharpoonup}{B}\right|^2=x+x+y+4y=2x+5y$
為了獲得關於$2x+5y$的估計，我們分別對$x+y$與$x-y$乘以$3.5$、$-1.5$有
$21\leq3.5x+3.5y\leq28,~~0\leq-1.5x+1.5y\leq3$
兩式相加有$21\leq2x+5y\leq31$，故最大值為$31$，其等號成立條件可以確定出來。因此填入$㉗=3$、$㉘=1$。


7. 設銳角三角形$ABC$的外接圓半徑為$8$。已知外接圓圓心到$\overline{AB}$的距離為$2$，而到$\overline{BC}$的距離為$7$，則$\overline{AC}=\underline{ ㉙\sqrt{㉚㉛} }$。（化成最簡根式）
訣竅
由於題目給出外接圓的資訊，故可利用正弦定理求出正弦值，又因此為銳角三角形故可得餘弦值。
解法
由正弦定理可知
$\displaystyle\frac{\overline{BC}}{\sin A}=\frac{\overline{CA}}{\sin B}=\frac{\overline{AB}}{\sin C}=2R=16$
利用畢氏定理可知
$\overline{AB}=2\sqrt{8^2-2^2}=4\sqrt{15},~~\overline{BC}=2\sqrt{8^2-7^2}=2\sqrt{15}$
從而有
$\displaystyle\sin A=\frac{\sqrt{15}}{8},~~\sin C=\frac{\sqrt{15}}{4}$
進而有$\displaystyle\cos A=\frac{7}{8},~~\cos C=\frac{1}{4}$。利用和差角公式可知
$\displaystyle\sin B=\sin\left[\pi-\left(A+C\right)\right]=\sin\left(A+C\right)=\sin A\cos C+\cos A\sin C=\frac{\sqrt{15}}{8}\cdot\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{15}}{4}\cdot\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{15}}{4}$
再次由正弦定理可得$\overline{AC}=2R\sin B=4\sqrt{15}$，因此填入$㉙=4$、$㉚=1$、$㉛=5$。
8. 如下圖，在坐標空間中，$A,B,C,D,E,F,G,H$為正立方體的八個頂點，已知其中四個點的坐標$A\left(0,0,0\right)$、$B\left(6,0,0\right)$、$D\left(0,6,0\right)$及$E\left(0,0,6\right)$，$P$在線段$\overline{CG}$上且$\overline{CP}:\overline{PG}=1:5$，$R$在線段$\overline{EH}$上且$\overline{ER}:\overline{RH}=1:1$，$Q$在線段$\overline{AD}$上。若空間中通過$P,Q,R$三點的平面，與直線$AG$不相交，則$Q$點的$y$坐標為$\displaystyle\underline{ \frac{㉜㉝}{㉞㉟} }$。(化成最簡分數)
   
訣竅
由於出平面$PQR$與$AG$不相交，那麼平面$PQR$的法向量與向量$AG$垂直，從而內積為零。
解法
由於$\overline{CP}:\overline{PG}=1:5$且$P$在$\overline{CG}$上，則有$P\left(6,6,1\right)$、$\overline{ER}:\overline{RH}=1:1$且在$\overline{EH}$上，故有$R\left(0,3,6\right)$，並且設$Q\left(0,b,0\right)$。因此$\overset{\rightharpoonup}{PQ}=\left(-6,b-6,-1\right)$、$\overset{\rightharpoonup}{PR}=\left(-6,-3,5\right)$，藉由外積可求出平面$PQR$的法向量如下：
$\overset{\rightharpoonup}{PQ}\times\overset{\rightharpoonup}{PR}=\left(-6,b-6,-1\right)\times\left(-6,-3,5\right)=\left(5b-8,36,6b+12\right)$
另一方面，$\overset{\rightharpoonup}{AG}=\left(6,6,6\right)$，因此由平面$PQR$的法向量會與$\overset{\rightharpoonup}{AG}$垂直，從而有
$\left(5b-33,36,6b+18\right)\cdot\left(6,6,6\right)=0$
如此可解得$\displaystyle b=\frac{15}{11}$，因此填入$㉜=1$、$㉝=5$、$㉞=1$、$㉟=1$。

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參考公式及可能用到的數值

1. 首項為$a$，公差為$d$的等差數列前$n$項之和為$\displaystyle S=\frac{n\left(2a+\left(n-1\right)d\right)}{2}$
   首項為$a$，公比為$r\left(r\neq=1\right)$的等比數列前$n$項之和為$\displaystyle S=\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}$
2. 三角函數的和角公式：$\sin\left(A+B\right)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$
   　　　　　　　　　　$\cos\left(A+B\right)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$
   　　　　　　　　　　$\displaystyle\tan\left(A+B\right)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$
3. $\Delta ABC$的正弦定理：　$\displaystyle\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$　（$R$為外接圓半徑）
   $\Delta ABC$的餘弦定理：　$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$
4. 一維數據$X:x_1,x_2,\cdots,x_n$，算術平均數$\displaystyle\mu_X=\frac{1}{n}\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$
   標準差$\displaystyle\sigma_X=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\mu_X\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{n}\left(\left(\sum_{i=1}^{n}x_i^2\right)-n\mu_X^2\right)}$
5. 二維數據$\left(X,Y\right):\left(x_1,y_1\right),\left(x_2,y_2\right),\cdots,\left(x_n,y_n\right)$，相關係數$\displaystyle r_{X,Y}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\mu_X\right)\left(y_i-\mu_Y\right)}{n\sigma_X\sigma_Y}$
   迴歸直線(最適合直線)方程式$\displaystyle y-\mu_Y=r_{X,Y}\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\left(x-\mu_X\right)$
6. 參考數值：$\sqrt{2}\approx1.414$,　$\sqrt{3}\approx1.732$,　$\sqrt{5}\approx2.236$,　$\sqrt{６}\approx2.449$,　$\pi\approx3.142$
7. 對數值：$\log_{10}2\approx0.3010$，$\log_{10}3\approx0.4771$，$\log_{10}5\approx0.6990$，$\log_{10}7\approx0.8451$