一百零四學年度數學學科能力測驗

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$104$學年度學科能力測驗試題

數學考科

－作答注意事項－

1. 考試時間：$100$分鐘
2. 題型題數：單選題$4$題，多選題$6$題，選填題第$A$至$J$題共$10$題
3. 作答方式：用2B鉛筆在「答案卡」上作答；更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液（帶）。未依規定畫記答案卡，致機器掃描無法辨識答案者，其後果由考生自行承擔。
4. 選填題作答說明：選填題的題號是A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子畫記。請仔細閱讀下面的例子。

   例：若第B題的答案格式是$\displaystyle\underline{　\frac{⑱}{⑲}　}$，而依題意計算出來的答案是$\displaystyle\frac{3}{8}$，則考生必須分別在答案卡上的第$18$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$與第$19$列的$\underset{\boxed{~~}}{8}$劃記，如：

   $\begin{array}{|c|}18~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\19~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\color{black}{▆▆}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

   例：若第C題的答案格式是$\displaystyle\underline{　\frac{⑳㉑}{50}　}$，而答案是$\displaystyle\frac{-7}{50}$時，則考生必須分別在答案卡的第$20$列的$\underset{\boxed{~~}}{-}$與第$21$列的$\underset{\boxed{~~}}{7}$畫記，如：

   $\begin{array}{|c|}20~~\underset{\color{black}{▆▆}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline21~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\color{black}{▆▆}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

5. ※試題後附有參考公式及可能用到的數值

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第壹部分：選擇題（占$50$分）

1. 單選題（占$20$分）
說明：第$1$題至第$4$題，每題有$5$個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得$5$分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。
1. 每週同一時間點記錄某植物的成長高度， 連續五週的數據為

   $a_1=1,~a_2=2,~a_3=6,~a_4=15,~a_5=31$。

   請問此成長高度數列滿足下列選項中哪一個式子？
   1. $a_{t+1}=3a_t-1$，$t=1,2,3,4$
   2. $a_t=t!$，$t=1,2,3,4,5$
   3. $a_{t+1}=a_t+t^2$，$t=1,2,3,4$
   4. $a_t=2^t-1$，$t=1,2,3,4,5$
   5. $a_{t+1}=ta_t+1$，$t=1,2,3,4$
訣竅
直接代入檢驗。
解法
1. 此選項錯誤。假若$a_=1$，則取$t=1$時可得$a_2=3\times1-1=2$，但當$t=2$時有$a_3=3a_2-1=3\times2-1=5$，與題幹給定的數列不吻合。
2. 當$t=4$時有$a_4=4!=24\neq15$，與題幹給定的數列不吻合，本選項錯誤。
3. 本選項正確。假定$a_1=1$，則$a_2=a_1+1^2=2$，$a_3=a_2+2^2=6$，$a_4=a_3+3^2=15$，$a_5=a_4+4^2=31$。
4. 當$t=3$時有$a_3=2^3-1=7\neq6$，與題幹給定的數列不合。
5. 此選項錯誤。假定$a_1=1$，則$a_2=2$，但$a_3=2\times2+1=5\neq6$。
綜上可知應選(3)。


2. 第$1$天獲得$1$元、第$2$天獲得$2$元、第$3$天獲得$4$元、第$4$天獲得$8$元、依此每天所獲得的錢為前一天的兩倍，如此進行到第$30$天，試問這$30$天所獲得的錢，總數最接近下列哪一個選項？
   1. $10,000$元
   2. $1,000,000$元
   3. $100,000,000$元
   4. $1,000,000,000$元
   5. $1,000,000,000,000$元
訣竅
按題意列式應注意此為等比級數，故按等比級數求和公式計算。
解法
按題意列式有
$\displaystyle1+2+4+2^{29}=\frac{1\left(2^{30}-1\right)}{2-1}=2^{30}-1$
再者容易注意到$2^{10}=1,024$，因此所求之值為
$2^{30}-1\approx2^{10}\times2^{10}\times2^{10}\approx10^3\times10^3\times10^3=10^9=1,000,000,000$
故選(4)。


3. 有兩組供機器運作的配件$A$、$B$，其單獨發生故障的機率分別為$0.1$、$0.15$。只有當$A, B$都發生故障時，此機器才無法運作。$A$、$B$兩配件若用串接方式，前面故障會導致後面故障，但若後面故障則不會影響前面的故障情形；若用並列方式，則故障情形互不影響。若考慮以下三種情形：

   (一) 將$B$串接於$A$之後
   (二) 將$A$串接於$B$之後
   (三) 將$A,B$獨立並列

   在情況(一)、(二)、(三)之下，機器無法運作的機率分別為$p_1$、$p_2$、$p_3$。請選出正確的選項。
   1. $p_1>p_2>p_3$
   2. $p_2>p_1>p_3$
   3. $p_3>p_2>p_1$
   4. $p_3>p_1>p_2$
   5. $p_1=p_2>p_3$
訣竅
運用乘法原理並討論前後是否壞掉的狀況進行機率計算。
解法
假定$B$串接於$A$之後，那麼無法運作的情形即$A$故障的情形，故$p_1=0.1$。
假定$A$串接於$B$之後，則無法運作的情形即$B$故障的情形，故$p_2=0.15$。
假定$A$與$B$獨立並列，那麼無法運作的情形即兩者皆故障，故$p_3=0.1\times0.15=0.015$。
依據前述的計算可以知道$p_2>p_1>p_3$，故選(2)。


4. 一線性規劃問題的可行解區域為坐標平面上的正八邊形$ABCDEFGH$及其內部，如右圖。已知目標函數$ax+by+3$（其中$a,b$為實數）的最大值只發生在$B$點。請問當目標函數改為$3-bx-ay$時，最大值會發生在下列哪一點？
   
   1. $A$
   2. $B$
   3. $C$
   4. $D$
   5. $E$
訣竅
運用平行線法來思考其斜率範圍以及最先／最後碰觸到的座標。
解法
首先考慮目標函數$ax+by+3$所代表的斜率為$\displaystyle-\frac{a}{b}$，而最大值發生在$B$處，因此其斜率介在$\overline{AB}$斜率與鉛直線斜率（亦即無窮大的斜率）之間，因此$\displaystyle-\frac{a}{b}>1$。另一方面，$3-bx-ay$的斜率為$\displaystyle0<-\frac{b}{a}<1$。因此可以知道$bx+ay$的最小值會發生在$A$處，那麼$3-bx-ay$最大值就發生在$A$處，故選(1)。
2. 多選題（占$30$分）
說明：第$5$題至第$10$題，每題有$5$個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得$5$分；答錯$1$個選項者，得$3$分；答錯$2$個選項者，得$1$分；答錯多於$2$個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。
5. 小明參加某次路跑$10$公里組的比賽， 下表爲小明手錶所記錄之各公里的完成時間、平均心率及步數：

   $\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline &完成時間&平均心率&步數\\\hline第一公里&5:00&161&990\\\hline第二公里&4:50&162&1000\\\hline第三公里&4:50&165&1005\\\hline第四公里&4:55&162&995\\\hline第五公里&4:40&171&1015\\\hline第六公里&4:41&170&1005\\\hline第七公里&4:35&173&1050\\\hline第八公里&4:35&181&1050\\\hline第九公里&4:40&171&1050\\\hline第十公里&4:34&188&1100\\\hline\end{array}$

   在這$10$公里的比賽過程，請依據上述數據，選出正確的選項。
   1. 由每公里的平均心率得知小明最高心率爲$188$
   2. 小明此次路跑，每步距離的平均小於$1$公尺
   3. 每公里完成時間和每公里平均心率的相關係數爲正相關
   4. 每公里步數和每公里平均心率的相關係數爲正相關
   5. 每公里完成時間和每公里步數的相關係數爲負相關
訣竅
根據表格以及統計量的定義即可答題。
解法
1. 在第十公里時，其平均心率為$188$，此表明有不小於$188$的心率以及不高於$188$的心率，未必可以肯定最高心率即為$188$。
2. 假若每$1000$步恰跑$1$公里則平均每步距離恰為$1$公尺，但由表格中約可見到每公里所需步數幾乎都超過一千步，故可推論出每步距離平均小於$1$公尺。本選項正確。
3. 由表格中可以看到一開始每公里的完成時間較長，此時平均心率較低，但後來完成時間較短時則平均心率較高，此為負相關。本選項錯誤。
4. 步數與平均心率都有隨著里程數增加，故應有正相關，本選項正確。
5. 初期完成時間長而步數少，而當完成時間短時則步數多，因此為負相關，本選項正確。
應選(2)(4)(5)。


6. 設$f\left(x\right)$是首項係數為$1$的實係數二次多項式。請選出正確的選項。
   1. 若$f\left(2\right)=0$，則$x-2$可整除$f\left(x\right)$
   2. 若$f\left(2\right)=0$，則$f\left(x\right)$為整係數多項式
   3. 若$f\left(\sqrt{2}\right)=0$，則$f\left(-\sqrt{2}\right)=0$
   4. 若$f\left(2i\right)=0$，則$f\left(-2i\right)=0$
   5. 若$f\left(2i\right)=0$，則$f\left(x\right)$為整係數多項式
訣竅
根據多項式的特性來答題，考生應回憶起因式定理、實係數多項式具虛根成對等特性。
解法
1. 根據除法原理可寫出$f\left(x\right)=\left(x-2\right)q\left(x\right)+r$，其中$q$為一次實係數多項式而$r$為常數。那麼根據$f\left(2\right)=0$可推知$r=0$，進而有$f\left(x\right)=\left(x-2\right)q\left(x\right)$，此表明$x-2$為$f\left(x\right)$的因式，本選項正確。
2. 本選項錯誤。可考慮反例為$f\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x-\sqrt{2}\right)=x^2-\left(2+\sqrt{2}\right)x+2\sqrt{2}$，此非整係數多項式。
3. 如上考慮$f\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x-\sqrt{2}\right)$，則$f\left(\sqrt{2}\right)=0$，但$f\left(-\sqrt{2}\right)\neq0$，本選項錯誤。
4. 由於$f$為實係數多項式，那麼當$2i$為$f$的根時，則可由虛根成對定理推知$-2i$亦為實根，從而$f\left(-2i\right)=0$，本選項正確。
5. 承(4)可推知$f\left(x\right)=\left(x-2i\right)\left(x+2i\right)=x^2+4$，即$f$為整係數二次多項式，本選項正確。
由以上分析可知應選(1)(4)(5)。


7. 坐標平面上，在函數圖形$y=2^x$上，標示$A$、$B$、$C$、$D$四個點，其$x$坐標分別為$-1$、$0$、$1$、$2$。請選出正確的選項。
   1. 點$B$落在直線$AC$下方
   2. 在直線$AB$、直線$BC$、直線$CD$中，以直線$CD$的斜率最大
   3. $A$、$B$、$C$、$D$四個點，以點$B$最靠近$x$軸
   4. 直線$y=2x$與$y=2^x$的圖形有兩個交點
   5. 點$A$與點$C$對稱於$y$軸
訣竅
利用指數函數的基本特性：凹向性、遞增性、切線斜率遞增等進行判斷。
解法
依題意可知$A\left(-1,0.5\right)$、$B\left(0,1\right)$、$C\left(1,2\right)$、$D\left(2,4\right)$。
1. 可以由指數函數的凹向性可知道介於線段$AC$會在區間$\left[-1,1\right]$上高於指數函數，因此$B$在$AC$下方。或者可以發現直線$AC$之方程式為$3x-4y+5=0$，故通過$\left(0,1.25\right)$，在$B\left(0,1\right)$上方。總之，本選項正確。
2. 直線$AB$的斜率為$\displaystyle\frac{1-0.5}{0-\left(-1\right)}=\frac{1}{2}$，直線$BC$的斜率為$\displaystyle\frac{2-1}{1-0}=1$、直線$CD$的斜率為$\displaystyle\frac{4-2}{2-1}=2$，因此直線$CD$的斜率為最大，亦可自圖形中觀察到在$x$座標較大處的斜率越大。本選項正確。
3. $A$、$B$、$C$、$D$四點分別距離$x$軸為$0.5$、$1$、$2$、$4$，其中以$A$點距離$x$軸為最小，亦可自圖形中觀察到$x$座標越小者距離$x$軸越近，本選項錯誤。
4. 首先可以發現$C$與$D$皆為兩者的交點。再者，容易發現直線$CD$（恰為$y=2x$）之間沒有與$y=2^x$相交之處（如選項(1)之理由）。再者，由圖形的傾斜趨勢可以知道在$x>2$與$x<1$處不會使兩圖形再次相交。故兩圖形恰有兩個交點，本選項正確。
5. $A\left(-1,0.5\right)$與$y$軸的對稱點為$\left(1,0.5\right)\neq\left(1,2\right)$，因此點$A$與點$C$並不對稱於$y$軸，本選項錯誤。
應選(1)(2)(4)。


8. 坐標平面上有一雙曲線，其漸近線為$x-y=0$和$x+y=0$。關於此雙曲線的性質，請選出正確的選項。
   1. 此雙曲線的方程式為$\displaystyle\frac{x^2}{r^2}-\frac{y^2}{r^2}=1$或$\displaystyle\frac{x^2}{r^2}-\frac{y^2}{r^2}=-1$，其中$r$為非零實數
   2. 此雙曲線的貫軸長等於共軛軸長
   3. 若點$\left(a,b\right)$為此雙曲線在第一象限上一點，則當$a>1000$時，$\left|a-b\right|<1$
   4. 若點$\left(a,b\right),~\left(a',b'\right)$為此雙曲線在第一象限上兩點且$a<a'$，則$b<b'$
   5. 此雙曲線同時對稱於$x$軸與$y$軸
訣竅
瞭解雙曲線中相關的術語和性質以進行判斷。
解法
1. 由於漸近線分別為$x-y=0$與$x+y=0$，因此該雙曲線為$\left(x-y\right)\left(x+y\right)=k$，其中$k$為非零實數。因此雙曲線可寫為$\displaystyle\frac{x^2}{k}-\frac{y^2}{k}=1$。假若$k>0$，則可將$k$寫為$r^2$；假若$k<0$，則可將$k$寫為$-r^2$，從而雙曲線方程式可為$\displaystyle\frac{x^2}{r^2}-\frac{y^2}{r^2}=1$或$\displaystyle\frac{x^2}{r^2}-\frac{y^2}{r^2}=-1$。本選項正確。
2. 承(1)無論是何者情形皆有貫軸長與共軛軸長等同於$2r$，本選項正確。
3. 若$\left(a,b\right)$落在雙曲線上，那麼有$a^2-b^2=k$，因此有

   $\displaystyle\left|a-b\right|=\frac{\left|k\right|}{a+b}$

   假若$k=3000$、$a=1001$且$a>b$，那麼

   $\displaystyle\left|a-b\right|>\frac{3000}{2b}>1$

   本選項錯誤。
4. 由於$\left(a,b\right)$與$\left(a',b'\right)$皆在該雙曲線上，故有

   $a^2-b^2=k,~~a'^2-b'^2=k$

   兩式相減有$b'^2-b^2=a'^2-a^2=\left(a'+a\right)\left(a'-a\right)>0$，因此$b'^2>b^2$，又因在第一象限，故$b'>b$，本選項正確。
5. 注意到對任何落於雙曲線上的座標$\left(a,b\right)$，能發現$\left(\pm a,\pm b\right)$也在該雙曲線上，此表明雙曲線同時對稱於$x$軸與$y$軸。本選項正確。
正確應選(1)(2)(4)(5)。


9. 如圖，以$M$為圓心、$\overline{MA}=8$為半徑畫圓，$\overline{AE}$為該圓的直徑，$B$、$C$、$D$三點皆在圓上，且$\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=\overline{DE}$。若$\overset{\rightharpoonup}{MD}=8\left(\cos\left(\theta+90^\circ\right),\sin\left(\theta+90^\circ\right)\right)$。請選出正確的選項。
   1. $\overset{\rightharpoonup}{MA}=8\left(\cos\theta,\sin\theta\right)$
   2. $\overset{\rightharpoonup}{MC}=8\left(\cos\left(\theta+45^\circ\right),\sin\left(\theta+45^\circ\right)\right)$
   3. （內積）$\overset{\rightharpoonup}{MA}\cdot\overset{\rightharpoonup}{MA}=8$
   4. （內積）$\overset{\rightharpoonup}{MB}\cdot\overset{\rightharpoonup}{MD}=0$
   5. $\overset{\rightharpoonup}{BD}=8\left(\cos\theta+\cos\left(\theta+90^\circ\right),\sin\theta+\sin\left(\theta+90^\circ\right)\right)$
   
訣竅
運用極座標的概念來表達向量，並且熟悉向量加減法與內積的座標表示法的計算。
解法
由於$\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=\overline{DE}$可以知道$\angle AMB=\angle BMC=\angle CMD=\angle DME=45^\circ$。
1. 由於$\angle AMD=135^\circ$，從而有$\overset{\rightharpoonup}{MA}=8\left(\cos\left(\theta-45^\circ\right),\sin\left(\theta-45^\circ\right)\right)$，本選項錯誤。
2. 由於$\angle CMD=45^\circ$，因此$\overset{\rightharpoonup}{MC}=\left(8\cos\left(\theta+45^\circ\right),8\sin\left(\theta+45^\circ\right)\right)$，本選項正確。
3. 按座標法式法可知$\overset{\rightharpoonup}{MA}\cdot\overset{\rightharpoonup}{MA}=64\cos^2\theta+64\sin^2\theta=64$，或$\overset{\rightharpoonup}{MA}\cdot\overset{\rightharpoonup}{MA}=\overline{MA}\cdot\overline{MA}\cos0^\circ=8\cdot8\cdot1=64$，本選項錯誤。
4. 直接計算可知$\overset{\rightharpoonup}{MB}\cdot\overset{\rightharpoonup}{MD}=\overline{MB}\cdot\overline{MD}\cdot\cos90^\circ=8\cdot8\cdot0=0$，本選項正確。
5. 直接計算如下

   $\overset{\rightharpoonup}{BD}=\overset{\rightharpoonup}{MD}-\overset{\rightharpoonup}{MB}=8\left(\cos\left(\theta+90^\circ\right),\sin\left(\theta+90^\circ\right)\right)-8\left(\cos\theta,\sin\theta\right)=8\left(\cos\left(\theta+90^\circ\right)-\cos\theta,\sin\left(\theta+90^\circ\right)-\sin\theta\right)$

   本選項錯誤。
應選(2)(4)。


10. 某一班共有$45$人，問卷調查有手機與平板電腦的人數。從統計資料顯示此班有$35$人有手機，而有$24$人有平板電腦。設：

    $A$為同時有手機與平板電腦的人數
    $B$為有手機，但沒有平板電腦的人數
    $C$為沒有手機，但有平板電腦的人數
    $D$為沒有手機，也沒有平板電腦的人數

    請選出恆成立的不等式選項。
    1. $A>B$
    2. $A>C$
    3. $B>C$
    4. $B>D$
    5. $C>D$
訣竅
按題設仔細分析$A,B,C,D$之可能值，在簡化後可列表判定之。
解法
按題設可知$A+B+C+D=45$、$A+B=35$、$A+C=24$且$A,B,C,D$為非負整數，故可以知道$C+D=10$。據此針對$C$、$D$列表如下
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}C&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\\hline D&10&9&8&7&6&5&4&3&2&1&0\end{array}$
再者利用$A+B=35$與$A+C=24$可進一步確定出$A$與$B$之值，從而完整建表如下
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}A&24&23&22&21&20&19&18&17&16&15&14\\\hline B&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&21\\\hline C&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\\hline D&10&9&8&7&6&5&4&3&2&1&0\end{array}$
從而由表中可以發現總是有$A>C$、$B>C$、$B>D$，故選(2)(3)(4)。

第貳部分：選填題（占$50$分）

說明：

1. 第$A$至$J$題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號(11-37)。
2. 每題完全答對給$5$分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

1. 如圖，老王在平地點$A$測得遠方山頂點$P$的仰角為$13^\circ$。老王朝著山的方向前進$37$公丈後來到點$B$，再測得山頂點$P$的仰角為$15^\circ$。則山高約為 ⑪⑫ 公丈。（四捨五入至個位數，$\tan13^\circ\approx0.231$，$\tan15^\circ\approx0.268$）
   
訣竅
首先設定適當的變量，接著運用三角函數的定義聯繫相關的變量並利用題目所給定的相關近似值以求解。
解法
設山腳處為$C$，並記$\overline{CP}=h$公丈、$\overline{BC}=x$公丈，那麼按正切函數的定義有$h=\left(x+37\right)\tan13^\circ=x\tan15^\circ$。利用題目給定的近似值有
$0.231\left(x+37\right)\approx0.268x$
因此有$\displaystyle x\approx\frac{37\times0.231}{0.268-0.231}=\frac{37\times231}{37}=231$公丈，從而$h\approx231\times0.268=61.908$，因此四捨五入至個位數為$62$公丈，故填入$⑪=6$、$⑫=2$。


2. 不透明袋中有$3$白$3$紅共$6$個球，球大小形狀相同，僅顏色相異。甲、乙、丙、丁、戊$5$人依甲第一、乙第二、… …、戊第五的次序，從袋中各取一球，取後不放回。試問在甲、乙取出不同色球的條件下，戊取得紅球的機率為$\displaystyle\underline{ \frac{⑬}{⑭} }$。（ 化為最簡分數）
訣竅
按題目敘述考慮丙之後的取球情形即可。
解法
由於甲乙兩人取出不同顏色的球，故自丙開始取球時袋中有$2$白$2$紅共$4$顆球，因此隨後每人要取出紅球的機率皆為$\displaystyle\frac{2}{4}$，即$\displaystyle\frac{1}{2}$，故填入$⑬=1$、$⑭=2$。


3. 小燦預定在陽台上種植玫瑰、百合、菊花和向日葵等四種盆栽。如果陽台上的空間最多能種$8$盆，可以不必擺滿，並且每種花至少一盆，則小燦買盆栽的方法共有 ⑮⑯ 種。
訣竅
由於每種花至少一盆，那麼僅需考慮剩下四盆的狀況是否要買滿以及各種花卉的購買數量。
解法
按題設假定已經各種花卉皆各購買一盆，那麼設另外購買的玫瑰、百合、菊花和向日葵的數量分別為$x_1,x_2,x_3,x_4$，則應滿足$x_1+x_2+x_3+x_4\leq4$。一旦此不等式成立時，那麼存在一非負整數$k$使得$x_1+x_2+x_3+x_4+k=4$。而此方程的非負整數解的個數有$\displaystyle C_4^8=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=70$種，此即所求。故填入$⑮=7$、$⑯=0$。


4. 平面$x-y+z=0$與三平面$x=2$，$x-y=-2$，$x+y=2$分別相交所得的三直線可圍成一個三角形。此三角形之周長化成最簡根式，可表為$a\sqrt{b}+c\sqrt{d}$，其中$a,~b,~c,~d$為正整數且$b<d$，則$a=\underline{⑰}$，$b=\underline{⑱}$，$c=\underline{⑲}$，$d=\underline{⑳}$。
訣竅
具體解出三個交點後兩兩求出線段長並加總可得周長。
解法
$x-y+z=0$與另外三個平面中任挑兩個解聯立可得三點：$A\left(2,4,2\right)$、$B\left(0,2,2\right)$、$C\left(2,0,-2\right)$。因此有
$\overline{AB}=2\sqrt{2},~\overline{BC}=2\sqrt{6},~\overline{CA}=4\sqrt{2}$
因此$\Delta ABC$的周長為$6\sqrt{2}+2\sqrt{6}$，故填入$⑰=6$、$⑱=2$、$⑲=2$、$⑳=6$。


5. 坐標平面上，直線$L_1$與$L_2$的方程式分別為$x+2y=0$與$3x-5y=0$。為了確定平面上某一定點$P$的坐標，從$L_1$上的一點$Q_1$偵測得向量$\overset{\rightharpoonup}{Q_1P}=\left(-7,9\right)$，再從$L_2$上的點$Q_2$偵測得向量$\overset{\rightharpoonup}{Q_2P}=\left(-6,-8\right)$，則$P$點的座標為$\left(\underline{㉑},\underline{㉒}\right)$。
訣竅
依題幹假設$P$、$Q_1$、$Q_2$三點座標，隨後由測得的向量建立聯立方程組。
解法
設$P$座標為$\left(a,b\right)$，$Q_1$座標為$\left(-2t,t\right)$、$Q_2$為$\left(5s,3s\right)$，那麼有$\overset{\rightharpoonup}{Q_1P}=\left(a+2t,b-t\right)=\left(-7,9\right)$、$\overset{\rightharpoonup}{Q_2P}=\left(a-5s,b-3s\right)=\left(-6,-8\right)$。兩向量相減可得二元聯立方程組
$\left\{\begin{aligned} &2t+5s=-1\\&-t+3s=17\end{aligned}\right.$
可以解得$t=-8$、$s=3$。從而有$a=9$、$b=1$，因此填入$㉑=9$、$㉒=1$。


6. 小華準備向銀行貸款$3$百萬元當做創業基金，其年利率爲$3\%$，約定三年期滿一次還清貸款的本利和。銀行貸款一般以複利（每年複利一次）計息還款，但給小華創業優惠改以單利計息還款。試問在此優惠下，小華在三年期滿還款時可以比一般複利計息少繳 ㉓㉔㉕㉖ 元。
訣竅
按定義計算單利計息與複利計息的金額後即可比較其差異。
解法
單利計息，則每年增加$3000000\times3\%=90000$元的利息，故三年後應償還$327$萬元；而以複利計息則為
$3000000\times\left(1.03\right)^3=3278181$
故兩者相差$8181$元，因此填入$㉓=8$、$㉔=1$、$㉕=8$、$㉖=1$。


7. 某一公司，有$A$、$B$、$C$三個營業據點，開始時各有$36$位營業員，為了讓營業員了解各據點業務狀況，所以進行兩次調動。每次調動都是：
   將當時$A$據點營業員中的$1/6$調到$B$據點、$1/6$調到$C$據點；
   將當時$B$據點營業員中的$1/6$調到$A$據點、$1/3$調到$C$據點；
   將當時$C$據點營業員中的$1/6$調到$A$據點、$1/6$調到$B$據點。
   則兩次的調動後，$C$據點有 ㉗㉘ 位營業員。
訣竅
直接按題目之安排調度即可獲得答案；亦可運用轉移矩陣的觀念求解。
解法一
依照題意可以知道經過一次調度後$A,B,C$三個據點分別會有$36,30,42$名營業員。再經過一次相同規則的調度則可知道分別有$36,28,44$名營業員，因此所求為$44$人，故填入$㉗=4$、$㉘=4$。
解法二
按題目可知轉移矩陣為
$K=\begin{bmatrix}4/6&1/6&1/6\\1/6&1/2&1/6\\1/6&1/3&4/6\end{bmatrix}$
而初始狀態矩陣為$X_0=\begin{bmatrix}36\\36\\36\end{bmatrix}$，經過兩次調動後的狀態矩陣為
$X_2=KKX_0=\begin{bmatrix}4/6&1/6&1/6\\1/6&1/2&1/6\\1/6&1/3&4/6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4/6&1/6&1/6\\1/6&1/2&1/6\\1/6&1/3&4/6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}36\\36\\36\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4/6&1/6&1/6\\1/6&1/2&1/6\\1/6&1/3&4/6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}36\\30\\42\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}36\\28\\44\end{bmatrix}$
故$C$具體有$44$人，因此填入$㉗=4$、$㉘=4$。


8. 有一底面為正方形的四角錐，其展開圖如下圖所示， 其中兩側面的三角形邊長為$3,4,5$，則此角錐的體積為$\displaystyle\underline{\frac{㉙㉚\sqrt{㉛}}{3}}$。（化為最簡根式）
   
訣竅
藉由折疊後自側面觀察計算出高，隨後運用文末的錐體體積公式即可。
解法
由於兩側面的三角形邊長為$3,4,5$，因此該角錐之頂點為四個側面的點之交會處會落在底面正方形的左側之上方，從而角錐之高為左側等腰三角形的底邊高。該三角形之三邊長分別為$3,3,4$，因此運用畢氏定理可求出高為$\sqrt{5}$，因此角錐體積為$\displaystyle\frac{1}{3}\cdot16\cdot\sqrt{5}=\frac{16\sqrt{5}}{3}$，故填入$㉙=1$、$㉚=6$、$㉛=5$。


9. 在空間中，一個斜面的「坡度」定義為斜面與水平面夾角$\theta$的正切值$\tan\theta$。若一金字塔（底部為一正方形，四個斜面為等腰三角形）的每一個斜面的坡度皆為$\displaystyle\frac{2}{5}$，如圖。則相鄰斜面的夾角的餘弦函數的絕對值為$\displaystyle\underline{\frac{㉜㉝}{㉞㉟}}$。（化為最簡分數）
   
訣竅
首先留意本問題所指涉的夾角為空間中的兩面角，為了便於處理問題可先將金字塔形的各頂點命名，隨後為了求出餘弦值則可考慮使用餘弦定理，在此過程中會需確定出許多邊長比例的關係，如此會用到題目給定的正切值。
解法

設金字塔頂點為$A$，底部四點分別為$B,C,D,E$。由於各面之坡度為$\displaystyle\frac{2}{5}$，因此可設底部正方形之邊長為$10a$，那麼高為$2a$，進而可求出四個斜面的等腰三角形中的底邊高為$\sqrt{29}a$、腰長為$\sqrt{54}a$。

考慮$\Delta ABC$與$\Delta ABE$之間的夾角為$\theta$。為了求出$\cos\theta$，連接$\overline{CE}$，並且作$C$到$\overline{AB}$上的垂足$F$，易知$F$亦為$E$到$\overline{AB}$上的垂足。那麼觀察$\Delta FCE$為等腰三角形，且有$\angle CFE=\theta$、$\displaystyle\overline{FC}=\overline{FE}=\frac{10\sqrt{29}}{\sqrt{54}}a$、$\overline{CE}=10\sqrt{2}a$。因此由餘弦定理可知

$\displaystyle200a^2=\frac{2900}{54}a^2\left(2-2\cos\theta\right)$

如此可解得$\displaystyle\cos\theta=-\frac{25}{29}$，因此所求為$\displaystyle\frac{25}{29}$，填入$㉜=2$、$㉝=5$、$㉞=2$、$㉟=9$。



10. 下圖為汽車迴轉示意圖。汽車迴轉時，將方向盤轉動到極限，以低速讓汽車進行轉向圓周運動，汽車轉向時所形成的圓周的半徑就是迴轉半徑，如圖中的$\overline{BC}$即是。已知在低速前進時，圖中$A$處的輪胎行進方向與$\overline{AC}$垂直，$B$處的輪胎行進方向與$\overline{BC}$垂直。在圖中，已知軸距$\overline{AB}$為$2.85$公尺，方向盤轉到極限時，輪子方向偏了$28$度，試問此車的迴轉半徑$\overline{BC}$為 ㊱.㊲ 公尺。（小數點後第一位以下四捨五入，$\sin28^\circ\approx0.4695,~\cos28^\circ\approx0.8829$）
    
訣竅
釐清題意並使用三角函數的定義即可求解。
解法
如圖計算角度可知$\angle ACB=28^\circ$，利用正弦函數可知$\overline{AB}=\overline{BC}\sin28^\circ$，因此
$\displaystyle\overline{BC}=\frac{\overline{AB}}{\sin28^\circ}\approx\frac{2.85}{0.4695}=\frac{28500}{4695}=\frac{5700}{939}=\frac{1900}{313}\approx6.0702\approx6.1$公尺
因此填入$㊱=6$、$㊲=1$。

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參考公式及可能用到的數值

1. 首項為$a$，公差為$d$的等差數列前$n$項之和為$\displaystyle S=\frac{n\left(2a+\left(n-1\right)d\right)}{2}$
   首項為$a$，公比為$r$ ($r\neq1$)的等比數列前$n$項之和為$\displaystyle S=\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}$
2. 三角函數的和角公式：$\sin\left(A+B\right)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$
   　　　　　　　　　　$\cos\left(A+B\right)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$
   　　　　　　　　　　$\displaystyle\tan\left(A+B\right)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$
3. $\Delta ABC$的正弦定理： $\displaystyle\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$　（$R$為$\Delta ABC$外接圓半徑）
   $\Delta ABC$的餘弦定理： $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$
4. 一維數據$X:~x_1,x_2,\cdots,x_n$，算術平均數$\displaystyle\mu_X=\frac{1}{n}\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$
   標準差$\displaystyle\sigma_X=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\mu_X\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{n}\left(\left(\sum_{i=1}^{n}x_i^2\right)-n\mu_X^2\right)}$
5. 二維數據$\left(X,Y\right):\left(x_1,y_1\right),\left(x_2,y_2\right),\cdots,\left(x_n,y_n\right)$，相關係數$\displaystyle r_{X,Y}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\mu_X\right)\left(y_i-\mu_Y\right)}{n\sigma_X\sigma_Y}$
   迴歸直線（最適合直線）方程式$\displaystyle y-\mu_Y=r_{X,Y}\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\left(x-\mu_X\right)$
6. 參考數值：$\sqrt{2}\approx1.414,~\sqrt{3}\approx1.732,~\sqrt{5}\approx2.236,~\sqrt{6}\approx2.449,~\pi\approx3.142$
7. 對數值：$\log_{10}2\approx0.3010,~\log_{10}3\approx0.4771,~\log_{10}5\approx0.6990,~\log_{10}7\approx0.8451$
8. 角錐體積$\displaystyle=\frac{1}{3}$底面積$\times$高