一百零五學年度數學學科能力測驗

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$105$學年度學科能力測驗試題

數學考科

－作答注意事項－

1. 考試時間：$100$分鐘
2. 題型題數：單選題$6$題，多選題$7$題，選填題第$A$至$G$題共$7$題
3. 作答方式：用2B鉛筆在「答案卡」上作答；更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液（帶）。未依規定畫記答案卡，致機器掃描無法辨識答案者，其後果由考生自行承擔。
4. 選填題作答說明：選填題的題號是A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子畫記。請仔細閱讀下面的例子。

   例：若第B題的答案格式是$\displaystyle\underline{　\frac{⑱}{⑲}　}$，而依題意計算出來的答案是$\displaystyle\frac{3}{8}$，則考生必須分別在答案卡上的第$18$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$與第$19$列的$\underset{\boxed{~~}}{8}$劃記，如：

   $\begin{array}{|c|}18~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\19~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\color{black}{▆▆}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

   例：若第C題的答案格式是$\displaystyle\underline{　\frac{⑳㉑}{50}　}$，而答案是$\displaystyle\frac{-7}{50}$時，則考生必須分別在答案卡的第$20$列的$\underset{\boxed{~~}}{-}$與第$21$列的$\underset{\boxed{~~}}{7}$畫記，如：

   $\begin{array}{|c|}20~~\underset{\color{black}{▆▆}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline21~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\color{black}{▆▆}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

5. ※試題後附有參考公式及可能用到的數值

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第壹部分：選擇題（占$65$分）

1. 單選題（占$30$分）
說明：第$1$題至第$6$題，每題有$5$個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得$5$分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。
1. 設$f\left(x\right)$為二次實係數多項式，已知$f\left(x\right)$在$x=2$時有最小值$1$且$f\left(3\right)=3$。請問$f\left(1\right)$之值為下列哪一選項？
   1. $5$
   2. $2$
   3. $3$
   4. $4$
   5. 條件不足，無法確定
訣竅
利用二次函數發生極值的位置做出適當的假設，從而解出該多項式；亦可利用對稱性求解。
解法一
由於二次多項式$f$在$x=2$有最小值$1$，故可寫$f\left(x\right)=a\left(x-2\right)^2+1$，其中$a>0$。再者由$f\left(3\right)=3$可知$a=2$，因此$f\left(x\right)=2\left(x-2\right)^2+1$，從而$f\left(1\right)=3$，應選(3)。
解法二
由於二次函數會對稱最小值發生處的鉛直線，亦即$\left(3,3\right)$對稱$x=2$可得$\left(1,3\right)$，亦即有$f\left(1\right)=3$，應選(3)。


2. 請問$\sin73^\circ$、$\sin146^\circ$、$\sin219^\circ$、$\sin292^\circ$、$\sin365^\circ$這五個數值的中位數是哪一個？
   1. $\sin73^\circ$
   2. $\sin146^\circ$
   3. $\sin219^\circ$
   4. $\sin292^\circ$
   5. $\sin365^\circ$
訣竅
利用三角恆等式將三角函數所代入的角度改寫為第一象限角從而利用正弦函數的單調性比較大小。
解法
由於$\sin146^\circ=\sin34^\circ$、$\sin219^\circ=-\sin39^\circ$、$\sin292^\circ=-\sin68^\circ$、$\sin365^\circ=\sin5^\circ$，因此排序如下
$-\sin68^\circ<-\sin39^\circ<\sin5^\circ<\sin34^\circ<\sin73^\circ$
故中位數為$\sin5^\circ$，即$\sin365^\circ$，故選(5)。


3. 坐標平面上兩圖形$\Gamma_1,\Gamma_2$的方程式分別為：$\Gamma_1:\left(x+1\right)^2+y^2=1$、$\Gamma_2:\left(x+y\right)^2=1$。請問$\Gamma_1,\Gamma_2$共有幾個交點？
   1. $1$個
   2. $2$個
   3. $3$個
   4. $4$個
   5. $0$個
訣竅
直接解聯立找出交點；亦可畫出圖形點數出交點個數。
解法一
為了找出交點，我們解聯立方程：
$\left\{\begin{aligned} &\left(x+1\right)^2+y^2=1\\&\left(x+y\right)^2=1\end{aligned}\right.$
第二式可以給出$x+y=1$或$x+y=-1$，亦即分別為$y=1-x$或$y=-1-x$。
• 若$y=1-x$，則代回第一條方程有$\left(x+1\right)^2+\left(1-x\right)^2=1$，展開有$2x^2+2=1$，無解。
• 若$y=-1-x$，代回第一條方程有$2\left(x+1\right)^2=1$，如此有$\displaystyle x=-1\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$，從而有兩個交點：

  $\displaystyle\left(-1+\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right),~~\left(-1-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
綜上可知有兩個交點，故選(2)。
解法二
繪圖如下

可以知道恰有兩個交點，故選(2)。


4. 放射性物質的半衰期$T$定義為每經過時間$T$，該物質的質量會衰退成原來的一半。鉛製容器中有兩種放射性物質$A$、$B$，開始紀錄時容器中物質$A$的質量為物質$B$的兩倍，而$120$小時後兩種物質的質量相同。已知物質$A$的半衰期為$7.5$小時，請問物質$B$的半衰期為幾小時？
   1. $8$小時
   2. $10$小時
   3. $12$小時
   4. $15$小時
   5. $20$小時
訣竅
運用指數律以及題意列出等式求解。
解法
設物質$B$的半衰期為$T$，而物質$A$與物質$B$的質量分別為$2m$、$m$，按條件可列得
$\displaystyle2m\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{120}{7.5}}=m\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{120}{T}}$
即有
$2^{-15}=2^{-\frac{120}{T}}$
因此$\displaystyle\frac{120}{T}=15$，即$T=8$，應選(1)。


5. 坐標空間中一質點自點$P\left(1,1,1\right)$沿著方向$\vec{a}=\left(1,2,2\right)$等速直線前進，經過$5$秒後剛好到達平面$x-y+3z=28$上，立即轉向沿著方向$\vec{b}=\left(-2,2,-1\right)$依同樣的速率等速直線前進。請問再經過幾秒此質點會剛好到達平面$x=2$上？
   1. $1$秒
   2. $2$秒
   3. $3$秒
   4. $4$秒
   5. 永遠不會到達
訣竅
反覆運用參數式找出該質點與平面的交會處，並應注意移動速度之描述。
解法
質點自$P\left(1,1,1\right)$沿著方向$\vec{a}=\left(1,2,2\right)$可得一參數式
$\left\{\begin{aligned} &x=1+t\\&y=1+2t\\&z=1+2t\end{aligned}\right.~,t\in\mathbb{R}$
代入平面$x-y+3z=28$中有$3+5t=28$，可得$t=5$，亦即交會處為$Q\left(6,11,11\right)$。再者，自$P$到$Q$共經$15$單位，亦即每秒鐘可移動$3$單位長。現自$Q$處沿$\vec{b}=\left(-2,2,-1\right)$前進，即
$\left\{\begin{aligned} &x=6-2s\\&y=11+2s\\&z=11-s\end{aligned}\right.,s\in\mathbb{R}$
可以注意到當$s=2$時該質點位在$\left(2,15,9\right)$，即抵達平面$x=2$，此表明自$Q$經過兩秒鐘後可到達$x=2$，應選(2)。


6. 設$\left\langle a_n\right\rangle$為一等比數列。已知前十項的和為$\displaystyle\sum_{k=1}^{10}a_k=80$，前五個奇數項的和為$a_1+a_3+a_5+a_7+a_9=120$，請選出首項$a_1$的正確範圍。
   1. $a_1<80$
   2. $80\leq a_1<90$
   3. $90\leq a_1<100$
   4. $100\leq a_1<110$
   5. $110\leq a_1$
訣竅
注意到跳項之和與全部和的聯繫；亦可由等比級數和的公式解聯立。
解法一
將前十項和扣去前五個奇數項可得前五個偶數項和：
$a_2+a_4+a_6+a_8+a_{10}=-40$
將前五個偶數項和除以前五個奇數項和可得公比：
$\displaystyle r=\frac{a_2+a_4+a_6+a_8+a_{10}}{a_1+a_3+a_5+a_7+a_9}=\frac{-40}{120}=-\frac{1}{3}$
那麼由前五項奇數和有
$\displaystyle a_1+\frac{a_1}{9}+\frac{a_1}{81}+\frac{a_1}{729}+\frac{a_1}{6561}=120$
那麼可得
$\displaystyle a_1=\frac{120\cdot6561}{7381}=\frac{120\cdot6561}{121\cdot61}\approx\frac{121\cdot6561}{121\cdot61}=101\frac{400}{61}107\frac{34}{61}$
故選(4)。
解法二
運用等比級數和公式可知
$\displaystyle\frac{a_1\left(1-r^{10}\right)}{1-r}=80,~~\frac{a_1\left(1-\left(r^2\right)^5\right)}{1-r^2}=120$
兩式相除可得$\displaystyle 1+r=\frac{80}{120}$，即有$\displaystyle r=-\frac{1}{3}$，那麼有
$\displaystyle\frac{3a_1}{4}\approx\frac{a_1\left(1-\frac{1}{3^{10}}\right)}{1+\frac{1}{3}}=80$
故幾乎有$a_1\approx\frac{320}{3}=106\frac{2}{3}$，故選(4)。
2. 多選題（佔$35$分）
說明：第$7$題至第$13$題，每題有$5$個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得$5$分；答錯$1$個選項者，得$3$分；答錯$2$個選項者，得$1$分；答錯多於$2$個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。
7. 下列各方程式中， 請選出有實數解的選項。
   1. $\left|x\right|+\left|x-5\right|=1$
   2. $\left|x\right|+\left|x-5\right|=6$
   3. $\left|x\right|-\left|x-5\right|=1$
   4. $\left|x\right|-\left|x-5\right|=6$
   5. $\left|x\right|-\left|x-5\right|=-1$
訣竅
運用三角不等式找出最小值，從而知道該方程有無實數解；亦可將實數線區分為$x<0$、$0\leq x<5$、$x\geq5$進行解方程進而判斷有無解。
解法一
1. 由於$\left|x\right|+\left|x-5\right|=\left|x\right|+\left|5-x\right|\geq\left|x+\left(5-x\right)\right|=5$，故不可能等於$1$，故無實數解。
2. 由於$\left|x\right|+\left|x-5\right|\geq5$，故有可能等於$6$。事實上取$x=5.5$或$x=-0.5$為該方程的解。
3. 由三角不等式有$-5\leq\left|x\right|-\left|x-5\right|\leq5$，可以推知可能有實數$x$使得$\left|x\right|-\left|x-5\right|=1$，如$x=3$。
4. 由三角不等是有$\left|x\right|-\left|x-5\right|\leq5$，故不可能有實數$x$使得$\left|x\right|-\left|x-5\right|=6$。
5. 由三角不等式有$-5\leq\left|x\right|-\left|x-5\right|\leq5$，可以推知可能有實數$x$使得$\left|x\right|-\left|x-5\right|=-1$，如$x=2$。
由以上的討論可知應選(2)(3)(5)。
解法二
• 考慮函數$f\left(x\right)=\left|x\right|+\left|x-5\right|$。若$x\leq0$，則$f\left(x\right)=-2x+5$、若$0\leq x\leq5$，則$f\left(x\right)=5$、若$x\geq5$，則$f\left(x\right)=2x-5$。因此檢查可知$f\left(x\right)\geq5$，且當$x=5.5$或$x=-0.5$時有$f\left(x\right)=6$，因此選項(1)錯誤而選項(2)正確。
• 考慮函數$g\left(x\right)=\left|x\right|-\left|x-5\right|$。若$x\leq0$，則$g\left(x\right)=-5$、若$0\leq x\leq5$，則$g\left(x\right)=2x-5$、若$x\geq5$，則$g\left(x\right)=5$。可以發現$-5\leq g\left(x\right)\leq5$，並且$g\left(3\right)=1$、$g\left(2\right)=-1$，故選項(4)錯誤而選項(3)和選項(5)正確。
應選(2)(3)(5)。


8. 下面是甲、乙兩個商場的奇異果以及蘋果不同包裝的價格表，例如：甲商場奇異果價格「$35$元/一袋$2$顆」表示每一袋有$2$顆奇異果，價格$35$元。

   甲商場售價

   奇異果價格	$20$元/一袋$1$顆	$35$元/一袋$2$顆	$80$元/一袋$5$顆	$100$元/一袋$6$顆
   蘋果價格	$45$元/一袋$1$顆	$130$元/一袋$3$顆	$260$元/一袋$6$顆	$340$元/一袋$8$顆

   乙商場售價

   奇異果價格	$18$元/一袋$1$顆	$50$元/一袋$3$顆	$65$元/一袋$4$顆	$95$元/一袋$6$顆
   蘋果價格	$50$元/一袋$1$顆	$190$元/一袋$4$顆	$280$元/一袋$6$顆	$420$元/一袋$10$顆

   依據上述數據， 請選出正確的選項。
   1. 在甲商場買一袋$3$顆裝的蘋果所需金額低於買三袋$1$顆裝的蘋果
   2. 乙商場的奇異果售價，一袋裝越多顆者，其每顆單價越低
   3. 若只想買奇異果，則在甲商場花$500$元最多可以買到$30$顆奇異果
   4. 如果要買$12$顆奇異果和$4$顆蘋果，在甲商場所需最少金額低於在乙商場所需最少金額
   5. 無論要買多少顆蘋果，在甲商場所需最少金額都低於在乙商場所需最少金額
訣竅
依據表格的資訊作答就即可。
解法
1. 根據資訊，在甲商場買一袋$3$顆裝的蘋果需要$130$元，而買三袋$1$顆裝的蘋果需要$45\times3=135$元，本選項正確。
2. 在乙商場中，奇異果一袋$1$顆裝的每顆$18$元；一袋$3$顆裝的平均每顆約$16.67$元；一袋$4$顆裝的平均每顆$16.25$元；一袋$6$顆裝的平均每顆$15.83$元，故確實一袋裝越多顆者，每顆單價越低，本選項正確。
3. $500$元可以用其中的$480$元買$6$組一袋$5$顆的奇異果以及$1$組一袋$1$顆的奇異果，如此共有$31$顆，不只有$30$顆。本選項錯誤。
4. 在甲商場中要買$12$顆奇異果和$4$顆蘋果的最少金額為買$2$組一袋$5$顆的奇異果與$1$組一袋$2$顆的奇異果以及$1$組一袋$3$顆的蘋果和$1$組一袋$1$顆的蘋果，如此共計有$80\times2+35+130+45=370$元；而在乙商場則需要買$2$組每袋$6$裝的奇異果以及$1$組每袋$4$顆裝的蘋果，共計有$95\times2+190=380$元。因此在甲商場購買較便宜。本選項正確。
5. 若在乙商場買$10$顆蘋果僅需$420$元，但在甲商場則需要$340+45\times2=430$元。本選項錯誤。
應選(1)(2)(4)。


9. 下列各直線中，請選出和$z$軸互為歪斜線的選項。
   1. $L_1:\left\{\begin{aligned} &x=0\\&z=0\end{aligned}\right.$
   2. $L_2:\left\{\begin{aligned} &y=0\\&x+z=1\end{aligned}\right.$
   3. $L_3:\left\{\begin{aligned} &z=0\\&x+y=1\end{aligned}\right.$
   4. $L_4:\left\{\begin{aligned} &x=1\\&y=1\end{aligned}\right.$
   5. $L_5:\left\{\begin{aligned} &y=1\\&z=1\end{aligned}\right.$
訣竅
兩直線互相歪斜意指兩直線不平行也無交點（不重合也不相交）。
解法
1. $L_1$與$z$在$\left(0,0,0\right)$處相交，故不互相歪斜。
2. $L_2$與$z$軸在$\left(0,0,1\right)$處相交，故不互相歪斜。
3. $L_3$上的座標不可能同時有$x=y=0$，因此與$z$軸不相交；另一方面，可以發現$L_3$的方向向量為$\left(1,1,0\right)$和$\left(0,0,1\right)$的外積，因此不可能為$\left(0,0,1\right)$本身，從而也不可能與$z$軸平行，因此$L_3$與$z$軸歪斜。
4. $L_4$的方向向量為$\left(1,0,0\right)\times\left(0,1,0\right)=\left(0,0,1\right)$，因此與$z$軸平行。
5. $L_5$的方向向量為$\left(0,1,0\right)\times\left(0,0,1\right)=\left(1,0,0\right)$，因此不與$z$軸平行。再者$L_5$上的$y$座標必不為$0$，故也不可能與$z$軸相交，因此$L_5$與$z$軸互相歪斜。
依據以上的分析可知應選(3)(5)。


10. 設$a$、$b$、$c$皆為正整數，考慮多項式$f\left(x\right)=x^4+ax^3+bx^2+cx+2$。請選出正確的選項。
    1. $f\left(x\right)=0$無正根
    2. $f\left(x\right)=0$一定有實根
    3. $f\left(x\right)=0$一定有虛根
    4. $f\left(1\right)+f\left(-1\right)$的值是偶數
    5. 若$a+c>b+3$，則$f\left(x\right)=0$有一根介於$-1$與$0$之間
訣竅
釐清多項式的基本性質即可作答，如代數基本定理、虛根成對定理、勘根定理等。
解法
1. 假若$f$有正實根$k$，那麼$0=f\left(k\right)=k^4+ak^3+bk^2+ck+2\geq2$，矛盾。因此$f$不可能有正實根，本選項正確。
2. 不一定。假若$f\left(x\right)=x^4+x^3+3x^2+2x+2=\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+2\right)$，那麼$f$無實根。
3. 不一定，假若$f\left(x\right)=x^4+5x^3+9x^2+7x+2=\left(x+1\right)^3\left(x+2\right)$有四個實根。
4. 直接計算可知$f\left(1\right)+f\left(-1\right)=2b+6=2\left(b+3\right)$為偶數，本選項正確。
5. 若$a+c>b+3$，那麼$f\left(-1\right)=b+3-a-c<0$，另一方面，$f\left(0\right)=2>0$。由於$f$為多項式函數，因此根據勘根定理可知$f\left(x\right)=0$在$-1$與$0$之間有根，本選項正確。
應選(1)(4)(5)。


11. 一個$41$人的班級某次數學考試，每個人的成績都未超過$59$分。老師決定以下列方式調整成績：原始成績為$x$分的學生，新成績調整為$\displaystyle40\log_{10}\left(\frac{x+1}{10}\right)+60$分（四捨五入到整數）。請選出正確的選項。
    1. 若某人原始成績是$9$分，則新成績為$60$分
    2. 若某人原始成績超過$20$分，則其新成績超過$70$分
    3. 調整後全班成績的全距比原始成績的全距大
    4. 已知小文的原始成績恰等於全班原始成績的中位數，則小文的新成績仍然等於調整後全班成績的中位數
    5. 已知小美的原始成績恰等於全班原始成績的平均，則小美的新成績仍然等於調整後全班成績的平均（四捨五入到整數）
訣竅
前兩個選項依據調整公式計算即可；第三個選項則依據對數函數的長相（$x$範圍大但$y$範圍小的特性考慮）；第四與第五選項則思考該調整方式與統計量之間的影響規律。
解法
1. 若某人原始成績為$9$分，那麼按照成績調整公式可知新成績為$\displaystyle40\log_{10}\left(\frac{9+1}{10}\right)+60=40\log_{10}1+60=60$分，本選項正確。
2. 若某人的原始成績為$a>20$，那麼其新成績為

   $\displaystyle40\log_{10}\left(\frac{a+1}{10}\right)+60>40\log_{10}2.1+60>60+40\cdot0.301=72.04$

   故確實超過$70$分，本選項正確。
3. 若原始成績最高分為$59$分，則新成績為$40\log6+60\approx40\cdot0.7782+60=91.128$分，故新成績應為$91$分，但若最低分為$9$分，則新成績為$60$分；可以發現原始成績的全距為$50$分，但調整後的成績之全距為$31$分，因此原始成績的全距較調整後的大，本選項錯誤。
4. 由於底數大於$1$的對數函數為遞增函數，因此成績的排序並不會隨著調整而改變，故原始成績的中位數在調整後仍為中位數，本選項正確。
5. 由於底數大於$1$的對數函數凹口向下，因此平均成績調整後之值可能會高於調整後的平均成績。故本選項錯誤‧
由分析討論可知應選(1)(2)(4)。


12. 在$\Delta ABC$中，已知$\angle A=20^\circ$、$\overline{AB}=5$、$\overline{BC}=4$。請選出正確的選項。
    1. 可以確定$\angle B$的餘弦值
    2. 可以確定$\angle C$的正弦值
    3. 可以確定$\Delta ABC$的面積
    4. 可以確定$\Delta ABC$的內切圓半徑
    5. 可以確定$\Delta ABC$的外接圓半徑
訣竅
本題條件可適用於正弦定理，但注意到正弦值在三角形中角度必為正，故無法判斷鈍角或銳角。
解法
利用正弦定理有
$\displaystyle\frac{\overline{AB}}{\sin\angle C}=\frac{\overline{BC}}{\sin\angle A}=\frac{\overline{CA}}{\sin\angle B}=2R$
將所知資訊代入有
$\displaystyle\frac{5}{\sin\angle C}=\frac{4}{\sin20^\circ}=\frac{\overline{CA}}{\sin\angle B}=2R$
這樣一來可以確定出外接圓半徑$\displaystyle R=\frac{2}{\sin20^\circ}$、$\displaystyle\sin\angle C=\frac{5}{4}\sin20^\circ$。但未能判定$C$是否為銳角或鈍角，從而無法斷定$\cos\angle B$，也因此無法確定出$\overline{CA}$之值，據此面積以及內切圓半徑亦無法確定。故應選(2)(5)。


13. 甲、乙、丙、丁四位男生各騎一台機車約$A$、$B$、$C$、$D$四位女生一起出遊，他們約定讓四位女生依照$A$、$B$、$C$、$D$的順序抽鑰匙來決定搭乘哪位男生的機車。其中除了$B$認得甲的機車鑰匙，並且絕對不會選取之外，每個女生選取這些鑰匙的機會都均等。請選出正確的選項。
    1. $A$抽到甲的鑰匙的機率大於$C$抽到甲的鑰匙的機率
    2. $C$抽到甲的鑰匙的機率大於$D$抽到甲的鑰匙的機率
    3. $A$抽到乙的鑰匙的機率大於$B$抽到乙的鑰匙的機率
    4. $B$抽到丙的鑰匙的機率大於$C$抽到丙的鑰匙的機率
    5. $C$抽到甲的鑰匙的機率大於$C$抽到乙的鑰匙的機率
訣竅
利用條件機率詳細計算之；亦可利用日常經驗來推理即可。
解法一
1. $A$抽到甲的鑰匙的機率為$\displaystyle\frac{1}{4}$，而$C$抽到甲的鑰匙的機率為「$A$不抽到甲的鑰匙的機率乘上$B$不抽到甲的鑰匙的機率再乘上此時$C$會抽到甲的鑰匙的機率」，即$\displaystyle\frac{3}{4}\times1\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$。但$\displaystyle\frac{1}{4}<\frac{3}{8}$，因此本選項錯誤。
2. 承上可知$C$抽到甲鑰匙的機率為$\displaystyle\frac{3}{8}$，而$D$抽到甲鑰匙的機率為$\displaystyle\frac{3}{4}\times1\times\frac{1}{2}\times1=\frac{3}{8}$，故兩者相等，本選項錯誤。
3. $A$抽到乙鑰匙的機率為$\displaystyle\frac{1}{4}$，而$B$抽到乙鑰匙的機率為「$A$抽到丙或丁，則$B$自乙丁或乙丙中二挑一；或是$A$抽到甲，則$B$自乙丙丁三挑一」，即$\displaystyle\frac{2}{4}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$。但$\displaystyle\frac{1}{4}<\frac{1}{3}$，本選項錯誤。
4. $B$抽到丙的機率同$B$抽到乙的機率皆為$\displaystyle\frac{1}{3}$，而$C$抽到丙的機率為「前兩者都沒抽到丙的機率乘上$C$抽到丙的機率」，更細的分別情形為「$A$抽到甲且$B$沒抽到丙、$A$抽到乙或丁且$B$沒抽到丙」，即$\displaystyle\frac{1}{4}\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}+\frac{2}{4}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{5}{24}$。又$\displaystyle\frac{1}{3}>\frac{5}{24}$，故本選項正確。
5. $C$抽到乙的機率、$C$抽到丁的機率同$C$抽到丙的機率，即$\displaystyle\frac{5}{24}$，從而$C$抽到甲的機率為$\displaystyle1-3\times\frac{5}{24}=\frac{3}{8}$。而$\displaystyle\frac{3}{8}>\frac{5}{24}$，故本選項正確。
由以上可知應選(4)(5)。
解法二
1. 直觀上來看，由於$B$會刻意避開抽到甲，這會導致$C$或$D$抽到甲的鑰匙的機率上升。因此$A$抽到甲的鑰匙的機率會小於$C$抽到甲的鑰匙的機率，本選項錯誤。
2. 對於$B$而言會刻意避免抽到甲，但對$C$、$D$抽到甲的機率會是公平的，故兩者會相同，本選項錯誤。
3. $A$對鑰匙沒有任何偏好，但$B$會刻意避開甲的鑰匙，從而抽到其他鑰匙的機率會上升從而大於$A$抽到乙鑰匙的機率，故本選項錯誤。
4. $B$會避開抽到甲的鑰匙，從而抽到丙鑰匙的機率會上升，從而優於$C$抽到丙鑰匙的機率，本選項正確。
5. 由於$B$避開甲的鑰匙，因此$C$抽到甲的鑰匙的機會比抽到其他鑰匙的機會來得高，本選項正確。
經由以上的分析可推知應選(4)(5)。

第貳部分：選填題（占$45$分）

說明：

1. 第$A$至$G$題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（14–31）。
2. 每題完全答對給$5$分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

1. 考慮每個元（或稱元素）只能是$0$或$1$的$2\times3$階矩陣，且它的第一列與第二列不相同且各列的元素不能全為零，這樣的矩陣共有 ⑭⑮ 個。
訣竅
注意到矩陣中的每個格子都有$2$個選擇，但每列不能全為零，故應排除全為零的情形。
解法
每列的所有可能排法有$2^3-1=7$種，但第一列與第二列不相同，故共有$7\times6=42$個這樣的矩陣，填入$⑭=4$、$⑮=2$。


2. 坐標平面上$O$為原點，設$\vec{u}=\left(1,2\right)$、$\vec{v}=\left(3,4\right)$。令$\Omega$為滿足$\overset{\rightharpoonup}{OP}=x\overset{\rightharpoonup}{u}+y\overset{\rightharpoonup}{v}$的所有點$P$所形成的區域，其中$\displaystyle\frac{1}{2}\leq x\leq1$、$\displaystyle-3\leq y\leq\frac{1}{2}$，則$\Omega$的面積為$\displaystyle\underline{ \frac{⑯}{⑰} }$平方單位。（化成最簡分數）
訣竅
考慮斜角坐標系所形成的區域與$\vec{u}$和$\vec{v}$所張成的平行四邊形之面積關係。
解法
以$\vec{u}$、$\vec{v}$分別為斜角坐標系的兩個軸，那麼該斜角坐標系中的「長方形」之長為$\displaystyle\frac{1}{2}-\left(-3\right)=\frac{7}{2}$、寬為$\displaystyle1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。而斜角坐標系中的每格面積為$|\left|\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right||=\left|1\times4-2\times3\right|=\left|-2\right|=2$，因此所求之面積為$\displaystyle\frac{7}{2}\times\frac{1}{2}\times2=\frac{7}{2}$，故填入$⑯=7$、$⑰=2$。


3. 從橢圓$\Gamma$的兩焦點分別作垂直於長軸的直線，交橢圓於四點。已知連此四點得一個邊長為$2$的正方形， 則$\Gamma$的長軸長為$\underline{⑱}+\underline{\sqrt{⑲}}$。
訣竅
注意到題幹敘述中的正方形邊長實則為焦點的正焦弦長，如此可運用半長軸長$a$與半短軸長$b$表達。並留意橢圓中有關係式$a^2=b^2+c^2$，其中$c$為焦距。
解法
設$a,b,c$分別為$\Gamma$的半長軸長、半短軸長和焦距，那麼有$a^2=b^2+c^2$。再者題幹敘述中的正方形邊長為正焦弦長為$\displaystyle\frac{2b^2}{a}=2$，故有$b^2=a$。另一方面由圖形可觀察到$2c=2$，即$c=1$。至此可將$a^2=b^2+c^2$改寫為$a^2=a+1$，如此能解得$\displaystyle a=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$。由於$a>0$，故取正號。而所求的長軸長為$2a=1+\sqrt{5}$，填入$⑱=1$、$⑲=5$。


4. 線性方程組$\left\{\begin{aligned} &x+2y+3z=0\\&2x+y+3z=6\\&x-y=6\\&x-2y-z=8\end{aligned}\right.$經高斯消去法計算後，其增廣矩陣可化簡為$\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&a&b\\0&1&c&d\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right]$，則$a=$ ⑳ 、$b=$ ㉑ 、$c=$ ㉒ 、$d=$ ㉓㉔ 。
訣竅
依列運算進行計算即可。
解法
將第一列乘以$\left(-2\right),\left(-1\right),\left(-1\right)$分別加至第二、三、四列可得
$\left[\begin{array}{ccc|c}1&2&3&0\\0&-3&-3&6\\0&-3&-3&6\\0&-4&-4&8\end{array}\right]$
將第二列除以$-3$後消去第三列與第四列可得
$\left[\begin{array}{ccc|c}1&2&3&0\\0&1&1&-2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right]$
最後將第二列乘以$\left(-2\right)$加至第一列有
$\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&1&4\\0&1&1&-2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right]$
因此填入$⑳=1$、$㉑=4$、$㉒=1$、$㉓=-$、$㉔=2$。


5. 設$a$為一實數，已知在第一象限滿足聯立不等式$\left\{\begin{aligned} &x-3y\leq a\\&x+2y\leq14\end{aligned}\right.$的所有點所形成之區域面積為$\displaystyle\frac{213}{5}$平方單位，則$a=$ ㉕ 。
訣竅
注意不同的$a$可能讓圖形的形狀稍有不同，依此進行討論。
解法一
假若$a=0$，那麼所圍成的區域為三角形區域，其三邊分別為$x-3y=0$、$x+2y=14$、$x=0$，三頂點分別為$\left(0,0\right)$、$\left(0,7\right)$、$\displaystyle\left(\frac{42}{5},\frac{14}{5}\right)$，故面積為$\displaystyle\frac{1}{2}\times\frac{42}{5}\times7=\frac{147}{5}<\frac{213}{5}$，這表明$a$應大於$0$。那麼由聯立不等式在第一象限所圍成的區域為四邊形，其四個頂點分別為$\left(0,0\right)$、$\left(a,0\right)$、$\displaystyle\left(\frac{42+2a}{5},\frac{14-a}{5}\right)$、$\left(0,7\right)$。那麼面積為
$\displaystyle\frac{1}{2}\times14\times7-\frac{1}{2}\left(14-a\right)\times\frac{14-a}{5}=49-\frac{\left(14-a\right)^2}{10}=\frac{213}{5}$
亦即有$\left(14-a\right)^2=64$，那麼有$14-a=\pm8$，故$a=6$或$a=22$。經做圖檢驗可知$a=22$不合，故$a=6$，填$㉕=6$。
解法二
承解法一中已經發現所圍成的區域面積應為以原點產生的直角三角形（兩邊長分別為$7$、$14$，扣去一個三角形）。可以推出扣去的三角形之面積為
$\displaystyle\frac12\cdot7\cdot14-\frac{213}{5}=\frac{32}5$
設扣去的三角形之高為$h$，那麼運用斜率可分別得知底邊長為$\displaystyle3h+2h=5h$，因此可知
$\displaystyle\frac12\cdot h\cdot5h=\frac{32}5$
解得$\displaystyle h=\frac85$，亦即座標為$\displaystyle\left(\frac{54}{5},\frac{8}{5}\right)$，這就解得$\displaystyle a=\frac{54}{5}-3\cdot\frac{8}{5}=6$，故填$㉕=6$。


6. 投擲一公正骰子三次，所得的點數依序為$a,b,c$。在$b$為奇數的條件下，行列式$\left|\begin{array}{cc}a&b\\b&c\end{array}\right|>0$的機率為$\displaystyle\underline{ \frac{㉖㉗}{㉘㉙} }$。（化成最簡分數）
訣竅
分情形討論清點即可。
解法
在$b$為奇數的條件下，共有$6\times3\times6=108$種情形。而計算行列式有$ac-b^2>0$，即$ac>b^2$。
• 若$b=1$，則$ac>1$，此當$a\neq1\neq c$即可，故有$6\times6-1=35$種情形。
• 若$b=3$，則$ac>9$，那麼數對$\left(a,c\right)=\left(1,1\right),\cdots,\left(1,6\right),\left(2,1\right),\cdots,\left(2,4\right),\left(3,1\right),\left(3,2\right),\left(3,3\right),\left(4,1\right),\left(4,2\right),\left(5,1\right),\left(6,1\right)$不合，故有$36-17=19$種情形。
• 若$b=5$，則$ac>25$，那麼對數$\left(a,c\right)=\left(5,6\right),\left(6,5\right),\left(6,6\right)$符合，有$3$種情形。
依據以上的討論可知所求之機率為$\displaystyle\frac{35+19+3}{108}=\frac{57}{108}=\frac{19}{36}$，因此填入$㉖=1$、$㉗=9$、$㉘=3$、$㉙=6$。


7. 如右圖所示，$ABCD-EFGH$為一長方體。若平面$BDG$上一點$P$滿足$\displaystyle\overset{\rightharpoonup}{AP}=\frac{1}{3}\overset{\rightharpoonup}{AB}+2\overset{\rightharpoonup}{AD}+a\overset{\rightharpoonup}{AE}$，則實數$\displaystyle a=\underline{ \frac{㉚}{㉛} }$。（化成最簡分數）
   
訣竅
運用座標表示法將向量$\overset{\rightharpoonup}{AP}$理解為$P$座標，那麼將平面$BDG$寫為方程式後將$P$代入即可解$a$。
解法
設$A,B,D,E$分別為$\left(0,0,0\right),\left(1,0,0\right),\left(0,1,0\right),\left(0,0,-1\right)$，那麼容易觀察平面$BDG$方程式為$x+y+z=1$，又$P$之座標為$\displaystyle\left(\frac{1}{3},2,-a\right)$，如此代入有
$\displaystyle\frac{1}{3}+2-a=1$
可得$\displaystyle a=\frac{4}{3}$，故填入$㉚=4$、$㉛=3$。

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參考公式及可能用到的數值

1. 首項為$a$，公差為$d$的等差數列前$n$項之和為$\displaystyle S=\frac{n\left(2a+\left(n-1\right)d\right)}{2}$
   首項為$a$，公比為$r$($r\neq1$)的等比數列前$n$項之和為$\displaystyle S=\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}$
2. 三角函數的和角公式：$\sin\left(A+B\right)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$
   　　　　　　　　　　$\cos\left(A+B\right)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$
   　　　　　　　　　　$\displaystyle\tan\left(A+B\right)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$
3. $\Delta ABC$的正弦定理：$\displaystyle\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$　（$R$為$\Delta ABC$外接圓半徑）
   $\Delta ABC$的餘弦定理：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$
4. 一維數據$X:x_1,x_2,\cdots,x_n$，算術平均數$\displaystyle\mu_X=\frac{1}{n}\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$
   標準差$\displaystyle\sigma_X=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\mu_X\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{n}\left(\left(\sum_{i=1}^{n}x_i^2\right)-n\mu_X^2\right)}$
5. 二維數據$\left(X,Y\right):\left(x_1,y_1\right),\left(x_2,y_2\right),\cdots,\left(x_n,y_n\right)$，相關係數$\displaystyle r_{X,Y}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\mu_X\right)\left(y_i-\mu_Y\right)}{n\sigma_X\sigma_Y}$
   迴歸直線（最適合直線）方程式$\displaystyle y-\mu_Y=r_{X,Y}\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\left(x-\mu_X\right)$
6. 參考數值：$\sqrt{2}\approx1.414,~\sqrt{3}\approx1.732,~\sqrt{5}\approx2.236,~\sqrt{6}\approx2.449,~\pi\approx3.142$
7. 對數值：$\log_{10}2\approx0.3010,~\log_{10}3\approx0.4771,~\log_{10}5\approx0.6990,~\log_{10}7\approx0.8451$