一百零六學年度數學學科能力測驗

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$106$學年度學科能力測驗試題

數學考科

－作答注意事項－

1. 考試時間：$100$分鐘
2. 題型題數：單選題$7$題，多選題$6$題，選填題第$A$至$G$題共$7$題
3. 作答方式：用2B鉛筆在「答案卡」上作答；更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液（帶）。未依規定畫記答案卡，致機器掃描無法辨識答案者，其後果由考生自行承擔。
4. 選填題作答說明：選填題的題號是A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子畫記。請仔細閱讀下面的例子。

   例：若第B題的答案格式是$\displaystyle\underline{　\frac{⑱}{⑲}　}$，而依題意計算出來的答案是$\displaystyle\frac{3}{8}$，則考生必須分別在答案卡上的第$18$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$與第$19$列的$\underset{\boxed{~~}}{8}$劃記，如：

   $\begin{array}{|c|}18~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\19~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\color{black}{▆▆}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

   例：若第C題的答案格式是$\displaystyle\underline{　\frac{⑳㉑}{50}　}$，而答案是$\displaystyle\frac{-7}{50}$時，則考生必須分別在答案卡的第$20$列的$\underset{\boxed{~~}}{-}$與第$21$列的$\underset{\boxed{~~}}{7}$畫記，如：

   $\begin{array}{|c|}20~~\underset{\color{black}{▆▆}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline21~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\color{black}{▆▆}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

5. ※試題後附有參考公式及可能用到的數值

---

第壹部分：選擇題（占$65$分）

1. 單選題（占$35$分）
說明：第$1$題至第$7$題，每題有$5$個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得$5$分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。
1. 已知某校老師玩過「寶可夢」的比率為$r_1$，而學生玩過的比率為$r_2$，其中$r_1\neq r_2$。由下列選項中的資訊，請選出可以判定全校師生玩過「寶可夢」的比率之選項。
   1. 全校老師與學生比率
   2. 全校老師人數
   3. 全校學生人數
   4. 全校師生人數
   5. 全校師生玩過「寶可夢」人數
訣竅
根據題幹以及候選選項假設變數後進行分析即可。
解法
設全校老師人數為$n_1$而學生人數為$n_2$，那麼有玩過的人數為$n_1r_1+n_2r_2$，那麼欲求得的數據為$\displaystyle\frac{n_1r_1+n_2r_2}{n_1+n_2}$。可以注意到如果單獨獲得$n_1$或$n_2$或$n_1+n_2$或$n_1r_1+n_2r_2$都是無法求得該值，亦即選項(2)、(3)、(4)與(5)皆不正確。另一方面，所求之數據藉由分子分母同除以$n_1$可得：
所求$\displaystyle=\frac{r_1+kr_2}{1+k}$
此處$k$為$n_2/n_1$，其意義為全校老師與學生的人數比，因此可以由選項(1)所提供的資訊判定全校師生玩過寶可夢的比率。


2. 某個手機程式，每次點擊螢幕上的數$a$後，螢幕上的數會變成$a^2$。當一開始時螢幕上的數$b$為正且連續點擊螢幕三次後，螢幕上的數接近$81^3$。試問實數$b$最接近下列哪一個選項？
   1. $1.7$
   2. $3$
   3. $5.2$
   4. $9$
   5. $81$
訣竅
根據指數律的規則求解即可；亦可藉由檢驗選項得知。
解法一
按題意知$\left[\left(b^2\right)^2\right]^2=b^8=81^3$，因此$b^8=3^12$，如此得$b=\pm\sqrt{27}$，但$b>0$，故$b=\sqrt{27}$。由
$5=\sqrt{25}<\sqrt{27}<\sqrt{36}=6$
因此最合理的選項為(3)。
解法二
藉由直接計算可以知道$81^3=531441$，分別計算個選項如下：
1. $1.7^8=69.75757441$
2. $3^8=6561$
3. $5.2^8=534597.285315$
4. $9^8=43046721$
5. $81^8=43046721^2$
由以上的計算可以知道(3)的數值最為接近。


3. 設$\displaystyle\Gamma:\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$為坐標平面上一雙曲線，且其通過第一象限的漸近線為$\ell$。考慮動點$\left(t,t^2\right)$，從時間$t=0$時出發。當$t>0$時，請選出正確的選項。
   1. 此動點不會碰到$\Gamma$，也不會碰到$\ell$
   2. 此動點會碰到$\Gamma$，但不會碰到$\ell$
   3. 此動點會碰到$\ell$，但不會碰到$\Gamma$
   4. 此動點會先碰到$\Gamma$，再碰到$\ell$
   5. 此動點會先碰到$\ell$，再碰到$\Gamma$
訣竅
藉由二次曲線（圓錐曲線）的基本知識可以推知結果；亦可藉由代數上的計算分析之。
解法一
$\Gamma$為一上下開口的雙曲線，其中心在原點。而動點$\left(t,t^2\right)$落在$y=x^2$的拋物線上。首先沿著拋物線前進會先朝右上方前進而不斷升高至無窮遠處，而$\Gamma$落自$\left(0,a\right)$處前進亦會升高至無窮遠處但會靠近$\ell$，而$\ell$位於$\Gamma$下方，按照圖形的位置可以知道拋物線會先交$\ell$再交$\Gamma$，故選(5)。
解法二
由雙曲線的知識可知漸近線$\ell$方程式為$\displaystyle y=\frac{a}{b}x$，而動點所形成的軌跡則為拋物線$y=x^2$，故可以知道動點與漸近線$\ell$交於$\displaystyle A\left(\frac{a}{b},\frac{a^2}{b^2}\right)$、動點與雙曲線$\Gamma$交於$\displaystyle B\left(\sqrt{\frac{a^2+a^2\sqrt{1+4/a^2}}{2b^2}},\frac{a^2+a^2\sqrt{1+4/a^2}}{2b^2}\right)$，可以發現動點先經過$A$再經過$B$，因此選(5)。


4. 在右下圖的正立方體上有兩質點分別自頂點$A,C$同時出發，各自以等速直線運動分別向頂點$B,D$前進，且在$1$秒後分別同時到達$B,D$。請選出這段時間兩質點距離關係的正確選項。
   
   1. 兩質點的距離固定不變
   2. 兩質點的距離越來越小
   3. 兩質點的距離越來越大
   4. 在$\displaystyle\frac{1}{2}$秒時兩質點的距離最小
   5. 在$\displaystyle\frac{1}{2}$秒時兩質點的距離最大
訣竅
座標化後並以時間為參數表達兩質點的位置，從而得到距離函數，如此可以斷定距離的變化情形。
解法
按圖，設$A$為$\left(0,0,0\right)$，$B$為$\left(1,0,0\right)$，$C$為$\left(1,1,0\right)$ ，$D$為$\left(1,1,1\right)$。那麼從$A$向$B$移動的質點的位置為$\left(t,0,0\right)$，而從$C$向$D$移動的質點的位置為$\left(1,1,t\right)$，如此這兩個質點的距離函數為
$\displaystyle\sqrt{\left(t-1\right)^2+1+t^2}=\sqrt{2t^2-2t+2}=\sqrt{2}\sqrt{\left(t-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\geq\frac{\sqrt{6}}{2}$
其等號成立條件為$\displaystyle t=\frac12$，因此在時刻為$\displaystyle\frac12$秒時兩質點的距離最小。


5. 下圖是某城市在$2016$年的各月最低溫（橫軸$x$）與最高溫（縱軸$y$）的散佈圖。
   
   今以差（最高溫減最低溫）為橫軸且最高溫為縱軸重新繪製一散佈圖。試依此選出正確的選項。
   1. 最高溫與溫差為正相關，且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性強
   2. 最高溫與溫差為正相關，且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性弱
   3. 最高溫與溫差為負相關，且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性強
   4. 最高溫與溫差為負相關，且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性弱
   5. 最高溫與溫差為零相關
訣竅
觀察各觀察點的溫差，並留意高溫時的溫差與低溫時的溫差有何差異。
解法
由於總共僅有$12$個資料點，因此我們將其最高溫與溫差資料粗略紀錄於下：
$\left(13,4\right),\left(17,5\right),\left(14,6\right),\left(12,9\right),\left(8,9\right),\left(9,12\right),\left(11,18\right),\left(11,21\right),\left(7,22\right),\left(7,24\right),\left(8,27\right),\left(7,27\right)$
可以從中發現當橫軸之值增加時，縱軸值會減少，故為負相關，再者新的資料點的位置似乎與直線有些偏離，故相關程度更弱一些。


6. 試問有多少個實數$x$滿足$\displaystyle\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{3\pi}{2}$且$\cos x^\circ\leq\cos x$？
   1. $0$個
   2. $1$個
   3. $2$個
   4. $4$個
   5. 無窮多個
訣竅
首先要對於記號$x^\circ$有正確的理解，隨後對於餘弦函數的取值有適當的估算以瞭解有那些可能的$x$。
解法
首先由$\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{3\pi}{2}$可知$\cos x\leq0$。另一方面，由題目條件可知$\displaystyle1.57^\circ\approx\left(\frac{\pi}{2}\right)^\circ\leq x^\circ\leq\left(\frac{3\pi}{2}\right)^\circ\approx4.71^\circ$，因此$0\ll\cos5^\circ\cos x^\circ\leq\cos1^\circ\approx1$，故不存在介於$\displaystyle\frac{\pi}{2}$與$\displaystyle\frac{3\pi}{2}$的實數$x$滿足該不等式，故選(1)。


7. 小明想要安排從星期一到星期五共五天的午餐計畫。他的餐點共有四種選擇：牛肉麵、大滷麵、咖哩飯及排骨飯。小明想要依據下列兩原則來安排他的午餐：
   （甲）每天只選一種餐點但這五天中每一種餐點至少各點一次
   （乙）連續兩天的餐點不能重複且不連續兩天吃麵食
   根據上述原則，小明這五天共有幾種不同的午餐計畫？
   1. $52$
   2. $60$
   3. $68$
   4. $76$
   5. $84$
訣竅
根據兩（甲）（乙）兩原則先行瞭解飯食與麵食的數量與排列，接著再進一步填入具體的飯食與麵食。
解法
根據原則（甲）可知這四種餐點中有且恰有一項重複，又根據原則（乙）的要求啟發我們去思考到底是重複飯食和麵食。
1. 若重複麵食，即三天麵食兩天飯食，則星期一至星期五應依序吃「麵飯麵飯麵」。由於飯有咖哩飯與排骨飯，那麼星期二與星期四選擇飯食有$2$種可能性；而麵食可以重複牛肉麵或大滷麵，故有$2$種可能性。再者，設重複的麵食為$A$，不重複的為$B$，那麼在一三五的順序可能是$AAB$、$ABA$、$BAA$，故有$3$種可能性。根據乘法原理可知若重複麵食會有$2\times2\times3=12$種不同的午餐計畫。
2. 若重複飯食，則有三天飯食而兩天麵食。根據原則（乙）提及麵食不連續兩天吃的原則，麵食可能在一三、一四、一五、二四、二五、三五等兩天。
   1. 若麵食在一三、一四、二五或三五等$4$種可能中，而飯食就在其餘三天中但連續兩天不重複，故僅需要考慮重複的飯食及其排序、兩種麵食的順序，故各有$2$種可能性，因此此類別有$4\times2\times2\times2=32$種不同的用餐計畫。
   2. 若麵食在一五兩天食用，那麼飯食在二三四的排列就必然形如$ABA$，故有$2\times2=4$種午餐計畫。
   3. 若麵食在二四兩天食用，則仿照前述的討論可知有$12$種午餐計畫
因此總計有$12+32+4+12=60$種不同的午餐計畫，應選(2)。
2. 多選題（占$30$分）
說明：第$8$題至第$13$題，每題有$5$個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得$5$分；答錯$1$個選項者，得$3$分；答錯$2$個選項者，得$1$分；答錯多於$2$個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。
8. 設$m,n$為小於或等於$4$的相異正整數且$a,b$為非零實數。已知函數$f\left(x\right)=ax^m$與函數$g\left(x\right)=bx^n$的圖形恰有$3$個相異交點，請選出可能的選項。
   1. $m,n$皆為偶數且$a,b$同號
   2. $m,n$皆為偶數且$a,b$異號
   3. $m,n$皆為奇數且$a,b$同號
   4. $m,n$皆為奇數且$a,b$異號
   5. $m,n$為一奇一偶
訣竅
兩函數之圖形恰有三個相異交點，這表明至少有三個實根，據此討論分析之。
解法
由於$m,n$相異，因此不妨假定$m>n$。$f\left(x\right)$與$g\left(x\right)$的函數圖形有三個交點表示$ax^m=bx^n$至少有三個實根。明顯的，$x=0$為一根。同除以$ax^n$後有
$\displaystyle x^{m-n}=\frac{b}{a}$
由於$m,n$為介於$1$至$4$之間的正整數，因此$1\leq m-n\leq3$。但當$m-n$為奇數時，$x$僅有一實根（非重根），與題目所述有三個相異交點不合。故必有$m-n=2$，此時$\displaystyle\frac{b}{a}$必須為正數，否則無實根，故$a,b$同號。因此應選(1)(3)。


9. 設$\Gamma$為坐標平面上的圓，點$\left(0,0\right)$在$\Gamma$的外部且點$\left(2,6\right)$在$\Gamma$的內部。請選出正確的選項。
   1. $\Gamma$的圓心不可能在第二象限
   2. $\Gamma$的圓心可能在第三象限且此時$\Gamma$的半徑必定大於$10$
   3. $\Gamma$的圓心可能在第一象限且此時$\Gamma$的半徑必定小於$10$
   4. $\Gamma$的圓心可能在$x$軸上且此時$\Gamma$的半徑必定小於$10$
   5. $\Gamma$的圓心可能在第四象限且此時$\Gamma$的半徑必定大於$10$
訣竅
按照在圓的內部與外部的定義列出不等式並分析之。
解法
設$\Gamma$的圓心為$\left(x_0,y_0\right)$且半徑為$r$，那麼按照條件有$x_0^2+y_0^2>r^2$且$\left(2-x_0\right)^2+\left(6-y_0\right)^2<r^2$。兩式結合有
$r^2<x_0^2+y_0^2<4x_0+12y_0-40$
故圓心$\left(x_0,y_0\right)$必須落在半平面$4x_0+12y_0-40>0$處。
1. 可能落在第二象限，例如取$x_0=-2$、$y_0=5$以及適當的$r$即可，本選項正確。
2. 不可能落在第三象限，因為當$x_0,y_0$皆為負時，$4x_0+12y_0-40<0$，本選項錯誤。
3. 可能在第一象限，但半徑不超過$10$。比如取$x_0=1$、$y_0=5$，$r=5$即可滿足條件，本選項錯誤。
4. 可能在$x$軸上是正確的，但當$y_0=0$時則$x_0>10$，因此本選項錯誤。
5. 當$y_0<0$時，則必有$x_0>10$，從而

   $10^2<\left(2-x_0\right)^2+\left(6-y_0\right)^2<r^2$

   此表明$r>10$，故本選項正確。
由以上分析可知應選(5)。


10. 坐標空間中有三直線$\displaystyle L_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{1}$，$L_2:\left\{\begin{aligned} &x-2y+2z=-4\\&x+y-4z=5\end{aligned}\right.$，$L_3:\left\{\begin{aligned} &x=-t\\&y=-2-t\\&z=4+4t\end{aligned}\right.$，$t$為實數。請選出正確的選項。
    1. $L_1$與$L_2$的方向向量互相垂直
    2. $L_1$與$L_3$的方向向量互相垂直
    3. 有一個平面同時包含$L_1$與$L_2$
    4. 有一個平面同時包含$L_1$與$L_3$
    5. 有一個平面同時包含$L_2$與$L_3$
訣竅
瞭解何謂空間中兩向量垂直的意義即為內積為零，、如何由給定的直線方程式（組）得到方向向量、以及瞭解如何構造空間中的平面來包含兩直線或判定出不可能存在這樣的平面。
解法
1. 首先可以知道$L_1$的方向向量為$\left(2,2,1\right)$，$L_2$的方向向量可以由兩面式中的兩個法向量計算外積求得：$\left(1,-2,2\right)\times\left(1,1,-4\right)=\left(6,6,3\right)$。因此兩者內積有$\left(2,2,1\right)\cdot\left(6,6,3\right)=27\neq0$，故不垂直，本選項錯誤。
2. 首先有$L_1$的方向向量為$\left(2,2,1\right)$，而$L_3$的方向向量為$\left(-1,-1,4\right)$。因此內積為$\left(2,2,1\right)\cdot\left(-1,-1,4\right)=0$，此表明兩方向向量垂直，本選項正確。
3. 根據(1)可知$L_1$和$L_2$的方向向量平行，因此兩直線不是重合就是平行，故有一平面同時包含兩者，本選項正確。

   註：事實上由於$L_1$通過$\left(1,-1,0\right)$但$L_2$不通過，因此兩直線平行，從而有且恰有一個平面同時包含$L_1$與$L_2$，這個平面方程式為$4x-y-6z=5$。

4. 由(2)可知兩直線的方向向量不平行，因此兩直線不是相交就是歪斜。藉由代入可以發現當$t=-1$時$L_3$直線通過$\left(1,-1,0\right)$，因此兩直線相交，故有一平面同時包含$L_1$與$L_3$，本選項正確。

   註：事實上這個平面方程式為$x-y=2$。

5. 根據(1)(2)可知$L_2$與$L_3$的方向向量不平行，因此$L_2$與$L_3$不是相交就是歪斜。將$L_3$的參數式分別代入$L_2$中的兩個平面方程式可分別解得$\displaystyle t=-\frac{16}9$、$\displaystyle t=-\frac{23}{18}$，故$L_2$與$L_3$互相歪斜，故不存在一個平面同時包含$L_2$與$L_3$，本選項錯誤。
由以上分析可知應選(2)(3)(4)。


11. 最近數學家發現一種新的可以無縫密舖平面的凸五邊形$ABCDE$，其示意圖如下。關於這五邊形，請選出正確的選項。
    
    1. $\overline{AD}=2\sqrt{2}$
    2. $\angle DAB=45^\circ$
    3. $\overline{BD}=2\sqrt{6}$
    4. $\angle ABD=45^\circ$
    5. $\Delta BCD$的面積為$2\sqrt{2}$
訣竅
將圖形按選項之意劃分為數個三角形並運用三角函數的相關定理加以推敲計算。
解法
1. 連接$\overline{AD}$，可以發現$\Delta ADE$為等腰直角三角形，因此由畢氏定理可以求得

   $\overline{AD}=\sqrt{\overline{AE}^2+\overline{DE}^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt2$

   本選項正確。
2. 承(1)可知$\angle DAE=45^\circ$，因此$\angle DAB=\angle BAE-\angle DAE=105^\circ-45^\circ=60^\circ$，本選項錯誤。
3. 連接$\overline{BD}$並且在$\Delta ABD$中使用餘弦定理可得

   $\begin{aligned}\overline{BD}=&\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{AD}^2-2\cdot\overline{AB}\cdot\overline{AD}\cos\angle BAD}\\=&\sqrt{\left(\sqrt6+\sqrt2\right)^2+\left(2\sqrt2\right)^2-2\left(\sqrt6+\sqrt2\right)\left(2\sqrt2\right)\cos60^\circ}\\=&\sqrt{8+4\sqrt3+8-4\sqrt3-4}\\=&2\sqrt3\end{aligned}$

   本選項錯誤。
4. 承(1)(2)(3)並且在$\Delta ABD$中使用正弦定理有

   $\displaystyle\frac{2\sqrt2}{\sin\angle ABD}=\frac{\overline{AD}}{\sin\angle ABD}=\frac{\overline{BD}}{\sin\angle BAD}=\frac{2\sqrt3}{\sin60^\circ}=4$

   因此有$\displaystyle\sin\angle ABD=\frac{\sqrt2}2$，故$\angle ABD=45^\circ$或$\angle ABD=135^\circ$。但由圖已知此角為銳角，故$\angle ABD=45^\circ$。本選項正確。
5. 由(3)可以注意到$\Delta BCD$之三邊長滿足畢氏定理，從而知道$\angle BCD=90^\circ$，因此$\Delta BCD$面積為$\displaystyle\frac12\times2\times2\sqrt3=2\sqrt3$，本選項錯誤。
應選(1)(2)(4)。


12. 某班級$50$位學生，段考國文、英文、數學及格的人數分別為$45$、$39$、$34$人，且英文及格的學生國文也都及格。現假設數學和英文皆及格的有$x$人，數學及格但英文不及格的有$y$人。請選出正確的選項。
    1. $x+y=39$
    2. $y\leq11$
    3. 三科中至少有一科不及格的學生有$39-x+y$人
    4. 三科中至少有一科不及格的學生最少有$11$人
    5. 三科中至少有一科不及格的學生最多有$27$人
訣竅
細心地將所有狀況劃分清楚。
解法

如附圖，其中$z$代表國文與數學皆及格但英文不及格者，從而數學及格但國文且英文不及格者為$y-z$。
1. 由於數學及格的群體可以劃分成兩個互斥的群體：「數學及格且英文及格」、「數學及格但英文不及格」，因此可知$34=x+y$。
2. 由於圖中的每一個區域中的值都代表一非負整數值，因此有這些關係：$0\leq z\leq6$，而$0\leq y-z\leq5$，故$z\leq y\leq5+z\leq11$，此選項正確。
3. 由於至少有一科不及格的相反者就是全部都及格，在圖中的位置為$x$，因此至少有一科不及格者即為$50-x$或寫為$16+y$。再者也可以注意到$39-x+y$代表的是「英文及格且數學不及格者」加上「數學及格但英文不及格者」，其中忽略了國文不及格等其他的情形。故本選項錯誤。
4. 承(2)與(3)可將符合題意的$x,y$枚舉建表如下

   $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}x&34&33&32&31&30&29&28&27&26&25&24&23\\\hline y&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\\hline\text{至少一科不及格}&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25&26&27\end{array}$

   因此至少為有$16$人而非$11$人。
5. 承上列表可知至多為$27$人，本選項正確。
故應選(2)(5)。


13. 空間中有一四面體$ABCD$。假設$\overset{\rightharpoonup}{AD}$分別與$\overset{\rightharpoonup}{AB}$和$\overset{\rightharpoonup}{AC}$垂直，請選出正確的選項。
    1. $\overset{\rightharpoonup}{DB}\cdot\overset{\rightharpoonup}{DC}=\overline{DA}^2-\overset{\rightharpoonup}{AB}\cdot\overset{\rightharpoonup}{AC}$
    2. 若$\angle BAC$是直角，則$\angle BDC$是直角
    3. 若$\angle BAC$是銳角，則$\angle BDC$是銳角
    4. 若$\angle BAC$是鈍角，則$\angle BDC$是鈍角
    5. 若$\overline{AB}<\overline{DA}$且$\overline{AC}<\overline{DA}$，則$\angle BDC$是銳角
訣竅
針對選項(1)，我們善用向量加法或減法的改寫；並且全體的選項皆應善用垂直即內積為零的概念來答題。更進一步的，內積為正（負）表示兩夾角為銳（鈍）角。
解法
1. 直接計算有

   $\begin{aligned}\overset{\rightharpoonup}{DB}\cdot\overset{\rightharpoonup}{DC}=&\left(\overset{\rightharpoonup}{DA}+\overset{\rightharpoonup}{AB}\right)\cdot\left(\overset{\rightharpoonup}{DA}+\overset{\rightharpoonup}{AC}\right)\\=&\overset{\rightharpoonup}{DA}\cdot\overset{\rightharpoonup}{DA}+\overset{\rightharpoonup}{DA}\cdot\overset{\rightharpoonup}{AC}+\overset{\rightharpoonup}{AB}\cdot\overset{\rightharpoonup}{DA}+\overset{\rightharpoonup}{AB}\cdot\overset{\rightharpoonup}{AC}\\=&\overline{AB}^2+\overset{\rightharpoonup}{AB}\cdot\overset{\rightharpoonup}{AC}\end{aligned}$

   因此本選項錯誤。
2. 若$\angle BAC$為直角，那麼$\overline{AB}$與$\overline{AC}$垂直，即$\overset{\rightharpoonup}{AB}\cdot\overset{\rightharpoonup}{AC}=0$，那麼根據前一個選項的分析可以知道

   $\overset{\rightharpoonup}{DB}\cdot\overset{\rightharpoonup}{DC}=\overline{DA}^2\neq0$

   因此$\angle BDC$不為直角。本選項錯誤。
3. 若$\angle BAC$為銳角，那麼可知$\overset{\rightharpoonup}{AB}\cdot\overset{\rightharpoonup}{AC}>0$，那麼根據選項(1)的分析可以知道

   $\overset{\rightharpoonup}{DB}\cdot\overset{\rightharpoonup}{DC}=\overline{DA}^2+\overset{\rightharpoonup}{AB}\cdot\overset{\rightharpoonup}{AC}>\overline{DA}^2>0$

   因此$\angle BDC$也是銳角，本選項正確。
4. 不一定。由選項(1)與選項(3)的分析可以知道：「雖然$\overset{\rightharpoonup}{AB}\cdot\overset{\rightharpoonup}{AC}<0$，但不見得有$\overset{\rightharpoonup}{DB}\cdot\overset{\rightharpoonup}{DC}<0$」。因此本選項不正確。
5. 若$\overline{AB}<\overline{DA}$且$\overline{AC}<\overline{DA}$，那麼兩者相乘可知

   $\overline{DA}^2>\overline{AB}\cdot\overline{AC}\geq-\overset{\rightharpoonup}{AB}\cdot\overset{\rightharpoonup}{AC}$

   移項後可推出

   $\overset{\rightharpoonup}{DB}\cdot\overset{\rightharpoonup}{DC}>0$

   因此$\angle BDC$為銳角，本選項正確。
應選(3)(5)。

第貳部分：選填題（占$45$分）

說明：

1. 第$A$至$G$題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（14–34）。
2. 每題完全答對給$5$分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

1. 遞迴數列$\left\langle a_n\right\rangle$滿足$a_n=a_{n-1}+f(n-2)$，其中$n\geq2$且$f\left(x\right)$為二次多項式。若$a_1=1,~a_2=2,~a_3=5,~a_4=12$，則$a_5=$ ⑭⑮ 。
訣竅
按題設表達$f$，並利用已知的遞迴關係以及數列的前四項求出$f$的係數，隨後求出$a_5$。
解法
設$f\left(x\right)=ax^2+bx+c$，那麼對遞迴關係式取$n=2,3,4$有
$\left\{\begin{aligned} &2=a_2=a_1+f\left(0\right)=1+c\\&5=a_3=a_2+f\left(1\right)=2+a+b+c\\&12=a_4=a_3+f\left(2\right)=5+4a+2b+c\end{aligned}\right.$
如此可依序解得$c=1$、$\left(a,b\right)=\left(1,1\right)$，因此$f\left(x\right)=x^2+x+1$。從而有
$a_5=a_4+f\left(3\right)=12+3^2+3+1=25$
因此填入$⑭=2$、$⑮=5$。


2. 在坐標平面上，$\Delta ABC$內有一點$P$滿足$\displaystyle\overset{\rightharpoonup}{AP}=\left(\frac43,\frac56\right)$及$\displaystyle\overset{\rightharpoonup}{AP}=\frac12\overset{\rightharpoonup}{AB}+\frac15\overset{\rightharpoonup}{AC}$。若$A,P$連線交$\overline{BC}$於$M$，則$\displaystyle\overset{\rightharpoonup}{AM}=\left(\underline{\frac{⑯⑰}{⑱⑲}},\underline{\frac{⑳㉑}{㉒㉓}}\right)$。（化成最簡分數）
訣竅
由於$AP$延長可交$\overline{BC}$於$M$，因此伸縮向量$\overset{\rightharpoonup}{AP}$後使用分點公式可確定出伸縮之倍數。
解法
由於$A,P,M$三點共線，因此存在實數$t$使得$\overset{\rightharpoonup}{AM}=t\overset{\rightharpoonup}{AP}$。從而有
$\displaystyle\overset{\rightharpoonup}{AM}=\frac{t}{2}\overset{\rightharpoonup}{AB}+\frac{t}{5}\overset{\rightharpoonup}{AC}$
又因$B,M,C$三點共線，因此$\displaystyle\frac{t}{2}+\frac{t}{2}=1$，故得$\displaystyle t=\frac{10}{7}$。至此有
$\displaystyle\overset{\rightharpoonup}{AM}=\frac{10}{7}\overset{\rightharpoonup}{AP}=\frac{10}{7}\left(\frac43,\frac56\right)=\left(\frac{40}{21},\frac{25}{21}\right)$
故填入$⑯=4$、$⑰=0$、$⑱=2$、$⑲=1$、$⑳=2$、$㉑=5$、$㉒=2$、$㉓=1$。


3. 若$a$為正整數且方程式$5x^3+\left(a+4\right)x^2+ax+1=0$的根都是有理根，則$a=\underline{㉔}$。
訣竅
利用牛頓一次因式檢驗法找出可能的有理根，接著逐一檢驗即可。
解法
根據牛頓一次因式檢驗法可知可能的有理根為$\displaystyle\pm1,\pm\frac15$，但由於該方程式的係數皆為正整數，故不存在正根，因此可能的有理根為$-1$或$\displaystyle-\frac15$，但代入$x=-1$有$-5+\left(a+4\right)-a+1=0$，因此有因式$x+1$，因此可以分解得方程式$\left(x+1\right)\left(5x^2+\left(a-1\right)x+1\right)=0$，同樣地後者的有理根是$-1$或$\displaystyle-\frac15$。
• 若$5x^2+\left(a-1\right)x+1=0$的其中一個有理根為$-1$，那麼代入有$5-a+1+1=0$，從而$a=7$。檢驗可知$5x^2+6x+1=0$的兩根分別為$\displaystyle-\frac15,-1$合於題意。
• 若$5x^2+\left(a-1\right)x+1$的其中一個有理根為$\displaystyle-\frac15$，同樣的可以求得$a=7$，檢驗得兩根分別為$-1$與$\displaystyle-\frac15$。
因此$a=7$。填入$㉔=7$。


4. 設$a_1,a_2,\ldots,a_9$為等差數列且$k$為實數。若方程組$\left\{\begin{aligned} &a_1x-a_2y+2a_3z=k+1\\&a_4x-a_5y+2a_6z=-k-5\\&a_7x-a_8y+2a_9z=k+9\end{aligned}\right.$有解，則$k=\underline{㉕㉖}$。
訣竅
由於$a_1,\cdots,a_9$為等差數列代表$a_1,a_4,a_7$、$a_2,a_5,a_8$、$a_3,a_6,a_9$分別為等差數列，據此使用等差中項的觀念來處理。
解法
將第一式與第三式相加後減去第二式的兩倍可得
$0=\left(k+1\right)+\left(k+9\right)-2\left(-k-5\right)$
亦即$4k+20=0$，因此有$k=-5$。故填入$㉕=-$、$㉖=5$。


5. 設$a,b,x$皆為正整數且滿足$a\leq x\leq b$及$b-a=3$。若用內插法從$\log a,\log b$求得$\log x$的近似值為

   $\displaystyle\log x\approx\frac13\log a+\frac23\log b=\frac13\left(1+2\log3-\log2\right)+\frac23\left(4\log2+\log3\right)$，

   則$x$的值為$\underline{㉗㉘}$。
訣竅
根據題目給予的提示求出$a$與$b$的值，然後根據內插法的意義獲得$x$。
解法
按題意可以猜出
$\displaystyle a=1+2\log3-\log2=\log10+\log9-\log2=\log45,\quad b=4\log2+\log3=\log16+\log3=\log48$
因此有$a=45$與$b=48$，這符合題意中的敘述。此時有
$\displaystyle \log x=\frac13\log45+\frac23\log48$
那麼按內插法的意義可知$\displaystyle x=\frac13\cdot45+\frac23\cdot48=47$。故填入$㉗=4$、$㉘=7$。


6. 一隻青蛙位於坐標平面的原點，每步隨機朝上、下、左、右跳一單位長，總共跳了四步。青蛙跳了四步後恰回到原點的機率為$\displaystyle\underline{\frac{㉙}{㉚㉛}}$。（化成最簡分數）
訣竅
分別計算所有跳躍方式的方法數以及可以跳回原點的方法數即可。
解法
所有跳躍的方法數有$4^4=256$種。而跳躍的過程中必定有互補者，亦即有左就有右，有上就有下，如此↑↑↓↓或↑↓→←或→→←←等形式，分別有$C_2^4=6$種、$4!=24$種、$C_2^4=6$種，共計$36$種。因此跳回原點的機率為$\displaystyle\frac{36}{256}=\frac{9}{64}$，填入$㉙=9$、$㉚=6$、$㉛=4$。


7. 地面上甲、乙兩人從同一地點同時開始移動。甲以每秒$4$公尺向東等速移動，乙以每秒$3$公尺向北等速移動。在移動不久之後，他們互望的視線被一圓柱體建築物阻擋了$6$秒後才又相見。此圓柱體建築物底圓的直徑為$\underline{㉜㉝.㉞}$公尺。
訣竅
按照題目設定出兩人隨時間移動的座標，並瞭解被遮住視線與重新相見意味著兩人位置所形成的直線與圓相切，進而表示兩直線的距離即為圓柱底圓的直徑。
解法

按題設可知時刻$t$秒時甲的位置為$\left(4t,0\right)$而乙的位置為$\left(0,3t\right)$。假定在時刻$t_0$時被圓柱體建築擋住視線而在$t_0+6$秒時才又相見，那麼此段時間可以知道甲移動了$24$公尺而乙移動了$18$公尺。那麼分別連接並延長$\left(4t_0,0\right),\left(0,3t_0\right)$與$\left(4t_0+24,0\right),\left(0,3t_0+18\right)$可知兩直線與圓相切，而圓柱的直徑即為兩直線的距離。

可以計算知道兩直線分別為$3x+4y=12t_0$與$3x+4y=12t_0+72$，因此兩平線的距離為

$\displaystyle\frac{\left|\left(12t_0+72\right)-12t_0\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{72}{5}=14.4$

因此填入$㉜=1$、$㉝=4$、$㉞=4$。

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參考公式及可能用到的數值

1. 首項為$a$，公差為$d$的等差數列前$n$項之和為$\displaystyle S=\frac{n\left(2a+\left(n-1\right)d\right)}{2}$
   首項為$a$，公比為$r$($r\neq1$)的等比數列前$n$項之和為$\displaystyle S=\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}$
2. 三角函數的和角公式：$\sin\left(A+B\right)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$
   　　　　　　　　　　$\cos\left(A+B\right)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$
   　　　　　　　　　　$\displaystyle\tan\left(A+B\right)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$
3. $\Delta ABC$的正弦定理：$\displaystyle\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$（$R$為$\Delta ABC$外接圓半徑）
   $\Delta ABC$的餘弦定理：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$
4. 一維數據$X:x_1,x_2,\ldots,x_n$，算術平均數$\displaystyle\mu_X=\frac{1}{n}\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$
   標準差$\displaystyle\sigma_X=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left(x_i-\mu_X\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{n}((\sum_{i=1}^{n}x_i^2)-n\mu_X^2)}$
5. 二維數據$(X,Y):(x_1,y_1),(x_2,y_2),\ldots,(x_n,y_n)$，相關係數$\displaystyle r_{X,Y}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i-\mu_X\right)\left(y_i-\mu_Y\right)}{n\sigma_X\sigma_Y}$
   迴歸直線（最適合直線）方程式$\displaystyle y-\mu_Y=r_{X,Y}\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\left(x-\mu_X\right)$
6. 參考數值：$\sqrt{2}\approx1.414,~\sqrt{3}\approx1.732,~\sqrt{5}\approx2.236,~\sqrt{6}\approx2.449,~\pi\approx3.142$
7. 對數值：$\log_{10}2\approx0.3010$，$\log_{10}3\approx0.4771$，$\log_{10}5\approx0.6990$，$\log_{10}7\approx0.8451$
8. 角錐體積$\displaystyle=\frac13$底面積$\times$高