國立臺灣大學九十五學年度研究所碩士班入學考試試題：微積分

※注意：請於試卷上依序作答，並應註明作答之大題及其題號。

1. 填充題：每格 $8$ 分。
1. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{-\frac{x^2}2}-\cos x}{x^4}=$　　　。
訣竅
使用羅必達法則計算即可；亦可使用泰勒展開式求解。
解法一

使用羅必達法則可得

$\displaystyle\begin{aligned}\lim_{x\to0}\frac{e^{-\frac{x^2}2}-\cos x}{x^4}&=\lim_{x\to0}\frac{-xe^{-\frac{x^2}2}+\sin x}{4x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\left(x^2-1\right)e^{-\frac{x^2}2}+\cos x}{12x^2}\\&=\lim_{x\to0}\frac{\left(3x-x^3\right)e^{-\frac{x^2}2}-\sin x}{24x}=\lim_{x\to0}\frac{\left(3-6x^2+x^4\right)e^{-\frac{x^2}2}-\cos x}{24}=\frac1{12}\end{aligned}$

解法二

使用泰勒展開式至四次可知

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{-\frac{x^2}2}-\cos x}{x^4}=\lim_{x\to0}\frac{\displaystyle\left(1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}8-\cdots\right)-\left(1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}-\cdots\right)}{x^4}=\lim_{x\to0}\frac{\displaystyle\frac{x^4}{12}+\cdots}{x^4}=\frac1{12}$



2. $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{4x^2+5x+2}+2x\right)=$　　　。
訣竅
有理化後整理計算即可。
解法

整理計算可知

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{4x^2+5x+2}+2x\right)=\lim_{x\to-\infty}\frac{5x+2}{\sqrt{4x^2+5x+2}-2x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{\displaystyle5+\frac2x}{\displaystyle-\sqrt{4+\frac5x+\frac2{x^2}}-2}=-\frac54$



3. $f\left(x\right)=e^x+\ln x$，$g\left(x\right)$ 為其反函數，則 $g'\left(e\right)=$　　　。
訣竅
運用反函數的定義與連鎖律計算即可。
解法
由反函數的定義有 $g\left(f\left(x\right)\right)=x$，求導可得
$g'\left(f\left(x\right)\right)f'\left(x\right)=1$
由於 $f\left(1\right)=e$，因此取 $x=1$ 可得
$\displaystyle g'\left(e\right)=\frac1{f'\left(1\right)}$
另一方面有 $\displaystyle f'\left(x\right)=e^x+\frac1x$，因此 $f'\left(1\right)=e+1$，因此所求為 $\displaystyle g'\left(e\right)=\frac1{1+e}$。


4. 設 $f\left(x\right)=3x+\left|x\right|$，$\displaystyle g\left(x\right)=\frac34x-\frac14\left|x\right|$。問 $\left(f\circ g\right)'\left(0\right)=$　　　。
訣竅
正確表達合成函數後按定義計算。
解法
設 $h=f\circ g$，那麼
$\displaystyle h\left(x\right)=\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)=\frac94x-\frac34\left|x\right|+\left|\frac34x-\frac14\left|x\right|\right|$
那麼計算在原點處的左右導數可知
$\displaystyle\begin{aligned}&\lim_{s\to0^+}\frac{h\left(s\right)-h\left(0\right)}{s}=\lim_{s\to0^+}\frac{\displaystyle\frac94s-\frac34s+\left(\frac34s-\frac14s\right)}s=2\\&\lim_{s\to0^-}\frac{h\left(s\right)-h\left(0\right)}s=\lim_{s\to0^-}\frac{\displaystyle\frac94s+\frac34s-\left(\frac34s+\frac14s\right)}s=2\end{aligned}$
因此 $\left(f\circ g\right)'\left(0\right)=h'\left(0\right)=2$。


5. 暑假裡，慧倫批了一些項鍊去賣。去年的經驗是，若一個項鍊賣 $100$ 元，她平均一天可賣出 $20$ 條。若把售價提高 $10$ 元，則平均一天可賣出 $18$ 條。假設售價是每日售出量的線性函數，且每條項鍊的成本是 $60$ 元。問他應將售價定為　　　元可獲得最大利潤　　　元。
訣竅
依據題意設定變量並表達出利潤函數，隨後利用微分或配方法求出極值。
解法

設 $x$ 表示售價，那麼按其設定可知售出數量為 $Q(x)=220-2x$，考慮其成本可知利潤函數為

$P\left(x\right)=\left(x-60\right)\left(220-2x\right)=-2x^2+340x-13200$

【方法一】利用微分求極值：解方程式 $P'\left(x\right)=-4x+340=0$，如此有 $x=85$，故將售價定為 $85$ 元，此時最大利潤為 $1250$ 元。

【方法二】：利用配方法求極值：將 $P$ 改寫如下

$P\left(x\right)=-2\left(x-85\right)^2+1250\leq1250$

當 $x=85$ 時可使利潤函數達到最大值 $1250$ 元。



6. $\displaystyle\int_0^1x^2\left(\ln x\right)^2dx=$　　　。
訣竅
連續使用數次分部積分法求解即可。
解法

使用分部積分法計算如下

$\displaystyle\begin{aligned}\int_0^1x^2\left(\ln x\right)^2dx&=\frac13\int_0^1\left(\ln x\right)^2dx^3=\left.\frac{x^3\left(\ln x\right)^2}3\right|_0^1-\frac13\int_0^1x^3\cdot2\ln x\cdot\frac1xdx\\&=-\frac23\int_0^1x^2\ln xdx=-\frac29\int_0^1\ln xdx^3=\left.-\frac{2x^3\ln x}9\right|_0^1+\frac29\int_0^1x^3\cdot\frac1xdx\\&=\frac29\int_0^1x^2dx=\frac2{27}\end{aligned}$



7. $\Omega:$ 第一象限內由 $x^2+y^2=4$, $x^2+y^2=9$, $x^2-y^2=1$, $x^2-y^2=4$ 所圍成的區域。問 $\displaystyle\iint_{\Omega}xydxdy=$　　　。
訣竅
運用變數變換處理之；亦可表達出適當的積分範圍直接計算即可。
解法一

令 $\left\{\begin{aligned}&u=x^2+y^2\\&v=x^2-y^2\end{aligned}\right.$，因此其積分範圍為 $\left\{\begin{aligned}&4\leq u\leq9\\&1\leq v\leq4\end{aligned}\right.$。再者容易注意到 $2x^2=u+v$，$2y^2=u-v$，兩者相乘 $4x^2y^2=u^2-v^2$，即 $\displaystyle xy=\frac{\sqrt{u^2-v^2}}2$。另一方面計算 Jacobian 行列式有

$\displaystyle\left|\frac{\partial\left(x,y\right)}{\partial\left(u,v\right)}\right|=\Bigg|\left|\begin{matrix}\displaystyle\frac{\partial x}{\partial u}&\displaystyle\frac{\partial x}{\partial v}\\\displaystyle\frac{\partial y}{\partial u}&\displaystyle\frac{\partial y}{\partial v}\end{matrix}\right|\Bigg|=\Bigg|\left|\begin{matrix}\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}&\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}\\\displaystyle\frac{\partial v}{\partial x}&\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}\end{matrix}\right|^{-1}\Bigg|=\Big|\left|\begin{matrix}2x&2y\\2x&-2y\end{matrix}\right|^{-1}\Big|=\left|-\frac1{8xy}\right|=\frac1{4\sqrt{u^2-v^2}}$

如此所求的重積分可改寫並計算如下

$\displaystyle\iint_{\Omega}xydxdy=\int_1^4\int_4^9\frac{\sqrt{u^2-v^2}}2\cdot\frac1{4\sqrt{u^2-v^2}}dudv=\frac18\int_1^4\int_4^9dudv=\frac{15}8$

解法二

圓方程式與雙曲線兩兩解交點可得 $\displaystyle\left(\frac{\sqrt{10}}2,\frac{\sqrt6}2\right)$、$\left(2,0\right)$、$\left(\sqrt5,2\right)$ 以及 $\displaystyle\left(\frac{\sqrt{26}}2,\frac{\sqrt{10}}2\right)$。如此所求的重積分可以表達為

$\displaystyle\begin{aligned}\iint_{\Omega}xydxdy&=\int_{\frac{\sqrt{10}}2}^2\int_{\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{x^2-1}}xydydx+\int_2^{\sqrt5}\int_{\sqrt{x^2-4}}^{\sqrt{x^2-1}}xydydx+\int_{\sqrt5}^{\frac{\sqrt{26}}2}\int_{\sqrt{x^2-4}}^{\sqrt{9-x^2}}xydydx\\&=\int_{\frac{\sqrt{10}}2}^2\left.\frac{xy^2}2\right|_{\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{x^2-1}}dx+\int_2^{\sqrt5}\left.\frac{xy^2}2\right|_{\sqrt{x^2-4}}^{\sqrt{x^2-1}}dx+\int_{\sqrt5}^{\frac{\sqrt{26}}2}\left.\frac{xy^2}2\right|_{\sqrt{x^2-4}}^{\sqrt{9-x^2}}dx\\&=\int_{\frac{\sqrt{10}}2}^2\frac{2x^3-5x}2dx+\int_2^{\sqrt5}\frac{3x}2dx+\int_{\sqrt5}^{\frac{\sqrt{26}}2}\frac{13x-2x^3}2dx\\&=\left.\frac{x^4-5x^2}4\right|_{\frac{\sqrt{10}}2}^2+\left.\frac{3x^2}4\right|_2^{\sqrt5}+\left.\frac{13x^2-x^4}4\right|_{\sqrt5}^{\frac{\sqrt{26}}2}\\&=\left(-1+\frac{25}{16}\right)+\left(\frac{15}4-3\right)+\left(\frac{169}{16}-10\right)\\&=\frac{15}8\end{aligned}$



8. $x=e^{2y}$, $x=e^{-y}$ 和 $x=4$ 所圍區域的面積為　　　。
訣竅
將三條曲線繪出即可看出所圍成的區域，如此可以使用定積分表達出該面積。
解法

首先將兩條曲線表達為 $\displaystyle y=\frac12\ln x$、$y=-\ln x$，且易知兩者交於 $\left(1,0\right)$，因此所求的面積為

$\displaystyle A=\int_1^4\left[\frac12\ln x-\left(-\ln x\right)\right]dx=\frac32\int_1^4\ln xdx=\left.\frac32\left(x\ln x-x\right)\right|_1^4=12\ln2-6$

2. 計算題，共二題， $28$ 分。（要有計算過程才予計分）。
1. $\displaystyle f\left(x,y\right)=\frac{-2x}{x^2+y^2+1}$，$R=\left\{\left(x,y\right)|0\leq x\leq2,-x\leq y\leq x\right\}$，求 $f\left(x,y\right)$ 在 $R$ 上的所有臨界點和 $f\left(x,y\right)$ 的最大和最小值。
訣竅
分別在內部與三條邊界上求其最大值與最小值即可。
解法
先在 $R$ 內部求極值，為此我們解聯立方程組
$\left\{\begin{aligned}&\displaystyle f_x\left(x,y\right)=\frac{2x^2-2y^2-2}{\left(x^2+y^2+1\right)^2}=0\\&f_y\left(x,y\right)=\frac{4xy}{\left(x^2+y^2+1\right)^2}=0\end{aligned}\right.$
由第二式可知 $x=0$ 或 $y=0$，容易發現此皆為邊界點，故不在內部達到極值。而邊界可表達為下列的聯集
$\partial D=L_1\cup L_2\cup L_3$
其中
$\begin{aligned}&L_1=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2:~x=2,~-2\leq y\leq2\right\}\\&L_2=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2:~0\leq x=y\leq2\right\}\\&L_3=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2:~0\leq x=-y\leq2\right\}\end{aligned}$
那麼
• $f$ 在 $L_1$ 上為 $\displaystyle f\left(2,y\right)=-\frac4{y^2+5}$，此時最大值為 $\displaystyle-\frac49$、最小值為 $\displaystyle-\frac45$；
• $f$ 在 $L_2$ 上為 $\displaystyle f\left(x,x\right)=-\frac{2x}{1+2x^2}$，容易知道最大值為 $0$。而為了找出最小值，我們解方程式

  $\displaystyle\frac{d}{dx}f\left(x,x\right)=-\frac2{1+2x^2}+\frac{8x^2}{\left(1+2x^2\right)^2}=\frac{4x^2-2}{\left(1+2x^2\right)^2}=0$

  因此 $\displaystyle x=\frac{\sqrt2}2$。
• $f$ 在 $L_3$ 上為 $f\left(x,-x\right)=\frac{2x}{1+2x^2}$，討論同上。
因此所有候選點有
$\displaystyle\left(0,0\right),~\left(\frac{\sqrt2}2,\frac{\sqrt2}2\right),~\left(\frac{\sqrt2}2,-\frac{\sqrt2}2\right),~\left(2,2\right),~\left(2,-2\right)$
如此直接各點檢驗有
$\displaystyle f\left(0,0\right)=0,~f\left(\frac{\sqrt2}2,\pm\frac{\sqrt2}2\right)=-\frac{\sqrt2}2,~f\left(2,\pm2\right)=-\frac49$
因此最大值為 $0$，最小值為 $\displaystyle-\frac{\sqrt2}2$。


2. 求 $\displaystyle\iint_A\left(3x+2y\right)\left(2y-x\right)^{\frac32}dA$，此處 $A$ 為由 $\left(0,0\right),\left(-2,3\right),\left(2,5\right),$ 和 $\left(4,2\right)$ 所圍成的四邊形。
訣竅
由積分區域與被積分函數可以很自然地觀察到適當的變數變換。
解法

由四邊形之端點可以注意到

$A=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2:~0\leq3x+2y\leq16,~0\leq2y-x\leq8\right\}$

令 $\left\{\begin{aligned}&u=3x+2y\\&v=2y-x\end{aligned}\right.$，那麼積分便為 $\left\{\begin{aligned}&0\leq u\leq16\\&0\leq v\leq8\end{aligned}\right.$。而對應的 Jacobian 行列式

$\displaystyle\frac{\partial\left(x,y\right)}{\partial\left(u,v\right)}=\left|\begin{matrix}\displaystyle\frac{\partial x}{\partial u}&\displaystyle\frac{\partial x}{\partial v}\\\displaystyle\frac{\partial y}{\partial u}&\displaystyle\frac{\partial y}{\partial v}\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}&\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}\\\displaystyle\frac{\partial v}{\partial x}&\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}\end{matrix}\right|^{-1}=\left|\begin{matrix}3&2\\-1&2\end{matrix}\right|^{-1}=\frac18$

因此所求的重積分可改寫並計算如下

$\displaystyle\begin{aligned}\iint_A\left(3x+2y\right)\left(2y-x\right)^{\frac32}dA&=\int_0^8\int_0^{16}uv^{\frac32}\cdot\frac18dudv\\&=\frac18\left(\int_0^{16}udu\right)\left(\int_0^8v^{\frac32}dv\right)=\frac18\cdot\left.\frac{u^2}2\right|_0^{16}\cdot\left.\frac25v^{\frac52}\right|_0^8=\frac{4096\sqrt2}5\end{aligned}$