- (7%)
Prove that if p>1 and x>0, xp−1≥p(x−1). - (7%)
Find the point of the hyperbola y2−x22=1 that is nearest to (x,y)=(0,3), where the distance between a point (a,b) and the origin (0,0) is defined as √a2+b2 in the 2-dimensional Euclidean space. - (7%)
Let h(t)=712t3+t+1, g(t)=t3−2t2+3t, and f(t)=(t−5)+loget, where loge denotes the natural logarithm. Evaluate the second derivative of f(g(h(x))) at x=0. - (9%; 3% each)
Prove or disprove that the limit of each of the following functions exists when x approaches to zero, i.e., limx→0f(x).
4-af(x)=1x, x∈[−1,1]
4-bf(x)={1if =0x2otherwise, x∈[−1,1]
4-cf(x)=the integer part of (1+x), x∈[−1,1]
- (10%)
Suppose that λ>0, please solvelimλ→0λ∫λλ2cos(x)x3/2dx.
[Hint] Application of the mean value theorem of the integral calculus: If f(x) and g(x) are continuous functions in a≤x≤b and g(x)≥0, then ∫baf(x)g(x)dx=f(ξ)∫bag(x)dx, where a≤ξ≤b. - (10%)
If limx→a2x2+bx+3b2x−2a=8, then (a,b)=? - 若 a=6 且 b=−8,那麼給定的極限寫為
limx→62x2−8x−242x−12=limx→62(x−6)(x+2)2(x−6)=8
成立 - 若 a=−4 且 b=32,那麼給定的極限寫為
limx→−42x2+32x+962x+8=limx→−42(x+4)(x+12)2(x+4)=8
成立。 - (10%)
If the inverse function of f(x) is f−1(x)=∫√x2πet(sin(1t)+t2cos(1t)t2)dt, then f′[f−1(16π2)]=? - (10%)
Calculate ∫∞0e−12x2xsin(2x)dx=?
[Hint]: (1) ∫∞−∞e−x2dx=√π; (2) Let F(ξ)=∫∞0e−12x2cos(ξx)dx and consider F′(ξ). - (10%)
Let Sn=1√n(1+1√2+1√3+⋯+1√n). Then find limn→∞Sn=? - (10%)
Consider the plot of the function, f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e, as follows. Please determine the signs of a,b,c,d,e. - (10%)
Suppose that the distance between two places A and B is 39 kilometers, and the distance of B to the road ¯AE is 15 kilometers (see figure below). Now we want to construct a straight railway ¯BC from B to a point C on the road ¯AE in order to transport goods from A to B. Assume that the cost of transportation per kilometer on the railway is twice as much as the cost on the road. Please determine the optimal distance between A and C, which realizes the minimal cost!
訣竅
運用函數的單調性來證明不等式。解法
設 f(x)=xp−1−p(x−1),那麼求導可知f′(x)=pxp−1−p=p(xp−1−1)
可以看出當 x∈(0,1) 時有 f′(x)<0,而當 x∈(1,∞) 時有 f′(x)>0,故 f 在 x=1 處達到最小值,因此 f(x)≥f(1)=0,即有xp−1−p(x−1)≥0
移項便完成證明。訣竅
考慮距離函數後應用基本的配方法即可求解。解法
考慮 (x,y) 與 (0,3) 的距離函數為d(x,y)=√(x−0)2+(y−3)2=√x2+(y−3)2
由於 (x,y) 落於雙曲線 y2−x22=1 上,故距離函數 d 可改寫如下d(x,y)=√x2+(y−3)2=√(2y2−2)+(y2−6y+9)=√3y2−6y+7=√3(y−1)2+4≥√4=2
故最近的距離為 2,而等號成立條件為 y=1、x=0。訣竅
由連鎖律細心計算之。解法
先對題目給定的函數求導有h′(t)=74t2+1,g′(t)=3t2−4t+3,f′(t)=1+1t
而其二階導函數則為h″(t)=72t,g″(t)=6t−4,f″(t)=−1t2
設 k(x)=f(g(h(x))),那麼由連鎖律可知k′(x)=f′(g(h(x)))g′(h(x))h′(x)
進一步地,再利用連鎖律求導則有k″(x)=f″(g(h(x)))[g′(h(x))h′(x)]2+f′(g(h(x)))g″(h(x))[h′(x)]2+f′(g(h(x)))g′(h(x))h″(x)
取 x=0 有k″(0)=f″(g(h(0)))[g′(h(0))h′(0)]2+f′(g(h(0)))g″(h(0))[h′(0)]2+f′(g(h(0)))g′(h(0))h″(0)=f″(g(1))[g′(1)⋅1]2+f′(g(1))g″(1)⋅12+f′(g(1))g′(1)⋅0=f″(2)⋅22+f′(2)⋅2=−1+3=2
訣竅
利用嚴格的 ε−δ 語言去說明函數的發散與收斂。解法
4-a. 給定正實數 M>0,由阿基米得原理可取出實數 0<x<1M,如此有
0<x<min{1M,1} ⟹ f(x)>M
此即 limx→0+f(x)=∞。類似地,我們有 limx→0−f(x)=−∞。故極限 limx→0f(x) 不存在。4-b. 給定正實數 ε>0,我們取 δ=min{√ε,1},那麼
0<x<δ ⟹ |f(x)−0|=x2<δ2=ε
因此極限 limx→0f(x)=0。4-3. 當 x∈[0,1)時 f(x)=1,而當 x∈[−1,0) 時 f(x)=0,從而有
limx→0+f(x)=1,limx→0−f(x)=0
由於左右極限不相同,故極限 limx→0f(x) 不存在。訣竅
按提示使用積分均值定理,其中我們在使用時特別留意到餘弦函數的有界性。最後搭配夾擠定理求出其極限。解法
由積分均值定理可知∫λλ2cos(x)x3/2dx=cos(ξλ)∫λλ2dxx3/2=2(λ−1−λ−1/2)cos(ξλ)
其中 ξλ∈(λ2,λ) 為與 λ 有關的常數。那麼當 λ 趨於零時由夾擠可知 limλ→0ξλ=0。故所求的極限有limλ→0λ∫λλ2cos(x)x3/2dx=limλ→0(2−2√λ)cos(ξλ)=(2−2⋅0)cos(0)=2
訣竅
使用極限的四則運算性質求解。解法
由四則運算性質可知2a2+ab+3b=limx→a(2x2+bx+3b)=limx→a[2x2+bx+3b2x−2a⋅(2x−2a)]=8⋅0=0
因此有 3b=−2a2−ab。據此題目中給定的極限可寫為8=limx→a2x2+bx+3b2x−2a=limx→a2x2+bx−2a2−ab2x−2a=limx→a(x+a+b2)
因此有 2a+b2=8,即 4a+b=16。由 b=16−4a 代入 2a2+ab+3b=0 有2a2+a(16−4a)+3(16−4a)=0
即 a2−2a−24=0,可解得 a=6 或 a=−4,從而有 b=−8 或 b=32。檢驗如下
訣竅
運用反函數的定義、連鎖律與微積分基本定理求解。解法
由反函數的定義可知 f(f−1(x))=x,使用連鎖律求導有f′[f−1(x)](f−1)′(x)=1
再者由微積分基本定理可知(f−1)′(x)=e√x⋅sin(1√x)+√x2cos(1√x)√x2⋅12√x=e√xsin(1√x)+xcos(1√x)2x3/2
現取 x=16π2,那麼有f′[f−1(16π2)]=1(f−1)′(16/π2)=2(16π2)3/2e√16/π2(sin(1√16/π2)+16π2cos(1√16/π2))=128π3e4/π(sinπ4+16π2cosπ4)=128√2e4/ππ(π2+16)
訣竅
按題目所給定的提示組織使用,特別是關於第二點求導後使用分部積分法獲得微分方程並求解,而第一點提示則可用於初值條件的確定。解法
按題意的提示求導有F′(ξ)=ddξ∫∞0e−12x2cos(ξx)dx=−∫∞0e−12x2xsin(ξx)dx
接著運用分部積分法改寫上式可得−∫∞0e−12x2xsin(ξx)dx=∫∞0sin(ξx)de−12x2=e−12x2sin(ξx)|∞0−ξ∫∞0e−12x2cos(ξx)dx=−ξF(ξ)
至此有 F′(ξ)=−ξF(ξ)。兩邊同乘以 eξ2/2 可知ddξ(eξ2/2F(ξ))=0
故 eξ2/2F(ξ)=F(0)。另一方面 F(0)=∫∞0e−12x2dx 可令變數便換 u=x√2,如此有F(0)=∫∞0e−u2⋅√2du=√22∫∞−∞e−u2du=√2π2
故得F(ξ)=√2π2e−ξ2/2
而所求便為∫∞0e−12x2xsin(2x)dx=−F′(2)=√2π2⋅−ξe−ξ2/2|ξ=2=−√2πe−2
訣竅
將其視為黎曼和,故其極限之值可由積分計算之。解法
首先可將 Sn 表達如下Sn=1√n(1+1√2+1√3+⋯+1√n)=1n(1√1/n+⋯+1√n/n)
故可視之為 f=1√x 在 (0,1] 上作 n 等分後的和,故其極限逼近於瑕積分 ∫10dx√x=2√x|10=2。【註】 事實上本題直接將黎曼和取極限得積分是有瑕疵的,因為該積分實際上為瑕積分並非定積分!藉由積分審歛法的思維,我們可以注意到這樣的不等式
1n(1√2/n+⋯+1√n/n)<∫11ndx√x<1n(1√1/n+⋯+1√(n−1)/n)
因此有2−2√n+1n<Sn<1√n+∫11ndx√x=2−1√n
由夾擠定理可知 limn→∞Sn=2。訣竅
仔細推敲函數的行為可以確認各係數的符號,其中利用到單調性與凹向性等技術求出低次項的係數;而對於高次項係數則藉由整體開口與根與係數關係求解。解法
首先由函數的開口向上,可以確認 a>0。而由 y=f(x) 與 y 軸的負向相交則知 e<0。
由於圖形 y=f(x) 在與 y 軸相交處的切線斜率為正,故 d=f′(0)>0。再者此處的凹性朝上,故 2c=f″(0)>0。
最後,由於 f′ 為三次多項式,故至多有三個根。由圖形中可容易看出有三處局部極值的位置便為 f′(x)=0 的根(兩正一負)。又留意到此時 f′(x)=4ax3+3bx2+2cx+d,故按根與係數關係有三根和為 −3b4a>0,但因 a>0,故 b<0。
結論:a、c、d 為正數,b、e 為負數。訣竅
按照題目的要求進行適當的假設列式,隨後使用微分求其極值。解法
設 B 到 ¯AE 最近的點為 D,那麼由畢氏定理可知 ¯AD=√¯AB2−¯BD2=√392−152=36 公里。設 ¯AC=x 公里,那麼 ¯CD=36−x 公里,從而有 ¯BC=√152+(36−x)2 公里。
若在一般道路的運輸費用為每公里 C 元,而在鐵路上則為每公里 2C 元,故總成本可表達為 x 的函數如下T(x)=Cx+2C√225+(36−x)2,(0≤x≤36)
為了求出極小值,我們解 T′(x)=0,即C−2C⋅36−x√225+(36−x)2=0
故有 √225+(36−x)2=2(36−x),即 225+(36−x)2=4(36−x)2,再整理便為 (36−x)2=75,從而 x=36±5√3(正不合)。現檢查端點 x=0 與 x=36 與內點 x=36−5√3 如下T(0)=78C,T(36)=66C,T(36−5√3)=(36+15√3)C
可以確認當 ¯AC=36−5√3 公里時建設鐵路會有最低的成本。
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