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2020年2月17日 星期一

國立臺灣大學九十五學年度研究所碩士班入學考試試題:微積分(不含線性代數)

  1. (7%)
    Prove that if p>1 and x>0, xp1p(x1).
  2. 訣竅運用函數的單調性來證明不等式。
    解法f(x)=xp1p(x1),那麼求導可知

    f(x)=pxp1p=p(xp11)

    可以看出當 x(0,1) 時有 f(x)<0,而當 x(1,) 時有 f(x)>0,故 fx=1 處達到最小值,因此 f(x)f(1)=0,即有

    xp1p(x1)0

    移項便完成證明。

  3. (7%)
    Find the point of the hyperbola y2x22=1 that is nearest to (x,y)=(0,3), where the distance between a point (a,b) and the origin (0,0) is defined as a2+b2 in the 2-dimensional Euclidean space.
  4. 訣竅考慮距離函數後應用基本的配方法即可求解。
    解法考慮 (x,y)(0,3) 的距離函數為

    d(x,y)=(x0)2+(y3)2=x2+(y3)2

    由於 (x,y) 落於雙曲線 y2x22=1 上,故距離函數 d 可改寫如下

    d(x,y)=x2+(y3)2=(2y22)+(y26y+9)=3y26y+7=3(y1)2+44=2

    故最近的距離為 2,而等號成立條件為 y=1x=0

  5. (7%)
    Let h(t)=712t3+t+1, g(t)=t32t2+3t, and f(t)=(t5)+loget, where loge denotes the natural logarithm. Evaluate the second derivative of f(g(h(x))) at x=0.
  6. 訣竅由連鎖律細心計算之。
    解法先對題目給定的函數求導有

    h(t)=74t2+1,g(t)=3t24t+3,f(t)=1+1t

    而其二階導函數則為

    h(t)=72t,g(t)=6t4,f(t)=1t2

    k(x)=f(g(h(x))),那麼由連鎖律可知

    k(x)=f(g(h(x)))g(h(x))h(x)

    進一步地,再利用連鎖律求導則有

    k(x)=f(g(h(x)))[g(h(x))h(x)]2+f(g(h(x)))g(h(x))[h(x)]2+f(g(h(x)))g(h(x))h(x)

    x=0

    k(0)=f(g(h(0)))[g(h(0))h(0)]2+f(g(h(0)))g(h(0))[h(0)]2+f(g(h(0)))g(h(0))h(0)=f(g(1))[g(1)1]2+f(g(1))g(1)12+f(g(1))g(1)0=f(2)22+f(2)2=1+3=2


  7. (9%; 3% each)
    Prove or disprove that the limit of each of the following functions exists when x approaches to zero, i.e., limx0f(x).
    4-a

    f(x)=1x, x[1,1]

    4-b

    f(x)={1if =0x2otherwise, x[1,1]

    4-c

    f(x)=the integer part of (1+x), x[1,1]

  8. 訣竅利用嚴格的 εδ 語言去說明函數的發散與收斂。
    解法

    4-a. 給定正實數 M>0,由阿基米得原理可取出實數 0<x<1M,如此有

    0<x<min{1M,1}    f(x)>M

    此即 limx0+f(x)=。類似地,我們有 limx0f(x)=。故極限 limx0f(x) 不存在。

    4-b. 給定正實數 ε>0,我們取 δ=min{ε,1},那麼

    0<x<δ    |f(x)0|=x2<δ2=ε

    因此極限 limx0f(x)=0

    4-3. 當 x[0,1)f(x)=1,而當 x[1,0)f(x)=0,從而有

    limx0+f(x)=1,limx0f(x)=0

    由於左右極限不相同,故極限 limx0f(x) 不存在。


  9. (10%)
    Suppose that λ>0, please solve

    limλ0λλλ2cos(x)x3/2dx.

    [Hint] Application of the mean value theorem of the integral calculus: If f(x) and g(x) are continuous functions in axb and g(x)0, then baf(x)g(x)dx=f(ξ)bag(x)dx, where aξb.
  10. 訣竅按提示使用積分均值定理,其中我們在使用時特別留意到餘弦函數的有界性。最後搭配夾擠定理求出其極限。
    解法由積分均值定理可知

    λλ2cos(x)x3/2dx=cos(ξλ)λλ2dxx3/2=2(λ1λ1/2)cos(ξλ)

    其中 ξλ(λ2,λ) 為與 λ 有關的常數。那麼當 λ 趨於零時由夾擠可知 limλ0ξλ=0。故所求的極限有

    limλ0λλλ2cos(x)x3/2dx=limλ0(22λ)cos(ξλ)=(220)cos(0)=2


  11. (10%)
    If limxa2x2+bx+3b2x2a=8, then (a,b)=?
  12. 訣竅使用極限的四則運算性質求解。
    解法由四則運算性質可知

    2a2+ab+3b=limxa(2x2+bx+3b)=limxa[2x2+bx+3b2x2a(2x2a)]=80=0

    因此有 3b=2a2ab。據此題目中給定的極限可寫為

    8=limxa2x2+bx+3b2x2a=limxa2x2+bx2a2ab2x2a=limxa(x+a+b2)

    因此有 2a+b2=8,即 4a+b=16。由 b=164a 代入 2a2+ab+3b=0

    2a2+a(164a)+3(164a)=0

    a22a24=0,可解得 a=6a=4,從而有 b=8b=32

    檢驗如下

    • a=6b=8,那麼給定的極限寫為

      limx62x28x242x12=limx62(x6)(x+2)2(x6)=8

      成立
    • a=4b=32,那麼給定的極限寫為

      limx42x2+32x+962x+8=limx42(x+4)(x+12)2(x+4)=8

      成立。

    因此 (a,b)=(6,8)(4,32)

  13. (10%)
    If the inverse function of f(x) is f1(x)=x2πet(sin(1t)+t2cos(1t)t2)dt, then f[f1(16π2)]=?
  14. 訣竅運用反函數的定義、連鎖律與微積分基本定理求解。
    解法由反函數的定義可知 f(f1(x))=x,使用連鎖律求導有

    f[f1(x)](f1)(x)=1

    再者由微積分基本定理可知

    (f1)(x)=exsin(1x)+x2cos(1x)x212x=exsin(1x)+xcos(1x)2x3/2

    現取 x=16π2,那麼有

    f[f1(16π2)]=1(f1)(16/π2)=2(16π2)3/2e16/π2(sin(116/π2)+16π2cos(116/π2))=128π3e4/π(sinπ4+16π2cosπ4)=1282e4/ππ(π2+16)


  15. (10%)
    Calculate 0e12x2xsin(2x)dx=?
    [Hint]: (1) ex2dx=π; (2) Let F(ξ)=0e12x2cos(ξx)dx and consider F(ξ).
  16. 訣竅按題目所給定的提示組織使用,特別是關於第二點求導後使用分部積分法獲得微分方程並求解,而第一點提示則可用於初值條件的確定。
    解法按題意的提示求導有

    F(ξ)=ddξ0e12x2cos(ξx)dx=0e12x2xsin(ξx)dx

    接著運用分部積分法改寫上式可得

    0e12x2xsin(ξx)dx=0sin(ξx)de12x2=e12x2sin(ξx)|0ξ0e12x2cos(ξx)dx=ξF(ξ)

    至此有 F(ξ)=ξF(ξ)。兩邊同乘以 eξ2/2 可知

    ddξ(eξ2/2F(ξ))=0

    eξ2/2F(ξ)=F(0)。另一方面 F(0)=0e12x2dx 可令變數便換 u=x2,如此有

    F(0)=0eu22du=22eu2du=2π2

    故得

    F(ξ)=2π2eξ2/2

    而所求便為

    0e12x2xsin(2x)dx=F(2)=2π2ξeξ2/2|ξ=2=2πe2


  17. (10%)
    Let Sn=1n(1+12+13++1n). Then find limnSn=?
  18. 訣竅將其視為黎曼和,故其極限之值可由積分計算之。
    解法首先可將 Sn 表達如下

    Sn=1n(1+12+13++1n)=1n(11/n++1n/n)

    故可視之為 f=1x(0,1] 上作 n 等分後的和,故其極限逼近於瑕積分 10dxx=2x|10=2

    【註】 事實上本題直接將黎曼和取極限得積分是有瑕疵的,因為該積分實際上為瑕積分並非定積分!藉由積分審歛法的思維,我們可以注意到這樣的不等式

    1n(12/n++1n/n)<11ndxx<1n(11/n++1(n1)/n)

    因此有

    22n+1n<Sn<1n+11ndxx=21n

    由夾擠定理可知 limnSn=2


  19. (10%)
    Consider the plot of the function, f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e, as follows. Please determine the signs of a,b,c,d,e.
  20. 訣竅仔細推敲函數的行為可以確認各係數的符號,其中利用到單調性與凹向性等技術求出低次項的係數;而對於高次項係數則藉由整體開口與根與係數關係求解。
    解法

    首先由函數的開口向上,可以確認 a>0。而由 y=f(x)y 軸的負向相交則知 e<0

    由於圖形 y=f(x) 在與 y 軸相交處的切線斜率為正,故 d=f(0)>0。再者此處的凹性朝上,故 2c=f(0)>0

    最後,由於 f 為三次多項式,故至多有三個根。由圖形中可容易看出有三處局部極值的位置便為 f(x)=0 的根(兩正一負)。又留意到此時 f(x)=4ax3+3bx2+2cx+d,故按根與係數關係有三根和為 3b4a>0,但因 a>0,故 b<0

    結論:acd 為正數,be 為負數。

  21. (10%)
    Suppose that the distance between two places A and B is 39 kilometers, and the distance of B to the road ¯AE is 15 kilometers (see figure below). Now we want to construct a straight railway ¯BC from B to a point C on the road ¯AE in order to transport goods from A to B. Assume that the cost of transportation per kilometer on the railway is twice as much as the cost on the road. Please determine the optimal distance between A and C, which realizes the minimal cost!
  22. 訣竅按照題目的要求進行適當的假設列式,隨後使用微分求其極值。
    解法

    B¯AE 最近的點為 D,那麼由畢氏定理可知 ¯AD=¯AB2¯BD2=392152=36 公里。設 ¯AC=x 公里,那麼 ¯CD=36x 公里,從而有 ¯BC=152+(36x)2 公里。

    若在一般道路的運輸費用為每公里 C 元,而在鐵路上則為每公里 2C 元,故總成本可表達為 x 的函數如下

    T(x)=Cx+2C225+(36x)2,(0x36)

    為了求出極小值,我們解 T(x)=0,即

    C2C36x225+(36x)2=0

    故有 225+(36x)2=2(36x),即 225+(36x)2=4(36x)2,再整理便為 (36x)2=75,從而 x=36±53(正不合)。現檢查端點 x=0x=36 與內點 x=3653 如下

    T(0)=78C,T(36)=66C,T(3653)=(36+153)C

    可以確認當 ¯AC=3653 公里時建設鐵路會有最低的成本。

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