- (7%)
Prove that if p>1 and x>0, xp−1≥p(x−1). - (7%)
Find the point of the hyperbola y2−x22=1 that is nearest to (x,y)=(0,3), where the distance between a point (a,b) and the origin (0,0) is defined as √a2+b2 in the 2-dimensional Euclidean space. - (7%)
Let h(t)=712t3+t+1, g(t)=t3−2t2+3t, and f(t)=(t−5)+loget, where loge denotes the natural logarithm. Evaluate the second derivative of f(g(h(x))) at x=0. - (9%; 3% each)
Prove or disprove that the limit of each of the following functions exists when x approaches to zero, i.e., lim.
4-a\displaystyle f\left(x\right)=\frac1x,~x\in\left[-1,1\right]
4-b\displaystyle f\left(x\right)=\begin{cases}1&\mbox{if}~=0\\x^2&\mbox{otherwise}\end{cases},~x\in\left[-1,1\right]
4-c\displaystyle f\left(x\right)=\mbox{the integer part of}~\left(1+x\right),~x\in\left[-1,1\right]
- (10\%)
Suppose that \lambda>0, please solve\displaystyle\lim_{\lambda\to0}\lambda\int_{\lambda^2}^{\lambda}\frac{\cos\left(x\right)}{x^{3/2}}dx.
[Hint] Application of the mean value theorem of the integral calculus: If f\left(x\right) and g\left(x\right) are continuous functions in a\leq x\leq b and g\left(x\right)\geq0, then \displaystyle\int_a^bf\left(x\right)g\left(x\right)dx=f\left(\xi\right)\int_a^bg\left(x\right)dx, where a\leq\xi\leq b. - (10\%)
If \displaystyle\lim_{x\to a}\frac{2x^2+bx+3b}{2x-2a}=8, then \left(a,b\right)=? - 若 a=6 且 b=-8,那麼給定的極限寫為
\displaystyle\lim_{x\to6}\frac{2x^2-8x-24}{2x-12}=\lim_{x\to6}\frac{2\left(x-6\right)\left(x+2\right)}{2\left(x-6\right)}=8
成立 - 若 a=-4 且 b=32,那麼給定的極限寫為
\displaystyle\lim_{x\to-4}\frac{2x^2+32x+96}{2x+8}=\lim_{x\to-4}\frac{2\left(x+4\right)\left(x+12\right)}{2\left(x+4\right)}=8
成立。 - (10\%)
If the inverse function of f\left(x\right) is \displaystyle f^{-1}\left(x\right)=\int_{\frac2\pi}^{\sqrt{x}}e^t\left(\frac{\sin\left(\frac1t\right)+t^2\cos\left(\frac1t\right)}{t^2}\right)dt, then \displaystyle f'\left[f^{-1}\left(\frac{16}{\pi^2}\right)\right]=? - (10\%)
Calculate \displaystyle\int_0^{\infty}e^{-\frac12x^2}x\sin\left(2x\right)dx=?
[Hint]: (1) \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}; (2) Let \displaystyle F\left(\xi\right)=\int_0^{\infty}e^{-\frac12x^2}\cos\left(\xi x\right)dx and consider F'\left(\xi\right). - (10\%)
Let \displaystyle S_n=\frac1{\sqrt{n}}\left(1+\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt{n}}\right). Then find \displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=? - (10\%)
Consider the plot of the function, \displaystyle f\left(x\right)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e, as follows. Please determine the signs of a,b,c,d,e. - (10\%)
Suppose that the distance between two places A and B is 39 kilometers, and the distance of B to the road \overline{AE} is 15 kilometers (see figure below). Now we want to construct a straight railway \overline{BC} from B to a point C on the road \overline{AE} in order to transport goods from A to B. Assume that the cost of transportation per kilometer on the railway is twice as much as the cost on the road. Please determine the optimal distance between A and C, which realizes the minimal cost!
訣竅
運用函數的單調性來證明不等式。解法
設 f(x)=xp−1−p(x−1),那麼求導可知f′(x)=pxp−1−p=p(xp−1−1)
可以看出當 x∈(0,1) 時有 f′(x)<0,而當 x∈(1,∞) 時有 f′(x)>0,故 f 在 x=1 處達到最小值,因此 f(x)≥f(1)=0,即有xp−1−p(x−1)≥0
移項便完成證明。訣竅
考慮距離函數後應用基本的配方法即可求解。解法
考慮 (x,y) 與 (0,3) 的距離函數為d(x,y)=√(x−0)2+(y−3)2=√x2+(y−3)2
由於 (x,y) 落於雙曲線 y2−x22=1 上,故距離函數 d 可改寫如下d(x,y)=√x2+(y−3)2=√(2y2−2)+(y2−6y+9)=√3y2−6y+7=√3(y−1)2+4≥√4=2
故最近的距離為 2,而等號成立條件為 y=1、x=0。訣竅
由連鎖律細心計算之。解法
先對題目給定的函數求導有h′(t)=74t2+1,g′(t)=3t2−4t+3,f′(t)=1+1t
而其二階導函數則為h″(t)=72t,g″(t)=6t−4,f″(t)=−1t2
設 k(x)=f(g(h(x))),那麼由連鎖律可知k′(x)=f′(g(h(x)))g′(h(x))h′(x)
進一步地,再利用連鎖律求導則有k″(x)=f″(g(h(x)))[g′(h(x))h′(x)]2+f′(g(h(x)))g″(h(x))[h′(x)]2+f′(g(h(x)))g′(h(x))h″(x)
取 x=0 有k″(0)=f″(g(h(0)))[g′(h(0))h′(0)]2+f′(g(h(0)))g″(h(0))[h′(0)]2+f′(g(h(0)))g′(h(0))h″(0)=f″(g(1))[g′(1)⋅1]2+f′(g(1))g″(1)⋅12+f′(g(1))g′(1)⋅0=f″(2)⋅22+f′(2)⋅2=−1+3=2
訣竅
利用嚴格的 \varepsilon-\delta 語言去說明函數的發散與收斂。解法
4-a. 給定正實數 M>0,由阿基米得原理可取出實數 \displaystyle0<x<\frac1M,如此有
\displaystyle0<x<\min\left\{\frac1M,1\right\}~~\Longrightarrow~~f\left(x\right)>M
此即 \displaystyle\lim_{x\to0^+}f\left(x\right)=\infty。類似地,我們有 \displaystyle\lim_{x\to0^-}f\left(x\right)=-\infty。故極限 \displaystyle\lim_{x\to0}f\left(x\right) 不存在。4-b. 給定正實數 \varepsilon>0,我們取 \delta=\min\left\{\sqrt{\varepsilon},1\right\},那麼
0<x<\delta~~\Longrightarrow~~\left|f\left(x\right)-0\right|=x^2<\delta^2=\varepsilon
因此極限 \displaystyle\lim_{x\to0}f\left(x\right)=0。4-3. 當 x\in\left[0,1\right)時 f\left(x\right)=1,而當 x\in\left[-1,0\right) 時 f\left(x\right)=0,從而有
\displaystyle\lim_{x\to0^+}f\left(x\right)=1,\qquad\lim_{x\to0^-}f\left(x\right)=0
由於左右極限不相同,故極限 \displaystyle\lim_{x\to0}f\left(x\right) 不存在。訣竅
按提示使用積分均值定理,其中我們在使用時特別留意到餘弦函數的有界性。最後搭配夾擠定理求出其極限。解法
由積分均值定理可知\displaystyle\int_{\lambda^2}^{\lambda}\frac{\cos\left(x\right)}{x^{3/2}}dx=\cos\left(\xi_{\lambda}\right)\int_{\lambda^2}^{\lambda}\frac{dx}{x^{3/2}}=2\left(\lambda^{-1}-\lambda^{-1/2}\right)\cos\left(\xi_{\lambda}\right)
其中 \xi_{\lambda}\in\left(\lambda^2,\lambda\right) 為與 \lambda 有關的常數。那麼當 \lambda 趨於零時由夾擠可知 \displaystyle\lim_{\lambda\to0}\xi_{\lambda}=0。故所求的極限有\displaystyle\lim_{\lambda\to0}\lambda\int_{\lambda^2}^{\lambda}\frac{\cos\left(x\right)}{x^{3/2}}dx=\lim_{\lambda\to0}\left(2-2\sqrt{\lambda}\right)\cos\left(\xi_{\lambda}\right)=\left(2-2\cdot0\right)\cos\left(0\right)=2
訣竅
使用極限的四則運算性質求解。解法
由四則運算性質可知\displaystyle2a^2+ab+3b=\lim_{x\to a}\left(2x^2+bx+3b\right)=\lim_{x\to a}\left[\frac{2x^2+bx+3b}{2x-2a}\cdot\left(2x-2a\right)\right]=8\cdot0=0
因此有 3b=-2a^2-ab。據此題目中給定的極限可寫為\displaystyle8=\lim_{x\to a}\frac{2x^2+bx+3b}{2x-2a}=\lim_{x\to a}\frac{2x^2+bx-2a^2-ab}{2x-2a}=\lim_{x\to a}\left(x+a+\frac{b}2\right)
因此有 \displaystyle2a+\frac{b}2=8,即 4a+b=16。由 b=16-4a 代入 2a^2+ab+3b=0 有2a^2+a\left(16-4a\right)+3\left(16-4a\right)=0
即 a^2-2a-24=0,可解得 a=6 或 a=-4,從而有 b=-8 或 b=32。檢驗如下
訣竅
運用反函數的定義、連鎖律與微積分基本定理求解。解法
由反函數的定義可知 f\left(f^{-1}\left(x\right)\right)=x,使用連鎖律求導有f'\left[f^{-1}\left(x\right)\right]\left(f^{-1}\right)'\left(x\right)=1
再者由微積分基本定理可知\displaystyle\left(f^{-1}\right)'\left(x\right)=e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{\sin\left(\frac1{\sqrt{x}}\right)+\sqrt{x}^2\cos\left(\frac1{\sqrt{x}}\right)}{\sqrt{x}^2}\cdot\frac1{2\sqrt{x}}=e^{\sqrt{x}}\frac{\sin\left(\frac1{\sqrt{x}}\right)+x\cos\left(\frac1{\sqrt{x}}\right)}{2x^{3/2}}
現取 \displaystyle x=\frac{16}{\pi^2},那麼有\displaystyle\begin{aligned}f'\left[f^{-1}\left(\frac{16}{\pi^2}\right)\right]&=\frac1{\left(f^{-1}\right)'\left(16/\pi^2\right)}=\frac{\displaystyle2\left(\frac{16}{\pi^2}\right)^{3/2}}{\displaystyle e^{\sqrt{16/\pi^2}}\left(\sin\left(\frac1{\sqrt{16/\pi^2}}\right)+\frac{16}{\pi^2}\cos\left(\frac1{\sqrt{16/\pi^2}}\right)\right)}\\&=\frac{\displaystyle\frac{128}{\pi^3}}{\displaystyle e^{4/\pi}\left(\sin\frac\pi4+\frac{16}{\pi^2}\cos\frac\pi4\right)}=\frac{128\sqrt2}{e^{4/\pi}\pi\left(\pi^2+16\right)}\end{aligned}
訣竅
按題目所給定的提示組織使用,特別是關於第二點求導後使用分部積分法獲得微分方程並求解,而第一點提示則可用於初值條件的確定。解法
按題意的提示求導有\displaystyle F'\left(\xi\right)=\frac{d}{d\xi}\int_0^{\infty}e^{-\frac12x^2}\cos\left(\xi x\right)dx=-\int_0^{\infty}e^{-\frac12x^2}x\sin\left(\xi x\right)dx
接著運用分部積分法改寫上式可得\displaystyle-\int_0^{\infty}e^{-\frac12x^2}x\sin\left(\xi x\right)dx=\int_0^{\infty}\sin\left(\xi x\right)de^{-\frac12x^2}=e^{-\frac12x^2}\sin\left(\xi x\right)\Big|_0^{\infty}-\xi\int_0^{\infty}e^{-\frac12x^2}\cos\left(\xi x\right)dx=-\xi F\left(\xi\right)
至此有 F'\left(\xi\right)=-\xi F\left(\xi\right)。兩邊同乘以 e^{\xi^2/2} 可知\displaystyle\frac{d}{d\xi}\left(e^{\xi^2/2}F\left(\xi\right)\right)=0
故 \displaystyle e^{\xi^2/2}F\left(\xi\right)=F\left(0\right)。另一方面 \displaystyle F\left(0\right)=\int_0^{\infty}e^{-\frac12x^2}dx 可令變數便換 \displaystyle u=\frac{x}{\sqrt2},如此有\displaystyle F\left(0\right)=\int_0^{\infty}e^{-u^2}\cdot\sqrt2du=\frac{\sqrt2}2\int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2}du=\frac{\sqrt{2\pi}}2
故得\displaystyle F\left(\xi\right)=\frac{\sqrt{2\pi}}2e^{-\xi^2/2}
而所求便為\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-\frac12x^2}x\sin\left(2x\right)dx=-F'\left(2\right)=\frac{\sqrt{2\pi}}2\cdot-\xi e^{-\xi^2/2}\Big|_{\xi=2}=-\sqrt{2\pi}e^{-2}
訣竅
將其視為黎曼和,故其極限之值可由積分計算之。解法
首先可將 S_n 表達如下\displaystyle S_n=\frac1{\sqrt{n}}\left(1+\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt{n}}\right)=\frac1n\left(\frac1{\sqrt{1/n}}+\cdots+\frac1{\sqrt{n/n}}\right)
故可視之為 \displaystyle f=\frac1{\sqrt{x}} 在 \left(0,1\right] 上作 n 等分後的和,故其極限逼近於瑕積分 \displaystyle\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}\Big|_0^1=2。【註】 事實上本題直接將黎曼和取極限得積分是有瑕疵的,因為該積分實際上為瑕積分並非定積分!藉由積分審歛法的思維,我們可以注意到這樣的不等式
\displaystyle\frac1n\left(\frac1{\sqrt{2/n}}+\cdots+\frac1{\sqrt{n/n}}\right)<\int_{\frac1n}^1\frac{dx}{\sqrt{x}}<\frac1n\left(\frac1{\sqrt{1/n}}+\cdots+\frac1{\sqrt{\left(n-1\right)/n}}\right)
因此有\displaystyle2-\frac2{\sqrt{n}}+\frac1n<S_n<\frac1{\sqrt{n}}+\int_{\frac1n}^1\frac{dx}{\sqrt{x}}=2-\frac1{\sqrt{n}}
由夾擠定理可知 \displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=2。訣竅
仔細推敲函數的行為可以確認各係數的符號,其中利用到單調性與凹向性等技術求出低次項的係數;而對於高次項係數則藉由整體開口與根與係數關係求解。解法
首先由函數的開口向上,可以確認 a>0。而由 y=f\left(x\right) 與 y 軸的負向相交則知 e<0。
由於圖形 y=f\left(x\right) 在與 y 軸相交處的切線斜率為正,故 d=f'\left(0\right)>0。再者此處的凹性朝上,故 2c=f''\left(0\right)>0。
最後,由於 f' 為三次多項式,故至多有三個根。由圖形中可容易看出有三處局部極值的位置便為 f'\left(x\right)=0 的根(兩正一負)。又留意到此時 f'\left(x\right)=4ax^3+3bx^2+2cx+d,故按根與係數關係有三根和為 \displaystyle-\frac{3b}{4a}>0,但因 a>0,故 b<0。
結論:a、c、d 為正數,b、e 為負數。訣竅
按照題目的要求進行適當的假設列式,隨後使用微分求其極值。解法
設 B 到 \overline{AE} 最近的點為 D,那麼由畢氏定理可知 \overline{AD}=\sqrt{\overline{AB}^2-\overline{BD}^2}=\sqrt{39^2-15^2}=36 公里。設 \overline{AC}=x 公里,那麼 \overline{CD}=36-x 公里,從而有 \overline{BC}=\sqrt{15^2+\left(36-x\right)^2} 公里。
若在一般道路的運輸費用為每公里 C 元,而在鐵路上則為每公里 2C 元,故總成本可表達為 x 的函數如下T\left(x\right)=Cx+2C\sqrt{225+\left(36-x\right)^2},\qquad\left(0\leq x\leq36\right)
為了求出極小值,我們解 T'\left(x\right)=0,即\displaystyle C-2C\cdot\frac{36-x}{\sqrt{225+\left(36-x\right)^2}}=0
故有 \sqrt{225+\left(36-x\right)^2}=2\left(36-x\right),即 225+\left(36-x\right)^2=4\left(36-x\right)^2,再整理便為 \left(36-x\right)^2=75,從而 x=36\pm5\sqrt3(正不合)。現檢查端點 x=0 與 x=36 與內點 x=36-5\sqrt3 如下T\left(0\right)=78C,\quad T\left(36\right)=66C,\quad T\left(36-5\sqrt3\right)=\left(36+15\sqrt3\right)C
可以確認當 \overline{AC}=36-5\sqrt3 公里時建設鐵路會有最低的成本。
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