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2020年2月17日 星期一

國立臺灣大學九十五學年度研究所碩士班入學考試試題:微積分(不含線性代數)

  1. (7%)
    Prove that if p>1 and x>0, xp1p(x1).
  2. 訣竅運用函數的單調性來證明不等式。
    解法f(x)=xp1p(x1),那麼求導可知

    f(x)=pxp1p=p(xp11)

    可以看出當 x(0,1) 時有 f(x)<0,而當 x(1,) 時有 f(x)>0,故 fx=1 處達到最小值,因此 f(x)f(1)=0,即有

    xp1p(x1)0

    移項便完成證明。

  3. (7%)
    Find the point of the hyperbola y2x22=1 that is nearest to (x,y)=(0,3), where the distance between a point (a,b) and the origin (0,0) is defined as a2+b2 in the 2-dimensional Euclidean space.
  4. 訣竅考慮距離函數後應用基本的配方法即可求解。
    解法考慮 (x,y)(0,3) 的距離函數為

    d(x,y)=(x0)2+(y3)2=x2+(y3)2

    由於 (x,y) 落於雙曲線 y2x22=1 上,故距離函數 d 可改寫如下

    d(x,y)=x2+(y3)2=(2y22)+(y26y+9)=3y26y+7=3(y1)2+44=2

    故最近的距離為 2,而等號成立條件為 y=1x=0

  5. (7%)
    Let h(t)=712t3+t+1, g(t)=t32t2+3t, and f(t)=(t5)+loget, where loge denotes the natural logarithm. Evaluate the second derivative of f(g(h(x))) at x=0.
  6. 訣竅由連鎖律細心計算之。
    解法先對題目給定的函數求導有

    h(t)=74t2+1,g(t)=3t24t+3,f(t)=1+1t

    而其二階導函數則為

    h(t)=72t,g(t)=6t4,f(t)=1t2

    k(x)=f(g(h(x))),那麼由連鎖律可知

    k(x)=f(g(h(x)))g(h(x))h(x)

    進一步地,再利用連鎖律求導則有

    k(x)=f(g(h(x)))[g(h(x))h(x)]2+f(g(h(x)))g(h(x))[h(x)]2+f(g(h(x)))g(h(x))h(x)

    x=0

    k(0)=f(g(h(0)))[g(h(0))h(0)]2+f(g(h(0)))g(h(0))[h(0)]2+f(g(h(0)))g(h(0))h(0)=f(g(1))[g(1)1]2+f(g(1))g(1)12+f(g(1))g(1)0=f(2)22+f(2)2=1+3=2


  7. (9%; 3% each)
    Prove or disprove that the limit of each of the following functions exists when x approaches to zero, i.e., lim.
    4-a

    \displaystyle f\left(x\right)=\frac1x,~x\in\left[-1,1\right]

    4-b

    \displaystyle f\left(x\right)=\begin{cases}1&\mbox{if}~=0\\x^2&\mbox{otherwise}\end{cases},~x\in\left[-1,1\right]

    4-c

    \displaystyle f\left(x\right)=\mbox{the integer part of}~\left(1+x\right),~x\in\left[-1,1\right]

  8. 訣竅利用嚴格的 \varepsilon-\delta 語言去說明函數的發散與收斂。
    解法

    4-a. 給定正實數 M>0,由阿基米得原理可取出實數 \displaystyle0<x<\frac1M,如此有

    \displaystyle0<x<\min\left\{\frac1M,1\right\}~~\Longrightarrow~~f\left(x\right)>M

    此即 \displaystyle\lim_{x\to0^+}f\left(x\right)=\infty。類似地,我們有 \displaystyle\lim_{x\to0^-}f\left(x\right)=-\infty。故極限 \displaystyle\lim_{x\to0}f\left(x\right) 不存在。

    4-b. 給定正實數 \varepsilon>0,我們取 \delta=\min\left\{\sqrt{\varepsilon},1\right\},那麼

    0<x<\delta~~\Longrightarrow~~\left|f\left(x\right)-0\right|=x^2<\delta^2=\varepsilon

    因此極限 \displaystyle\lim_{x\to0}f\left(x\right)=0

    4-3. 當 x\in\left[0,1\right)f\left(x\right)=1,而當 x\in\left[-1,0\right)f\left(x\right)=0,從而有

    \displaystyle\lim_{x\to0^+}f\left(x\right)=1,\qquad\lim_{x\to0^-}f\left(x\right)=0

    由於左右極限不相同,故極限 \displaystyle\lim_{x\to0}f\left(x\right) 不存在。


  9. (10\%)
    Suppose that \lambda>0, please solve

    \displaystyle\lim_{\lambda\to0}\lambda\int_{\lambda^2}^{\lambda}\frac{\cos\left(x\right)}{x^{3/2}}dx.

    [Hint] Application of the mean value theorem of the integral calculus: If f\left(x\right) and g\left(x\right) are continuous functions in a\leq x\leq b and g\left(x\right)\geq0, then \displaystyle\int_a^bf\left(x\right)g\left(x\right)dx=f\left(\xi\right)\int_a^bg\left(x\right)dx, where a\leq\xi\leq b.
  10. 訣竅按提示使用積分均值定理,其中我們在使用時特別留意到餘弦函數的有界性。最後搭配夾擠定理求出其極限。
    解法由積分均值定理可知

    \displaystyle\int_{\lambda^2}^{\lambda}\frac{\cos\left(x\right)}{x^{3/2}}dx=\cos\left(\xi_{\lambda}\right)\int_{\lambda^2}^{\lambda}\frac{dx}{x^{3/2}}=2\left(\lambda^{-1}-\lambda^{-1/2}\right)\cos\left(\xi_{\lambda}\right)

    其中 \xi_{\lambda}\in\left(\lambda^2,\lambda\right) 為與 \lambda 有關的常數。那麼當 \lambda 趨於零時由夾擠可知 \displaystyle\lim_{\lambda\to0}\xi_{\lambda}=0。故所求的極限有

    \displaystyle\lim_{\lambda\to0}\lambda\int_{\lambda^2}^{\lambda}\frac{\cos\left(x\right)}{x^{3/2}}dx=\lim_{\lambda\to0}\left(2-2\sqrt{\lambda}\right)\cos\left(\xi_{\lambda}\right)=\left(2-2\cdot0\right)\cos\left(0\right)=2


  11. (10\%)
    If \displaystyle\lim_{x\to a}\frac{2x^2+bx+3b}{2x-2a}=8, then \left(a,b\right)=?
  12. 訣竅使用極限的四則運算性質求解。
    解法由四則運算性質可知

    \displaystyle2a^2+ab+3b=\lim_{x\to a}\left(2x^2+bx+3b\right)=\lim_{x\to a}\left[\frac{2x^2+bx+3b}{2x-2a}\cdot\left(2x-2a\right)\right]=8\cdot0=0

    因此有 3b=-2a^2-ab。據此題目中給定的極限可寫為

    \displaystyle8=\lim_{x\to a}\frac{2x^2+bx+3b}{2x-2a}=\lim_{x\to a}\frac{2x^2+bx-2a^2-ab}{2x-2a}=\lim_{x\to a}\left(x+a+\frac{b}2\right)

    因此有 \displaystyle2a+\frac{b}2=8,即 4a+b=16。由 b=16-4a 代入 2a^2+ab+3b=0

    2a^2+a\left(16-4a\right)+3\left(16-4a\right)=0

    a^2-2a-24=0,可解得 a=6a=-4,從而有 b=-8b=32

    檢驗如下

    • a=6b=-8,那麼給定的極限寫為

      \displaystyle\lim_{x\to6}\frac{2x^2-8x-24}{2x-12}=\lim_{x\to6}\frac{2\left(x-6\right)\left(x+2\right)}{2\left(x-6\right)}=8

      成立
    • a=-4b=32,那麼給定的極限寫為

      \displaystyle\lim_{x\to-4}\frac{2x^2+32x+96}{2x+8}=\lim_{x\to-4}\frac{2\left(x+4\right)\left(x+12\right)}{2\left(x+4\right)}=8

      成立。

    因此 \left(a,b\right)=\left(6,-8\right)\left(-4,32\right)

  13. (10\%)
    If the inverse function of f\left(x\right) is \displaystyle f^{-1}\left(x\right)=\int_{\frac2\pi}^{\sqrt{x}}e^t\left(\frac{\sin\left(\frac1t\right)+t^2\cos\left(\frac1t\right)}{t^2}\right)dt, then \displaystyle f'\left[f^{-1}\left(\frac{16}{\pi^2}\right)\right]=?
  14. 訣竅運用反函數的定義、連鎖律與微積分基本定理求解。
    解法由反函數的定義可知 f\left(f^{-1}\left(x\right)\right)=x,使用連鎖律求導有

    f'\left[f^{-1}\left(x\right)\right]\left(f^{-1}\right)'\left(x\right)=1

    再者由微積分基本定理可知

    \displaystyle\left(f^{-1}\right)'\left(x\right)=e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{\sin\left(\frac1{\sqrt{x}}\right)+\sqrt{x}^2\cos\left(\frac1{\sqrt{x}}\right)}{\sqrt{x}^2}\cdot\frac1{2\sqrt{x}}=e^{\sqrt{x}}\frac{\sin\left(\frac1{\sqrt{x}}\right)+x\cos\left(\frac1{\sqrt{x}}\right)}{2x^{3/2}}

    現取 \displaystyle x=\frac{16}{\pi^2},那麼有

    \displaystyle\begin{aligned}f'\left[f^{-1}\left(\frac{16}{\pi^2}\right)\right]&=\frac1{\left(f^{-1}\right)'\left(16/\pi^2\right)}=\frac{\displaystyle2\left(\frac{16}{\pi^2}\right)^{3/2}}{\displaystyle e^{\sqrt{16/\pi^2}}\left(\sin\left(\frac1{\sqrt{16/\pi^2}}\right)+\frac{16}{\pi^2}\cos\left(\frac1{\sqrt{16/\pi^2}}\right)\right)}\\&=\frac{\displaystyle\frac{128}{\pi^3}}{\displaystyle e^{4/\pi}\left(\sin\frac\pi4+\frac{16}{\pi^2}\cos\frac\pi4\right)}=\frac{128\sqrt2}{e^{4/\pi}\pi\left(\pi^2+16\right)}\end{aligned}


  15. (10\%)
    Calculate \displaystyle\int_0^{\infty}e^{-\frac12x^2}x\sin\left(2x\right)dx=?
    [Hint]: (1) \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}; (2) Let \displaystyle F\left(\xi\right)=\int_0^{\infty}e^{-\frac12x^2}\cos\left(\xi x\right)dx and consider F'\left(\xi\right).
  16. 訣竅按題目所給定的提示組織使用,特別是關於第二點求導後使用分部積分法獲得微分方程並求解,而第一點提示則可用於初值條件的確定。
    解法按題意的提示求導有

    \displaystyle F'\left(\xi\right)=\frac{d}{d\xi}\int_0^{\infty}e^{-\frac12x^2}\cos\left(\xi x\right)dx=-\int_0^{\infty}e^{-\frac12x^2}x\sin\left(\xi x\right)dx

    接著運用分部積分法改寫上式可得

    \displaystyle-\int_0^{\infty}e^{-\frac12x^2}x\sin\left(\xi x\right)dx=\int_0^{\infty}\sin\left(\xi x\right)de^{-\frac12x^2}=e^{-\frac12x^2}\sin\left(\xi x\right)\Big|_0^{\infty}-\xi\int_0^{\infty}e^{-\frac12x^2}\cos\left(\xi x\right)dx=-\xi F\left(\xi\right)

    至此有 F'\left(\xi\right)=-\xi F\left(\xi\right)。兩邊同乘以 e^{\xi^2/2} 可知

    \displaystyle\frac{d}{d\xi}\left(e^{\xi^2/2}F\left(\xi\right)\right)=0

    \displaystyle e^{\xi^2/2}F\left(\xi\right)=F\left(0\right)。另一方面 \displaystyle F\left(0\right)=\int_0^{\infty}e^{-\frac12x^2}dx 可令變數便換 \displaystyle u=\frac{x}{\sqrt2},如此有

    \displaystyle F\left(0\right)=\int_0^{\infty}e^{-u^2}\cdot\sqrt2du=\frac{\sqrt2}2\int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2}du=\frac{\sqrt{2\pi}}2

    故得

    \displaystyle F\left(\xi\right)=\frac{\sqrt{2\pi}}2e^{-\xi^2/2}

    而所求便為

    \displaystyle\int_0^{\infty}e^{-\frac12x^2}x\sin\left(2x\right)dx=-F'\left(2\right)=\frac{\sqrt{2\pi}}2\cdot-\xi e^{-\xi^2/2}\Big|_{\xi=2}=-\sqrt{2\pi}e^{-2}


  17. (10\%)
    Let \displaystyle S_n=\frac1{\sqrt{n}}\left(1+\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt{n}}\right). Then find \displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=?
  18. 訣竅將其視為黎曼和,故其極限之值可由積分計算之。
    解法首先可將 S_n 表達如下

    \displaystyle S_n=\frac1{\sqrt{n}}\left(1+\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt{n}}\right)=\frac1n\left(\frac1{\sqrt{1/n}}+\cdots+\frac1{\sqrt{n/n}}\right)

    故可視之為 \displaystyle f=\frac1{\sqrt{x}}\left(0,1\right] 上作 n 等分後的和,故其極限逼近於瑕積分 \displaystyle\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}\Big|_0^1=2

    【註】 事實上本題直接將黎曼和取極限得積分是有瑕疵的,因為該積分實際上為瑕積分並非定積分!藉由積分審歛法的思維,我們可以注意到這樣的不等式

    \displaystyle\frac1n\left(\frac1{\sqrt{2/n}}+\cdots+\frac1{\sqrt{n/n}}\right)<\int_{\frac1n}^1\frac{dx}{\sqrt{x}}<\frac1n\left(\frac1{\sqrt{1/n}}+\cdots+\frac1{\sqrt{\left(n-1\right)/n}}\right)

    因此有

    \displaystyle2-\frac2{\sqrt{n}}+\frac1n<S_n<\frac1{\sqrt{n}}+\int_{\frac1n}^1\frac{dx}{\sqrt{x}}=2-\frac1{\sqrt{n}}

    由夾擠定理可知 \displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=2


  19. (10\%)
    Consider the plot of the function, \displaystyle f\left(x\right)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e, as follows. Please determine the signs of a,b,c,d,e.
  20. 訣竅仔細推敲函數的行為可以確認各係數的符號,其中利用到單調性與凹向性等技術求出低次項的係數;而對於高次項係數則藉由整體開口與根與係數關係求解。
    解法

    首先由函數的開口向上,可以確認 a>0。而由 y=f\left(x\right)y 軸的負向相交則知 e<0

    由於圖形 y=f\left(x\right) 在與 y 軸相交處的切線斜率為正,故 d=f'\left(0\right)>0。再者此處的凹性朝上,故 2c=f''\left(0\right)>0

    最後,由於 f' 為三次多項式,故至多有三個根。由圖形中可容易看出有三處局部極值的位置便為 f'\left(x\right)=0 的根(兩正一負)。又留意到此時 f'\left(x\right)=4ax^3+3bx^2+2cx+d,故按根與係數關係有三根和為 \displaystyle-\frac{3b}{4a}>0,但因 a>0,故 b<0

    結論:acd 為正數,be 為負數。

  21. (10\%)
    Suppose that the distance between two places A and B is 39 kilometers, and the distance of B to the road \overline{AE} is 15 kilometers (see figure below). Now we want to construct a straight railway \overline{BC} from B to a point C on the road \overline{AE} in order to transport goods from A to B. Assume that the cost of transportation per kilometer on the railway is twice as much as the cost on the road. Please determine the optimal distance between A and C, which realizes the minimal cost!
  22. 訣竅按照題目的要求進行適當的假設列式,隨後使用微分求其極值。
    解法

    B\overline{AE} 最近的點為 D,那麼由畢氏定理可知 \overline{AD}=\sqrt{\overline{AB}^2-\overline{BD}^2}=\sqrt{39^2-15^2}=36 公里。設 \overline{AC}=x 公里,那麼 \overline{CD}=36-x 公里,從而有 \overline{BC}=\sqrt{15^2+\left(36-x\right)^2} 公里。

    若在一般道路的運輸費用為每公里 C 元,而在鐵路上則為每公里 2C 元,故總成本可表達為 x 的函數如下

    T\left(x\right)=Cx+2C\sqrt{225+\left(36-x\right)^2},\qquad\left(0\leq x\leq36\right)

    為了求出極小值,我們解 T'\left(x\right)=0,即

    \displaystyle C-2C\cdot\frac{36-x}{\sqrt{225+\left(36-x\right)^2}}=0

    故有 \sqrt{225+\left(36-x\right)^2}=2\left(36-x\right),即 225+\left(36-x\right)^2=4\left(36-x\right)^2,再整理便為 \left(36-x\right)^2=75,從而 x=36\pm5\sqrt3(正不合)。現檢查端點 x=0x=36 與內點 x=36-5\sqrt3 如下

    T\left(0\right)=78C,\quad T\left(36\right)=66C,\quad T\left(36-5\sqrt3\right)=\left(36+15\sqrt3\right)C

    可以確認當 \overline{AC}=36-5\sqrt3 公里時建設鐵路會有最低的成本。

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