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2020年3月27日 星期五

國立臺灣大學一百零七學年度研究所碩士班入學考試試題:應用微積分

※注意:請用 2B 鉛筆作答於答案卡,並先詳閱答案卡上之「畫記說明」。每題 5 分。

  1. A parabola is drawn having focus (0,2) and directrix y=4. The definite integral representing the arc length of that portion of the parabola on or above the x-axis is given by
    1. 1204x2dx
    2. 2304x2dx
    3. 2304+x2dx
    4. 1204+x2dx
    5. 12014x2dx
  2. 訣竅首先根據題意寫出拋物線方程式,隨後運用曲線弧長公式表達之。
    解法焦點在 (0,2) 而準線為 y=4 的拋物線方程式為 x2=4(y3)=124y,即 y=12x24。那麼在 x 軸上方的範圍為 y0,即 x212,因此 x[23,23]。運用曲線弧長公式可知

    s=23231+y2(x)dx=22301+(x2)2dx=2304+x2dx

    故選(C)。

  3. e2+x3dx.
    1. e2+x3+C
    2. 2e2+x3+C
    3. 12e2+x3+C
    4. 13e2+x3+C
    5. 3e2+x3+C
  4. 訣竅運用變數代換法可立刻求解。
    解法u=2+x3,整理後求導可知 dx=3du,如此所求可改寫並計算如下

    e2+x3dx=eu3du=3eu+C=3e2+x3+C

    故選(E)。

  5. Let f(x)=x2+2x12x3+1, then f(1) is
    1. 1
    2. 0
    3. 1
    4. 2
    5. None of the above
  6. 訣竅運用微分公式求導計算即可。
    解法使用微分公式可得

    f(x)=(x2+2x1)(2x3+1)(x2+2x1)(2x3+1)(2x3+1)2=(2x+2)(2x3+1)(x2+2x1)6x2(2x3+1)2

    x=1 代入有

    f(1)=(21+2)(213+1)(12+211)612(213+1)2=432632=0

    應選(B)。

  7. Let f(x)=sec4x, then f(x) is
    1. tan4x2sec4x
    2. 12sec4x
    3. 2sec4x
    4. 2sec4xtan4x
    5. None of the above
  8. 訣竅運用連鎖律與基本函數的微分公式計算即可。
    解法使用連鎖律求導可知

    f(x)=ddx(sec4x)12=12(sec4x)12ddxsec4x=12(sec4x)12sec4xtan4x4=2sec4xtan4xsec4x=2sec4xtan4x

    故選(D)。

  9. Find limx3513x2.
    1. 0
    2. Does not exist and neither nor
    3. None of the above
  10. 訣竅仔細極限式中各項的趨近行為即可。
    解法由於當 x>3 時有 3x2<0,而當 x<3 時有 3x2>0,故 limx3±13x2=,進而有 limx3+513x2=0limx3513x2=,故選(B)。

  11. Find the slope of the tangent line at the point (1,1) on the graph of exy=2x2y2.
    1. 0
    2. 1
    3. 1
    4. 2
    5. 3
  12. 訣竅運用隱函數微分求導,隨後代入給定的座標即可求得該點的斜率。
    解法使用隱函數微分求導可得

    exy(1dydx)=4x2ydydx

    (x,y)=(1,1) 可得 1dydx|(x,y)=(1,1)=42dydx|(x,y)=(1,1),如此解得 dydx|(x,y)=(1,1)=3,故選(E)。

  13. Compute the linearization of f(x)=xex1 at a=1.
    1. L(x)=32x+12
    2. L(x)=32x+12
    3. L(x)=32x12
    4. L(x)=32x12
    5. None of the above
  14. 訣竅求導後使用點斜式獲得一階逼近多項式。
    解法求導有 f(x)=12xex1+xex1,那麼在 x=1 處的導數值為 f(1)=32,如此所求的一階逼近多項式為

    L(x)=f(1)+f(1)(x1)=1+32(x1)=32x12

    故選(D)。

  15. Find limx2x38x24.
    1. 0
    2. 1
    3. 2
    4. 3
    5. None of the above
  16. 訣竅約分後求解即可;亦可使用羅必達法則。
    解法一約去因式 x2 後有

    limx2x38x24=limx2x2+2x+4x+2=22+22+42+2=3

    故選(D)。
    解法二使用羅必達法則可知

    limx2x38x24=limx23x22x=32222=3

    故選(D)。

  17. If the function f(x) is differentiable and f(x)={ax36xif x1bx2+4if x>1, then a=
    1. 0
    2. 1
    3. 14
    4. 24
    5. 26
  18. 訣竅由於可導函數必連續,故由連續性以及左右導數相同可獲得聯立方程式。
    解法由連續性可知

    b+4=limx1+f(x)=f(1)=a6

    再者,由左右導數相同有

    2b=limx1+(bx2+4)(b+4)x1=limx1+f(x)f(1)x1=limx1f(x)f(1)x1=limx1(ax36x)(a6)x1=limx1[a(x2+x+1)6]=3a6

    因此有聯立方程式如下

    {ab=103a2b=6

    可解得 a=14,故選(C)。

  19. Given that the function f is continuous on the interval [1,), and that x1f(t)dt=x, then 1f2(t)dt=
    1. 0
    2. 116
    3. 14
    4. 1
  20. 訣竅利用微積分基本定理求得函數後,計算瑕積分求解即可。
    解法運用微積分基本定理兩邊取導可知

    f(x)=12x

    取四次方有 f2(x)=116x2,從而所求的瑕積分之值為

    1f2(t)dt=1161dtt2=116t|1=116

    應選(B)。

  21. limx1+exp(x21)x1.
    1. 0
    2. 1
    3. 2
    4. None of the above
  22. 訣竅分析討論分子分母的趨向性。
    解法由於分母恆正且趨於零,但分子恆正但不趨於零,故所求發散至正無窮,選(D)。

  23. f(x)=(x1)(x2)2(x3)3. Find the value of x that maximizes f(x).
    1. 0
    2. 1
    3. 2
    4. 3
    5. None of the above
  24. 訣竅為了求一階導函數的極大值,那麼要求二階導函數為零的位置,並用三階導函數判別其特性。
    解法求一階導函數可知

    f(x)=(x2)2(x3)3+2(x1)(x2)(x3)3+3(x1)(x2)2(x3)2=[(x2)(x3)+2(x1)(x3)+3(x1)(x2)](x2)(x3)2=2(3x211x+9)(x2)(x3)2

    為了找出 f(x) 極大值的 x,我們進一步解方程式 f,即

    \begin{aligned}f''\left(x\right)&=2\left(6x-11\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)^2+2\left(3x^2-11x+9\right)\left(x-3\right)^2+4\left(3x^2-11x+9\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\\&=2\left(x-3\right)\left(15x^3-95x^2+195x-129\right)\end{aligned}

    故有 x=3 與另外三個不易表達的實根,然而在 x=3 附近之斜率由負轉正,故達到極小值,因此以上皆非,選(E)。

    事實上,\displaystyle\lim_{x\to\infty}f'\left(x\right)=\infty,故 f'\left(x\right) 本身便無最大值。


  25. f\left(x\right)=x^x. Find f'\left(1\right).
    1. 0
    2. 1
    3. e
    4. \displaystyle\frac1e
    5. None of the above
  26. 訣竅換底後使用連鎖律求導即可。
    解法求導可知

    \displaystyle f'\left(x\right)=\frac{d}{dx}x^x=\frac{d}{dx}e^{x\ln x}=e^{x\ln x}\cdot\frac{d}{dx}\left(x\ln x\right)=x^x\left(1+\ln x\right)

    x=1 代入有 f'\left(1\right),故選(B)。

  27. Compute the area of the region enclosed by the graphs of the given equations: y=e^x, y=e^{-x}, and x=\ln3.
    1. 1
    2. \displaystyle\frac43
    3. \displaystyle\frac53
    4. 2
    5. None of the above
  28. 訣竅確定曲線交點得積分範圍,將上下曲線相減後取積分可求得面積。
    解法容易看出 y=e^xy=e^{-x} 交於 \left(0,1\right),因此所求面積為

    \displaystyle A=\int_0^{\ln3}\left(e^x-e^{-x}\right)dx=\left(e^x+e^{-x}\right)\Big|_0^{\ln3}=\left(3+\frac13\right)-2=\frac43

    選(B)。

  29. \displaystyle F\left(x\right)=\int_0^x\left(z-3\right)^2\left(z-4\right)^3\left(z-5\right)^4e^{2z}dz. Find the value of x\in\left[0,6\right] that minimizes F\left(x\right).
    1. 3
    2. 4
    3. 5
    4. 6
    5. None of the above
  30. 訣竅為了求函數的極小值,運用微積分基本定理求導後解一階導函數為零的位置。
    解法使用微積分基本定理求導有 F'\left(x\right)=\left(x-3\right)^2\left(x-4\right)^3\left(x-5\right)^4e^{2x},那麼解方程式 F'\left(x\right)=0 可得 x=3,4,5,但明顯可以注意到當 x\in\left[0,4\right)-\left\{3\right\}F'\left(x\right)<0,而當 x\in\left(4,6\right]-\left\{5\right\}F'\left(x\right)>0,從而 Fx=4 處達到極小值,選(B)。

  31. Suppose \displaystyle\lim_{x\to0^+}f\left(x\right)=A and \displaystyle\lim_{x\to0^-}f\left(x\right). Find \displaystyle\lim_{x\to0^-}f\left(x^2-x\right).
    1. A
    2. B
    3. A^2-B
    4. A^2+B
    5. None of the above
  32. 訣竅考察所求極限中的正負性從而獲得所求。
    解法由於 x^2-x=x\left(x-1\right),而當 x<0 時可知 x\left(x-1\right)>0,故 \displaystyle\lim_{x\to0^-}f\left(x^2-x\right)=\lim_{t\to0^+}f\left(t\right)=A,選(A)。

  33. The integral of a constant is a constant.
    1. True
    2. False
  34. 訣竅常數函數之積分為一次函數。
    解法給定一常數函數 f\left(x\right)=a,那麼常數函數 f 之不定積分為 \displaystyle\int f\left(x\right)dx=ax+C,不為常數函數,選(B)。

  35. If f''\left(x\right)=g'\left(x\right), then f'\left(x\right)=g\left(x\right).
    1. True
    2. False
  36. 訣竅同取不定積分時應當加上積分常數。
    解法同取不定積分應得 f'\left(x\right)=g\left(x\right)+C

  37. If f''\left(x\right)>0 for all x\in\left[a,b\right] and b>a, then \max\left[f\left(a\right),f\left(b\right)\right]>f\left(z\right) for all z\in\left(a,b\right).
    1. True
    2. False
  38. 訣竅由反證法,此時可以由連續函數的極值定理取出內部極大值,這便與題設產生衝突。
    解法假設不然,即假設存在 z_0\in\left(a,b\right) 滿足 \max\left[f\left(a\right),f\left(b\right)\right]<f\left(z_0\right)。因為 f 為連續函數且在邊界的最大值不超過內部其中一點的最大值,不妨考慮 \displaystyle f\left(z_0\right)=\max_{\left[a,b\right]}f,那麼容易知道 f'\left(z_0\right)f''\left(z_0\right)\leq0,這與題設衝突,故得矛盾,證明完畢。

  39. If f''\left(x\right)<0 for all x\in\left[a,b\right] and b>a, then there exists z\in\left[a,b\right] such that \max\left[f\left(a\right),f\left(b\right)\right]<f\left(z\right).
    1. True
    2. False
  40. 訣竅此與第十九題的敘述類似當不正確,容易舉出相關的反例。
    解法考慮函數 f\left(x\right)=-e^x,那麼容易確認 f''\left(x\right)=-e^x<0,那麼在 \left[a,b\right]=\left[0,1\right] 時可知 \max\left[f\left(0\right),f\left(1\right)\right]=f\left(0\right)=-1,但並不存在任何一個點超過邊界點,這是因為 f 嚴格遞減。

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